东城区2011高三二模数学文科

北京东城区2010—2011学年度第一学期期末教学统一检测数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设全集U R =，集合{|1},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤ 2．在复平面内，复数(1)i i -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．在等差数列4572{},15,15,n a a a a a +==中若则的值为 （ ）A ．—3B ．0C ．1D ．24．直线l 过点（—4，0）且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（ ）A ．512200x y ++=B ．512200x y -+=或40x +=C ．512200x y -+=D ．512200x y ++=40x +=5．已知,αβ为不重合的两个平面，直线,m α⊂那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若0.311321log 2,log 3,()2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若OAF ∆（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 （ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．2244y x y x ==-或D ．2288y x y x ==-或8．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0,,|()|||m x R f x m x >∈≤对任意有，则称()f x 为F 函数，给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()s i n c o s f x x x ==；④2()1xf x x x =++；⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212|()()|2||.f x f x x x -≤-其中是F 函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤第Ⅱ卷（共10分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．已知α为第二象限角，且1sin ,3α=那么sin 2α= 。

xyO π2π1-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B)第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B) (C) (D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D)椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交OO O O x xxxyyyy1 11 1111 18．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D)[3,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是． 10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A =．11．函数2cos sin y x x x =-的最小正周期为，最大值 为．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．14．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB正视图侧视图俯视图A三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4，S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a n b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.（本小题共14分）张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折到△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ． （Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ； （Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．12A B D E C ' C18.（本小题共13分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．20.（本小题共13分） 用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[]i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R,U =集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为 A {1}B.{0,1} C. {1,2}D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间 A ．1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3) 4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是7．若椭圆1C ：1212212=+b ya x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b ya x（022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④B. ①③④C ．①②④D.①②③8. 在一个正方体1111A B C D A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足M Q λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.主视图左视图B ACDA1D 1A 1C 1B DCBOPNQ10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++， 其中26a =-，则实数m 的值为；12345a a a a a ++++的值为.12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+=(,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假： ①()f x 是偶函数；②()1f x <；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）已知函数2()coscos f x x x x ωωω=(0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ)用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间.19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -= 12k = ，，3,.(Ⅰ)若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；A D OC PBE(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2011.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()A B I ð=（A ）{|1}x x >（B ）{|0}x x >（C ）{|01}x x <<（D ）{|0}x x <（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>yx”的 （A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A ） 8 （B ） 4（C）D（4）已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为（A ）1 （BC ）2（D ）4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从正视图1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （A ）120个（B ）80个（C ）40个（D ）20个（6）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 （ABC ）2 （D ）2（7）已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动 点，且1BE D F λ==1(0)2λ<≤．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值（A ）不存在（B ）等于60︒（C ）等于90︒（D ）等于120︒（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0 ．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11SSλ=，22S S λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为（A ）32（B ）12（C ） 1 （D ）2 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知复数z 满足1iz i =-，则z =. （10）曲线C ：cos 1,sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为.（11）曲线233y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.(12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a =.(13)如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=，PA =1PC =，则PB =；圆O 的 半径等于．(14)已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值.（16）（本小题满分13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ).（17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点.(19)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求BM BN ⋅的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值．(20)（本小题满分14分）对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；图（1）（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2-（D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）77．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B ）最小值为5 （C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O 2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.ABC ∆设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_____；② 若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.M（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A = ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++ 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2010—2011学年第二学期东城区示范校综合练习 高三 数学 （文科） 2011年3月命题校：北京市第五十五中学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上.1．设{}B x A x x B A ∉∈=-且，若{}3,4,5,2,1=A ，{}9,7,5,3=B ，则B A -等于（ ） (A) {},9,7,5,4,3,2,1 (B) {}4,2,1 (C) {}9,7,4,2,1 (D) {}5,3 2．在复平面内，复数2)31(12i i---对应的点位于（ ）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3．在等差数列{}n a 中，若45076543=++++a a a a a ，则82a a +的值为（ ） (A) 45 (B) 90 (C) 180 (D)300 4．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上随机取一个x ，x sin 的值介于21-与21之间的概率为（ ）(A)31 (B)π2(C)21 (D)325．设函数6ln 2)(-+=x x x f 的零点为m ，则m 的所在区间为（ ） (A) ()1,0 (B) ()2,1 (C) ()3,2 (D) )4,3( 6．函数x y 2cos =的图像可由x y 2sin =的图像（ ） (A) 向右平移2π个单位长度 (B) 向左平移2π个单位长度 (C) 向右平移4π个单位长度 (D) 向左平移4π个单位长度7．设a ，b ，c 均为单位向量，且b a ⊥，则)()(c b c a+⋅+的最小值为（ ）(A) 1- (B) 21- (C) 22- (D) 2-8．已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F ，)0,10(2F ，M 是此双曲线上一点，若021=⋅MF MF 2=，则该双曲线的方程是（ ） (A)1922=-yx(B) 1922=-yx (C)17322=-yx(D)13722=-yx第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为________.11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果 绘制成频率分布直方图（如图），若成绩介于 14秒与16秒之间认为是良好，则该班在这次测试中成绩良好的人数为_______.12．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-≥+-020022y x y x y x ，则y x z 22+=的最大值为_______，最小值为______.13．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m ∥n ，αα⊥⇒⊥n m ；②α∥β，α⊂m ，⇒⊂βn m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ， βα⊥⇒⊥n m . 其中正确命题的序号是____________.14．A 点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走三步时，所有可能终点的横坐标的和为_________；走n 步时，所有可能终点的横坐标的和为_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）已知向量)23,(sin x a = ，)1,(cos -=x b（1）当a ∥b 时，求x x 2sin cos 22-的值； （2）求b b a x f ⋅+=)()(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上的值域.AC16．（本小题12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各两个，现依次不放回地随机取3次，每次取一个球.（1）试问：一共有多少种不同的结果，请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.17．（本小题13分）如图，在四棱锥ABCD -P 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD .18．（本小题14分）已知函数)(1031)(23R x x axx x f ∈+-=.（1）若3=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数)(x f y =在),0(+∞上为单调增函数，试求a 的取值范围.19．（本小题14分）椭圆12222=+by ax )0(>>b a 的一个顶点为A )3,0(，离心率54=e（1）求椭圆方程；（2）若直线3-=kx y ： 与椭圆交于不同的两点N M ,，且满足PN MP =，0=⋅MN AP ，求直线 的方程.20．（本小题14分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有12-=n n b S（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）试比较n T 与n n S a 的大小，并说明理由.A参考答案选择题1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A 填空题9．127 10．π2 11．27 12．64 ; 81 13．①④ 14．6 ; 2)1(+n n注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分 解答题15.解：（1）∵a ∥b ，∴0sin cos 23=+x x ，∴23tan -=x ， …3分∴1320tan1tan 22cossin cos sin 2cos22sin cos 222222=+-=+-=-xx xx xx x x x . …6分（2）∵)21,cos (sin x x b a +=+ ，∴)42sin(22)()(π+=⋅+=x b b a x f ， …8分∵02≤≤-x π，∴44243πππ≤+≤-x ，∴22)42sin(1≤+≤-πx ， …10分∴21)(22≤≤-x f ， …12分 ∴函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,22.…13分 16．解：（1）一共有6种不同的结果.列举如下：（红红黑）（红黑红）（黑红红）（红黑黑）（黑红黑）（黑黑红）…6分 （2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A 包含的基本事件为：（红红黑）（红黑红）（黑红红） 由（1）可知，基本事件总数为6 ∴事件A 的概率2163)(==A P . …12分17．证明：（1）连结AC 交BD 与O ，连结EO .∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点.又∵E 是PC 的中点 ∴在△PAC 中，EO 为中位线 ∴PA ∥EO . …3分 而EO ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB . …6分 （2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形，∴DC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PDC . 而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE .① …8分 ∵DC PD =，E 是PC 的中点，∴△PDC 是等腰三角形， DE ⊥PC .② …10分 由①和②得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB . …12分 又EF ⊥PB 且DE EF =E ，∴PB ⊥平面EFD . …13分显然当3=x 时切线斜率取最小值1，又12)3(=f ， …4分∴所求切线方程为312-=-x y ，即09=+-y x 。

