2018届北京市西城区高三理科数学二模试题及答案

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．sin600°+tan240°的值是A ．23-B ．23 C ．321+-D ．321+ 2． 函数)0(12>+=x x y 的反函数是 A ．)0(12>-=x x y B ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中=A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：若001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则.给出下列四个复合命题： ①p 或q ；②p 且q ；③ p ；④ q ，其中真命题的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．直线ky x k y x 1=-=+与的交点A ．在直线上B ．在圆上C ．在椭圆上D ．在双曲线上6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 A ．一定存在与直线m 平行的直线 B ．一定不存在与直线m 平行的直线C ．一定存在与直线m 垂直的直线D ．不一定存在与直线m 垂直的直线7．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时（30≤1υ≤100），从A 地出发到距300公里的B地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时（4≤2υ≤20）从B 地出发到距50公里的C 地，计划在当天16:00至21:00到达C 地。

设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x 、y 小时，则在xOy 坐标系中，满足上述条件的x ，y 的范围用阴影部分表正确的是8．若},6,5,4,3,2,1{)2,1,0(},1010|{,0122∈=+⨯+⨯=∈i a a a a x x n m i 其中并且606=+n m ，则实数对（m ，n ）表示平面上不同点的个数为A ．32个B ．30个C ．62个D ．60个8．若},6,5,4,3,2,1{)2,1,0(},1010|{,0122∈=+⨯+⨯=∈i a a a a x x n m i 其中并且606=+n m ，则实数对（m ，n ）表示平面上不同点的个数为 A ．32个 B ．30个 C ．62个D ．60个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．=-+-+→254lim 221x x x x x . 10．把点A （2，2）按向量)2,2(-=a 平移到点B ，此时点B 分OC （O 为坐标原点）的比为2-，则点C 的坐标为 .11．6)21(x -展开式中所有项的系数之和为 ；63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 .12．若椭圆11:22=++y m x C 的一条准线方程为2-=x ，则=m ；此时，定点)0,21(与椭圆C 上动点距离的最小值为 .13．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点D 到平面ACD 1的距离为 ，若点P 为△BCD 的重心，则D 1P 与平面ADD 1A 1所成角的大小为 . 14．设}{n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为T n ，并且满足条件,01,1100991>->a a a 01110099<--a a .给出下列结论：①0<q<1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确结论的编号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 有6件产品，其中含有3种次品，现逐个抽取检查（不放回），求： （1）前4次恰好查出2件产品的概率；（2）设查出全部次品时检查产品的个数为ξ，求ξ的分布列、期望. 16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-.（1）求角B 的大小；（2）设n m k k n A A m ⋅>==),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值为5，求k 的值. 17．（本小题满分13分）已知函数).,0(,ln )(e x x x f ∈-=曲线)(x f y =在点))(,(t f t 处的切线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值.18．（本小题满分13分） 如图，四棱锥S —ABCD 中，平面SAC 与底面ABCD 垂直，侧棱SA 、SB 、SC 与底面ABCD 所成的角均为45°，AD//BC ，且AB=BC=2AD.（1）求证：四边形ABCD 是直角梯形； （2）求异面直线SB 与CD 所成角的大小； （3）求直线AC 与平面SAB 所成角的大小. 19．（本小题满分14分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，A 、F 分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于P 、Q 两点，交y 轴于R 点，AP 、AQ 分别交右准线于M 、N 两点.（1）若5=，求直线l 的斜率； （2）证明：M 、N 两点的纵坐标之积为234a -. 20．（本小题满分14分） 已知实数0≥c ，曲线c x y l x y C -==::与直线的交点为P （异于原点O ），在曲线C 上取一点),,(111y x P 过点P 1作P 1Q 1平行于x 轴，交直线l 于点Q 1，过点Q 1作Q 1P 2平行于y 轴，交曲线C 于点P 2（x 2，y 2），接着过点P 2作P 2Q 2平行于x 轴，交直线l 于点Q 2，过点Q 2作直线Q 2P 3平行于y 轴，交曲线C 于点P 3（x 3，y 3），如此下去，可以得到点P 4（x 4，y 4），P 5（x 5，y 5），…，P n （x n ，y n ），….设点P 的坐标为.0,),,(1a b b x a a <<= （1）试用c 表示a ，并证明1≥a ；（2）试证明)(,12*∈<>N n a x x x n 且；（2）当).,(22)(:,21,0121*=++∈<-≥=∑N n k x x x b c nk k k k 求证时北京西城区数学（理）参考答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.B8.D二、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）9．2 10．（0，2） 11．1；－132 12． 23,1 13．510arctan ,3314．①③④（注：全部选对得5分；选出错误选项②得0分；其余情况得2分） 三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分） 15．解：（1）前4次恰好查出2件次品的概率53464423231==A A C C P ；（2）根据题意，ξ的取值可以是3、4、5、6.其中，;201)3(3633===A A P ξ21)6(;103)5(;203)4(6655135644132346131313=========A A C P A A C C P A A C C P ξξξ所以，25.5216103520342013=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE16．解：（I ）因为,cos cos )2(C b B c a =- 所以,cos sin cos )sin sin 2(C B B C A =- 整理得,cos sin cos sin cos sin 2B C C B B A += 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=，因为3,21cos ,0sin ),,0(ππ==≠∈B B A A 所以所以.（2）A A k 2cos sin 4+=⋅)32,0(,1sin 4sin 22π∈++-=A A k A 其中设]1,0(,142],1,0(sin 2∈++-=⋅∈=t kt t t A 则 所以，当t ⋅=,1时取得最大值.依题意23,5142==++-k k 解得，符合题意.所以，23=k .17．解：（I ）由已知,1)(xx f -='所以曲线)(x f y =在点))(,(t f t 处的切线方程为),(1ln t x tt y --=+令y=0，得A 点的横坐标为)ln 1(t t x A -=，令x=0，得B 点的纵坐标为t x B ln 1-=，当0,0,),0(>>∈B A x x e t 时，此时△AOB 的面积,)ln 1(212t S -= ),1)(ln 1(ln 21+-='t t S解e t e S e t S <<<'<<>'1,0;10,0得解得.所以)1,0(e是函数2)ln 1(21t t S -=的增区间；),1(e e是函数的减区间.所以，当e t 1=时△AOB 的面积最大，最大值为ee e 2)1ln 1(1212=-⨯. 18．解：方法一（1）证明：作SO ⊥AC 交AC 于点O ，连接OB.因为面SAC ⊥ABCD ，所以SO ⊥ABCD ， 因为侧棱SA 、SB 、SC 与底面ABCD 所成的角均为45°， 所以∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°， 所以△SAO ≌△SBO ≌△SCO ，所以SA=SB=SC ，OA=OB=OC ， 所以AC 是△ABC 外接圆的直径，所以AB ⊥BC ， 又AD//BC ，AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是直角梯形. （2）分别取BC 中点M ，SC 中点N ，连结AM ，AN ，MN ，则MN//SB ， 又AD//BC ，AD=21BC=MC ，所以，ADCM 为平行四边形， 所以AM//DC ，所以∠AMN 是异面直线SB 与CD 所成角. 由（1），△SAO ，△SBO ，△SCO 是全等的等腰直角三角形，AB=BC ，所以，△SAC ，△BAC 是全等的等腰直角三角形. 设SO=a ，则MN=21SB=a22，AM=,1022a a BM AB =+ 因为AM=AN ，所以在等腰三角形AMN 中，.10521cos ==AM MNAMN 所以，异面直线SB 与CD 所成角为.105arccos（3）取SB 中点E ，连结AE 、CE 、OE ，由（2）知AE ⊥SB ，CE ⊥SB ，所以，SB ⊥平面AEC ， 所以，平面SAB ⊥平面AEC ，且交线就是AE ， 所以AC 在平面SAB 上的射影是AE ， 所以∠CAE 是AC 与平面SAB 所成的角 在等腰直角三角形SOB 中，E 是SB 的中点， 所以,22tan ,.2222==∆==AO OE OAE AOE Rt AO SO OE 中在所以直线AC 与平面SAB 所成角的大小是.22arctan方法二（1）证明：作SO ⊥AC 交AC 于点O ，连OB ， 因为面SAC ⊥面ABCD ，所以SO ⊥面ABCD 因为侧棱SA 、SB 、SC 与底面 ABCD 所成的角均为45°， 所以∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°， 所以△SAO ≌△SBO ≌△SCO ， 所以SA=SB=SC ，OA=OB=OC=OS 又AB=BC ，所以OB ⊥AC ， 以OA 、OB 、OS 所在射线分别作为非负x 轴、非负y 轴、 非负z 轴建立空间直角坐标系， 设OS=a ， 则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （－a ，0，0），S （0，0，a ） 所以,0)0,,()0,,(22=-=--⋅-=⋅a a a a a a所以,,//.,BC AD BC AD BC AB ≠⊥⊥又即所以四边形ABCD 是直角梯形. （2）由（1），△SAO ，△SBO ，△SCO 是全等的等腰直角三角形， 所以△SAC ，△BAC 是全等的等腰直角三角形.则),,,0(),0,21,23(),0,21,21(a a SB a a CD a a D -=-=-,105210221||||,cos 2-=⋅-=⋅<aa a CD SB 所以异面直线SB ，CD 所成角的大小是.105arccos（3）设),,(111z y x =是平面SAB 的法向量.则由⎩⎨⎧=+-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001111ay ax az ax 得取),1,1,1(,11==x 得则,33232||||cos -=⋅-=⋅>=⋅<aa AC n AC n设AC 和面SAB 所成的角的大小为α，则,36,sin cos >=<=α所以AC 和面SAB 所成的角的大小是36arccos .19．（1）解：设),(),,(2211y x Q y x P ，因为双曲线的离心率为3，所以a b a c 2,3==，双曲线方程为22222a y x =-，因为5=，所以c x 652=， 因为直线),(:c x k y l -=所以62ck y -=，点Q 是双曲线上一点，所以2222)6()65(2a ck c =--，整理得，,23613650222=-k e e 解得.26±=k（2）证明：设),,(),,(2211y x Q y x P 由已知)(:),(:2211a x ax y y AQ a x a x y y AP ++=++=， 所以)(),(222211a ca a x y y a c a a x y y N M ++=++=， 所以222212121222211)()()(a ca a x x a x x y y a c a a x y a x y y y N M ++++=++⋅+=， 由,22)(222⎩⎨⎧=--=ay x c x k y 得022)2(222222=--+-a c k cx k x k 所以22,222222212221-+=-=+k a c k x x k c k x x ，222])([))((222222121221221--=++-=--=k c a kc x x c x x k c x c x k y y ，2)()(22222121-+=+++k c a ka x x a x x所以，222222234)()()(2a c c a a c a c a y y N M -=+⋅+-=20．解：（I ）点P 的坐标),(a a 满足方程组c a a xy c x y -=⎩⎨⎧=-=所以,， 解)4121(21,2411,0c c a c a c a a +++=++==--所以得因为.1,24121,0≥≥+++≥a c c c 所以所以 （2）由已知),,(),,(),,(211c b c b P b c b Q b b P +++即,,21c b x b x +==),1)((,)1(,1212-+-=--+=--=-+=-b a b a b a a b x x a a c b c b x x 所以由因为，12,1,0x x a a b >≥<<所以. 下面用数学归纳法证明).(*∈<N n a x n.,,0,,,,;,1111a a a x c x x x c y x a x k n a b x n k k k k k k k <-+=+=>+=<=>==++所以由已知时假设当时当综上)(*∈<N n a x n（3）当),(,121,01*+∈===<≤=N n x y x a b c n n n 时所以122)21()21(1)21(2211-=====--n bxxxx n n n因为42413221,,)21(,1,21<≥≥≥≥++k k x x x k b 所以时所以当又01)21()21(1>-=--+k k bbx x k k所以,21211,12111=-<-=<<=≤x x a x x b n n所以，.22)(2)(2)(414111421<-=-≤-+=+=++∑∑k k n k k k nk k k k x x x x x x x。

