2019东城二模数学理科

2019年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩∁R B=（）A. B. C. D. 0，1，2.执行如图所示的程序框图，输入a=2，b=5，那么输出的a，b的值分别为（）A. 7，B. ，C. 5，D. 5，23.已知向量与不共线，且=+m（m≠1），=n+．若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为（）A.B.C.D.4.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A. B. C. D.5.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（）A. 84B. 42C. 41D. 357.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是底面ABCD上的动点，PA≥PC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A. B. C. D.8.在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数在复平面内对应的点为Z，则Z关于虚轴对称的点位于第______象限．10.已知a=log26，b=log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为______．11.椭圆：与曲线C2关于直线y=-x对称，C1与C2分别在第一、二、三、四象限交于点P1，P2，P3，P4．若四边形P1P2P3P4的面积为4，则点P1的坐标为______，C1的离心率为______．12.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则=______．13.设关于x，y的不等式组，，表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m的取值范围是______．14.已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）-f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．①若f（x）=（x-1）2，则D[0，3]（2）=______；②若，，，＞，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在四边形ABCD中，，，．（Ⅰ）求∠CAD的正弦值；（Ⅱ）若∠BAC=2∠CAD，且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长．16.某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如表：从这天中随机选取一天，随机变量表示在维修处该天元件的维修个数．（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若a，b∈N*，且b-a=6，求P（a≤X≤b）最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）17.如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4，AE⊥DE，AE=DE，平面ABE与平面CDE交于EF．（Ⅰ）求证：CD∥EF；（Ⅱ）若EF=CD，求二面角A-BC-F余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点M使得AM⊥EM？若存在，求BM的长；若不存在，说明理由．18.已知点P（1，2）到抛物线C：y2=2px（p＞0）准线的距离为2．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．求|MF|•|NF|的值．19.已知函数f（x）=x+sin x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点，处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立，求实数a的取值范围．20.若n行n列的数表（n≥2）满足：a ij∈{0，1}（i，j=1，2，…，n），（i=1，2，…，n，0＜m＜n），＞，，，，，，记这样的一个数表为A n（m）．对于A n（m），记集合，，＜，，∈．|T（n，m）|表示集合T（n，m）中元素的个数．（Ⅰ）已知，写出＜，，∈的值；（Ⅱ）是否存在数表A4（2）满足|T（4，2）|=1？若存在，求出A4（2），若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表＜＜，∈，求证：，．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-1≤x≤2}；∴∁R B={x|x＜-1，或x＞2}；∴A∩∁R B={-2}．故选：A．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得：a=2，b=5，不满足a＞b，a=2+5=7，b=7-5=2a=7-2=5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算并输出变量a，b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选：C．由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=100×20×20-40×20×10=32000（mm3）．故选：C．由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5.【答案】C【解析】解：若S n＞na n对n≥2恒成立，则na1+d＞n（a1+（n-1）d]，整理得（n-1）d＜0，①当n≥2时，得d＜0，即等差数列{a n}是单调递减数列，则a3＞a4成立，若a3＞a4成立，得d＜0，此时由①得n-1＞0，得n＞1，此时n≥2恒成立，综上“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：①，选出的3本都是论语，有1种情况，②，选出的3本中有2本是论语，则其中有1本是近代文学名著，有C61=6种情况，③，选出的3本中有1本是论语，则其中有2本是近代文学名著，有C62=15种情况，④，选出的3本都是近代文学名著，有C63=20种情况，则有1+6+15+20=42种不同的选法；故选：B．根据题意，按选出论语的数目分4种情况讨论，求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是分类讨论．7.【答案】A【解析】解：依题意，以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，则C1（0，0，2），A（2，2，0）．设P点坐标为（x，y，0），则由PA≥PC1，得≥，在xoy平面内，z=0，化简得：x+y≤1．所以，点P构成的区域为如图的阴影区域．所以，满足条件的点P构成的图形的面积等于S=×1×1=．故选：A．以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，设P点坐标为（x，y，0），根据PA≥PC1，列不等式，化简后得到x，y的约束条件，即可求出P点构成图形的面积．本题考查了空间距离，考查了正方体的结构特征，空间坐标系的应用等，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．9.【答案】四【解析】解：∵=，∴Z（），则Z关于虚轴对称的点为（），位于第四象限．故答案为：四．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标，进一步求得Z关于虚轴对称的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】9【解析】解：由a=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足a＞log3m＞b，m∈N*，故满足条件的m可以为9．故答案为：9由对数值的运算得：=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足题意，得解．本题考查了对数值的运算，属简单题．11.【答案】（1，1）【解析】解：在椭圆中，取x=-y，y=-x，可得曲线C2：，联立，得．∵四边形P1P2P3P4的面积为4，∴4x2=4，即，解得．∴点P1的坐标为（1，1），由a2=4，得a=2，c=．∴e=．故答案为：（1，1）；．由题意求得曲线C2的方程，与椭圆C1联立，结合四边形P1P2P3P4的面积为4求得b2，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：函数，=2sin（2x-），函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）==2sin2x的图象，故：故答案为：-首先把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数关系式的变换求出g（x）的关系式，最后求出三角函数的值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】，，【解析】解：mx-y+1=0经过的定点D（0，1），x，y的不等式组表示的平面区域如图：平面区域为钝角三角形及其内部，可得∠PDO为钝角．或∠DQO为钝角，所以m的取值范围是：．故答案为：．画出可行域，利用mx-y+1=0经过的定点，判断求解即可．本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域，判断三角形是钝角三角形哭直线系方程的应用，是难度比较大的题目．14.【答案】3 [1，4]【解析】解：①当0≤x≤3时，f（2）=1，则|f（x）-f（x0）|=|（x-1）2-1|=，则当x=3时，|f（x）-f（x0）|的最大值为D[0，3]（2）=（3-1）2-1=4-1=3．②f（-1）=-1+2=1，则|f（x）-f（x0）|=|f（x）-1|=，作出函数h（x）=|f（x）-1|图象如图：∵a≤-1≤a+2，∴区间长度为2，若a=-1，则对应区间为[-1，1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（1）=h（0）=1，若a+2=-1，即a=-3，则对应区间为[-3，-1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（-3）=（-3+1）2=4，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是[1，4]，故答案为：3，[1，4]①根据定义先求出f（2）=1，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．