二、函数1、（2011昌平二模理7）．已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0,且)()(b f a f =，则的取值范围是b a +2（B ）A. ),22(+∞B. ),22[+∞C. ),3(+∞D. ),3[+∞.2、（2011东城二模理、文 8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13、（2011丰台二模理3）．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是（C ）(A)(B)(C)(D)4、（2011丰台二模理8）．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是（D ）(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3](D) [3,)+∞5、（2011海淀二模理3）函数21()log f x x x=-的零点所在区间（C ） A ．1(0,)2 B. 1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3) 6、（2011昌平二模文4） 若b a b a >是任意实数，且、,则下列不等式成立的是（ D ） A ．22b a > B ．1<a b C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(< 8、（2011朝阳二模文7）已知函数2()cos f x x x =-，则(0.5)f -，(0)f ，(0.6)f 的大小关系是(A)OO O O x x xxyyyy1 11 11111（A）(0)(0.5)(0.6)f f f<-<（B）(0.5)(0.6)(0)f f f-<<（C）(0)(0.6)(0.5)f f f<<-（D）(0.5)(0)(0.6)f f f-<<9、（2011丰台二模文3）已知a>0且a≠1，函数log ay x=，xy a=在同一坐标系中的图象可能是(D)(A) (B) (C) (D)10、（2011丰台二模文8）用max{}a b，表示a，b两个数中的最大数，设22()max{84,log}f x x x x=-+-，若函数()()g x f x kx=-有2个零点，则k的取值范围是(C)(A) (0,3)(B) (0,3](C) (0,4)(D) [0,4]11、（2011海淀二模文3）函数21()logf x xx=-的零点所在区间为(C)A．1(0,)2 B.1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3)12、（2011顺义二模文8）已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,ππ上的函数)(xfy=的图像关于直线4π-=x对称，当4π-≤x时，xxf sin)(=，如果关于x的方程axf=)(有解，记所有解的和为S, 则S不可能．．．为(A)A π45- B π- C π43- D2π-13、（2011西城二模文7）若2a>，则函数3()33f x x ax=-+在区间(0,2)上零点的个数为(B)（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个1、（2011东城二模文9）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=,那么(0)(1)f f += -2 ．2、（2011昌平二模理14）.给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象关于直线2kx =（Z k ∈）对称. 其中正确命题的序号是____①③④______3、（2011东城二模理14）对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = 34． 4、（2011海淀二模理14）已知函数sin ()xf x x= （1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有__________①②__________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为______ 9_____. 5、解答 1、（2011顺义二模理20）. （本小题满分13分）对于定义域分别为N M ,的函数)(),(x g y x f y ==，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=,),(,),(,),()()(N x M x x g N x M x x f N x M x x g x f x h 且当且当且当 (1) 若函数R x x x x g x x f ∈++=+=,22)(,11)(2,求函数)(x h 的取值集合； (2) 若22)(,1)(2++==x x x g x f ，设n b 为曲线)(x h y =在点()()n n a h a ,处切线的斜率；而{}n a 是等差数列，公差为1()*∈Nn ，点1P 为直线022:=+-y x l 与x 轴的交点，点n P 的坐标为()n n b a ,。