西城区高三模拟测试理科综合2018.5本试卷共17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．下图是食物促进胃上皮细胞分泌胃酸的过程。

胃酸除了具有辅助消化功能之外，还能导致胃灼热。

下列说法错误的是A．食物和组织胺作为信号促进胃上皮细胞分泌胃酸B．H+/K+-ATP酶将H+泵到内环境中会增加胃液酸性C．胃酸分泌时上皮细胞朝向胃腔的膜面积有所增大D．组织胺抑制物和H+/K+-ATP酶抑制物均可减轻胃灼热2．DNA损伤时，核蛋白多聚腺苷二磷酸-核糖聚合酶（PARP）在核内积累，可引起细胞凋亡，过程如下图所示。

下列说法错误的是A．产物ADP-核糖的组成元素是C、H、O、N、PB．在核糖体上合成的PARP通过核孔进入细胞核C．细胞质NAD+浓度下降，只影响有氧呼吸过程D．DNA损伤后，细胞能量供应减少导致自身死亡3．脱落酸（ABA）和赤霉素（GA）在种子萌发中起重要作用。

用35S-甲硫氨酸“饲喂”不同激素处理的大麦种子，提取蛋白质进行电泳，结果如右图。

下列说法错误的是A．在图中所示的蛋白质中，α-淀粉酶分子最大B．35S-甲硫氨酸是合成淀粉酶等蛋白质的原料C．ABA能拮抗GA诱导的α-淀粉酶合成D．GA通过抑制某些蛋白质合成抑制萌发4．栎树是某森林中主要的生产者，舞毒蛾啃食栎树。

栎树盛果期时丰富的果实会把白尾鹿吸引到森林中，鹿身上的扁虱会跳到森林地面产卵。

大量的栎树果实也吸引着白足鼠，扁虱卵孵化出的幼虫吸食白足鼠血和人血，同时会将白足鼠体内的螺旋菌传播给人类，使人类患上莱姆病。

下列相关分析错误的是A．扁虱与鼠、鹿、人之间的寄生关系导致螺旋菌传播到人B．舞毒蛾数量增加使栎树减产，人类患莱姆病的风险增加C．栎树盛果期时，该区域人类患上莱姆病的风险明显提高D．生物多样性是维持生态系统结构和功能稳态的必要条件5．利用竞争酶联免疫检测技术，检测抗虫棉中Bt抗虫蛋白表达量，原理如下图所示。

