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正比例函数的性质及图像

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第十九章一次函数
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第2课时正比例函数的图象与性质教学设计
【探究1】
用描点法画出正比例函数y = 2x的图象.
练习：在同一直角坐标系中用描点法画岀正比例函数y=3x的图象.
3
思考：对一般正比例函数y= kx,当k> 0时，它的图象形状是怎样的？位置
呢？
在k>0的情况下，图象是左低右高还是左高右低？
当自变量的值增大时，对应的函数值是增大还是减小？
【探究2】
当k v0时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？
请各小组画出函数y= —3x和y=—1.5x的图象，小组间进行合作研究.
［师生活动］让学生在完成上述练习的基础上总结归纳岀正比例函数解析式与
图象特征之间的规律：
正比例函数y= kx（k是常数，k工0）的图象是一条经过原点的直线. 当k>0
时，图象经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y 也增大；当k<0时，
图象经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y反而减小.
正是由于正比例函数y= kx（k是常数，k工0）的图象是一条直线，我们可以
称它为直线y= kx.
【探究3】
正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们知道，两点确
定一条直线，现在，你知道画正比例函数图象的简便方法了吗？
［师生活动］教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1)y = ；x; (2)y = —3x.
活动
实践
探究
交流
新知
让学生观察、分析、
讨论、对比图象的异同：
发现函数图象的性质.
在多个实例的基础
上,归纳得到正比例函数图
象的性质，潜移默化地对
学生渗透了概括、归纳、
比较、分析等数学思想方
法.
［学生活动］学生合作探究交流得出结论：
画正比例函数的图象时，只需在原点外再确定一个点，即找岀一组 满足函数解析
式的对应数值即可
，如（1, k ）,因为两点可以确定一条直线
例 在同一直角坐标系中，画岀下列函数的图象，并对它们进行比 较.
1 1
(1)y = 2x ; (2)y = - 2x.
图 19- 1 -
［师生活动］比较两个函数图象可以看出： 两个图象都是经过坐标原点
1
的直线.函数y = 2x 的图象从左向右上升，经过第一、三象限，即随着x
1
的增大y 也增大；函数y =— -x 的图象从左向右下降，经过第二、四象 限，即随着x 的增大y 反而减小. 【应用举例】
例1汽车由天津驶往相距120千米的北京，s （千米）表示汽车离开 天津的距离，t （时）表示汽车行驶的时间，s 与t 之间的关系如图19-2-7
活动
实践 探究 交流 新知
教师引导学生用简 便方法画正比例函数的 图象，并利用此例让学 生巩固正比例函数图象 的性质.
活动
开放
训练
体现
应用
图19-2 - 7
活动
开放训练体现应用
(1) 汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
(2) 汽车行驶1小时，离开天津有多远？
(3) 当汽车距北京20千米时，汽车岀发了多长时间？解法
一：用图象解答：
(1) 从图上可以看出汽车用4个小时可到达北京.
120
速度=~4~ = 30(千米/时).
(2) 汽车行驶1小时离开天津约为30千米.
(3) 当汽车距北京20千米时，汽车出发了约3.3小时. 解法
二：用解析式来解答：
(1)由图象可知：s与t是正比例关系，
设s= kt，当t = 4 时，s= 120，
即120 = k x4，k= 30，
•*s= 30t.
(1) 汽车4小时可达到北京，速度为30千米/时.
(2) 当t= 1 时，s= 30X1 = 30(千米).
10
(3) 当s= 100 时，100= 30t，t= 3 (时).
3
以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有
优点.
【拓展提升】
ty
图19-2-8
例2观察图象比较大小：
(1) k1__ =_k2；
(2) k3__<.__k4；
(3) 比较k1，k2，k3，k4的大小，并用不等号连接.[答案：k1< k2< k3
< k4]
变式训练
1.当k>0时，正比例函数y= kx的图象大致是(A )
A B C D
图19-2-9
2.已知正比例函数y = (3k- 1)x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是
(D )
1 1
A.k< 0
B.k> 0
C.k< 3
D.k >3
应用迁移、巩固提高，
培养学生解决问题的能
力.
1•知识的综合与拓
展，提高应考能力.
2.进一步使学生巩
固正比例函数的性质使
学生体验数形结合思想
的运用过程.。