北京市东城区2010——2011学年度第二学期期末教学目标检测高二数学（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0322>=<--=x x B x x x A ,则集合B A 等于( ) A.{}1>x x B.{}3<x x C. {}31<<x x D.{}11<<-x x2.复数bi a +),R b a ∈（与di c -（),R d c ∈的积是实数的充分必要条件是（ ）A. bc ad =B.bd ac =C. 0=+bd acD. 0=+bc ad3.下列四个命题中的真命题为( )A.341,00<<∈∃x Z xB.015,00=+∈∃x Z xC.01,2=-∈∀x R xD.02,2>++∈∀x x R x4.右图中的图象所表示的函数的解析式为 A.|1|23-=x y )20(≤≤x B. |1|2323--=x y )20(≤≤x C.|1|23--=x y )20(≤≤x D.|1|1--=x y )20(≤≤x5.为了得到函数x y )31(3⋅=的图象,可以把函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象( ) A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度6.在△ABC 中,如果 30,sin 3sin ==B C A ,那么角A 等于( )A. 120B. 60C. 45D.30 7.已知函数⎩⎨⎧≤>=,0,2,0,log )(2x x x x f x 若2)()1(=+a f f ,则a 的值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.88.满足21x cos 54cos x sin 5sin=π+π的锐角x 为( ) π7π2π9.已知,0>>b a 则a b a 4,3,3的大小关系是( )A.a b a 334<<B.a a b 343<<C.a a b 433<<D.b a a 343<<10.△ABC 中,3,3==BC A π,则△ABC 的周长为( ) A.3)6sin(6++πB B.3)6sin(34++πB C.3)3sin(6++πB D.3)3sin(34++πB 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.将答案填在题中横线上.11.函数)1(log )(22-=x x f 的定义域为 .12.在复平面内，复数i 1+与i 31+-分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则AB 对应的复数为 .13.已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数,定义域为[]a a 2,1-,则____,=b ._____)0(=f 14.请构造一个满足下面三个条件的函数)(x f :(1)函数在()0,∞-上单调递增; (2)函数为偶函数; (3)函数有最大值为1.满足条件的一个函数)(x f = .15.已知函数c x x x f ++=cos sin )(2的最小值为0,则c 的值为 .16.已知函数)(y x f =的定义域为R ，对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=.)(,,)(),()(K x f K K x f x f x f K 取函数x x f -=2)(，当21=K 时，函数)(x f K 的单调递增区间是 . 三、解答题：本大题共4小题,共42分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)证明:函数xx e e x f 1)(+=在()+∞,0上是增函数.18. (本小题满分10分) 已知函数0)6(,cos sin cos 2)(2=+=πf x x a x x f . (Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间.19. (本小题满分12分)已知α为锐角，且3)4tan(=+απ.（Ⅰ）求α2tan 的值； （Ⅱ）求αααα2cos sin 2sin cos -的值.20. (本小题满分10分)已知)(x f 是二次函数,不等式0)(<x f 的解集是()5,0,且)(x f 在区间[]4,1-上的最大值是12.(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)是否存在自然数m ,使得方程037)(=+xx f 在区间()1,+m m 内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.北京市东城区2010——2011学年度第二学期期末教学目标检测高二数学（文科）参考答案一、 选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．1. C2. A3. D4. B5. D6. A7.C8.B9. C 10. A二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.11. ()()+∞-∞-,11, 12.i 22-+ 13. 0 1 14. 2-1x （答案不唯一） 15. 1 16 . ()1--，∞ 三、解答题：本大题共4小题,共42分.17. (本小题满分10分) 证明：x x x x ee e e xf 1)(2-=-='-. …………………4分 当()+∞∈,0x 时，102=>e e x ,0>x e ,所以()+∞∈,0x 有0)(>'x f . …………………8分 故xx e e x f 1)(+=在()+∞,0上是增函数. …………………10分 18. (本小题满分10分) 解: (Ⅰ)由0)6(=πf 即06cos 6sin 6cos 22=+πππa ，解得32-=a . …………………2分(Ⅱ)x x x x x x f 2sin 312cos cos sin 32cos 2)(2-+=-= =1)32cos(2++πx . …………………7分故)(x f 的最小正周期为π,单调增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,65,3ππππ. ………………10分 19. (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)由3)4tan(=+απ可得3tan 1tan 1=-+αα,解得21tan =α. …………………3分 所以34411212tan 1tan 22tan 2=-⨯=-=ααα. …………………5分 (Ⅱ)原式=αααα2cos sin 2sin cos -=ααααααααcos 2cos )sin 21(cos 2cos cos sin 2cos 22=-=-. ……9分 由已知α为锐角,且21tan =α,故552cos =α. ………………11分 所以αααsin 2sin cos -的值为52. ……………12分20. (本小题满分10分)解: (Ⅰ)由已知设)0)(5()(>-=a x ax x f ,又)(x f 在[]4,1-上的最大值为12,即126)1(==-a f ，解得2=a .故)5(2)(-=x x x f . …………………4分 (Ⅱ)方程037)(=+xx f 等价于方程03710223=+-x x .设37102)(23+-=x x x h , 则)103(2206)(2-=-='x x x x x h . …………………6分 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈310,0x 时,)(,0)(x h x h <'为减函数; 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，310x 时, )(,0)(x h x h >'为增函数. …………………8分 因为,05)4(,0271)310(,01)3(>=<-=>=h h h 所以方程0)(=x h 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4,310,310,3内分别有唯一的实数根,而在区间()),4(,3,0+∞内没有实数根.所以存在唯一的自然数3=m ,使得方程037)(=+xx f 在区间()1,+m m 内有且只有两个不同的实数根. …………………10分。