2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，那么集合∁U A等于（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1, 2}2. 点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离是（）A.1 2B.√22C.√2D.√323. 函数f(x)=log a(1−x)的定义域是（）A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−1, 1)D.(−∞, 1)4. 已知向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，那么x等于（）A.−1B.−2C.−3D.−45. 已知点A(3, 4)是角α终边上的一点，那么cosα等于（）A.3 4B.43C.35D.456. 已知圆x2+y2=1与圆(x−3)2+y2=4，那么两圆的位置关系（）A.内切B.相交C.外切D.外离7. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=2sin(x−π6)的图象（）A.关于直线x=π6对称B.关于点(π6,0)对称C.关于直线x=−π6对称D.关于点(−π6,0)对称8. 给出下列四个函数：①y=−2x−1；②y=x2；③y=lnx；④y=x3．其中在定义域内是奇函数且单调递增函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④9. 在△ABC中，∠C=60∘，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A.√5B.√6C.√7D.2√210. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积是（）A.13B.1C.32D.92 11. 如果幂函数f(x)=x α的图象经过点(3,19)，则α=( )A.−2B.2C.−12D.1212. log 223+log 26等于（ ）A.1B.2C.5D.6 13. 在△ABC 中，已知a =3√2，cosC =13，S △ABC =4√3，则b =( )A.√3B.2√3C.4√3D.3√214. 函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为（ ） A.0B.1C.2D.315. 已知sinα=45，且α∈(π2,π)，那么cos2α等于（ ）A.−725B.725C.925D.−92516. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果m // α，n ⊂α，那么m // n ；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α // β；③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n ⊥β．其中正确的命题是（ ）A.①B.②C.③D.④17. 如图，在△ABC 中，B =45∘，D 是BC 边上一点，AD =√7，AC =3，DC =2，则AB 的长为（ ）A.√22B.3√62C.3√32D.3√2218. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张19. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A.1 5B.25C.35D.4520. 已知向量a→=(0, 2)，b→=(1, 0)，那么向量a→−2b→与b→的夹角为（）A.135∘B.120∘C.60∘D.45∘21. 某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称购票用时，单位：min）．下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组（）A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组22. 已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，如果直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m等于（）A.±4B.±5C.±8D.±1023. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45∘，沿A向北偏东30∘方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30∘，则水柱的高度是（）A.50mB.100mC.120mD.150m24. 如图，在圆O中，已知弦AC=4，那么AO→∗AC→的值为（）A.8B.6C.4D.225. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A.5000∼6000元B.6000∼8000元C.8000∼9000元D.9000∼16000元二、解答题（共分）已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R．)=________．(Ⅰ)f(π4brack的最大值和最小值．(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及在x∈[0,π2如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面，AB=AC，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：BC⊥平面A1AD；(Ⅱ)若∠BAC=90∘，BC=A1D=4，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆经过点A(−1, 0)．(Ⅰ)⊙O的方程________；(Ⅱ)设M是直线3x+y−4=0上的一个动点，ME，MF是⊙O的两条切线，切点为E，F．(ⅰ)如果∠EMF=60∘，求点M的横坐标；(ⅱ)求四边形MEOF面积的最小值．已知函数f(x)的定义域是{x|x>0}，并且满足：当x>1时，f(x)>2；∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2（1）求f(1)（2）求证函数f(x)在(1, +∞)上单调递增．（3）当f(2)=5时，求不等式f(x)<17的解集．参考答案与试题解析2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】利用补集定义直接求解．【解答】∵全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，∴集合∁U A={2}．2.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式直接求解．【解答】点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离：d=√2=√22．3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由对数式的真数大于0求解得答案．【解答】由1−x>0，得x<1．∴函数f(x)=log a(1−x)的定义域是(−∞, 1)．4.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的共线定理列出方程求x的值．【解答】向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，则−1⋅x−2×2=0，解得x=−4．5.【答案】C【考点】三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】∵点A(3, 4)是角α终边上的一点，∴x=3，y=4，r=|OA|=5，那么cosα=xr =35，6.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系．【解答】圆x2+y2=1的圆心为M(0, 0)，半径为r1=1；圆(x−3)2+y2=4的圆心为N(3, 0)，半径为r2=2；|MN|=3，且r1+r2=3，∴两圆的位置关系是相外切．7.【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性【解析】直接利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】利用排除法和代入法求解，当x=π6时，y=2sin(π6−π6)=0，8.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】四种基本初等函数，分别是一次函数，二次函数，对数函数，三次函数（幂函数），需要对每种函数的函数性质进行分析即可．【解答】①一次函数y=kx+b的单调性由k决定，k>0时，函数递增，k<0时，函数递减，故y=−2x−1是减函数，且其不是奇函数．不合题意．②二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定，函数y=x2在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)是单调递增，且其不是奇函数，不合题意．③对数函数是非奇非偶函数，不符合题意．④幂函数y=x3，在R是单调递增，且f(−x)=−f(x)，为奇函数，符合题意．9.【答案】C【考点】余弦定理【解析】由已知及余弦定理即可求值得解．【解答】∵∠C=60∘，AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AB∗AC∗cosC=√4+9−2×2×3×12=√7．10.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由三棱锥的三视图得该三棱锥是三棱锥P−ABC其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，由此能求出该三棱锥的体积．【解答】由三棱锥的三视图得该三棱锥是如图所示的三棱锥P−ABC，其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，∴该三棱锥的体积：V P−ABC=1×S△ABC×PO=13×12×AC×BO×PO=13×12×3×1×3=32．11.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，解方程求出α的值．【解答】幂函数f(x)=xα的图象经过点(3,19)，则3α=19，解得α=−2．12.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算性质即可得出．【解答】原式=log 2(23×6)=log 222=2．13.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】∵ cosC =13，∴ sinC =√1−cos 2C =2√23， 又∵ 由已知可得S △ABC =4√3=12absinC =12×3√2×b ×2√23， ∴ 解得b =2√3．14.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】作出函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 的图象如图，由图可知，函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为2． 15.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】∵ sinα=45，且α∈(π2,π)，∵ cos2α=1−2sin 2α=1−2×(45)2=−725．16.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】①如果m // α，n ⊂α，m 与n 平行或异面，故①错误；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α // β，故②正确； ③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β或m ⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n 与β相交，平行或n ⊂β，故④错误． 17.【答案】B【考点】解三角形【解析】先根据余弦定理求出∠C 度数，最后根据正弦定理可得答案【解答】在△ADC 中，AD =√7，AC =3，DC =2，由余弦定理得cosC =AC 2+DC 2−AD 22×AC×DC =9+4−72×3×2=12， ∴ ∠C =60∘，在△ABC 中，AC =3，∠B =45∘，∠C =60∘，由正弦定理得 AC sinB =AB sinC ，∴ AB =ACsinC sinB =3×√32√22=3√62， 18.【答案】B【考点】分布和频率分布表 【解析】观察两个表中前五位的行业，建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，观察物流行业是物流行业是供大于求，得到结论． 【解答】∵ 用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， ∴ 建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280， 建筑行业人才是供不应求，∵ 物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436， ∴ 物流行业是供大于求，∴ 就业形势是建筑行业好于物流行业， 19.【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从5个球中随机取出一个小球共有5种取法， 其中号码为偶数的为：2，4，共两种 由古典概型的概率公式可得： 其号码为偶数的概率是25. 故选B . 20.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量的坐标运算转化求解向量的夹角即可． 【解答】向量a →=(0, 2)，b →=(1, 0)， 向量a →−2b →=(−2, 2)， 向量a →−2b →与b →的夹角为θ， cosθ=(a →−2b →)∗b→|a →−2b →||b →|=2√2×1=−√22． 可得θ=135∘． 21.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为0.5，从而求得旅客购票用时的平均数，由此得到旅客购票用时的平均数落第四小组．【解答】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为：1−0.1−0.1−0.3=0.5，由频率分布表和频率分布直方图得旅客购票用时的平均数为：7.5×0.10+12.5×0.10+17.5×0.50+22.5×0.3=17.5，∴旅客购票用时的平均数落第四小组．22.【答案】D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．【解答】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．∴=2，解得m=±10．√32+(−4)223.【答案】A【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，可得OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，利用余弦定理即可得出．【解答】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，则OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，OC2=OD2+CD2−20D⋅CD⋅cos60∘．∴(√3ℎ)2=ℎ2+1002−2×ℎ×100×1，2化为：ℎ2+50ℎ−5000=0，解得ℎ=50．因此水柱的高度是50m．24.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由已知结合向量在向量上投影的概念求解．【解答】∵O为三角形ABC的外接圆的圆心，∴AO→在AC→上的投影为12|AC→|，又AC=4，∴AO→∗AC→=|AO→|∗|AC→|cos∠OAC=12|AC→|2=12×16=8．25.【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+(x−8000)×20%−(x−7000)×3%=332，整理，得：0.17x=1377，解得x=8100.故选C.二、解答题（共分）【答案】√3【考点】两角和与差的三角函数三角函数的周期性及其求法三角函数的最值【解析】(Ⅰ)直接利用函数的关系式求出函数的值．(Ⅱ)首先通过三角函数关系式的恒等变换，求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】(Ⅰ)f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R，所以f(π4)=√3．(Ⅱ)因为f(x)=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2(sin2xcosπ6+cos2xsinπ6)=2sin(2x+π6)．所以函数f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π．由x∈[0,π2brack，可得2x+π6∈[π6,7π6brack，所以−12≤sin(2x+π6)≤1．所以−1≤2sin(2x+π6)≤2，所以当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为−1；当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为2．【答案】证明：(Ⅰ)因为D是BC的中点，AB=AC，所以BC⊥AD．因为A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，又因为AA1∩AD=D，所以BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)因为∠BAC=90∘，BC=A1D=4，D是BC的中点，所以AD=12BC=2，AB=AC=2√2．因为A1A⊥底面ABC，所以AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3．所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC∗AA1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)推导出BC⊥AD，A1A⊥BC，由此能证明BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)推导出AD=12BC=2，AB=AC=2√2．由A1A⊥底面ABC，得AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3，由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．【解答】证明：(Ⅰ)因为 D 是BC 的中点，AB =AC ， 所以 BC ⊥AD ．因为 A 1A ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以 A 1A ⊥BC ，又因为 AA 1∩AD =D ， 所以 BC ⊥平面A 1AD ．(Ⅱ)因为∠BAC =90∘，BC =A 1D =4，D 是BC 的中点， 所以 AD =12BC =2，AB =AC =2√2． 因为 A 1A ⊥底面ABC ，所以 AA 1=√A 1D 2−AD 2=√42−22=2√3． 所以三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积：V =S △ABC ∗AA 1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【答案】 x 2+y 2=1 【考点】圆的切线方程 【解析】(Ⅰ)由|OA|=1，直接得到圆O 的方程为x 2+y 2=1．(Ⅱ)(ⅰ)连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形．可得|OM|=2|OE|=2．由M 是3x +y −4=0直线上的动点，设点M 的坐标为(t, −3t +4)．结合|OM|=2，解得t ．则点M 的横坐标可求．(ⅱ)|OM|的最小值即为原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，由△OEM为直角三角形，可得|ME|2=|OM|2−12≥35．即|ME|最小值是√155．代入面积公式可得四边形MEOF 面积的最小值． 【解答】（1）∵ |OA|=1，∴ 圆O 的方程为x 2+y 2=1， 故答案为：x 2+y 2=1． (2)(ⅰ)如图，连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形． ∵ ∠EMF =60∘，∴ ∠OME =30∘． ∴ |OM|=2|OE|=2．∵ M 是3x +y −4=0直线上的动点， ∴ 设点M 的坐标为(t, −3t +4)．∴ |OM|=√(t −0)2+[(−3t +4)−0]2=2，解得t =6−√65，或t =6+√65．∴ 点M 的横坐标为6−√65或6+√65．(ⅱ)∵ 原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，∴ |OM|的最小值是√10．∵ △OEM 为直角三角形，∴ |ME|2=|OM|2−12≥35． ∴ |ME|最小值是√155．∵ S 四边形MEOF =2S △MEO =2×12×1×|ME|=|ME|， 四边形MEOF 面积的最小值是√155．【答案】∀x 1，x 2∈(0, +∞)，都有f(x 1x 2)=f(x 1)f(x 2)−f(x 1)−f(x 2)+2， 则令x 1=x 2=1，则f(1)=f 2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x >1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立， 故有f(1)=2；证明：令1<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由于当x >1时，f(x)>2，则有f(x2x 1)>2，则f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)⋅f(x 2x 1)−f(x 1)−f(x 2x 1)+2=f(x 2x 1)(f(x 1)−1)−f(x 1)+2 >2f(x 1)−2−f(x 1)+2=f(x 1)， 则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x 1=x 2=2，则f(4)=f 2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17， 则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x ∗1x )=f(x)f(1x )−f(x)−f(1x )+2=2， 即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，则f(1)=1或2，检验得到f(1)不成立，f(1)=2；（2）令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)再由条件即可得到得证；（3）令x1=x2=2，则f(4)=17，不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，即可解出不等式．【解答】∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2，则令x1=x2=1，则f(1)=f2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x>1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立，故有f(1)=2；证明：令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)=f(x1)⋅f(x2x1)−f(x1)−f(x2x1)+2=f(x2x1)(f(x1)−1)−f(x1)+2>2f(x1)−2−f(x1)+2=f(x1)，则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x1=x2=2，则f(4)=f2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17，则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x∗1x )=f(x)f(1x)−f(x)−f(1x)+2=2，即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．。

