《线性代数》期中考试试卷
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《线性代数》期中练习
一、选择题（只有一个正确答案，每小题3分） 1. 行列式D = 0的必要条件是（ ）
(A) D 中有两行（列）元素对应成比例；
(B) D 中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0； (C) D 中有一行元素全为0；
(D) D 中任意一行各元素都可用行列式的性质化为0.
2. 若,033
32
31
232221
131211
≠==m a a a a a a a a a D 则33
32
3131
23222121
13
1211111254254254a a a a a a a a a a a a D ---==( ) (A) –40m (B) 40m (C) –8m (D) 20m 3. 设A ,B 均为n 阶方阵，则必有（ ）.
(A) |A+B | = |A |+|B | (B) AB = BA (C) |AB | = |BA | (D) (A+B ) –1 = A –1 +B –1 4. 设A , B 均为n 阶非零矩阵，且AB = 0, 则R(A )，R(B )满足( ).
(A) 必有一个等于0； (B) 都小于n; (C) 一个小于n ，一个等于n; (D) 都等于n.
5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--100'2B A =( ).
(A) (–2)n |A ||B –1| (B) –2|A '||B | (C) –2|A ||B –1| (D) (–2)2n |A ||B –1|
6. 设A , B , C 为n 阶方阵，AB = BA ，AC = CA ，则( )不一定成立.
(A) ABC = BCA (B) ABC = CBA (C) ABC = BAC (D) CBA = CAB 7. 设向量组(I)为 α1=(a 11, a 12, a 13)，α2=(a 21, a 22, a 23)，α3=(a 31, a 32, a 33)，向量组(II)为β1=(a 11, a 12,
a 13, a 14), β2=(a 21, a 22, a 23, a 24)，β3=(a 31, a 32, a 33, a 34), 则( )
(A) (I)组线性相关⇒(II)组线性相关； (B) (I)组线 性无关⇒(II)组线性无关； (C) (II)组线性无关⇒(I)组线性无关； (D) (I)组线性无关⇔(II)组线性无关. 8. 已知β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( ).
(A) α1，α2，α3线性相关； (B) α1，α2，α3线性无关； (C) α1可用β，α2，α3线性表示； (D) β可用α1，α2线性表示.
9. 若向量β可由向量组A : α1, α2, … αm 线性表示, 那么向量组B : α1, α2, … αm , β的秩( )
(A) 大于A 的秩 (B) 小于A 的秩 (C) 等于A 的秩 (D) 与A 的秩无关 10. 设C m ⨯n = A m ⨯s B s ⨯n , 则( ).
(A) C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示； (B) C 的列向量组可由B 的列向量组线性表示； (C) A 的行向量组可由C 的行向量组线性表示； (D) B 的行向量组可由C 的行向量组线性表示. 二、填空题（每小题3分）
1. 设x
x
x
x x x x f 4124
1
21021
32)(=
，则x 3项的系数为_____________.
2. n 阶行列式
a
b b a a b a b a 0000000
0000
00000 =________________________.
3. 方程
027
819
4
1321111
13
2
=x x
x 的全部根是___________________.
4. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且R (A )=2，则a =____________.
5. 设A 为3阶方阵，且|A |=4，则|A *-6A -1|=______________.
6. 设3阶方阵A , B 满足A 2B -A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵，若
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=102020101A ，则|B |=_________________.
7. A 是4⨯3矩阵，R (A )=3, ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=301120201B , 则R (AB ) =____________.
8. 设α1=(1, 0, 3, 5), α2=(1, 2, 1, 3), α3=(1, 1, 2, 6), α4=(1, λ, 1, 2)线性相关, 则
λ=___________.
9. 若矩阵A =(α1, α2, α3, α4)经初等行变换变为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--000
0510030210
20
01，
那么向量组α1, α2, α3, α4的一个最大线性无关组为______________, 其余向量由此最大无关组
线性表示的关系式为________________________.
10. 设3阶矩阵A = (α, γ 1, γ 2), B = (β, γ 1, γ 2), 且|A |=3, |B |=5, 则|A+B | =_________.
三、(6分)计算行列式
1
1
1
1
111111111111
--+---+---x x x x .
四、（8分）用克莱姆法则解方程组.52453⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+-=++z y x z y x z y x
五、（10分）设n 阶方阵A 和B 满足条件A+B = AB ,
(1) 证明A - E , A +E 都为可逆矩阵，其中E 为n 阶单位方阵；
(2) 若⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=200012031B , 求矩阵A .
六、（8分）求向量组α1 = (1,0,2,1) , α2 = (1,2,0,1) , α3 = (2,1,3,0) , α4 = (2,5, -1,4) , α5 = (1,-1, 3, -1) 的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组线性表出.
七、（8分）设向量组(I): α1, α2, …, αm ；(II): β1, β2, …, βm; (III): γ1, γ2, … , γm的秩分别为s1, s2, s3. 如果γi=αi-βi, (i=1,2,… , m), 证明s1≤s2+s3, s2≤s1+s3, s3≤s2+s1.。