2011年东城区中考二模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．12-的绝对值是（ ）．A ．12B ．12- C ．2 D ．2-2．下列运算中，正确的是（ ）． A ．235a a a += B ．3412a a a ⋅= C ．632a a a ÷= D ．43a a a -=3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是（ ）．A ．18B ．13C ．38D ．354．下列图形中，既是．．轴对称图形又是．．中心对称图形的是（ ）．5．若一个正多边形的一个内角等于150︒，则这个正多边形的边数是（ ）． A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．在“我为震灾献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：金额（元）20 30 35 50 100 学生数（人）3751510则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是（ ）．A ．30，35B ．50，35C ．50，50D ．15，507．已知反比例函数2k y x-=的图象如图所示，则一元二次方程22(21)10x k x k --+-=根的情况是（ ）．A ．没有实根B ．有两个不等实根C ．有两个相等实根D ．无法确定8．用}{min ,a b 表示a ，b 两数中的最小数，若函数22min{1,1}y x x =--， 则y 的图象为（ ）． OxyD C BA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 主视图 左视图 9．反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)-，则k 的值为_______．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 ．俯视图11．如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处．使斜边CD AB ∥，则α∠的余弦值为__________．12．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，2BC =，O ，H 分别为边AB ，AC 的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120︒到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中332x =．14．解分式方程：11322x x x-+=--．AH BOC 1O1H1A1Cx y 0A 1-1-1-1-11111111x y 0B x y 0C x y 0D15．如图，点A 、B 、C 的坐标分别为(3,3)、(2,1)、(5,1)，将ABC △先向下平移4个单位，得111A B C △；再将111A B C △沿y 轴翻折，得222A B C △． （1）画出111A B C △和222A B C △； （2）求线段2B C 长．16．如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF AB ∥，AE EC =． 求证：AD CF =．17．列方程或方程组解应用题：为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三（1）班提出“我骑车我快乐”的口号．“五一”之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学． 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的45还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升．若小明家的汽车平均油耗为0.1升/千米，求他家4、5两月各行驶了多少千米．y xO18．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，2AB =，1AD =，点Q 的坐标为(0,2)．（1）求直线QC 的解析式；（2）点(,0)P a 在边AB 上运动，若过点P 、Q 的直线将矩形ABCD 的周长分成3:1两部分，求出此时a 的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BD 是ABC ∠的平分线． （1）求证：AB AD =；（2）若60ABC ∠=︒，3BC AB =，求C ∠的度数．20．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且45AED ∠=︒．（1）试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径为3，5sin 6ADE ∠=，求AE 的值．21．某商店在四个月的试销期内，只销售A ，B 两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图1和图2． （1）第四个月销量占总销量的百分比是_______； （2）在图2中补全表示B 品牌电视机月销量的折线图；（3）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．图1 图222．如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A 的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图．为了得到裁剪的角度，我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究．（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即ABM 的度数）．CN D B M A 图2 图1五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0a >，0b >． （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若:2:3a b =，且1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D ．若点(,)P x y 是四边形ABCD 边上的点，试求3x y -的最大值．24．如图1，在ABCD△是ABC△沿CB方向平移得到的，连AC=．ECD==，6AB BC△中，5结AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，⊥，垂足为点R．QR BD①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；△相似？②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与BOCBC A xy F O DE 25．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2OA AB ==，3OC =，过点B 作BD BC ⊥，交OA 于点D ．将DBC ∠绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且1PQ =，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．2011年东城区中考二模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCBDCAA二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 910 1112答案2-圆柱12π三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式222441444x x x x x =+++--- 23x =-．当332x =时 ， 原式233271533244⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭． 14．（本小题满分5分）解：11322x x x -+=-- 去分母得113x -+= 解得3x =．经检验：3x =是原方程的根． 所以原方程的根为3x =． 15．（本小题满分5分）解：（1）1A 点的坐标为(3,1)-，1B 点的坐标为(2,3)-，1C 点的坐标为(5,3)-； 2A 点的坐标为(3,1)--，2B 点的坐标为(2,3)--，2C 点的坐标为(5,3)--．（2）利用勾股定理可求265B C =． 16．（本小题满分5分） 证明：∵CF AB ∥，∴A ACF ∠=∠，ADE CFE ∠=∠． 在ADE △和CFE △中，A ACF ADE CFE AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CFE ≅△△． ∴AD CF =．17．（本小题满分5分）解：设小刚家4、5两月各行驶了x 、y 千米．依题意，得410050.10.1260y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 解得15001100x y =⎧⎨=⎩ 答：小刚家4月份行驶1500千米，5月份行驶了1100千米． 18．（本小题满分5分） 解：（1）由题意可知点C 的坐标为(1,1)． 设直线QC 的解析式为y kx b =+． ∵点Q 的坐标为(0,2)，∴可求直线QC 的解析式为2y x =-+． （2）如图，当点P 在OB 上时，设PQ 交CD 于点E ，可求点E 的坐标为(,1)2a．则522AP AD DE a ++=+，332CE BC BP a ++=-．由题意可得5323(3)22a a +=-．∴1a =．由对称性可求当点P 在OA 上时，1a =- ∴满足题意的a 的值为1或1-．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）解：（1）证明：∵BD 是ABC ∠的平分线， ∴12∠=∠． ∵AD BC ∥， ∴23∠=∠． ∴13∠=∠．∴AB AD =．（2）作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ． ∴EF AD AB ==．∵60ABC ∠=︒，3BC AB =， ABCD EF∴12BE AB =． ∴3122BF AB BC ==．∴BD DC =． ∴2C ∠=∠．∵BD 是ABD ∠的平分线， ∴1230∠=∠=︒． ∴30C ∠=︒．20．（本小题满分5分） 解：（1）CD 与圆O 相切．证明：连接OD ，则224590AOD AED ∠=∠=⨯︒=︒． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB DC ∥．∴90CDO AOD ∠=∠=︒． ∴OD CD ⊥．∴CD 与圆O 相切．（2）连接BE ，则ADE ABE ∠=∠． ∴5sin sin 6ADE ABE ∠=∠=． ∵AB 是圆O 的直径，∴90AEB ∠=︒，236AB =⨯=． 在Rt ABE △中，5sin 6AE ABE AB ∠==． ∴5AE =． 21．（本小题满分5分） 解：（1）30%； （2）如图所示．（3）由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B 品牌的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B 品牌电视机． 22．（本小题满分5分）解：（1）将图4中的ABE △向左平移30cm ，CDF △向右平移30cm ，拼成如图下中的平行四边形，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD ．（2）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长， ∴30AB =． ∵纸带宽为15，∴151sin 302AM ABM AB ∠===． ∴30AMB ∠=︒．五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：（1）∵关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根， ∴22(2)40a b =-≥V ，有220a b -≥，()()0a b a b +-≥． ∵0a >，0b >∴0a b +>，a b -≥0． ∴a b ≥．（2）∵:2:3a b =，∴设2a k =，3b k =．解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=， 得x k =-或3x k =-．当1x k =-，23x k =-时，由1222x x -=得2k =．当13x k =-，2x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）．∴4a =，23b =．（3）当4a =，23b =时，二次函数2812y x x =++与x 轴的交点坐标分别为(6,0)A -、(2,0)C -，与y 轴交点坐标为(0,12)，顶点坐标D 为(4,4)--． 设3z x y =-，则3y x z =-．画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于6-． 24．（本小题满分7分） 解：（1）四边形ABCE 是菱形．证明：∵ECD △是ABC △沿BC 方向平移得到的， ∴EC AB ∥，EC AB =． ∴四边形ABCE 是平行四边形．又∵AB BC =，∴四边形ABCE 是菱形．（2）①四边形PQED 的面积不发生变化，理由如下： 由菱形的对称性知，PBO QEO ≅△△， ∴PBO QEO S S =△△∵ECD △是由ABC △平移得到的， ∴ED AC ∥，6ED AC ==． 又∵BE AC ⊥， ∴BE ED ⊥∴QEO PBO BED PQED POED POED S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形△△△11862422BE ED =⨯⨯=⨯⨯=．②如图，当点P 在BC 上运动，使以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与COB △相似． ∵2∠是OBP △的外角， ∴23∠>∠． ∴2∠不与3∠对应 ． ∴2∠与1∠对应 ． 即21∠=∠，∴3OP OC == ．过O 作OG BC ⊥于G ，则G 为PC 的中点 ． 可证OGC BOC ∽△△． ∴::CG CO CO BC =． 即:33:5CG =． ∴95CG =． ∴9725255PB BC PC BC CG =-=-=-⨯=．∴1818=1055BD PB PR RF DF x x =+++=+++．∴75x = ∴75BP =．25．（本小题满分8分） 解：（1）由题意得(0,2)A 、(2,2)B 、(3,0)C ．设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为22y ax bx =++．BC Axy F O DE HM HG H 则42209320a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴224233y x x =-++．（2）由224233y x x =-++228=(1)33x --+．∴顶点坐标为8(1,)3G ．过G 作GH AB ⊥，垂足为H ． 则1AH BH ==，82233GH =-=．∵EA AB ⊥，GH AB ⊥， ∴EA GH ∥．∴GH 是BEA △的中位线 ．∴433EA GH ==． 过B 作BM OC ⊥，垂足为M ． 则MB OA AB ==．∵90EBF ABM ∠=∠=︒， ∴90EBA FBM ABF ∠=∠=︒-∠． ∴Rt Rt EBA FBM ≅△△．∴43FM EA ==． ∵321CM OC OM =-=-=， ∴73CF FM CM =+=． （3）要使四边形BCGH 的周长最小，可将点C 向上 平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点1C ， 得点1C 的坐标为(1,1)-．可求出直线1BC 的解析式为1433y x =+．直线1433y x =+与对称轴1x =的交点即为点H ，坐标为5(1,)3．点G 的坐标为2(1,)3．2011年东城区中考二模数学试卷答案部分解析一、选择题 1. 【答案】A【解析】12-的绝对值是12，故选A ．2. 【答案】D【解析】347a a a ⋅= 633a a a ÷=，43a a a -=，2a 与3a 不是同类项不可以合并相加减，故选D ．3. 【答案】C【解析】一共8个球，其中3个黄球，故摸到黄球的概率是38，故选C ．4. 【答案】B【解析】既是．．轴对称图形又是．．中心对称图形的是第二个图，第一个图是轴对称不是中心对称，第三个图是中心对称不是轴对称，最后一个图既不是中心对称也不是轴对称，故选B ．5. 【答案】D【解析】一个正多边形的一个内角等于150︒，其外角等于30︒，外角和为360︒，边数3601230n ︒==，故选D ．6. 【答案】C【解析】这组数据中，众数是50，中位数是第20和21的平均数为50，故选C ．7. 【答案】A【解析】由反比例函数图像可知，20k ->，2k >．一元二次方程22(21)10x k x k --+-=，22=(21)41(1)450k k k --⨯⨯-=-+<V ，所以方程没有实数根，故选A ．8. 【答案】A【解析】分别画出21y x =-，21y x =-的函数图像，取他们较小的那部分函数图像，故选A ．二、填空题 9. 【答案】2- 【解析】反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)-，212k =-⨯=-． 故答案为：2-．10. 【答案】圆柱【解析】由三视图可知该立体图形为圆柱． 故答案为：圆柱．11. 【答案】12【解析】∵CD AB ∥，∴30AOC C ∠=∠=︒，60α∠=︒，1cos =cos60=2α∠︒．故答案为：12．12. 【答案】π【解析】由题意知，通过转化，阴影部分的面积等于大扇形1BHH 面积减去小扇形1OBO 面积，2OB =，7BH =，22120π120π=π360360BH OB S ︒⨯︒⨯-=︒︒阴．故答案为：π．。