②先求出f（-1）=1，将函数表示成分段函数形式，结合a≤-1≤a+2，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．15.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，设AD=x（x＞0），由余弦定理得，整理得7x2=7，解得x=1．所以AD=1，CD=2．由正弦定理得，解得．（Ⅱ）由已知得S△ABC=4S△ACD，所以，化简得AB•sin∠BAC=4AD•sin∠CAD．所以AB•2sin∠CAD•cos∠CAD=4AD•sin∠CAD，于是AB•cos∠CAD=2AD．因为，且∠CAD为锐角，所以．因此．【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理的应用和正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）进一步利用三角形的面积公式的应用和同角的三角函数的关系是的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，同角三角函数的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）X的取值为：9，12，15，18，24；P（X=9）=，P（X=12）=，P（X=15）=，P（X=18）=，P（X=24）=，故X的数学期望…（5分）（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，a，b的只可能为：或或经计算，，，所以P（a≤X≤b）的最大值为…（10分）（Ⅲ）至少增加2人…（13分）【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的只可能然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，概率的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，又CD⊂平面CDE，平面CDE∩平面ABE=EF，∴CD∥EF．（Ⅱ）取AD的中点N，连接EN，BN．∵AE=DE，∴EN⊥AD．又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EN⊂平面ADE，∴EN ⊥平面ABCD ．∵AN =AD =2，AB =4，∠DAB =60°，∴BN = =2 ．∴AN 2+BN 2=AB 2，即AN ⊥BN ．∵△ADE 是等腰直角三角形，AD =4，∴EN =2，以N 为原点建立空间直角坐标系N -xyz ，如图所示，则N （0，0，0），B （0，2 ，0），C （-3， ，0），F （-1， ，2）． ∴ ， ， ， ， ， ，设平面BCF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则 ， ，即 ，令 ，则x =-1，z =1．于是 ， ， ．又平面ABCD 的法向量为， ， ， ∴cos ＜ ， ＞== =． 由题知二面角A -BC -F 为锐角， 所以二面角A -BC -F 的余弦值为．（Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM ⊥EM ，理由如下： 若AM ⊥EM ，则 =0．因为点M 为线段BC 上的动点，设． 则M （3t -3， t + ，0）， ∴ =（3t -5， t + ，0）， =（3t -3， t + ，-2），∴（3t -3）（3t -5）+（ t + ）2=0，化简得：2t 2-3t +3=0，方程无实根．所以线段BC 上不存在点M ，使AM ⊥EM ． 【解析】（I ）证明CD ∥ABE ，根据线面平行的性质即可得出CD ∥EF ；（II ）建立空间坐标系，求出平面ABC 和平面BCF 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III ）设CM=tCB ，求出和，令=0求出t 的值得出结论．本题考查了线面平行的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题． 18.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以p =2．所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 的坐标为（1，0）…（4分）（II ）设点 ， ， ， ，由已知得Q （-1，-2）， 由题意直线AB 斜率存在且不为0．设直线AB 的方程为y =k （x +1）-2（k ≠0）．由得ky 2-4y +4k -8=0，则 ，．因为点A ，B 在抛物线C 上，所以 ，，，．因为PF ⊥x 轴， 所以= =．所以|MF |•|NF |的值为2…（13分）【解析】（Ⅰ）通过点经过抛物线，代入方程，求出p ，即可求C 的方程及焦点F 的坐标； （Ⅱ）设点，，由已知得Q （-1，-2），设直线AB 的方程为y=k （x+1）-2（k≠0）．由得ky 2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）=x +sin x ，所以f '（x ）=1+cos x ，，， 所以曲线y =f （x ）在点， 处的切线方程为y =x +1 （Ⅱ）因为 ∈ ，，所以sin x ≥0，cos x ≥0，①当a ≤0时，x +sin x ≥0，ax cosx≤0，即f （x ）≥ax cosx 在区间 ，上恒成立 所以不等式f （x ）≥ax cosx 在区间 ，上恒成立． ②当a ＞0时，设g （x ）=f （x ）-ax cosx=x +sin x -ax cosx ， g '（x ）=1+cos x -a cos x +ax sinx=1+（1-a ）cos x +ax sinx ， （1）若0＜a ≤1，（1-a ）cos x ≥0，ax sinx≥0， 所以g '（x ）＞0在区间 ，上恒成立；所以g （x ）在区间 ，上单调递增，g （x ）min =g （0）=0， ∴g （x ）=f （x ）-ax cosx≥0∴f （x ）≥ax cosx 在区间 ， 上恒成立，（2）若1＜a ≤2，令h （x ）=g '（x ）=1+（1-a ）cos x +ax sinx ， 则h '（x ）=（2a -1）sin x +ax cosx ，h '（x ）＞0在区间 ，上恒成立， 所以g '（x ）在区间 ，上单调递增，g '（x ）min =g '（0）=2-a ≥0， ∴g （x ）在区间，上单调递增∴g（x）≥g（0）=0即f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立∴当a≤2时，不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立；（3）当a＞2时，令h（x）=g'（x）=1+（1-a）cos x+ax sinx，则h'（x）=（2a-1）sin x+ax cosx，h'（x）＞0在区间，上恒成立，所以g'（x）在区间，上单调递增，g'（x）min=g'（0）=2-a＜0，＞，所以存在∈，，使得g'（x0）=0．当0＜x＜x0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当＜＜时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x=x0时，g'（x）=0，g（x）取得极小值；而g（0）=0，所以g（x0）＜0，所以不等式g（x）≥0在区间，上不能恒成立，所以不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立时实数a的取值范围是（-∞，2]【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可求切线的方程；（Ⅱ）利用恒成立问题转化为最值，分类讨论即可解决此问题．本题考查利用导数求切线的方程和函数恒成立问题中求参数的取值范围，还考查了考生的逻辑思维能力20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，计算σ12=σ13=σ23=1；…（3分）（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1．理由如下：假设存在A4（2），使得|T（4，2）|=1．不妨设，σij的可能值为0，1．当σij=0（1≤i＜j≤4）时，经验证这样的A4（2）不存在．当σij=1（1≤i＜j≤4）时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设，所以有，这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的A4（2）只能为或，这两种情况都与|T（4，2）|=1矛盾，即不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1．…（8分）（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1-σij，这将形成A n（n-m），由于σij=a i1a j1+a i2a j2+…+a in a jn，可得（1-a i1）（1-a j1）+（1-a i2）（1-a j2）+…+（1-a in）（1-a jn）=n-m-m+σij，从而|T（n，m）|=|T（n，n-m）|．当时，由于＞＜，，∈，所以任两行相同位置的1的个数．又由于σij≥0，而从1到的整数个数，从而，；从而当0＜m＜n时，都有|T（n，m）|≤．…（13分）【解析】（Ⅰ）根据题意计算σ12、σ13和σ23的值；（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1，说明理由即可；（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1-σij，得出A n（n-m），根据题意计算σij，得出|T（n，m）|=|T（n，n-m）|，从而得出|T（n，m）|≤．本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了矩阵乘法的性质应用问题，是难题．。

