不可压缩流体动力学基础

不可压缩流体动力学基础

1．已知平面流场的速度分布为xyxux2，yxyuy522。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。

解：（1）线变形速度：yxxuxx2

54xyyuyy

角变形速度：xyyuxuxyz222121

旋转角速度：xyxuxuxyz222121

将点（1，-1）代入可得流体微团的1x，1y；23/z；21/z

2．已知有旋流动的速度场为322yux，xzuy32，yxuz32。试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。

解：旋转角速度：2121zuyuyzx

2121xuzuzxy

2121yuxuxyz

角变形速度：2521zuyuyzx

2521xuzuzxy

2521yuxuxyz

由zyxdzdydx积分得涡线的方程为：

1cxy，2cxz 3．已知有旋流动的速度场为22zycux，0yu，0zu，式中c为常数，试求流场的涡量及涡线方程。

解：流场的涡量为：

0zuyuyzx

22zyczxuzuzxy

22zycyyuxuxyz

旋转角速度分别为：0x

222zyczy

222zycyz

则涡线的方程为：cdzdyzy

即cydzzdy

可得涡线的方程为：ccy22

4．求沿封闭曲线2 22by x,0z的速度环量。（1）Axux，0yu；（2）Ayux，0yu；（3）0yu，rAu。其中A为常数。

解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z=0的平面上的圆周线。

在z=0的平面上速度分布为：

Axux，0yu

涡量分布为：0z

根据斯托克斯定理得：0zAzsdA

（2）涡量分布为：Az

根据斯托克斯定理得：2bAdAzAzs （3）由于0ru，rAu

则转化为直角坐标为：22bAyyrAux，2bAxuy

则22bAyuxuxyz

根据斯托克斯定理得：AdAzAzs2

5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？

答：不可压缩流体连续性方程

直角坐标：0zuyuxuzyx （1）

柱面坐标：0zurururuzrr （2）

（1）0,,zyxukyukxu 代入（1） 满足

（2）yxuxzuzyuzyx,, 代入（1） 满足

（3）0),(),(2222zyxuyxkuyxyxku 代入（1） 不满足

（4）0,sin,sinzyxuxykuxyku 代入（1） 不满足

（5）0,,0zrukruu 代入（2） 满足

（6）0,0,zruurku 代入（2） 满足

（7）0,sin2,cossin22zrururu 代入（2） 满足

6．已知流场的速度分布为yxux2，yuy3，22zuz。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。

解：yxyxxyxyyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxx22322320320

yzuuyuuxuutuayzyyyxyy9

28zzuuyuuxuutuazzzyzxzz

将质点（3，1，2）代入ax、ay、az中分别得：

27xa，9ya，64za 7．已知平面流场的速度分布为2224yxytux，222yxxuy。求0t时，在（1，1）点上流体质点的加速度。

解：

2222222222222420222244yxyyxyxxyxyxyxytyuuxuutuaxyxxxx当0t时，2222222222284yxyxxyxxyax

将（1，1）代入得3xa

22222222222224242240yxxyyxxyxxyxyxytyuuxuutuayyyxyy

当t=0时，将（1，1）代入得：1ya

8．设两平板之间的距离为2h，平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。

解：z方向速度与时间无关，质量力：gfx

运动方程：z方向：2210dxudzp

x方向：xpg10

积分：)(zfgxp

∴p对z的偏导与x无关，z方向的运动方程可写为zpdyud122

积分：21221CxCxzpu

边界条件：hx，0u

得：01C，221hzpC

∴22)(12hxzphu

9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为sinybyu222；（2）单位宽度上的流量为sin33bq。

解：x方向速度与时间无关，质量力singfx，cosgfy

运动方程：x方向：221sin0dyudxpg ①

y方向：ypg1cos0 ②

②积分)(cosxfgyp

by app )(cosxfgba

∴cos)(yhgppa

∵b常数 ∴p与x无关

①可变为sin22gdyud

积分)21(sin212CyCygu

边界条件：0y，0u；by， 0dydu

∴bC1，02C

∴sin)2(2)2(2sin2ybyrybygu

sin3sin)2(23200bdyybyudyQbb

10.描绘出下列流速场

解：流线方程：

yxudyudx

（a）4xu，3yu，代入流线方程，积分：cxy43 直线族

（b）4xu，xuy3，代入流线方程，积分：cxy283

抛物线族

（c）yux4，0yu，代入流线方程，积分：cy

直线族

（d）yux4，3yu，代入流线方程，积分：cyx232

抛物线族

（e）yux4，xuy3，代入流线方程，积分：cyx2243

椭圆族

（f）yux4，xuy4，代入流线方程，积分：cyx22

双曲线族

（g）yux4，xuy4，代入流线方程，积分：cyx22

同心圆

（h）4xu，0yu，代入流线方程，积分：cy

直线族

（i）4xu，xuy4，代入流线方程，积分：cxy22

抛物线族

（j）xux4，0yu，代入流线方程，积分：cy

直线族

（k）xyux4，0yu，代入流线方程，积分：cy

直线族

（l）rcur，0u，由换算公式：sincosuuurx，cossinuuury

220yxcxrxrcux，220yxcyryrcuy

代入流线方程积分：cyx

直线族

（m）0ru，rcu，220yxcyrxrcux，220yxcxrxrcuy

代入流线方程积分：cyx22

同心圆

11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？

解：无旋流有：xuyuyx（或rruur）

（a），（f），（h），（j），（l），（m）为无旋流动，其余的为有旋流动

对有旋流动，旋转角速度：)(21yuxuxy

（b）23 （c）2 （d）2 （e）27

（g）4 （i）2 （k）x2

12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。

解：势函数dyudxuyx

流函数dxudyuyx

（a）yxdydx3434

yxdxdy4334

（e）yyxxxdydxyxdyydx0034340

取),(00yx为)0,0(则

积分路线可选

其中0,0:0,0,0ydyx

xxdxyxx,0:,0,

)34()30(0000yyxxxdyydxxdydxxyxy3)30()00(

2223234xyxdxydy

其他各题略

13.流速场为rcuuar,0)(，ruubr2,0)(时，求半径为1r和2r的两流线间流量的表达式。