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（A ）{}1,2（B ）{}1x x ≤ （C ）{}1,0,1- （D ）R（2）“3a =”是“直线30ax y +=与直线223x y +=平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）执行右图的程序框图，则第3次输出的数为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知圆2220x y x m y +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为（A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）2 （5）将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为（A ）1sin y x =- （B ）1sin y x =+ （C ）1cos y x =- （D ）1cos y x =+（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β（7）设00(,)M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(4,)+∞ （C ）(0,2) （D ）(0,4)（8）已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，{}()0,T x g x x ==∈R ，记card ,card S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不可能的是（A ）card 1,card 0S T == （B ）card 1,card 1S T == （C ）card 2,card 2S T == （D ）card 2,card 3S T ==第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区高三第二次模拟考试文科数学试题&参考答案学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集是实数集.右边的韦恩图表示集合与关系，那么阴影部分所表示的集合可能为A ．B ．C ．D ． 2．已知向量，，且，那么的值为A ．B ．C ．D ． 3．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是U R {|2}M x x =>{|13}N x x =<<{}2x x <{}12x x <<{}3x x >{}1x x ≤(1,2)=a (,4)x =b ⊥a b x 2-4-8-16-[-1,1]A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为A ．B ．C ．D ． 5．已知，那么“”的充分必要条件是A ．B ．C ．D ．6．已知直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，那么的值是A B C D ．7．日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．下图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为A Bx x f sin )(=()|1|f x x =+()f x x =-()cos f x x =0,2,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩1248,R x y ∈x y >22x y >lg lg x y >11x y>22x y >(0)x y m m +=>122=+y x P Q ︒=∠120POQ O m 32223C D8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水(，单位：L). 现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计. 设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精(单位：L)，下列关于数,列的说法正确的是A ．当时，数列有最大值B ．设，则数列为递减数列C ．对任意的，始终有D ．对任意的，都有第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科）2013.05学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第Ⅰ卷（选择题共40分）1、 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合AB 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、 ()2203log 0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．44、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、 已知命题:p x ∀∈R ，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧6、 已知x ，y 满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、 根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）频率x俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35，8、 在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n -=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、 已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b ∥，则λ=________． 10、 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、 过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB的中点P 到y 轴的距离等于________．14、 对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-，②log 1a y x =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共13分）已知函数)()sin sin f x xx x =-．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、 （本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴求x ，y ；⑵若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、 （本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥． ⑴求证：平面GNM ∥平面ADC '； ⑵求证：C A '⊥平面ABD ．GN MDCBA18、 （本小题共14分）已知函数()ln af x x=+（0a >）．19、 （本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，的． ⑴求椭圆C 的方程；⑵如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、 （本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（*n ∈N ）． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）12152（11）4（12）3π2 （13）4 （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-2cos sin x x x =-=21cos 2sin )2x x x -11=2cos2)22x x +- 1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ） 因为203x π<<， 所以32662x πππ<+<． 所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可得 2992718x y ==，所以11x =，3y =．（Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种．因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点， 所以//MN DC '． 因为MN ⊄平面ADC '，DC '⊂平面ADC '，所以//MN 平面ADC '． 同理//NG 平面ADC '． 又因为MNNG N =，所以平面//GNM 平面ADC '．（Ⅱ）因为90BAD ∠=， 所以AD AB ⊥．又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =， 所以AD ⊥平面'C AB ． 因为'C A ⊂平面'C AB ， 所以'AD C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，AB AD =， 不防设1AB =，则BC CD BD ===可得1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥． 因为ABAD A =，A BCDMNG所以'C A ⊥平面ABD ． ………………………………………………14分 （18）（共14分）解:(Ⅰ)()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞,则|221()a x a f x x x x -=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立． 又当00x >时, 200311222x x -<-+≤,（19）解(Ⅰ)因为c a=，222a b c -=， 所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离d ==， 解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>． 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+． 所以21M BM M y k x k +==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠，所以218k =．所以k =．………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 则22n T n na a a +==，而222n T n t n ta a a +++==从而n t na a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．…………13分。

(A) A B (B) B A (C) A B = B (D)A B =1(2)复数1 •-在复平面上对应的点的坐标是i(A) (1 ,1) (B) (-1,1) (C) (-1, -1) (D) (1,一1)3(A)-2(B)(4)3(C)—12(D)18下列命题中正确的是(A)如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行(B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科学校 _________________ 班级____________________ 姓名____________________ 考号 _______________本试卷分第I卷和n卷两部分，第I卷1至2页，第n卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共40分)、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合 A 二「XX _0二 B =9,1,2 ［第，则一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(3)(7)函数f(x)=sin( co x(其中® £匹)的图象如图所示，2为了得到g (x) =sin •，x的图象，则只要将f ( x)的图象(A)向右平移匸个单位长度6 (B)向右平移二个单位长度12(C)向左平移二个单位长度6(8)在平面直角坐标系xOy中，已知向量(D)向左平移二个单位长度12OA与OB关于y轴对称，向量a = (1,0)，则满第n卷(共 iio分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知向量a = (3, -2) , b = (3 m —i ,4 —m),若a _ b，则 m 的值为_______________________ .(10) 已知sin =2cos 二，则tan 2.工的值为 ______________ ."3 x, x 兰0, 5(11)已知函数f(x)=』贝U f(—)的值为J (x —1), x>0, 6(12)在等差数列:a n ［中，若a5 ■ a^4 , a§ • a* =「2，则数列的公差等于其前n项和S n的最大值为(13)对于函数f(x) =lg x—2 +1，有如下三个命题：① f (x • 2)是偶函数；② f (x)在区间(-心，2)上是减函数，在区间2, •::上是增函数；③ f (x • 2) - f (x)在区间2, •::上是增函数.足不等式OA? a .AB <0的点A(x,y)的集合用阴影表示为其中正确命题的序号是 ________ .(将你认为正确的命题序号都填上)(14)在平面内，已知直线 h //丨2，点A是l1 ,l2之间的定点，点A到11 , |2的距离分别为在等差数列 (n)设数列，求Ln ［的前n 项和T n .如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形,3和2，点B 是12上的一个动点，若 AC _ AB ，且AC 与11交于点C ，则△ ABC 面积 的最小值为 .三、解答题：本大题共 6小题，共80分。