(D)1 i i(B) (C )(D)3 (D)312(A) ya \_(A)(B)(D) 2共线，则实数 (C ) 11 i -+2 2 2 22 21 i (A)1 (A) 12 2 （D ）严(B)乜2(CT西城区高三模拟测试第I 卷（选择题共40 分）1.若集合A ={x|0 :：:x ：；： 1}，B ={x|x 2 -2x ：：：0}，则下列结论中正确的是2 •若复数z 满足（1 —i ）・z =：1，贝U z =(C ) 12 22018.5选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题(A) A 「|B 壬 (B) AUB 二 R(C ) A -B侧面积是 —2^2 — 正（主）视图(D) 8 5俯视團2 26.已知点A （0,0） , B （2,0）.若椭圆W: - y 1上存在点C ，使得△ ABC 为等边三角形,2 m 则椭圆W 的离B 二 A4•某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的(B) 4.105.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b 与c1 (A) y =— x2(B) y 二x(C ) y = 2|x|y = cosxF 列函数中，既是偶函数又在区间 （0,1）上单调递减的是7•函数f (x)=叩-x2 a •则“ a> 0 ”是“ x o・[-1,1],使f(x o) > 0”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件&在直角坐标系xOy中，对于点(x,y)，定义变换二：将点(x, y)变换为点(a,b)，使得［x-tana,其中玄山€(_二上).这样变』=tanb, 2 2换二就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线. 则四个函数y t =2x (x . 0) , y =x2 (x 0) , y^e x (x 0),y4 =1 nx(x 1)在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内的四条曲线(如图)依次是(A ［②，③，①，④(C)②，③，④，①(D ［③，②，①，④第n 卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.x =2 ■ cosv,9 .已知圆C的参数方程为f 小(日为参数)，则圆C的面积为__________ ;圆心C到直线(y =s in 6|：3x—4y=0的距离为_____ .10. (x2+l)4的展开式中x2的系数是 _.xn11 .在△ ABC 中，a =3 , b =2，厶A=—，则cos2B = .312.设等差数列｛%｝的前n项和为S n.若d =1 , S2 S3，则数列｛a n｝的通项公式可以是___J x > 1,13 .设不等式组x y > 3,表示的平面区域为D •若直线ax — y=0上存在区域D上的点，则2x 亠y < 5实数a的取值范围是14 .地铁某换乘站设有编号为 A , B , C, D, E的五个安全出口 .若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A , B B, C C, D D, E A, E疏散乘客时间(s) 120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知函数f(x) =(1 tanx) sin2x .(I)求f (x)的定义域；(n)若：；三(0, n，且f(〉)=2，求〉的值.16. (本小题满分14分)如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB〃CD // EF , AB_AD . CD =DA 二AF =FE =2 , AB =4 .(I)求证：DF//平面BCE;(n)求二面角C -BF -A的余弦值；(川)线段CE上是否存在点G，使得AG _平面BCF ?请说明理由.17. (本小题满分13分)在某地区，某项职业的从业者共约 8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种 职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了 100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图:(n)在该指标检测值为 4的样本中随机选取 2人，求这2人中有患病者的概率; (III )某研究机构提出，可以选取常数X 。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷(理科)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第一卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设全集U=Z ，A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，则B （ U A ）等于（ ）A ．{0，4，5}B ．{0，1}C ．{4，5}D ．{2，3}2．已知a =（3，4），b =（－8，6），则向量a 与b （ ） A ．互相平行 B ．互相垂直 C ．夹角为30° D ．夹角为60° 3．复数i i+1在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ）A ．21 B ．22 C ．1D ．24．已知函数)6cos()6sin(ππ++=x x y ，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为（ ）A ．6,2ππ=xB ．12,2ππ=xC ．6,ππ=xD ．12,ππ=x5．设正三棱锥V —ABC 的底边长为32，高为2，则侧棱与底面所成角的大小为 （ ）A ．4πB ．32arcsin C ．6π D ．2arctan 6．下列判断正确的是（ ）A ．“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题B ．“22bc ac >”的充要条件是“b a >”C ．若“p 或q ”是真命题，则p ，q 中至少有一个真命题D ．不等式111>-x 的解集为}2|{<x x7．已知A （7，1），B （1，4），直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且CB AC 2=，则a 等于（ ）A ．2B ．35 C ．1D ． 54 8．下列关于函数x e x x x f )2()(2-=的判断正确的是（ ）①}20|{0)(<<>x x x f 的解集是. ②)2(-f 是极小值，)2(f 是极大值. ③)(x f 没有最小值，也没有最大值. ④)(x f 有最大值，没有最小值.A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

2018北京高三二模数学理分类汇编--概率与统计二、解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．2、（2018海淀二模）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论）3、（2018东城二模）（本小题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n Xn m m -＃+>求正整数n 的最小值；（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明）4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率; （Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果）5、（2018丰台二模）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；年龄（岁）70605040302010（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．（16）（本小题共13分）6、（2018昌平二模）（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．8、（2018房山二模）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）2018.1本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第一卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．已知集合P = {1，2 }，那么满足Q ⊆P 的集合Q 的个数是 （ ）A ．4个B ．3分C ．2个D ．1个2．若函数f ( x )的反函数为1-f ( x ) = 12+x 则f (1)的值为 （ ）A ．4B ．-4C ．1D ．-13．设等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，且a 2 =321,415=a ,则∞→n lim S n = ( )A ．3B ．2C ．1D ．214．若函数f ( x ) =[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛,1,0,4,0,1,41x x xx则f ( lig 4 3 ) = （ ）A ．31B ．3C ．31 D ．45．从甲单位的3人和乙单位的2人中选出3人参加一项联合调查工作，要求这3 人中两个单位的人都要有，则不同的选法共有 （ ） A ．9种 B ．10种 C ．18种 D ．20种6．已知两直线的方程分别为l 1：x + ay + b = 0,l 2：x + cy + d = 0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么 （ ） A ．b ＞0,d ＜0,a ＜c B ．b ＞0,d ＜0,a ＞c C ．b ＜0,d ＞0,a ＞c D ．b ＜0,d ＞0,a ＜c 7．在（a 2-312a ）n 的展开中 （ ）A ．没有常数项B ．当且仅当n = 2时，展开式中有常数项C ．当且仅当n = 5时，展开式中党龄数项D 当n = 5k （k ∈N *）时，展开式中有常数项8．已知方程x 2 +（1+ a ）x + 1 + a + b = 0的两根为x 1，x 2，并且0＜x 1＜1＜x 2，则a b的取值范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1B ．（-1，21-） C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,2D （-2，21-） 第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

西城区高三模拟测试理科综合2018.5本试卷共17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．下图是食物促进胃上皮细胞分泌胃酸的过程。

胃酸除了具有辅助消化功能之外，还能导致胃灼热。

下列说法错误的是A．食物和组织胺作为信号促进胃上皮细胞分泌胃酸B．H+/K+-ATP酶将H+泵到内环境中会增加胃液酸性C．胃酸分泌时上皮细胞朝向胃腔的膜面积有所增大D．组织胺抑制物和H+/K+-ATP酶抑制物均可减轻胃灼热2．DNA损伤时，核蛋白多聚腺苷二磷酸-核糖聚合酶（PARP）在核内积累，可引起细胞凋亡，过程如下图所示。

下列说法错误的是A．产物ADP-核糖的组成元素是C、H、O、N、PB．在核糖体上合成的PARP通过核孔进入细胞核C．细胞质NAD+浓度下降，只影响有氧呼吸过程D．DNA损伤后，细胞能量供应减少导致自身死亡3．脱落酸（ABA）和赤霉素（GA）在种子萌发中起重要作用。

用35S-甲硫氨酸“饲喂”不同激素处理的大麦种子，提取蛋白质进行电泳，结果如右图。

下列说法错误的是A．在图中所示的蛋白质中，α-淀粉酶分子最大B．35S-甲硫氨酸是合成淀粉酶等蛋白质的原料C．ABA能拮抗GA诱导的α-淀粉酶合成D．GA通过抑制某些蛋白质合成抑制萌发4．栎树是某森林中主要的生产者，舞毒蛾啃食栎树。

