高考数学二轮核心考点突破：专题11-基本不等式及其应用(含答案)

y天， 该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种
设备生产A，B两类产品的情况如下表所示：
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设备
产品 A类产品/件 B类产品/件
租赁 费/元
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
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G 高考
(ɡāo kǎo)
热点突 破
5x＋6y≥50，
x＋65y≥10，
又 log4(3a＋4b)＝log2 ab，所以 3a＋4b＝ab，所以
4a＋b3＝1.
栏 目
所以
a
＋
b
＝
(a
＋
b)
a4＋b3
＝
7
＋
4b a
＋
3a b
≥
7
＋
链 接
2 4ab·3ba＝7＋4 3，
当且仅当4ab＝3ba时，等号成立．故选 D.
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栏 目 链 接
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G 高考
链 接
解法二(特殊值法) ∵a＞b＞0 且 ab＝1，
∴取 a＝2，b＝12.∴c＝a＋2 b＝45＜1，
p＝log542＜0，m＝log451＝0，n＝log5412＞0，
∴p＜m＜n.
答案 (1)C (2)p＜m＜n
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
规律方法(fāngfǎ)
a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
＝(a＋b)a－b22＋34b2＞0，∴B 错．
栏 目 链 接
而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D 错．故选 C.

1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．答案 4解析 由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y ≥2(x －y )·4x －y ＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，所以x 2＋y 2x －y的最小值为4.3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.答案 3解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15)≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________.(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)4 (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (1)32 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6. 解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性． [失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．①lg(x 2＋14)>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)， 故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的__________条件． 答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的必要不充分条件． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b)·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号， 即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．答案 7＋4 3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0. 又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4b a时取等号． 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋x y＋4≥4＋4＝8. 6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________． 答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为________．答案 2解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________． 答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3， 当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8. 11．(2015·南通二模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)12．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 答案 16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.13．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [0，4a 1] 解析 因为m 2＋1m ＝m ＋1m≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)， 所以要使不等式恒成立，则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4，因为a 1>a 2>0， 所以⎩⎨⎧ 0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1， 所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝4432，3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

高二数学基本不等式试题答案及解析1.已知且，则的最大值为 .【答案】【解析】已知且，,因此，.【考点】基本不等式的应用.2.设为正实数，满足，则的最大值为．【答案】【解析】由,原式【考点】基本不等式3.若实数满足，则的最大值___________；【答案】【解析】因为，所以【考点】基本不等式的应用4.若a，b，cÎR+，且a+b+c=1，求的最大值．【答案】【解析】解：∵()2=a+b+c+2() 3分≤1+2()=1+2(a+b+c)=3． 6分∴，当且仅当a=b=c=时取“=”号． 8分【考点】不等式的求解最值点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题5.交通管理部门为了优化某路段的交通状况，经过对该路段的长期观测发现：在交通繁忙的时段内，该路段内汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为①求在该路段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/时）②若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应限定在什么范围内？【答案】①时，（千辆/时）②【解析】解：①依题意，得=当且仅当，即时，上式等号成立，所以（千辆/时）②由条件得，整理，得即，解得答：当千米/时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时，如果要求在在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/时且小于千米/时。

【考点】基本不等式；解一元二次不等式点评：求式子的最值，方法可以结合二次函数、函数的导数、基本不等式和三角函数等。

本题就是结合基本不等式。

6.设、为正数，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当且仅当即时等号成立，所以最小值为9【考点】均值不等式点评：利用均值不等式求最值时要注意其成立的条件：都是正数，当和为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件是否满足7.设求证：【答案】可以运用多种方法。