北京东城区示范校2010—2011学年度高三综合练习（一）数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 命题“2,210x x x ∃∈-+<R ”的否定是（ ） A ．2,210x x x ∃∈-+≥RB ．2,210x x x ∃∈-+>RC ．2,210x x x ∀∈-+R ≥D ．2,210x x x ∀∈-+<R3． 已知向量a 与b 的夹角为120︒，||3a =，||a b + ，则||b等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．14．设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．向量12a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(cos2cos )b x x =， ，()f x a b =⋅ ，为了得到函数()y f x =的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 6．曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴及直线1x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．112B ．16 C ．13D ．12 7．函数()1,0,1,0,x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥则不等式()()111x x f x +++≤的解集是（ ） A．{}|11x x -≤ B ．{}|1x x ≤C．{}|1x xD．{}|11x x ≤8．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；其中正确的命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2011届十校联考（文科）考试时间：120分钟 试卷分值：150分注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不予记分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1．设全集U R =，A =(){}20x x x -<，{}10B x x =->，则A B I = A ．(2, 1)-B ．[1, 2)C ．(2, 1]-D ．(1, 2)2.已知复数122,32z i z i =+=+，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 A ．012=+-y x B ．012=++y x C ．012=--y x D ．012=-+y x 4．设l m n 、、为不同的直线，αβ、为不同的平面，有如下四个命题： ①若,l αβα⊥⊥，则l ∥β ② 若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ ③若,l m m n ⊥⊥，则l ∥n ④若,m n α⊥∥β且α∥β则m n ⊥ 其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．45．某器物的三视图如右图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（ ） A ．4π B ．5π C ．8π D ．9π 6．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan a 的值为（ ） AB．C． D．7．若函数)(x f 的导函数34)(2+-='x x x f ，则函数)1(+x f 的单调递减区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．)1,(-∞C ．)3,1(D ．（0,2）8．设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（ ）A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x ≥ 二、填空题（每小题5分，共30分）9．若命题“存在实数x ，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为 ．2-<a ，或2>a10．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 6．11．已知实数,x y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数 2z x y =+ 的最小值为 3-12．按下列程序框图运算：若5x =，则运算进行 4 次才停止； 若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是 (10, 28]．13．设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b yx E 的左、右焦点， 过1F 的直线l 与E 相交于B A ,两点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则||AB 的长为 ．34（改编）14．设向量()21,a a =，()21,b b =，定义一种向量积()2211,b a b a b a =⊗，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2m ，⎪⎭⎫⎝⎛=0,3πn ，点P ()y x ,在x y sin =的图像上运动。

北京市东城区2010—2011学年第二学期高三综合练习（二）文科综合能力测试本试卷300分钟。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

读表l，完成1、2题。

1．影响该地天气变化的天气系统是（）A．暖锋B．冷锋C．高压D．低压2．表中所示期间（）A．天安门广场升旗时间越来越晚B．伦敦正午太阳高度变小C．南极附近极夜范围扩大D．地球公转速度变快近年来，台湾省已成为大陆游客的旅游热点地区。

读图l，完成3—6题。

3．游客出发前观察图1，判断图示地区的河流流向特点是（）A．多数从西流向东B．从中部流向四周C．多数从南流向北D．从四周流向中部4．游客从M走到N，其所经地区地势起伏与图2所示剖面线对应的是（）A．①B．②C．③D．④中国是世界上农业的发祥地之一。

回答12、13题。

12．从表2你能获得的相关信息有（）①青铜工具已退出历史舞台③铁制工具的类型多种多样②生产力水平提高④铁器使用的区域广阔A．①②B．②④C．②③④D．①②④13．纵观中国古代历史，尽管“农夫早出暮入，耕稼树艺”，“妇女夙兴夜寐，纺绩积红”，但温饱问题长期得不到解决。

造成这种现象的原因是（）A．天灾战乱连年不断B．重农抑商政策的推行C．农民赋役负担沉重D．耕作技术始终停滞不前14．2010年我国的两部中医药古籍成功入选《世界记忆亚太地区名录》，一部奠定了中医学理论的基础，另一部被誉为“东方药物巨典”。

这两部著作是（）A．《黄帝内经》、《本草纲目》B．《伤寒杂病论》、《本草纲目》C．《齐民要术》、《农政全书》D．《本草纲目》、《农政全书》15．从1918年1月起，《新青年》全部刊登白话文，仅1919年一年，中国就出现了400种以上的白话报，1920年3月，教育部要求小学各年级一律废除文言教科书。

1.已知sin0, tan 0 ,那么是（A .第一象限角B .第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角2.直线3x4y 10 0和圆（x 2）2（y 1）225的位置关系是A •相切B .相离C.相交但不过圆心 D .相交且过圆心3.已知a则下列不等式中正确的是（B. ac beC. a b 2 ab a2 b2 2ab4.已知两条直线a,b，两个平面，则下列结论中正确的是（A.若a，且// ，贝U a//B.若b ,a//b,则a//C.若a// ,// ，贝U a//D.若b// ,a//b，贝U a//5.已知函数 f （x） log a x，其反函数为 f 1(x)，若 f 1(2) 9，则fQ) f (27)的值6.正方形ABCD中，M,N分别是BC和CD的中点, MAN 则cos等于（）1 A.-3C. 35 5北京市东城区2007-2008学年度综合练习（二）高三数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第n卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

9•已知｛a n ｝是等比数列，a 2 6,a 3 12，则数列｛a .｝的前n 项的和S 5 =—.10•若(1 2x)4 a 0 a 1x a 2x 2 a 3x 3 a 4x 4 ( x R )，贝U a 2 _____________________________a ° a 1 a 2 a 3 a 4______________________x 2 11•已知点A( 2,0), B(2,0)，若点P(x, y)在曲线 16 2y 12 1 上，则 PA PB =.12•已知向量 a (cos ,sin ), b (cos(),sin( 33))则a13.某企业有高级工程师 26人，普通技工104人，其他职员52人，为了了解该企业员工的 工资收入情况，若按分层抽样从该企业的所有员工中抽取 56人进行调查，则抽取的高级工程师人数为 _________动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒， 则不同的安排方法有（A . 2 4 种B . 72 种C .l 44种D .3 6 0 种&已知函数f （x ） x 3x ，则 a b0是 f (a) f(b) 0 的()A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件北京市东城区2007-2008学年度综合练习（二）高三数学（文科）第H 卷（共110分）注意事项： 6小题，每小题5分，共30分。