栎树盛果期时丰富的果实会把白尾鹿吸引到森林中，鹿身上的扁虱会跳到森林地面产卵。

大量的栎树果实也吸引着白足鼠，扁虱卵孵化出的幼虫吸食白足鼠血和人血，同时会将白足鼠体内的螺旋菌传播给人类，使人类患上莱姆病。

下列相关分析错误的是A．扁虱与鼠、鹿、人之间的寄生关系导致螺旋菌传播到人B．舞毒蛾数量增加使栎树减产，人类患莱姆病的风险增加C．栎树盛果期时，该区域人类患上莱姆病的风险明显提高D．生物多样性是维持生态系统结构和功能稳态的必要条件5．利用竞争酶联免疫检测技术，检测抗虫棉中Bt抗虫蛋白表达量，原理如下图所示。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）（2018．6）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中c',c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

1．)335(π-ctg 的值是（ ）. A ．33- B.3 C.33D. 3-2.设 {}R x x y y P ∈==,2 {}R x y y Q X∈==,2 则( ).A. Q=PB. P Q ⊂C. }{)4,2(=⋂Q PD.P ∩Q={（2，4）}3.双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ). A. 3 B.3C. 4D. 24.圆θρcos 2=上与极点距离为3的一个点的极坐标是( ). A .(3,3π) B. (3,6π) C. (-3,3π) D. (-3,6π) 5.在△ABC 中,sinA: sinB:sinC=3:2:4,则cosC 的值为( ). A.41- B.41C.32-D.32 6.某企业2001年12月份的产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2001年年度产值的月平均增长率为（ ）。

Ａ.1-P P B.111-P C.11P D.111-P7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（ ）。

A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种8.一圆锥被平行于底面的截面截成一个小圆锥和一个圆台,若小圆锥的体积为y,圆台的体积为x,则y 关于x 的函数图象的大致形状为( ).9. 已知点M(cos α, sin α),N(cos β,sin β),若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π，则θ等于（ ） A ．)(21βαπ++B.)(21βα+ C.)(21πβα-+ D.)(21αβ-10.直平行六面体1111D C B A ABCD -的棱长均为2,∠BAD=60°，则对角线C A 1与侧面11D DCC 所成角的正弦值为（ ）。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）2018．5学校______________ 班级_______________ 姓名______________参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中'c 、c 分别表示上下底面周长，l 表斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线116922=-x y 的两条准线方程是（ ） A ．59±=x B ．516±=x C ．59±=y D ．516±=y 2．不等式(2x-1)(1-|x|)<0成立的充要条件是（ ）A ．x>1，或21<x B ．x>1，或211<<-x C ．211<<-x D ．x<-1，或21>x3．在极坐标系中，定点)2,1(πA ，点B 在直线0sin cos 3=-θρθρ上移动．当线段AB 最短时，点B 极的坐标是（ ）A ．)6,21(π B ．)6,23(π C ．)3,21(π D ．)3,23(π 4．已知α，β表示平面，m ，n 表示直线．下列命题中正确的是（ ） A ．若α//β，α⊂m ，β⊂n 则m//nB ．若α⊥β，α⊂m ，β⊂n ，则m ⊥nC ．若m ⊥α，n ⊥β，m//n ，则α//βD ．若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥β 5．函数)1(12<+=x y x 的反函数是（ ）A ．)1(log 2-=x y ，x ∈（1，3）B ．x y 2log 1+-=，x ∈（1，3）C ．)1(log 2-=x y ，x ∈（1，3]D ．x y 2log 1+-=，x ∈（1，3]6．在复平面内，向量→AB 对应的复数是2+i ，向量→CB 对应的复数是-1-3i ，则向量→CA对应的复数为（ ）A ．1-2IB ．-1+2IC ．3+4ID ．-3-4i7．设集合A={1，2，3，4，5}，a 、b ∈A ，则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有（ ）A ．5个B ．10个C ．20个D ．25个8．人口问题是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础．由人口统计年监，可查得我国从1974年至1999年人口数据资料如下：（单位：亿）由此可估算出我国2018年的人口数为（ ）A ．13.18亿B ．13.22亿C ．13.42亿D ．13.66亿二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( , )()0(,32x x f x x y 是奇函数，则f(x)=_________．10．设正方体的棱长为a ，则以其六个面的中心为顶点的多面体的体积是_________．11．函数)10(≠>=a a a y x且在[1，2]上最大值比最小值大2a ，则a 的值是_________． 12．直线l 截圆0222=-+y y x 所得弦AB 的中点是)23,21(-，则直线l 的方程为_________________；|AB|=___________．13．函数))(cos 3(sin sin R x x x x y ∈+⋅=的最大值是__________，14．如图，)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列方阵．符号),1,1(N j i n j n i a ij ∈≤≤≤≤、表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ．若2111=a ，124=a ，4132=a ．则q=___________；________=ij a ．nnn n n n n a a a a a a a a a a a a 32122322211131211三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分） 设x ∈R ，函数)20,0(21)(cos )(2πϕωϕω<<>-+=x x f ．已知f(x)的最小正周期为π，且41)8(=πf ．（Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间． 16．（本题满分14分）如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 是AC 中点． （Ⅰ）求证：平面111A ACC BEC 平面⊥； （Ⅱ）求证：11//BEC AB 平面；（Ⅲ）若221=AB A A ，求二面角C BC E --1的大小．17．（本题满分13分）设函数f(x)=)1(log xaa -,其中0＜a ＜1． （Ⅰ）证明f(x)是（a ，+∞）上的减函数；（Ⅱ）解不等式f(x)＞1． 18．（本题满分14分）已知定点A （-2，-4），过点A 作倾斜角为45°的直线l ．交抛物线px y 22=(p ＞o)于B 、C 两点，且|AB|，|BC|，|AC|成等比数列． （Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D ，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．19．（本题满分13分）如图，工厂检验员通常用一个直径为2cm 的标准圆柱和一个直径为1cm 的标准圆柱检测一个直径为3cm 的圆柱状洞口．为了保证质量，有时再插入两个合适的同号标准圆柱，分别与三圆柱相切．记A 、B 、C 依次为直径2cm 、3cm 、1cm 的圆柱截面圆的圆心，求插入的两个标准圆柱的直径．20．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 和{}n b 中，a a =1(0＜a ＜1），a b -=11．当n ≥2时，21111,----=⋅=n n n n n n a b b b a a ． （Ⅰ）证明：对任意N n ∈，有1=+n n b a ； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）记12+⋅=n n n b a c ，n S 为数列{}n c 的前n 项和．求∞→n lin n S 的值．高三数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B二、填空题：本大题共６小题，每小题５分，共30分．9．2x+3 (5分) 10．63a (5分) 11．2321或 (只答对一个给2分)12．2 0;2y -x =+ (第一个空2分，第二个空3分)．13．23(5分) 14．21；ij )21(⋅(第一个空2分，第二个空3分)三、解答题：本大题共6小题，共80分，其它解法，请仿此给分． 15．(本题满分12分)（Ⅰ）解：21)]22cos(1[2121)(cos )(2-++=-+=ϕωϕωx x x f =)22cos(21ϕω+x ……………………………………………………4分 ∵f(x)的最小正周期为π， ∴1,22==ωπωπ…………………………………6分 ∵41)24cos(21)8(=+=ϕππf ∴21)24cos(=+ϕπ∵20πϕ<<， ∴45244πϕππ<+<∴324πϕπ=+ ∴24πϕ=…………………………………………8分（Ⅱ）解：由(Ⅰ）得，).122cos(21)(π+=x x f ∴当ππππk x k 21222≤+≤-时,即)(242413Z k k x k ∈-≤≤-ππππ时，f(x)单调递增． ∴f(x)的单调递增区间是)(],24,2413[Z k k k ∈--ππππ………………………………12分16．（本题满分14分）(Ⅰ）证明：∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴,1ABC AA 平面⊥ ∴1AA BE ⊥∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴AC,BE ⊥∴11A ACC BE 平面⊥, 又∵1BEC BE 平面⊂∴平面111A ACC BEC 平面⊥……………………………………………………4分 (Ⅱ）证明：连.,111D C B BC C B =⋂设∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴B BCC 1是矩形，D 是C B 1的中点． ∵E 是AC 的中点，∴1AB ∥DE ． ∵1BEC DE 平面⊂，11BEC AB 平面⊄∴1AB ∥平面1BEC ………………………………………………………………8分 (Ⅲ）解：作F EC CF 于1⊥，1BC FG ⊥于G ，连CG ． ∵平面111A ACC BEC 平面⊥，∴1BEC CF 平面⊥………………………………………………………………9分 ∴FG 是CG 在平面1BEC 上的射影． ∴根据三垂线定理得，1BC CG ⊥∴∠CGF 是二面角C BC E --1的平面角……………………………………11分 设a AB =，∵221=AB A A ，则a A A 221=．在1ECC Rt ∆中，a EC CC EC CF 6611=⋅=，在1BCC Rt ∆中，a BC CC BC CG 3311=⋅=．在CFG Rt ∆中， ∵22sin ==∠CG CF CGF ，∴︒=∠45CGF ． ∴二面角C BC E --1的大小是45°………………………………14分 17．（本题满分13分）（Ⅰ）证明：任取),(,21+∞∈a x x ，且21x x <，)()(log )1(log )1(log )()(21122121a x x a x x x ax a x f x f a a a --=---=-…………3分 ∵)()()()()(1)()(21212121122112a x x x x a a x x a x x a x x a x x a x x --=----=---，…………5分∵21,10x x a a <<<<，∴01)()(,0)()(21122112<--->--a x x a x x a x x a x x 且．即1)()(02112<--<a x x a x x ，∴0)()(log 2112>--a x x a x x a ．∴)()(21x f x f >，∴),()(+∞a x f 是上的减函数．……………………7分 （Ⅱ）解：[解法1] ∵10<<a ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-⇔>-⇔>)2( 1)1( 01log )1(log 1)(a xa xax a x f a a ……………………10分解不等式(1)得，x>a 或x<0， 解不等式(2)得，aax -<<10， ∵0<a<1，∴aa a -<1 ∴原不等式解集为}1|{aax a x -<<……………………………………13分 [解法2] 函数f(x)的定义域为{x|x>a 或x<0}………………………………8分 ∵0<a<1，∴当x<0时，11>-xa， ∴0)1(log )(<-=xax f a ，不合题意．…………………………10分 当x>a 时，解方程f(x)=1，得aax -=1．由（Ⅰ）知f(x)是),(+∞a 上的减函数，∴f(x)>1时，aax -<1．∵a a a -<1，∴原不等式解集为}1|{aax a x -<<．……………………13分 18．（本题满分14分）（Ⅰ）解：直线l 方程为y=x-2，将其代入px y 22=，整理为，04)2(22=++-x p x ．①……………………2分∵p>0，∴016)2(42>-+=∆p ． 设),(),,(2211y x C y x B ．∴4,242121=⋅+=+x x p x x ．…………………………4分 ∵|AB|，|BC|，|AC|成等比数列， ∴||||||2AC AB BC ⋅=． ∴)2(2)2(2|)|2(21212+⋅+=-x x x x ，整理为，045)(2)(2121221=-⋅---+x x x x x x ． 将4,242121=⋅+=+x x p x x 代入上式，解得p=1． ∴抛物线方程x y 22=．………………………………7分（Ⅱ）解：假设在抛物线x y 22=上存在点),(33y x D ，使得|DB|+|DC|成立， 记线段BC 中点为),(00y x E ．则11||||1-=-=⇔⊥⇔=K K BC DE DC DB DE ．………………10分 当p=1时，①式成为0462=+-x x ． ∴32210=+=x x x ，1200=-=x y ． ∴点),(33y x D 应满足⎪⎩⎪⎨⎧-=--=13123323x y x y ．…………………………12分解得，⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==48223333y x y x 或． ∴存在点)2,2(D 或（8,-4），使得|DB|=|DC|成立…………………………14分 19．（本题满分13分）解：以经过三圆心A 、B 、C 的直线为x 轴，B 为原点，建立直角坐标系．……………1分设所求圆D 的半径为rcm ，连结DA 、DC ， 连BD 并延长交⊙B 于点E ． ∵r DB r DA -=+=23||,1|| ∴||25||||AB DB DA >=+． ∴点D 在以A 、B 为焦点，长轴长为25的椭圆上． ∵212,252==c a ，∴23222=-=c a b ．∴该椭圆方程为13225)41(1622=++y x ……………………5分又∵r DC r DB +=-=21||,23||，∴|DB|+|DC|=2>|BC|同理，点D 还在以B 、C 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为134)21(22=+-y x …………………………………………9分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++134)21(13225)41(162222y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==76149y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==76149y x ．………………11分 ∴73)76()149(2322=+-=-=BD BE r ． ∴插入的两个标准圆柱的直径是76cm ．……………………………………………13分 20．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明：①当n=1时，1)1(11=-+=+a a b a ，命题成立；…………………………………1分 ②假设n=k 时命题成立，即1=+k k b a ，则当n=k+1时，111)1(112221111==-=-+=-+-⋅=+⋅=+++++k kk k kk k k k k k k k k k k k b b a b a a b a b a b a b b a b a ． ∴当n=k+1时,命题也成立．综合①、②知，1=+n n b a 对N n ∈恒成立．……………………………………5分 （Ⅱ）解：∵n nnn n n n n n n n a a a a a a b a b a a +=--⋅=-⋅=⋅=++11)1(12211， ∴11111+=+=+nn n n a a a a ，即1111=-+n n a a ．③…………………………………8分 ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是公差为1的等差数列，其首项是a a 111=．∴1)1(11⨯-+=n aa n ，从而a n a a n )1(1-+=．………………………………10分 （Ⅲ）解：∵1112)(+++⋅=⋅=⋅=n n n n n n n n a a b a a b a c ，③式变形为11++-=⋅n n n n a a a a ，∴1+-=n n n a a c ，………………………………………………………………12分 ∴)()()(1322121--++-+-=+++=n n n n a a a a a a c c c S naaa a a n +-=-=+111．∴ ⎝⎛=⎪⎭⎫+-=→→a na a a S xn n xn 1lim lim ．……………………………………………14分 [注：如果学生未证出（Ⅰ），而使用（Ⅰ）的结论正确解答出（Ⅱ）、（Ⅲ），则独立给（Ⅱ）、（Ⅲ）的分数]。