2019年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x＝32．（2分）若a＝，则实数a在数轴上对应的点P的大致位置是（）A．B．C．D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥4．（2分）二元一次方程组的解为（）A．B．C．D．5．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（﹣2，0）．则点B的对应点B'的坐标为（）A．（5，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣2）7．（2分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（）A．1000sinα米B．1000tanα米C．米D．米8．（2分）如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△P AB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（）A．B．C．2D．2二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x2y﹣y＝．10．（2分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是．甲乙丙丁7887 s21 1.20.9 1.8 11．（2分）如果x﹣y＝，那么代数式（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）的值是．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD ＝°．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是．14．（2分）用一组k，b的值说明命题“若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k＝，b＝．15．（2分）如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE＝5，∠BAC+∠DAE＝180°，则圆心A 到弦BC的距离为．16．（2分）运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高．）①在5位同学中，有位同学第一次成绩比第二次成绩高；②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是．（填“甲”或“乙”）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：19．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y＝的一个交点是A（m，3）．（1）求m和k的值；（2）设点P是双曲线y＝上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P的坐标．23．（6分）2019年中国北京世界园艺博览会已于2019年4月29日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是8万人，佳佳等5名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a．参观时间的频数分布表如下：时间t（时）频数（人数）频率1≤t＜2250.0502≤t＜385a3≤t＜41600.3204≤t＜51390.2785≤t＜6b0.1006≤t≤7410.082合计c 1.000b．参观时间的频数分布直方图如图：根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这里采用的调查方式是；（2）表中a＝，b＝，c＝；（3）并请补全频数分布直方图；（4）请你估算五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人？24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC交BC的延长线于点D，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAB＝，⊙O的半径为，求AB的长．25．（6分）如图，点B是所对弦DE上一动点，点A在ED的延长线上，过点B作BC⊥DE交于点C，连接AC，已知AD＝3cm，DE＝6cm，设A，B两点间的距离为xcm，△ABC的面积为ycm2．（当点B与点D，E重合时，y的值为0．）小亮根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x3456789y0 4.477.079.008.940（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P 上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．2019年北京市东城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故选：A．2．【分析】根据，即可选出答案【解答】解：∵，故选：C．3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选：D．4．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：2x＝4，解得：x＝2，①﹣②得：2y＝0，解得：y＝0，则方程组的解为，故选：C．5．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．6．【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．【解答】解：∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，0），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减3，∴点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：B．7．【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝1000米，根据tanα＝，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝1000米，∴tanα＝，∴AB＝＝米．故选：C．8．【分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，即可求解．【解答】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，由图2知，当x＝时，y＝a，即a＝××，解得：a＝，故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：x2y﹣y，＝y（x2﹣1），＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．10．【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．11．【分析】根据x﹣y＝，可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵x﹣y＝，∴（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）＝x2+4x+4﹣4x+y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（）2＝2，故答案为：2．12．【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【解答】解：在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．13．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；【解答】解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；故答案为x＞1．14．【分析】直接利用一次函数的性质结合经过象限的特点分析得出答案．【解答】解：若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，故b＞0，则说明此命题错误时，b≤0即可．则这组值可以是k＝2，b＝﹣3（答案不唯一）．故答案为：2，﹣3（答案不唯一）．15．【分析】延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF，根据垂径定理得到CH＝HB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠DAE，∴＝，∴BF＝DE＝5，∵AH⊥BC，∴CH＝HB，又CA＝AF，∴AH＝BF＝，故答案为：．16．【分析】①看横坐标比纵坐标大的有几个同学；②看甲、乙两位同学哪个的气泡大．【解答】①在5位同学中，有3个同学横的横坐标比纵坐标大，所以有3位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为：3；②在甲、乙两位同学中，甲的气泡大，所以第三次成绩高的是甲．故答案为：甲．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【解答】解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形．（2）∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形．18．【分析】直接利用负指数幂的性质、绝对值的意义、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣，＝2．19．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，﹣11x≥11，x≤﹣1，在数轴上表示不等式的解集为：．20．【分析】（1）根据判别式△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0即可得；（2）因式分解法得出x1＝1，x2＝m﹣1，由方程有一个根大于3知m﹣1＞3，解之可得．【解答】（1）证明：依题意，得△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x2﹣mx+m﹣1＝0，（x﹣1）（x﹣m+1）＝0，∴x1＝1，x2＝m﹣1，∵方程有一个根大于3，∴m﹣1＞3，∴m＞4．∴m的取值范围是m＞4．21．【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．22．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到＝＝3，推出BF＝1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得＝＝3，推出BF＝1，由此即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（m，3）的再把代入y＝得到m＝2，再把A（2，3）的再把代入y＝kx+2，3＝2k+2，解得k＝，所以m＝2，k＝．（2）①当点P在第三象限时，如图1，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∵AE∥PF，∴＝＝3，∴＝3，∴PF＝1，∴P（﹣6，﹣1）．②当点P在第一象限时，如图2，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∵AE∥PF，∴＝＝3，∴＝3，∴PF＝1，∴P（6，1），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．23．【分析】（1）由抽样调查的概念求解可得；（2）根据频率＝频数÷总数求解可得；（3）根据以上所求结果补全图形；（4）总人数乘以样本中对应部分的频率和即可得．【解答】解：（1）这里采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）c＝25÷0.05＝500，a＝85÷500＝0.17，b＝500×0.1＝50，故答案为：0.17，50，500；（3）补全直方图如下：（4）五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有8×（0.05+0.17+0.32）＝4.32（万人）．24．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC＝2∠ABC＝90°，利用平行线的性质即可求出∠OAD＝90°，从而可知AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AC＝5，根据三角函数的定义得到CE＝3，AE＝4，于是得到结论．【解答】解：（1）连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，∵∠AOC＝90°，AO＝OC＝，∴AC＝5，∵∠AEC＝90°，∴sin∠CAE＝＝，∴CE＝3，AE＝4，∵∠CEB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3，∴AB＝AE+BE＝7．25．【分析】（1）如图1，x＝5时，点B在B′处，x＝7时，点B在B处，此时，B′C′＝BC，则y＝S△ABC＝S△AB′C′，即可求解；（2）依据表格数据描点即可；（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30．【解答】解：（1）如图1，x＝5时，点B在B′处，x＝7时，点B在B处，此时，B′C′＝BC，则y＝S△ABC＝S△AB′C′＝9.898≈9.9，故答案为9.9；（2）图象如下图所示：（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30，故答案为：5.43或8.30．26．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）根据题意求得OC＝3，即可得到m2﹣1＝3，从而求得m＝2；（3）将点A（2k，0），B（0，k），代入抛物线，此时时抛物线与线段刚相交的时候，k 在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，∴OC＝3，∴m2﹣1＝3，∵m＞0，∴m＝2；（3）∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，当抛物线经过点A（2k，0）时，k＝或k＝；当抛物线经过点B（0，k）时，k＝3；∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，∴≤k＜或k＞3．27．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE；（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG＝BD，∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．【解答】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为128．【分析】（1）如图1中，作OH⊥AB于H．求出OH即可解决问题．（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．分两种情形求出d（⊙T，直线AB）＝1时，点T的坐标即可．（3）当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，求出直线y＝kx经过点E，点F时，k的值即可．【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝2﹣2，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2≤t．（3）如图3中，当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，当直线y＝kx经过E（1，1﹣）时，k＝1﹣，当直线y＝kx经过F（﹣1，3﹣），k＝﹣3+，综上所述，满足条件的k的值为﹣3+或1﹣．。