【解析】证明[法一]：2分10分当且仅当，取“=”号。

第 5 讲 不等式及其应用1. 理解并掌握不等式的基天性质及解法．2. 掌握两个 (不扩展到三个 )正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数的定理， 并能灵巧运用其解决问题．1. 已知会合 A ＝ x|x ＋ 1>0 ，会合 B ＝ {x|y ＝ lg(x 2＋ x － 2)} ，则 A ∩B＝ ________．2－ x答案： (1， 2)分析： A ＝ (－ 1， 2)， B ＝ (－ ∞，－ 2)∪ (1，＋ ∞)，∴ A ∩ B ＝ (1，2)．2. 设 0<a<b ，a ＋ b ＝ 1，则 12， b ， 2ab ， a 2＋ b 2 中的最大的是 ________．答案： b分析：由 0＜ a ＜b ，a ＋ b ＝ 1，得 0＜ a ＜ 1，1＜b ＜ 1，则 b －(a 2＋ b 2)＝ b －b 2－ (1－ b)2＝(2b 2 2－ 1)(1－ b)＞ 0.3. 已知 f(x) ＝ log 2 (x － 2)，若实数 m 、n 知足 f(m) ＋ f(2n) ＝ 3，则 m ＋ n 的最小值是 ________．答案： 7分析：由 log 2(m － 2)＋ log 2(2n － 2)＝3，得 (m － 2)(n － 1)＝ 4，则 m ＝ n －41＋ 2，因此 m ＋ n＝ 4 ＋ 2＋ n ＝ 4＋ (n － 1)＋ 3≥24＋ 3＝ 7(当且仅当 “n＝3”时， 取等号 )，故 m ＋ n 的最小值 n － 1 n － 1 为 7.4. 若正数 a 、b 知足 2a ＋ b ＝ 1，则 4a 2＋ b 2＋ ab 的最大值为 ________．答案： 1716分析： 1＝ 2a ＋b ≥22ab ， ab ≤22，因此 4a 2＋b 2＋ ab ＝ 1－ 4t 24 .设 t ＝ ab ，则 0＜ t ≤ 4＋ t ＝－ 4 t －1 2＋ 17≤17.81616题型一 三个 “二次 ”之间的关系应用问题例 1 设函数 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a 、 b 、 c ∈R )．a(1) 已知 f(1)＝－ 2，① 若 f(x)<1 的解集为 (0， 3)，求 f(x) 的表达式；② 若 a>0，求证：函数 f(x) 在区间 (0， 2)内起码有一个零点．(2) 已知 a ＝ 1，若 x 1、x 2 是方程 f(x) ＝ 0 的两个根，且x 1、 x 2∈ (m ， m ＋ 1)，此中 m ∈ R ，求 f(m)f(m ＋ 1)的最大值．a ＋b ＋c ＝－ a，2 ，2a ＝ 3(1)①解：c ＝ 1， b ＝－ 2，－ b＝ 3c ＝ 1，2a2 － 2x ＋ 1.∴ f(x) ＝ x3② 证明： a ＋ b ＋ c ＝－ a ，f(0)＝ c ，f(1) ＝－ a＜ 0，f(2) ＝ 4a ＋ 2b ＋ c ＝ a － c ，若 c ＞ 0，则 f(0)2 2＞ 0， f(1)＜ 0，函数 f(x) 在(0， 1)上连续，则 f(x) 在 (0， 1)内必有一实根；若 c ≤0， a ＞0, 则 f(2) ＝ a － c ＞ 0， f(1) ＜ 0，函数 f(x) 在 (1， 2)上连续，∴ f(x) 在 (1， 2)内必有一实根．综上，函数 f(x) 在区间 (0 ，2)内起码有一个零点．(2) 解： f(x) ＝ (x － x 1)(x － x 2)，x 1、x 2∈ (m ， m ＋ 1) ，m － x 1＜ 0，m － x 2＜ 0，m ＋ 1－ x 1＞ 0，m ＋ 1－ x 2＞ 0,∴ f(m) ·f(m ＋ 1)＝ (m － x 1 )(m － x 2)(m ＋ 1－x 1 )(m ＋ 1－ x 2)＝ [(x 1 － m)(m ＋ 1－ x 1)][(x 2－ m)(m＋ 1－ x－ m ＋ m ＋ 1－x2 － m ＋ m ＋ 1－ x21，当且仅当 x ＝ x ＝ 2m ＋ 1时取等x 11· x 22＝2)]≤2161222号，∴ f(m)f(m ＋ 1)的最大值为 161.