北京市西城区2011年高三二模文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.已知a b <，则下列不等式正确的是（A ）11a b > （B ）22a b >（C ）22a b ->-（D ）22a b>4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅= ”是“ABC ∆为直角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A ）2 （B ）1（C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=xBPyO1正(主)视图 俯视图2 22侧(左)视图21（A ）10 （B ）8（C ）87 （D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为 （A ）3（B ）2（C ）3（D ）2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1,3)=a ，(0,3)+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:1:3a b =，则A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离 最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示. 则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______.14.数列{}n a 满足11a =，11n nn a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<； a b ≥开始 输入,a b否结束S b= S a =输出S 是③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0ia <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数12sin()43()sin x f x x π+-=.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()2f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点，32DM =. （Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M ABD -的体积.17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持20岁以下800450 200 20岁以上（含20岁） 100150300（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽ABABCCDMODO取了45人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e xf x=，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数()()eg x f x x=-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x=在点00(,())P x f x（其中0x<）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的焦距为23，离心率为32.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且,,BD BE DE成等比数列，求2k的值.20.（本小题满分13分）若函数)(xf对任意的x∈R，均有)(2)1()1(xfxfxf≥++-，则称函数)(xf具有性质P.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由.①(1)xy a a=>；②3y x=.（Ⅱ）若函数)(xf具有性质P，且(0)()0f f n==（2,n>n∈*N），求证：对任意{1,2,3,,1}i n∈-有()0f i≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n∈均有0)(≤xf.若成立给出证明，若不成立给出反例.参考答案及评分标准 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B C AD B B C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 120 11. 3012. 1；25 13. 1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：解：（Ⅰ）由题意，sin 0x ≠， ……………2分 所以，()x k k ≠π∈Z . ……………3分函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ……………4分（Ⅱ）因为()2f x =，所以12sin()2sin 43x xπ+-=， ……………5分2212(sin cos )2sin 223x x x +-=， ……………7分1cos sin 3x x -=， ……………9分 将上式平方，得11sin 29x -=， ……………12分所以8sin 29x =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为32DM =,所以90DOM ∠=，OD OM ⊥. ……………6分又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分 由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11393sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=， ……………12分 所求体积等于19332ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n ++++++=， ……………2分ABCMOD所以100n =. ……………3分（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. ………7分 其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-， 所以()e e xg x '=-， ……………2分 由()e e 0x g x '=-=，得1x =， ……………3分 所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（Ⅱ）因为()e xf x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000e e ()x x y x x -=-. ……………7分 切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )x x x -， ……………9分因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分 0201e (1)2x S x '=-， ……………12分在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2e S =，所以，S 的最大值为2e . ……………14分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知223c =，32c a=. ……………2分 解得2,3a c ==， ……………4分所以2221b a c =-=， 椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得22(41)80k x kx ++=， ……………6分 所以2814D k x k =-+，所以221414D k y k -=+， ……………8分 依题意0k ≠，12k ≠±.因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BE BD DE=， ……………9分所以2(1)D Db y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分 xy ODB E当0D y <时，210DD y y --=，解得152D y -=， ……………12分所以221415142k k--=+，解得2254k +=， 所以，当,,BD BE DE成等比数列时，2254k +=. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分 111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a -+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a +->， ……………3分即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n - 中第一个大于0的值， ……………6分 则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+> ，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤. ……………9分 （Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分 证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分.如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()()x x f x x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。

北京市西城区2011年高三二模试卷数学（文科） 2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A ）2 （B ）1 （C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=正(主)视图俯视图侧(左)视图（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为 （A ）3（B ）2（C（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1=a，+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离 最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______. 14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数1)43()sin x f x xπ+-=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()2f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面M D O ； （Ⅲ）求三棱锥M A B D -17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总ABCCMOD体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e x f x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()e g x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且,,BD BE DE 成等比数列，求2k 的值.20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)x y a a =>； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（文科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 56 7 8 答案C B C A DBBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 120 11. 3012. 1；13. 1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：解：（Ⅰ）由题意，sin 0x ≠， ……………2分所以，()x k k ≠π∈Z . ……………3分 函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ……………4分（Ⅱ）因为()2f x =1)2sin 43x x π+-=， ……………5分1)2sin 3x x x -=， ……………7分 1cos sin 3x x -=， ……………9分 将上式平方，得11sin 29x -=， ……………12分所以8sin 29x =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠= ，OD OM ⊥. ……………6分又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=， ……………12分所求体积等于132ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n++++++=， ……………2分所以100n =. ……………3分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个. ………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-，ABCMOD所以()e e x g x '=-， ……………2分 由()e e 0x g x '=-=，得1x =， ……………3分 所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分 在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）因为()e x f x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000e e ()xxy x x -=-. ……………7分 切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )xxx -， ……………9分 因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分 0201e (1)2x S x '=-， ……………12分 在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减. ……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2eS =， 所以，S 的最大值为2e. ……………14分 19、（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知2c =c a =. ……………2分解得2,a c = ……………4分 所以2221b a c =-=，椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)80k x kx ++=， ……………6分 所以2814D k x k =-+，所以221414D k y k-=+， ……………8分依题意0k ≠，12k ≠±. 因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BE BD DE =， ……………9分 所以2(1)D D b y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分当0D y <时，210D D y y --=，解得D y =， ……………12分所以22141142k k --=+224k +=，所以，当,,BD BE DE 成等比数列时，224k =……………14分 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x 具有性质P . ……………1分111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a-+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n - 中第一个大于0的值， ……………6分 则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--， 所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+> ，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤. ……………9分 （Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x xx -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分. 如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()0()x x f x x⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。