2019年北京东城区初三二模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. A.B.C.D.若分式有意义，则的取值范围是（ ）．2. A.B.C. D.若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（ ）．3.主视图左视图俯视图A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．4. A.B.C.D.二元一次方程组的解为（ ）．5. A. B. C. D.下列图形中，是中心对称图形但轴对称图形的是（ ）．不.是.6.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）．A. B. C. D.7. A.米 B.米 C.米 D.米如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离约为（ ）．8. A.B.C.D.如图，动点从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设点的运动时间为（），的面积为（）．表示与的函数关系的图象如图所示，则的值为（ ）．图图二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.分解因式：．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．甲乙丙丁11.如果，那么代数式的值是 ．12.如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则．13.如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点，则关于的不等式的解集是 ．14.用一组，的值说明命题“若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是 ， ．15.如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦的距离为 ．16.（1）（2）运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．第一次成绩第二次成绩甲乙在位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高．在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 ．(填“甲”或“乙”)．三、解答题（共68分）17.（1）（2）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：∵，，∴．在 中，．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（ ）（填推理的依据）．18.计算：．19.解不等式，并把解集在数轴上表示出来．20.（1）（2）关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根．若方程有一根大于，求的取值范围．21.（1）（2）如图，在中，，为中点，，且．求证：四边形是矩形．连接交于点，若，，求的长．22.（1）（2）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．求和的值．设点是双曲线上一点，直线与轴交于点，若，结合图象，直接写出点的坐标．23.年中国北京世界园艺博览会已于年月日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是万人，佳佳等名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．参观时间的频数分布表如下：（1）（2）（3）（4）时间（时）频数（人数）频率合计．参观时间的频数分布直方图如下：频数人数时间时（）根据以上图表提供的信息，解答下列问题：这里采用的调查方式是 ．表中，， ．并请补全频数分布直方图．请你估算五一假期中平均每天参观时间小于小时的游客约有多少万人？24.（1）（2）如图，⊙是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，．求证：是⊙的切线．若，⊙的半径为，求的长．25.（1）（2）（3）如图，点是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作交于点，连接，已知，，设，两点间的距离为，的面积为．（当点与点，重合时，的值为．）小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度约为．26.（1）（2）（3）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标．将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点，若，，求的值．已知，，在（）的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．27.如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）（2）（3）求证：．延长交于点，求证：为的中点．若的边长为，直接写出的最大值．28.（1）（2）（3）对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：为图形上任意一点，为直线上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形和直线之间的“确定距离”，记作（，直线）．已知，．求（，直线）．⊙的圆心为，半径为，若（⊙，直线），直接写出的取值范围．记函数，的图象为图形．若（，直线），直接写出的值．2019年北京东城区初三二模数学试卷(详解)一、选择题（本题共16分，每小题2分）2. A.B.C. D.【答案】【解析】若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（ ）．C ∵，∴点应该在之间．故选．3.主视图左视图俯视图A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【答案】下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．D1. A.B.C.D.【答案】【解析】若分式有意义，则的取值范围是（ ）．A ∵有意义，∴，解得．4. A. B. C. D.【答案】【解析】二元一次方程组的解为（ ）．A ①②，得，得，①②，得，得．故选．①②5. A. B. C. D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】下列图形中，是中心对称图形但轴对称图形的是（ ）．C是轴对称图形，不是中心对称图形．是轴对称图形，也是中心对称图形．不是轴对称图形，是中心对称图形．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选 C .不.是.6. A.B. C. D.【答案】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）．B【解析】∵点坐标为，点坐标为，将线段平移至，点的对应点的坐标为，∴向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，∴点的对应点的坐标为．故选：．7. A.米 B.米 C.米 D.米【答案】【解析】如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离约为（ ）．C由题意得：，在中，，∴米．故选．8. A.B. C.D.【答案】如图，动点从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设点的运动时间为（），的面积为（）．表示与的函数关系的图象如图所示，则的值为（ ）．图图B【解析】由函数图象知：，．又∵．