已知 f(x) ＝ x 2－ x ＋ k ， k ∈Z ，若方程 f(x) ＝ 2 在 － 1， 3上有两个不相等的实2数根．(1) 确立 k 的值；[f （ x ） ]2＋ 4(2) 求的最小值及对应的 x 值．f （ x ）g （－ 1）＝ k ＞ 0，35g 2 ＝ k －4＞ 0，5＜ k ＜9解： (1) 设 g(x) ＝ f(x) － 2＝ x 2－ x ＋ k － 2，由题设有T.＝ 9－ 4k ＞ 0， 44－－1∈ －1，322又 k ∈ Z ，∴ k ＝ 2.(2) ∵ k ＝2，∴ f(x) ＝ x 2－ x ＋ 2＝ x －1 2＋7＞0，22＋ 44∴ [f （ x ） ] ≥ 2 f （ x ） · 4＝ 4，当且仅当 f(x) ＝ 4 ，即 [f(x)] 2＝ f(x) ＋ 4f （ x ） f （x ）f （ x ） f （x ） ＝ 4 时取等号．∵ f(x) ＞ 0，∴ f(x) ＝ 2 时取等号，即 x 2－ x ＋ 2＝ 2，解得 x ＝0 或 1.故当 x ＝ 0 或 [f （ x ） ] 2＋ 4 4.1 时， 取最小值f （x ）题型二 含参数的不等式的解集问题x 2＋ c3 ，5 例 2 已知函数 f(x) ＝ ax (x ≠0，a>0)，当 x ∈ [1， 3]时的取值范围恰为 －6 .2(1) 求函数 f(x) 的分析式；(2) 若向量 m ＝ －1，1， n ＝ (k 2＋ k ＋ 2， 3k ＋1)(k> －1)，解对于 x 2解： (1) 若 c ≥0，则 x ∈ [1， 3]时 f(x)>0 ；1cf （ 1）＝－ 3，2若 c<0，f(x) ＝ ax ＋x在 [1，3]上单一递加，因此得f （ 3）＝ 5，6x 的不等式 f(x)< m ·n .a ＝ 2， x 2－4 c ＝－ 4， 故 f(x) ＝ 2x .x 2－ 4（ k 2＋ k ＋ 2） 3k ＋1， (2) 由题意， 2x <－ x ＋ 2即 x(x －2k)[x － (k ＋ 1)]<0.① 当－ 1<k<0 时，不等式的解集是 (－ ∞， 2k) ∪ (0， k ＋1)；② 当 0≤k<1时，不等式的解集是 (－ ∞， 0)∪ (2k ， k ＋ 1)；③当 k ＝ 1 时，不等式的解集是 (－∞，0)；④当 k>1 ，不等式的解集是(－ ∞，0) ∪(k ＋ 1， 2k) ．已知函数 f(x) ＝ x 2－ kx ＋ m(k ∈R ， m ≥ 0 且 m 常数 )．(1) 当 m ＝ 4，k>0 ，解不等式 f(x)>0 ；(2) 若 f(x)>0 全部正数 x 恒建立，求 数 k 的取 范 ．解： (1)＝ k 2－ 16，因 k>0，因此当 0<k<4 ， <0，不等式解 全部 数； 当 k ＝ 4 ， ＝ 0， x ≠ 2；当 k>4 ，k ＋ k 2－ 16 k － k 2－ 16 >0， x> 或 x< .2 2∴ 当 0<k<4 ，解集 R ；当 k ＝ 4 ，解集 (－ ∞，2) ∪ (2，＋ ∞)；当 k>4 ，解集k － k 2 －16k ＋ k 2－ 16(－ ∞， 2 )∪ ( 2，＋ ∞)．2－ kx ＋ m>0 得 k<x ＋ m . (2) 因 x>0，由 x x当 m>0 ，因 x ＋m≥ 2m ，因此 k<2m ；x当 m ＝0 ，因 x ＋ m＝ x>0，因此 k ≤0. x型三利用不等式解 用例 3 (2013 ·南通二模 ) 定房价，某地政府决定建筑一批保障房供 社会． 划用1600 万元 得一 土地，在 土地上建筑 10 幢楼房的住所小区，每幢楼的楼 数同样，且每建筑面 均 1 000 m 2，每平方米的建筑 用与楼 相关，第 x 楼房每平方米的建筑 用 (kx ＋ 800)元 (此中 k 常数 )． 