2011年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={1, 2, 3}，B ={3, 4, 5}，则∁U (A ∩B)等于（ ） A {1, 2, 3, 4} B {1, 2, 4, 5} C {1, 2, 5} D {3}2. 如果复数(m 2−3m)+(m 2−5m +6)i 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或3 D 2或33. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）A 7.68B 16.32C 17.32D 8.684.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为2√2，那么这个几何体的体积为（ ） A 13 B 23 C 43 D 835. 已知sinθ=34，且θ在第二象限，那么2θ在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限6. 已知点A(1, 2)是抛物线C:y 2=2px 与直线l:y =k(x +1)的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ） A √22 B √2 C 32√2 D 2√27. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →+AB →+OC →=0，且|OA →|=|AB →|，则CA →⋅CB →等于（ ）A 32B √3C 3D 2√3 8. 已知函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x ，x >0，则函数y =f[f(x)]+1的零点个数是（ ）A 4B 3C 2D 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(−1)=2，那么f(0)+f(1)=________．10. 不等式组{x≥0x−y−1≥03x−2y−6≤0所表示的平面区域的面积等于________．11. 在△ABC中，若∠B=45∘，b=√2a，则∠C=________．12. 某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为________．13. 已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c=________．14. 已知等差数列{a n}首项为a1，公差为b1，等比数列{b n}首项为b1，公比为a1，其中a1，b1都是大于1的正整数，且a1<b1，b2<a3，那么a=________；若对于任意的n∈N∗，总存在m∈N∗，使得b n=a m+3成立，则a n=________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知sin(A+π4)=7√210，A∈(0, π4)．（1）求cosA的值；（2）求函数f(x)=cos2x+5cosAcosx+1的值域．16. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4a n−3(n∈N∗)．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n+1=a n+b n(n∈N∗)，且b1=2，求数列{b n}的通项公式．17. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．（1）求证：A1B // 平面AC1D；（2）求证：CE⊥平面AC1D；（3）求二面角C−AC1−D的余弦值．18. 已知函数f(x)=x2−alnx(a∈R)．（1）若a=2，求证：f(x)在(1, +∞)上是增函数；（2）求f(x)在[1, +∞)上的最小值．19. 已知椭圆的中心在原点O，离心率e=√32，短轴的一个端点为(0, √2)，点M为直线y=12x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．20. 已知a，b为两个正数，且a>b，设a1=a+b2，b1=√ab，当n≥2，n∈N∗时，a n=a n−1+b n−12，b n=√a n−1b n−1．（1）求证：数列{a n}是递减数列，数列{b n}是递增数列；（2）求证：a n+1−b n+1<12(a n−b n)；（3）是否存在常数C>0使得对任意n∈N∗，有|a n−b n|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．2011年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. A3. B4. C5. C6. B7. C8. A9. −210. 411. 105∘12. 9,3513. 614. 2,5n−315. 解：（1）因为A∈(0, π4)．且sin(A+π4)=7√210，所以π4<A+π4<π2，cos(A +π4)=√210． 因为cosA =cos （(A +π4)−π4） =cos(A +π4)cos π4+sin(A +π4)sin π4=√210×√22+7√210⋅√22=45所以 cosA =45．（2）因为f(x)=cos2x +5cosAcosx +1 =2cos 2x +4cosx=2(cosx +1)2−2，x ∈R ． 因为cosx ∈[−1, 1]，所以，当cosx =1时，f(x)取最大值6； 当cosx =−1时，f(x)取最小值−2． 所以函数f(x)的值域为[−2, 6]． 16. 解：（1）证明：由S n =4a n −3，n =1时，a 1=4a 1−3，解得a 1=1． 因为S n =4a n −3，则S n−1=4a n−1−3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=4a n −4a n−1， 整理得a n =43a n−1．又a 1=1≠0， 所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． （2）解：因为a n =(43)n−1，由b n+1=a n +b n (n ∈N ∗)，得b n+1−b n =(43)n−1． 可得b n =b 1+(b 2−b ′1)+(b 3−b 2)+...+(b n −b n−1) =2+1−(43)n−11−43=3(43)n−1−1，(n ≥2)．当n =1时上式也满足条件．所以数列{b n }的通项公式为b n =3(43)n−1−1．17. 证明：（1）连接A 1C ，与AC 1交于O 点，连接OD ．因为O ，D 分别为AC 1和BC 的中点， 所以OD // A 1B ．又OD ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ， 所以A 1B // 平面AC 1D ． 证明：（2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AD ．因为AB =AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ．又BC ∩BB 1=B ， 所以AD ⊥平面B 1BCC 1． 又CE ⊂平面B 1BCC 1， 所以AD ⊥CE ．因为四边形B 1BCC 1为正方形，D ，E 分别为BC ，BB 1的中点， 所以Rt △CBE ≅Rt △C 1CD ，∠CC 1D =∠BCE ． 所以∠BCE +∠C 1DC =90∘． 所以C 1D ⊥CE ． 又AD ∩C 1D =D ，所以CE ⊥平面AC 1D ． 解：（3）如图，以B 1C 1的中点G 为原点，建立空间直角坐标系．则A(0, 6, 4)，E(3, 3, 0)，C(−3, 6, 0)，C 1(−3, 0, 0)．由（2）知CE ⊥平面AC 1D ，所以CE →=(6,−3,0)为平面AC 1D 的一个法向量． 设n =(x, y, z)为平面ACC 1的一个法向量，AC →=(−3,0,−4)，CC 1→=(0,−6,0)． 由{n ⋅AC →=0n ⋅CC 1→=0.可得{−3x −4z =0−6y =0.令x =1，则y =0,z =−34．所以n =(1,0,−34)．从而cos <CE →，n >=CE →⋅n |CE →|⋅|n|=825√5．因为二面角C −AC 1−D 为锐角， 所以二面角C −AC 1−D 的余弦值为8√525．18. 证明：（1）当a =2时，f(x)=x 2−2lnx ，当x ∈(1, +∞)时，f /(x)=2(x 2−1)x>0，所以f(x)在(1, +∞)上是增函数； … （2）解：f /(x)=2x 2−a x>0，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在[1, +∞)上单调递增，最小值为f(1)=1．当a >0，x ∈(0,√a 2)时，f(x)单调递减；当x ∈(√a2，+∞)时，f(x)单调递增．若√a2≤1，即0<a ≤2时，f(x)在[1, +∞)上单调递增，又f(1)=1，，所以f(x)在[1, +∞)上的最小值为1．若√a2>1，即a >2时，f(x)在[1,√a2)上单调递减；在(√a2，+∞)上单调递增．又f(√a2)=a2−a2ln a2，所以f(x)在[1, +∞)上的最小值为a2−a2ln a2． 综上，当a ≤2时，f(x)在[1, +∞)上的最小值为1； 当a >2时，f(x)在[1, +∞)上的最小值为a2−a2ln a2．…19. 解：（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则{ca =√32b =√2解得a =2√2． 所以椭圆方程为x 28+y 22=1（2）由题意M(2, 1)，设直线l 的方程为y =12x +m ． 由{y =12x +m x 28+y 22=1 得x 2+2mx +2m 2−4=0，设直线AM ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2．由x 2+2mx +2m 2−4=0，可得x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=(12x 1+m −1)(x 2−2)+(12x 2+m −1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−4(m −1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4+(m −2)(−2m)−4(m −1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4−2m 2+4m −4(m −1)(x 1−2)(x 2−2)=0．即k 1+k 2=0．故直线MA ，MB 与X 轴始终围成一个等腰三角形． 20. （共13分）（1）证明：易知对任意n ∈N ∗，a n >0，b n >0．由a≠b，可知a+b2>√ab，即a1>b1．同理，a1+b12>√a1b1，即a2>b2．可知对任意n∈N∗，a n>b n．a n+1−a n=a n+b n2−a n=b n−a n2<0，所以数列{a n}是递减数列．b n+1−b n=√a n b n−b n=√b n(√a n−√b n)>0，所以数列{b n}是递增数列．…（2）证明：a n+1−b n+1=a n+b n2−√a n b n<a n+b n2−√b n b n<12(a n−b n)．…（3）解：由a n+1−b n+1<12(a n−b n)，可得a n−b n<(a−b)⋅(12)n−1．若存在常数C>0使得对任意n∈N∗，有|a n−b n|>C，则对任意n∈N∗，(a−b)(12)n−1>C．即2n<2a−2bC对任意n∈N∗成立．即n<log22a−2bC对任意n∈N∗成立．设[x]表示不超过x最大整数，则有[log22a−2bC ]+1>log22a−2bC．即当n=[log22a−2bC ]+1时，n>log22a−2bC．与n<log22a−2bC对任意n∈N∗成立矛盾．所以，不存在常数C>0使得对任意n∈N∗，有|a n−b n|>C．…。