∴，∴在中，，，由勾股定理得：，∴，∴在中，，，，由勾股定理得：，解得．故选．二、填空题（本题共16分，每小题2分）分解因式： ．9.【答案】【解析】．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．甲乙丙丁【答案】【解析】丙因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．11.【答案】【解析】如果，那么代数式的值是 ．．12.【答案】方法一：方法二：【解析】如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则．量角器量取即可．∵，，又∵，，∴．13.【答案】【解析】如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点，则关于的不等式的解集是 ．由图象可得当时，．14.【答案】【解析】用一组，的值说明命题“若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是 ， ．; 不唯一，，即可．15.【答案】【解析】如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦的距离为 ．延长交与点，连接．≌，∴，∵是直径，∴，∵是的中点，过作，∴是的中位线，∴．16.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．第一次成绩第二次成绩甲乙在位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高．在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 ．(填“甲”或“乙”)．甲在位同学中，有个同学横的横坐标比纵坐标大，所以有位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为：；在甲、乙两位同学中，根据甲、乙两位同学的位置可知第一次和第二次成绩的平均分差不多，而甲的气泡大，表示三次成绩的平均分的高，所以第三次成绩高的是甲．故答案为：甲．三、解答题（共68分）17.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：∵，，∴．在 中，．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（ ）（填推理的依据）．画图见解析．；；一组邻边相等的平行四边形是菱形．解析见图片，如下图：∵，，∴ ．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形 ）（填推理的依据）．18.【答案】【解析】计算：．．原式．19.【答案】【解析】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．原不等式的解集为；画图见解析．，，，．在数轴上表示如图所示：20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根．若方程有一根大于，求的取值范围．证明见解析．．∵．（2）∴方程有两个实数根．，∴，∴，．∵若方程有一根大于，∴，∴．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，在中，，为中点，，且．求证：四边形是矩形．连接交于点，若，，求的长．证明见解析．．∵，，∴四边形是平行四边形，∵，为中点，∴，∴，∴四边形是矩形．∵四边形是矩形，∴ ，∵，，∴，，∴，∵，∴∴，∴．故答案为：．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．求和的值．设点是双曲线上一点，直线与轴交于点，若，结合图象，直接写出点的坐标．，．或．把代入，得，把代入，得．或．23.年中国北京世界园艺博览会已于年月日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是万人，佳佳等名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．参观时间的频数分布表如下：时间（时）频数（人数）频率合计．参观时间的频数分布直方图如下：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】频数人数时间时（）根据以上图表提供的信息，解答下列问题：这里采用的调查方式是 ．表中，， ．并请补全频数分布直方图．请你估算五一假期中平均每天参观时间小于小时的游客约有多少万人？抽样调查;;画图见解析．万人．同学们随机调查了部分游客，所以是抽样调查．①由表格中一组中，人数是人，频率为，得总人数：（人），所以．②人，所以．③人，所以．解析见图片，如下图：频数人数时间时（）在样本数据中，小于小时共占．所以约占（万人）．24.如图，⊙是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求证：是⊙的切线．若，⊙的半径为，求的长．证明见解析．．如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴， ∵是⊙的半径，∴是⊙的切线．如图，作于点，由（）可知，，∵，∴， 在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴．25.（1）（2）（3）（1）【答案】如图，点是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作交于点，连接，已知，，设，两点间的距离为，的面积为．（当点与点，重合时，的值为．）小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度约为 ．（2）（3）（1）（2）（3）【解析】画图见解析．或画图，测量，时，，故面积：．故答案为：画出函数图象．在图象中，可找到当时，或．故答案为：或．26.（1）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标．（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点，若，，求的值．已知，，在（）的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．．．或．∵，∴抛物线的顶点坐标为．由对称性可知，点到直线的距离为，∴，∴，∵，∴．的取值范围为：或．27.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．求证：．延长交于点，求证：为的中点．若的边长为，直接写出的最大值．证明见解析．证明见解析．．（1）（2）【解析】∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴是等边三角形，在等边和等边中，，，，∴，在和中，，∴≌，∴．如图，过点作交的延长线于点，∴，∵，，∴，∴，由（）可知，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，（3）∴，即为的中点．．28.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）【解析】对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：为图形上任意一点，为直线上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形和直线之间的“确定距离”，记作（，直线）．已知，．求（，直线）．⊙的圆心为，半径为，若（⊙，直线），直接写出的取值范围．记函数，的图象为图形．若（，直线），直接写出的值．．．或．∵，，∴是等腰直角三角形，如图，作于点，x2y24O ∴点是的中点．∵，∴（点，直线）．如图所示，①当圆在直线右侧时，作，x246y–224O（3）且时，（⊙，直线），由题意得为等腰直角三角形，∴，∴．②当圆在直线左侧时，由对称性得，∴，综上，．①当时，如图函数图象，∴，即，解得，∵，即，将代入中，得．②当时，如图图象，∴，即，解得，∴，即，将代入中，得，综上所述：或．。