2018西城高三二模数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．π，65 10．6 11．1312．2n -+（答案不唯一） 13．1[,3]214．D注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数tan y x =的定义域是π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ，所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ． ……………… 4分（Ⅱ）()(1tan )sin 2f x x x =+⋅sin (1)sin 2cos xxx =+⋅……………… 5分 2sin 22sin x x =+ ……………… 6分sin2cos21x x =-+ ……………… 7分π)14x -+． ……………… 8分由()2f α=，得πsin(2)4α-= ……………… 9分因为 0πα<<，所以ππ7π2444α-<-<， ………………10分 所以 ππ244α-=，或π3π244α-=． ………………11分解得 π4α=，或π2α=（舍去）． ………………13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． ……………… 5分 由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C，E，F ． 所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z ==n ． ……………… 7分 平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ……………… 8分 则cos ,||||⋅〈〉=n v n v n v 所以 二面角C BF A --． ………………10分 （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分 解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以 222x λ=-，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+，所以(22,2)AG λλ−−→=-+． ………………13分 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ． 所以有22211λλ-+==， 因为 上述方程组无解，所以假设不成立．所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则 29217C 9(A)C 34P ==， ……………… 8分所以 25(A)1(A)34P P =-=． ……………… 9分 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分 当0 4.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=．解得 1k =． ……………… 3分所以直线l 的方程为1y x =+． ……………… 4分 将 1k = 代入①，解得 1x =，所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 5分 （Ⅱ）设 (,)Q m n ， 则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 7分 依题意，将直线 22n y +=分别代入抛物线C 与直线l ， 得 2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ……………… 8分因为 22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-===， ……… 10分 221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==， ………………12分 所以 ||||AM MN =． ………………13分 又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等，所以 12S S =． ………………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分 解得 1a =． ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b'=->，故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． ……………… 3分 （Ⅱ）11a =-． ……………… 4分否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -≥，因此有12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+ 1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-≥123222211n n n ---=-----=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=矛盾！所以11a =-． ……………… 8分 （Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅≥．所以有：12312312222n n n n na a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+ 122(1)2(1)2(1)2(1)n kn k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-≥1222221n k n k n k -----=-----1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=矛盾！所以 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤． ………………10分因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+≤≤≤≤将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<， ①又 123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+= ，②两式相减即得 120n a a a +++>． ………………13分。

