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7 8
3 5 5 7
2 3
8 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙
甲
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）23sin()6
π
-
= （A ）32
-
（B ）12-
（C ）12 （D ）32
（2）设4log a =π，14
log b =π，4
c =π，则a ，b ，c 的大小关系是
（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >> （3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=
（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64
（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩
的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有 （A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s < （C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >
（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
，，，则2||z x y =+的取值范围是
（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-
（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)
3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f +++
+=
（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015
l 1
l 2
O
M (p ,q )
（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定
原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =）
，传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为
01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是
（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011
第二部分（非选择题 共110分）
二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）若1
()n
x x
-的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项
为 ．（用数字作答）
（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．
（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ
=+⎧⎨
=⎩，
为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．
（12）若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．
（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ． （14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和
2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．
给出下列四个命题：
① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．
② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x x
f x x
-=．
（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．
G
D
E
B
C
F
A
（16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；
（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．
（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=，G 是DE 的中点． （Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ；（Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；
（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45，若存在，求BP 的长；若不存在，说
明理由．