北京市东城区2019届高三5月综合练习（二模）理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则（）A. 或________B. 或C. D.2. 下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.3. 若满足，则的最大值为（）A. B. C. D.4. 设是非零向量，则“ 共线”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件________B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件5. 已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，，则A. B. C. D.6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的，，，则程序框图计算的是A.B.C.D.7. 动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是A. B. C.D.8. 据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立二、填空题9. 复数在平面内所对应的点的坐标为 __________ ．10. 在极坐标系中，直线与圆相切，则__________ ．11. 某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门．若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有 ____ 种.（用数字作答）12. 如图，在四边形中，，，，，，则 _________ ；三角形的面积为 ___________ .13. 在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则______ ．14. 已知函数 .①若有且只有个实根，则实数的取值范围是 __________ ．②若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是 __________ ．三、解答题15. 已知函数 .（1）若，求的值；（2）若在上单调递减，求的最大值 .16. 小明计划在 8 月 11 日至 8 月 20 日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，以下为舒适，为一般，以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月 1 1日至 8 月1 9 日中的某一天到达该主题公园，并游览天 .（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，∥ ，为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18. 设函数） .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围 .19. 已知椭圆：的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明：点关于直线的对称点在直线上．20. 对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若 , 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量 .(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

2019年北京各区二模理科数学分类汇编---解析几何1.（2019西城二模理科）设f 是平面直角坐标系xOy 到自身的一个映射，点(,)P x y 在映射f 下的像为点(,)22y xQ -，记作()Q f P =，已知11(16,8),()n n P P f P +=，其中1,2,3,...,n =，那么对于任意的正整数n ，则（ ）(A) 存在点M ，使得10n MP ≤；(B) 不存在点M ，使得n MP ≤(C) 存在无数个点M ，使得n MP ≤(D) 存在唯一的点M ，使得n MP ≤答案：C考点：映射，两点之间距离。

解析：1(16,8)P ，21()P f P =＝(,)22y x Q -＝(4,8)-，即2P (4,8)-，同理，可得：3P (4,2)--，4P (1,2)-，51P (1,)2－，…， 随着正整数n 的增大，n P 与原点的距离越近， 显然P 1，P 3的距离最大，｜P 1P 3，以P 1P 3为直径作圆，显然其它点都在圆内，设P 1P 3的中点为Q ，显然QP 1＝QP 3＝＞10，所以，A 错；当点M 在Q 点时，有n MP ≤B 也错；以Q小圆上有无数个点M 都符合n MP ≤所以，C 正确。

同理可知D 错误。

2.（2019西城二模理科）以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为答案：2214y x -= 2y x =±考点：椭圆与双曲线的性质。

解析：椭圆中：a b ＝2，所以，c ＝1椭圆在x ，0），0），焦点为：（－1,0），（1，0），依题意，双曲线中，c ，a ＝1，所以，b ＝2，双曲线方程为：2214y x -=，渐过线方程为：2y x =±3.（2019西城二模理科）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。

2019年北京各区二模理科数学分类汇编---平面向量1.（2019东城二模理科）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为(A)1m n +=(B) 1m n +=- (C)1mn = (D)1mn =- 答案：C考点：平面向量共线的性质。

解析：因为,,A B C 三点共线，所以，AB AC λ=，即()a mb na b λ+=+，所以，有1n m λλ=⎧⎨=⎩，解得：1mn = 2.（2019朝阳二模理科）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC =π3，∠ACB ≠π2，BC =1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最大值是（ ） A. 13B. 12C. √33D. 23【答案】C【解析】 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-，0），C （，0），P （0，0），设A （x ，y ），则x ＜0，设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，由到角公式得：=tan， 化简得：x 2+（y-）=，则x 2， 则-≤x ＜0， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是，故选：C ．先建系，再由到角公式得：=tan ，化简得：x 2+（y-）=，则x 2，则-≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．3.(2019昌平二模理科)设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 答案：B考点：充分必要条件，平面向量。

解析：存在实数λ，使得=λa b ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，||||||+=+a b a b 成立，当,a b 反向时，||||||+=+a b a b 不成立，所以，充分性不成立。

2019年北京各区二模理科数学分类汇编---不等式与线性规划1.（2019西城二模理科）因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次。

由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出。

已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况是 （写出所有正确的图标序号）答案：①③考点：统计图。

解析：设每月1日购买的相同金额为m 万元，图①中，购买4次的数量和为：1.250.75m m m m +++＝44253m m m ++＝6215m ＞4m ， 总支出：4m 万元， 总收入：62 1.2515m ⨯＞4m ， 没有亏本。

图②中，购买4次的数量和为： 1.250.75 1.25m m m m +++＝444535m m m m +++＝5915m ＜4m ， 总支出：4m 万元， 总收入：59115m ⨯＜4m ， 亏本了。

图③中，购买4次的数量和为：1.250.750.5m m m m +++＝44253m m m m +++＝7715m ＞4m ， 总支出：4m 万元， 总收入：77115m ⨯＞4m ， 没有亏本。