、选择题：本大题共合题目要求的一项1 .已知集合北京市西城区2018年高三二模试卷数学(理科) 第I卷(选择题共40分)8小题，每小题A 二{x|x -2 ：：0},2 .在复平面内，复数(A )第一象限(C)第三象限2018.5 5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符B二｛x | x ：：： a｝，若A「| B二A，则实数a的取值范围是(B) [-2, ：：) (C) (-：：，2]2z=(1 2i)对应的点位于(B )第二象限(D )第四象限(D) [2,：：)2x 3 .直线y = 2x为双曲线C: 一2a 七=1(a 0,b 0)的一条渐近线，则双曲线bC的离心率是()(A) ...5 (B(C) 3(D)4 •某四棱锥的三视图如图所示，记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则(A) 2? A ，且 4? A(B)v 2? A ，且4? A(C) 2? A ，且 2、5? A (D) ,2 ? A ，且...17 ? A5•设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“ a （b-c ） =0 ”是“ b 二c ”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6•如图，阴影区域是由函数 y^cosx 的一段图象与 xx >0,7.在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 y 》0, 所表示的平面区域是〉，不等式组x y -8< 0'所表示的平面区域是 P .从区域G 中随机取一点P （x, y ），则P 为区域B 内的点的 0< y <10概率是（）/八133 1 (A)-(B )-(C )-(D )-4545轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）'y才O n x2 2(A) 1(C )7C(D) n)侧（左）视图8.设门为平面直角坐标系 xOy 中的点集，从中的任意一点 P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足 分别为M ,N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x （「），点N 的纵坐标的最大值 与最小值之差为y （「）.若门是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （门）的最大值为.2 ；D x （「）• y （「）的取值范围是［2, 2,2］；第H 卷（非选择题共110 分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.1 69. ______________________________________ (x+—)的二项展开式中，常数项为 •x110. 在厶 ABC 中，若 a=4 , b=3 , cosA = —，贝U sinA= _____ ； B= ____311 .如图，AB 和CD 是圆0的两条弦，AB 与CD 相交于点 E ，且CE = DE = 4 ,12 •执行如图所示的程序框图，输出的a 值为 ______ xCO -yC 1)恒等于 0.AE: BE =4:1，贝U AE -AC开始BDi=i+1213.设抛物线C: y =4x 的焦点为F , M 为抛C其中所有正确结论的序号是（）a =3,i=11N(2,2) U|MF | • |MN |的取值范围是14.已知f是有序数对集合M二｛(x, y)|x挝N ,y N ｝上的一个映射，正整数数对(x,y)在映射f下的象为实数乙记作f (x, y) = z.对于任意的正整数m, n (m> n)，映射f由下表给出:则f (3,5)= _________ ，使不等式f(2x, x) < 4成立的x的集合是__________________三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，点A(cosr「2sin旳,B(sin二0)，其中"R .2 n T(I)当时，求向量AB的坐标；3n T(H)当才［0,—］时，求|AB |的最大值.216.(本小题满分13分)为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的 A , B两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果： 4.3, 5.1, 4.6, 4.1, 4.9.B班5名学生的视力检测结果： 5.1 , 4.9, 4.0, 4.0, 4.5.(I)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？(n)由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？(结论不要求证明)(川) 现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于 4.6的人数，求X的分布列和数学期望17.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA_底面ABC , AC _ BC , H为PC的中点，M为AH 的中点，PA=AC=2，BC=1.(I)求证：AH _ 平面PBC ;(H)求PM与平面AHB成角的正弦值；PN(川)设点N在线段PB上，且，MN//平面ABC，求实数■的值.PB18.(本小题满分13分)x +e已知函数f(x)二一2，其中a R.ax +4x +4(I)若a=0，求函数f (x)的极值；(n)当a・1时，试确定函数f(x)的单调区间19.(本小题满分14分)2 2设A,B是椭圆W:亍•器1上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M(与点代B不重合)，0为坐标原点(I)如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程;(n)设N为x轴上一点，且OM QN =4，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C,证明：点B与点C关于x轴对称.20.(本小题满分13分)在无穷数列｛a*｝中，印=1，对于任意n • N*，都有a* • N , a n：：：a n彳•设N* , 记使得a* < m成立的n的最大值为b m.(I)设数列｛a*｝为1, 3, 5,乙…，写出b i, b2, b3的值；(n)若｛b n｝为等差数列，求出所有可能的数列｛a n｝；(川)设a^q , a i • a2 • 111 a^ A，求b i J|| ■ b q的值.(用p,q, A 表示)北京市西城区2018年高三二模试卷参考答案及评分标准sin r - COST - sinN — cos2n 1；33一云…一云吟6所以AB高三数学（理科）2018.5 、 选择题: 本大题共 8小题， 每小题5分，共40分. 1. D 2 . B 3 . A 4 . D 5.B 6 . B7 .C8 . D _ 、 填空题:本大题共 6小题，每小题5分，共30分.202、.2 冗 910. 一3 4118212 1313[3,+：：)14. 8{1,2}三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15. （本小题满分13分）(I)解：由题意，得AB = (sin v - cos 二 一2 sin v), 2).（n ）解：因为注：第10, 11, 14题第一问2分，第二问3分.AB = (sin v - COST , 2 sin 旳,所以|AB|2=(si n 八cos*2(-・ 2 si nJ2=1 -sin 2^ 2sin J .................. 8 分=1 -si n2^ 1-cos2 二.......... 9 分=2 - ,2sin(2寸n). .......... 10分4n因为0 w 寸w —,2n n , 5 n 所以—w 2— w ........... 11分444所以当•亠 2时，|忑|2取到最大值| AB|^^-,2 （ 「2）=3 ,……12分4 42n即当时，|AB|取到最大值.3........... 13分16. （本小题满分13分）从数据结果来看A 班学生的视力较好. 解：B 班5名学生视力的方差较大则X 的所有可能取值为0 , 1, 2.C 31所以P （x ；P （X =1）=晋=| ；C 5 5所以随机变量X 的分布列如下:12分13 3 6 故 E （X ） =01 2 - 解：A 班5名学生的视力平均数为 x A =4.3+5.1+4.6+4.1 4.9=4.6，B 班5名学生的视力平均数为 x B =5.1+4.9+4.0+4.0 4.5=4.5.（出解：由（I ）知，A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.10分c ；c 2P （X =2）诗唏11分13分10 510 5 17.（本小题满分14分）(I)证明：因为PA _底面ABC , BC二底面ABC ,所以PA_BC ,又因为AC _ BC , PA" AC 二A ,所以BC _平面PAC ,又因为AH 平面PAC ,所以BC _ AH •因为PA二AC, H是PC中点，所以AH _ PC ,又因为PC「|BC二C ,所以AH —平面PBC. .......... 5分(n)解：在平面ABC中，过点A作AD//BC,因为BC _平面PAC，所以AD _平面PAC，由PA_底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，1 15，M(0,2,2).设平面AHB的法向量为n = (x, y, z)，因为AH =(0,1,1)"AB =(120)n AH =0,由得n AB =0, y z = 0, x 2y = 0,令z =1,得n =(2, -1,1). .......... 8分设PM与平面AHB成角为二,因为PM6分PM即 sin (2115)15(川)解：因为詣=(1,2,-2), "PN = PB ，所以 PN =( ■ ,2 ■ , -2 ),-* 1 3又因为PM =(0,丄，),2 2所以 sin 日=cos v PM , n > =PM n 27 + (—1)x 丄十仆(一卫)2 210分所以因为1 3MN =PN - PM -( ,2 , 2 ).••…2 2MN //平面ABC，平面ABC的法向量-(0,0,2),12分所以MNAP解得14分18.(本小题满分13分)ex +(I)解：函数f (x) 的定义域为{X I x • R，且x = -1} . .......... 1分4x +4e x 1(4x 4) -4e x 1(4x +4)24xe (4x 4)2.令f (x) =0,得x = 0,当x变化时，f (x)和f (x)的变化情况如下:故f(x)的单调减区间为(-：：，-1), (-1,0);单调增区间为(0, • ：：) •e所以当x =0时，函数f(x)有极小值f(0)................. 6分4(n)解：因为a 1 ,2 2 2所以 ax 4x 4 =(x 2) (a -1)x 0 ,所以函数f (x)的定义域为R ,4令 f (x) =0，得 x , =0 , X 2 =2,........... 9 分a当 1 ： ：a : 2 时，X 2 ： x , 当x44故函数f (x)的单调减区间为(2,0)，单调增区间为(-：：,2) , (0,.a a.......... 11分当 a 2 时，x 2 x 1,当x 当a =2时， x2 二片,因为f (x)二2e x 1x 2 .22》0 ,(当且仅当X=0时，f (x) =0 )(2x 2 4x 4)2所以函数f(x)在R 单调递增.12分求导，得f (xr 皿 +4x +4) -e x 卑(2ax + 4) 2 2(ax 4x 4)e x ^x(ax + 4 _2a)(ax 2 4x 4)2 '4 4故函数f(x)的单调减区间为(0,2 )，单调增区间为(-：：，0) , (2 .a a4 4综上，当1 ：： a :: 2时，f (x)的单调减区间为(2 ,0)，单调增区间为(-：：，2 ),a a (0, •：：)；当a =2时，函数f(x)在R单调递增；当a 2时，函数f (x)的单调减区间为4 413分(0,2 )；单调增区间为(-：：，0) , (2 -一，，：).a a19.(本小题满分14分)(I)解：椭圆W的右焦点为M(1,0)，............... 1分因为线段MB的中点在y轴上，所以点B的横坐标为-1, 因为点B在椭圆W上，3将X - -1代入椭圆W的方程，得点B的坐标为(-1,_—). ................. 3分2所以直线AB (即MB )的方程为3x-4y-3 = 0或3x，4y-3 = 0. .................. 5分(n)证明：设点B关于x轴的对称点为B1(在椭圆W上)，要证点B与点C关于x轴对称，只要证点B1与点C重合，.又因为直线AN与椭圆W的交点为C (与点A不重合)，所以只要证明点A , N , B1三点共线. ........... 7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为y 二kx • m(k =0) , A(x1, y1), B(x2, y2)，则B1(x2^y2).得(3 4k2)x2 8kmx 4m2-12=0,所以厶=(8km)2-4(3 4k2)(4m2-12) 0,28km 4m -12x1 x2 2，X t X2〒1 2 3 4k2 1 2 3 4k2在y二kx・m中，令y=0，得点M的坐标为（一m ,0）,k由OM ON =4，得点N的坐标为（-坐,0）,m8m 2k -24k -8m 2k -32k 324k 32k 33+4k 2=0，所以 k NA - k NB 1- 0，所以点A ，N ，B 1三点共线， 即点B 与点C 关于x 轴对称.20.(本小题满分13分)(I)解：4=1 , b 2 =1, 6=2.................. 3分(n)解：由题意，得 1 = a 1 ::: a 2 ::: a 3 ：：： 11( ::: a* ：：：()| , 结合条件a* • N ,得a n >10分11分设直线NA ,NB 1的斜率分别为k NA , k N B 1,,乂 4k 4kX2% y 1 xy y 2_______ m m“ 4k 、“ 4k ，(x)(X )* 议 =4k 一 4k _为 X 2m m中斗 4k 4k 因为 x 2y ( y 1 ^y 2 y 2m m4k 4k= x 2(k% m) (kx-! m) x 1 (kx 2 m) (kx 2 m) ——则 k NA - k NB 112分= 2^2 (m M)(x 1 x 2) 8km =2k (4m 2 -12 3 4k 2)(m4k 2m)( 8 km 3 4k 213分14分n . ........... 4分又因为使得a* < m成立的n的最大值为b m，使得a* < m 1成立的n的最大值为b m d 所以b1 =1，b m < b m1(m・N *). ................ 5 分设a2 = k，则k》2.假设k 2，即a2 = k >2 ,则当*》2时，a* 2 ；当*》3时，a*> k 1.所以b2 =1 , b k = 2 .因为｛b*｝为等差数列，所以公差d = b2—bi =0 ,所以b* =1，其中*• N*.这与b k = 2(k 2)矛盾，所以a2 = 2 . ................. 6分又因为a1 p ：：：丨1( ::: a*汕I ,所以b2 =2 ,由｛b*｝为等差数列，得b*二*，其中*■ N . ........... 7分因为使得a*< m成立的*的最大值为b m ,所以a*< * ,由a*> *，得a* = *. .......... 8 分(川)解：设a^k (k . 1),因为印：:：a2 心3 ::： |1( ::: a n 训 | ,所以b] =||(=bk」=1，且bk = 2 ,所以数列｛b n｝中等于1的项有k -1个，即a2 - a,个；........... 9分设a3 =l (Ik),则b k =b k 1 =|l(二b 丄=2 ,且b| =3 ,所以数列｛b n｝中等于2的项有I - k个，即a3 -a2个；........... 10分以此类推，数列｛b n｝中等于p -1的项有a p-a p」个. ........... 11分所以b b2 111 b q -aj 2(a3 -a2)• ()1 (p -1)(a^a p d) p 二-a1 - a2 T I ( - a p 二• ( P - 1)a p p=pap p -⑻ a2 111 • ap」ap)二p(q 1)-A.即b1 b2 • III b q = p(q，1) - A . ........... 13分21 / 15。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）学校_____________ 班级_____________ 姓名_____________参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c'、c分别表示上下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数是R上的偶函数，则的值是（）A. 0B.C.D.2. 圆锥曲线的准线方程是（）A. B.C. D.3. 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面积之比为（）A. B. C. D.4. 两个集合A与B之差记作“A/B”，定义为：，如果集合，那么A/B等于（）A. B.C. D.5. 设，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.6. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是（）A. B.C. D.7. 函数f(x)的部分图象如下图所示，则f(x)的解析式可以是（）A.B.C.D.8. 某航空公司经营A、B、C、D这四城市之间的客运业务。