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正比例函数的图像及性质

正比例函数的图像及性质


-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
4
5
x
正比例函数图象的性质：
一般地，正比例函数y=kx(k是常数,k≠0) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直 线y=kx. 过（0，0）和（1，K ）作直线
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx
k＞0 k＜0
m2 ，它 例2.已知正比例函数y=(m+1)x
的图像经过第几象限？
2.已知:正比例函数y= (2-k)x 的图像经过第二.四象限,则函数 y=-kx的图像经过哪些象限？ 二、四象限
3.如果 y (1 m ) x 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
m 2 2
3
思考
y
③
如图,三个正比例函数的图像分 别对应的解析式是 ①y=ax② y=bx ③ y=cx,则a、b、c的 大小关系是( C ) A.a>b>c B.c>b>a ② C.b>a>c D.b>c>a ①
升．所使用的90#汽油今日涨价到5元/升． （1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与 行程 x（km）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数关 系图；
（3）计算娄底到长沙220 km所需油费是多少？
y
0
0
1
2
2
4
3 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3
y=2x y=x
4
5
x
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
y=-x
y=-2x
y
y=-2x
5 4 3 2 1 1 2 3
12.2.1正比例函数的图像与性质课件

12.2.1正比例函数的图像与性质课件


解:函数y=2x 的自变量的取值范围是任意实数,列表表示 几对对应值: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y …
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345
-6 y
-4
-2
0
2
4
6
…
y=2x
1 2
3
4
5
x
练习:画出正比例函数y=-2x的图象？
解：列表
y=-2x
y
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
x
x
0
1
y
0
-3
-3 -2 -1 0 12 -3 -
(四）巩固练习：
0 1.正比例 函数 y=-4x的图像是经过（ 0，）和
（ 1，-4 ）两点的一条直线， y随x的————
增大而减小。
2. 正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则
m的取值范围是 ( B)
A.m=1
B.m＞1
C.m＜1
D.m≥1
x …
-3 6
-2 4
-1 2
0 0
1 -2
2 -4
3 -6
… …
Y …
-5 -4 -3 -2 -1 0 12345
发现你 画出的 图象与 x y=2x的 图象相 同吗? ?…
比较刚才两个函数的图象的相同点和 观察 不同点,考虑两个函数的变化规律.
思考:经过原点和 5 4 (1,k)的直线是哪个 3 函数的图象?画正比 2 例函数的图象时 ,怎 1 样画最简单 ? 为什么 ? -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
1 1 y x y x 的图象。 在同一坐标系中画出 2 与 2
函数的正比例知识点总结

函数的正比例知识点总结

函数的正比例知识点总结1. 定义和特点正比例函数是描述两个变量之间成正比关系的函数。

在正比例函数y=kx中，k被称为比例系数，表示y和x之间的比例关系。

当x增加时，y也随之增加；x减少时，y也随之减少。

因此，正比例函数的图象通常是一条通过原点的直线。

正比例函数的特点如下：- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)，因为当x=0时，y=0，即k*0=0。

- 一般形式：正比例函数的一般形式为y=kx，其中k为常数。

- 方向一致：当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。

2. 图像和性质正比例函数的图像通常是一条通过原点的直线。

例如，y=2x和y=0.5x分别表示比例系数为2和0.5的正比例函数，它们的图像分别是一条斜率为2和斜率为0.5的直线。

正比例函数具有以下性质：- 斜率固定：正比例函数的图像的斜率即为比例系数k，表示y和x之间的比例关系。

- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)。

- 正相关性：x和y之间是正相关的，即当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。

3. 实际应用正比例函数在日常生活和科学领域中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。

以下是一些实际应用的例子：- 距离和时间：当一个物体以匀速直线运动时，它的位移和时间成正比。

位移和时间之间的关系可以用正比例函数来描述，即位移=速度*时间。

- 价格和数量：在经济学中，价格和数量之间通常有着正比例的关系。

当商品的价格上涨时，消费者购买的数量通常会减少；反之亦然。

- 温度和压强：在物理学中，温度和气体的压强之间也通常成正比。

当温度上升时，气体的压强也会相应上升。

4. 解题方法解决正比例函数问题的关键是确定比例系数k。

一旦得到比例系数k，就可以轻松地求出任意x对应的y值，或者求出任意y对应的x值。

另外，当已知正比例函数经过一点时，可以使用此点的坐标和函数的一般形式来求出比例系数k。

5. 难点及解决方法在学习正比例函数时，学生可能会遇到以下难点：- 理解比例系数k的意义：学生可能对比例系数k的含义不够理解，认为它只是一个数字，缺少具体含义。

高中数学--常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数

高中数学--常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数

常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。

2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k xky 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3．对勾函数()bf x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。