所以，选①③2.（2019东城二模理科）设关于,x y的不等式组0,20,10xx ymx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m的取值范围是.答案：()12,0(,)2-+∞考点：线性规划。

解析：直线2x＋y＝0化为：y＝－2x，直线mx－y＋1＝0过定点A（0,1），如上左图，当直线mx－y＋1＝0的斜率在（－2,0）变化时，可得△ABO为钝角三角形，即m∈（－2,0）；上右图中，过A的直线垂直2x＋y＝0时，斜率为12，直线绕A逆时针旋转到与y轴接近重合时，都满足三角形ABO为钝角三角形，所以，有m＞12，综上，可得：m的取值范围是()12,0(,)2-+∞3.（2019朝阳二模理科）已知实数x，y满足 ，，能说明“若z=x+y的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是______．【答案】（2，2）【解析】解：实数x ，y 满足的可行域以及x+y=4的直线方程如图： 能说明“若z=x+y 的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）．故答案为：（2，2）．画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．4.（2019昌平二模理科）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为(A) 2- (B) 1- (C) 1 (D) 3答案：B考点：线性规划。

2019年北京各区二模理科数学分类汇编---三角函数1.（2019西城二模理科）在ABC ∆中，若,a b ==，则三个内角中最大角的余弦值为答案：4-考点：余弦定理。

解析：a =，所以，a ＞b ，b =，所以，b ＞c ，所以，a ＞b ＞c ，根据大边对大角，显然∠A 最大，cosA ＝22222224b c a bc +-== 2.（2019西城二模理科）已知函数()cos(2)2sin cos 6f x x x x π=-+(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将函数()f x 的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的函数解析式为()g x ，求()g x 的单调递增区间．(Ⅰ) ())6f x x π=+；(Ⅱ) 2[,]()36k k k z ππππ-+-+∈3.（2019东城二模理科）将函数sin 22yx x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π= .答案：考点：三角恒等变换，三角函数图象的平移变换。

解析：sin 22yx x =＝2sin(2)3x π-，图象向左平移6π个单位长度，得：()y g x =＝2sin[2()]2sin 263x x ππ+-=， 5()6g π＝552sin(2)2sin 2sin(2)633ππππ⨯==-=4.（2019东城二模理科）如图，在四边形ABCD 中，2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（Ⅰ）求CAD ∠的正弦值；（Ⅱ）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.解：（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得sin 7DAC ∠= ............................6分（Ⅱ）由已知得4ABCACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=因为sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以cos 7CAD ∠==.因此AB = ...............13分5.（2019朝阳二模理科）在△ABC 中，，c =4，，则b =（ ）A.B. 3C.D.【答案】B 【解析】解：∵，c=4，，∴sinC==，∴由正弦定理，可得：，解得：b=3．故选：B ．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算得解b 的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．6.（2019朝阳二模理科）已知函数． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当，时，求证： ．【答案】解：（Ⅰ） =， =，所以f （x ）的最小正周期．证明：（II ）因为 ， ，即 ， ，所以f （x ）在 ，上单调递增．当时，即时， ． 所以当，时， ． 【解析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.（2019昌平二模理科）在ABC V 中，三边长分别为3,a b c ===其最大角的余弦值为_________,ABC V 的面积为_______.答案：10考点：余弦定理，三角形面积公式。

2019年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）=（）A．B．C．D．【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解析】：解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）设a=log4π，π，c=π4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】：对数值大小的比较．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵0＜a=log4π＜1，π＜0，c=π4，＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4•a8=4，则a5•a6•a7=（）A．4 B．8 C．16 D．64【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等比数列的性质可得a6=2，而a5•a6•a7=a63，代值计算可得．【解析】：解：∵{a n}为各项都是正数的等比数列且a4•a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4•a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5•a6•a7=a63=8，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2【考点】：众数、中位数、平均数；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】：解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题5．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解析】：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．6．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．[1，11] C．[1，3] D．[﹣1，11]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值=﹣1，x≥0时，直线方程为：y=﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（）A．336 B．355 C．1676 D．2019【考点】：数列与函数的综合．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解析】：解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，2019=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f （2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．8．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：压轴题．【分析】：首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解析】：解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．【点评】：本题考查对新规则的阅读理解能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解析】：解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（5分）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．【解析】：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4【点评】：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．11．（5分）若直线为参数）与曲线为参数，a＞0）有且只有一个公共点，则a=．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可．【解析】：解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方程为（x﹣4）2+y2=a2（a＞0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d===a，即a=，故答案为：．【点评】：本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．12．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a．【解析】：解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线=1，可得y=±b，由题意可得，b=2b，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解析】：解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．【点评】：本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．14．（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q 分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．其中所有正确命题的序号为①②③．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．【解析】：解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，正确．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．综上可得：只有①②③正确．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【考点】：三角函数的最值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【解析】：解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为【点评】：本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．16．（13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解析】：（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（4分）（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．X为分布列为：．…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．因为G为DE的中点，所以HG∥CE．因为CE⊄平面AGF，HG⊂平面AGF，所以CE∥平面AGF．（Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=．因为BG2+BE2=GE2，所以GB⊥BE．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB，侧面BEFC∩侧面ADEB=BE，GB⊂平面ADEB，所以GB⊥平面BEFC．（Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz．假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°．平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]．，E（0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=λ，，所以PGE的法向量为．因为m•n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．18．（13分）已知函数f（x）=x+a•e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．【解析】：解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增．所以f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a与f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以当e﹣3＜a＜e3时命题成立；（3）当0＜a≤e﹣3时，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当0＜a≤e﹣3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（﹣2，0），M（x1，y1），可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论．【解析】：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）．由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0（*）．设A（﹣2，0），M（x1，y1），则﹣2，x1是方程（*）的两个根，所以．所以．=．．则．设直线OP的方程为：y=kx．由得（1+4k2）x2﹣4=0．设P（x0，y0），则，．所以，．所以|AM|•|AN|=2|OP|2．【点评】：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：综合题；新定义．【分析】：（1）依题意，可求得S n+1=2S n+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{b n}是等比数列；（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得a n=，由a n+1≥a n，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有C n=2n+1，依题意由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．【解析】：解：（1）a n+1=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，∵a n+1≥a n，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．。