它的部分机票价格如下：A—B为2000元，A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元。

若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为（）（注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内）A. 1000元B. 1200元C. 1400元D. 1500元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9. 正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为，则异面直线AB与SC所成角的大小是_____________。

10. 从3名男同学1名女同学中选3人，分别担任班长、体委、宣委职务，其中女同学不能担任体委职务，那么不同的任职方案共有_____________种（用数字作答）。

2018年北京市西城区高三数学理科二模试卷评析一．试卷评论（一）总评2018年西城高三二模如期而至，对于这份试卷的总体印象就是：试题考察全面，涵盖考试大纲要求考查的重点内容、布局合理、难易得当；有基础题，有中档题，有综合题，也有创新题。

既考查了学生对于基础知识、基本技能、基本运算的掌握，又考查了学生观察、分析、猜想，论证的综合思维能力。

试卷严格遵照2018年北京高考大纲的要求，延续8+6+6的试卷结构，即8道选择、6道填空、6道大题的形式，所占分值分别为40分、30分、80分。

试卷由容易题、中等难度题、难题组成，并以容易题，中等难度题为主，总体难度适当。

试卷着重考查了高中数学的重点章节：函数、三角函数、数列、立体几何、平面解析几何、统计、概率、向量。

整个试卷难易程度对比往年相差不大。

西城二模理科的试题整体难度中等，做到了对学生诸多思维能力的考查：即空间想象能力(立体几何)、推理论证能力(创新题型)、运算求解能力(椭圆)、数据处理能力(概率统计)、分析问题和解决问题的能力（第14题）。

尤其是很多题目能够运用多种方法求解，考查了学生对知识点的交叉运用能力。

（二）分评（1）基础题：1-6，9-12，15，16，17题注重基础，只要学生平时对于基础知识，基础题型练习到位，就能保证基础分顺利全部拿到手。

（2）中档题：比如7题考查函数与充要条件, ，13题考察动态线性规划问题。

（3）创新题：第8题考察图形逻辑能力，第14题考察函数应用。

（4）难题：数列数论综合问题。

总的来说，本套试卷在秉承北京高考数学试题的平稳过渡，注重基础的主要思路上，有适度的创新及广度的延伸，能真正考查出学生的能力和问题，达到很好的区分度，是一套选拔的好卷。

二.考点分布三.对新高三学生的复习建议：1.在有限的时间内，需要通过考试确定自己的知识漏洞以及思维短板，通过与老师沟通，制定适合自己的复习计划。

按照题型进行分类练习，先抓自己最容易提高的地方，对于作业及检测中暴露出来的问题应及时处理，避免堆积。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市西城区2018届高三数学5月模拟测试（二模）试题 文第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅I （B ）A B =R U （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．复数11i =- （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）26．设,a b ∈R ，且0ab ≠．则“1ab >”是“1a b>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．设不等式组 1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（A ）1[,2]2（B ）1[,3]2（C ）[1,2]（D ）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安 全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A ）A （B ）B （C ）D （D ）E第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1||2y x =+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k 值为____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，4cos 5B =，则sin A =____．12．双曲线22:1916y x C -=的焦距是____；若圆222(1)(0)x y r r -+=>与双曲线C 的渐近线相切，则r =____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =____．14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数cos2()sin cos xf x x x=+．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）求()f x 的取值范围．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．12 10．511．91012．10，35 13．25% 14．1[2,)2--注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意，得 21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩ (2)分解得 2,3,d q =⎧⎨=⎩或 1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去） (4)分所以 21n a n =-，13n n b -=． (6)分（Ⅱ）因为 1213n n n a b n -+=-+， ……………… 7分所以 21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++L L ………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分2312n n -=+． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……………… 2分得π)04x +≠， ………………3分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ………………4分所以()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ∈≠-∈R Z ． ………………5分（Ⅱ）因为 22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ ………………7分cos sin x x =- ……………… 9分π)4x =+． ………………11分由（Ⅰ）得 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ， 所以 π1cos()14x -<+<， ………………12分所以 ()f x 的取值范围是(． ………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人． ……………… 2分10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ………………4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．………………6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人．………………8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病， (10)分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分（Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥， 所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥． ………………6分因为 G 为AB 的中点，所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥． ………………7分因为 EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形，所以 BF EG ⊥． ………………8分所以 BF ⊥平面GCE ． ………………9分所以 平面BCF ⊥平面GCE ． ………………10分（Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以 //DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以 //AD 平面GCE ， 所以 平面//AD F 平面GCE ，所以 几何体AD F GCE -是三棱柱． ………………11分由（Ⅱ）得 BF ⊥平面GCE ．所以 多面体AFEBCD 的体积 ADF GCE B GCE V V V --=+ ………………12分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ………………2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分解得 1a =． ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． (8)分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =， 1b =， 且 222a b c =+． ……………… 2分解得 a =． ………………3分所以 椭圆C 的方程是 2213x y +=． ………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由 22,33,y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A ，(B ． ……………… 5分1k =-时，设直线l 的方程为y x t =-+．由 22,33,y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2246330x tx t -+-=． ……………… 6分令223648(1)0t t ∆=-->，解得 24t <． 设 1122(,),(,)M x y N x y ，则 1232t x x +=，212334t x x -⋅=． (8)分由 ,,y x t y x =-+⎧⎨=⎩ 得(,)22t tP ． ………………9分所以 23||||2t PA PB -==． ………………10分因为 1||PM x ==-，同理2||PN x =-．所以 12||||222t tPM PN x x =-⋅-2233324224t t t t -=-⋅+232t -=.所以 ||||||||PA PB PM PN =． ………………12分（ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+． ………………14分。