北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知复数2(1)(1)z a a i =-++，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ B ）A ．2B ．1C ．1±D ．1-2.对于非零向量a ，b ，“2+0a b =”是“a//b ”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图,输出的T 等于（C ）A .10B .15C .20D .304.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（ D ） A ．15π B ．18πC ．22πD ．33π5. 已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ A ）A.1[,0]3-B. 1(,]3-∞C. 1(0,]3D. 1(,]3-∞- 6.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ C ）A . 9[,3)4B . 9(,3)4C . (2,3)D . (1,3)7.已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A .(0,)6πB .(,)64ππC . (,)43ππD . (,)32ππ8. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()aa a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A ) A ．216B ．108C ．48D ．24第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．9. 命题“000,x x ex ∃∈>R ”的否定是 ．10. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．11.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为 ，样本数据落在[2,10)内的频率为 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1,:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）和直线46,:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩ （t 为参数），则直线l 与圆C 相交所得的弦长等于 ．13. 在函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0)A ω>>的一个周期内，当9π=x 时有最大值21，当94π=x 时有最小值21-，若)2,0(πϕ∈，则函数解析式)(x f = ． 14. 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若11a =，22a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++， 且121n n a a ++≠，则123a a a ++=_______________，2010S =_______________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos 2A C += （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若3a =，b =，求c 的值．16．（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求证：PE CD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求FT MN ⋅的值；（Ⅲ）求证：FT 是MF 和NF 的等比中项．19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-． （Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，设1223341n nn T cc c c c c c c +=++++， 若对一切*n ∈N 不等式4(2)n n mT n c >+恒成立，求实数m 的取值范围．20.(本小题满分14分)已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． (Ⅰ) 若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (Ⅱ) 设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．x ∀∈R ，x e x ≤ 10 11．32，0.412． 13．1sin(3)26x π+ 14．6，4020 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos2A C +=A B C π++=，所以sinsin()2223B AC π+=-=．…………………………………3分 所以 21cos 12sin 23B B =-=．………………………………………7分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．…………………………………………………………11分解得1c =．…………………………………………………………………13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则3111433331227()55C C C C P A C ⋅⋅⋅==．…………………………………………………5分 （II ）由题意X 所有可能的取值为：1，2，3，4.…………………………………6分31211(1)220P X C ===； 212133333331219(2)220C C C C C P X C ⋅+⋅+===； 21123636333126416(3)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====； 211239393331213634(4)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====．……………………………………………………………10分随机变量X 的均值为11916341551234220220555544EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥．……………………………………………………………2分 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．…………………………………………………4分 而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．……………………………………………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =．因为△PAB 是等边三角形，可求得PE =．所以111(12)2332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯=9分 （Ⅲ）解：以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D，P ．(2,1,0)ED =，EP =，(1,1,PC =-．设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．由0,0.ED EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x y +=⎧⎪=令1x =，可得(1,2,0)=-n ．………………………12分 设PC 与平面PDE 所成的角为θ．||3sin cos ,5||||PC PC PC θ⋅=<>==n n n ．所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35． …………………………………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠．因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >． 又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以452p+=，可得2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =．………………………………………………3分（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．由21,4.y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则124x x k +=，124x x =-．……………………………………………………6分2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．由于24x y =，所以'12y x =． 切线MT 的方程为1111()2y y x x x -=-， ①切线NT 的方程为2221()2y y x x x -=-． ②由①，②，得1212(,)24x x x x T +．…………………………………8分则1212(,1)(2,2)24x x x x FT k +=-=-．所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=．………………………10分 （Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTk k =+-=+．由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++244k =+．所以2FTMF NF =⋅．即FT 是MF 和NF 的等比中项．…………………………………………………13分 19．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②①-②得 1144n n n a a a +-=-．所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-．…………………………………………………2分 又12n n n b a a +=-，所以12n n b b -=．因为11a =，且12141a a a +=+， 所以21314a a =+=． 所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2nn b =，则211log 33n n c b n ==++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++ 1144n =-+ 4(4)nn =+．……………………………………………………………………9分由4(2)n n mT n c >+，得243mn n n n +>++． 即(4)(2)(3)n n m n n ++>+．所以22683n n m n n++>+．所以22383811333n m n n n n n +>+=+++++．……………………………………11分 设238()133f x x x x=++++，1x ≥． 可知()f x 在[1,)+∞为减函数，又15(1)4f =，则当n ∈*N 时，有()(1)f n f ≤．所以154m >． 故当154m >时，4(2)n n mT n c >+恒成立．…………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ) '21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--=-+ 22(1)2(1)x ax x x +-=+22(22)1(1)x a x x x +-+=+．………………………………………3分 因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立．即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立．当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-≤+． 设1()g x x x=+，(0,)x ∈+∞．1()2g x x x =+≥=． 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2． 所以222a -≤． 所以2a ≤．所以a 的取值范围是(,2]-∞．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设0m n >>，则1mn>． 要证ln ln 2m n m nm n -+<-， 只需证112ln m m n n m n-+<， 即证2(1)ln 1m m n m n n ->+．只需证2(1)ln 01m mn m n n-->+．……………………………………………………………11分设2(1)()ln 1x h x x x -=-+． 由(Ⅰ)知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >， 所以()(1)0m h h n>=． 2(1)ln 01m m n m n n-->+所以l n l n m n m m n -+<-．………………………………………………………14分。