算， 若每幢楼 5 ， 小区每平方米的均匀 合 用1 270 元． (每平方米均匀 合 用＝ 地 用＋全部建筑 用全部建筑面)(1) 求 k 的 ；(2) 要使 小区楼房每平方米的均匀 合 用最低， 将10 幢楼房建成多少 ？此每平方米的均匀 合 用 多少元？10×1 000 ×5 m 2，全部建筑 用解： (1) 假如每幢楼 5 ，那么全部建筑面[(k ＋800)＋ (2k ＋ 800)＋ (3k ＋ 800)＋ (4k ＋ 800)＋ (5k ＋ 800)] ×1000 ×10，因此 1 270＝ {16 000 000＋ [(k ＋ 800)＋ (2k ＋ 800)＋ (3k ＋ 800)＋ (4k ＋ 800)＋ (5k ＋800)] ×1 000 ×10}/(10 1×000 ×5)，解得 k ＝ 50.(2) 小区每幢 n(n ∈ N * ) ，每平方米均匀 合 用 f(n)，由 可知f(n) ＝ {16 000 000 ＋[(50 ＋800)＋ (100＋ 800)＋ ⋯ ＋ (50n ＋800)] ×1000 ×10}/(101×000 ×n)＝ 1 600＋ 25n ＋ 825≥2 1 600 ×25＋ 825＝ 1225(元)． n 当且 当1 600＝ 25n ，即 n ＝ 8 等号建立．n答： 小区每幢建8 ，每平方米均匀 合 用最低，此 每平方米均匀 合 用1225 元．某建筑的金属支架如 所示，依据要求 AB 起码 2.8 m ，C AB 的中点， B 到 D离比 CD 的 小 0.5 m ，∠ BCD ＝ 60°，已知建筑支架的资料每米的价钱必定， 怎CD 的 ，可使建筑 个支架的成本最低？的距AB 、解：设 BC ＝ a m(a ≥1.4)，CD ＝ b m ，连接 BD.1 2则在 △ CDB 中， b －2＝ b 2＋ a 2－ 2abcos60° .a 2－ 1a 2－ 1（ t ＋ 1） 2－1∴ b ＝44＋ 2a.设 t ＝ a － 1，t ≥2.8－ 1＝0.4，则 b ＋ 2a ＝t4＋a －1 .∴b ＋ 2a ＝ a － 122(t ＋1) ＝3t ＋ 3＋4≥7，等号建即刻 t ＝0.5＞ 0.4， a ＝ 1.5，b ＝ 4.4t∴ 当 AB ＝ 3 m ，CD ＝ 4 m 时，建筑这个支架的成本最低． 题型四 不等式的综合应用例 4 设 a 为实数，函数f(x) ＝ 2x 2＋ (x －a)|x － a|.(1) 若 f(0) ≥1，求 a 的取值范围； (2) 求 f(x) 的最小值；(3) 设函数 h(x) ＝ f(x) ，x ∈ (a ，＋ ∞)，直接写出不等式 h(x) ≥1的解集 (不需给出演算步骤 )．解： (1) 若 f(0) ≥1，则－ a|a| ≥1 a<0，a ≤－ 1.a 2≥ 1∴ a 的取值范围是 (－ ∞，－ 1]．(2) 当 x ≥a 时， f(x) ＝ 3x 2－ 2ax ＋a 2，f（ a ）＝ 2a 2， a ≥0，f(x) min ＝a2a2f 3 ＝ 3 ， a ＜ 0；当 x ≤a 时， f(x) ＝ x 2＋ 2ax － a 2，f(x) min ＝f （－ a ）＝－ 2a 2， a ≥ 0， 2f （ a ）＝ 2a ， a<0.－ 2a 2， a ≥ 0，综上， f(x) min ＝ 2a 23 ，a<0.(3) x ∈ (a ，＋∞)时，h(x) ≥1得 3x 2－2ax ＋ a 2－ 1≥0，＝ 4a 2－ 12(a 2 － 1)＝ 12－ 8a 2 .当 a ≤－ 62666或 a ≥ 2时 ， ≤ 0 ， x ∈ (a ， ＋ ∞)； 当 －2 ＜ a ＜2时，＞0，得x －a － 3－ 2a 2x －a ＋ 3－ 2a 2≥ 0，2633 议论得：当a ∈ 2 ， 2时，解集为 (a ，＋ ∞)；当x>a ，22a ∈ － 6，－ 2a ， a － 3－2，2时，时，解集为2a ∪ a ＋3－2a，＋ ∞ ；当 a ∈ －2 23322解集为a ＋ 3－ 2a 2 ，＋∞.3综上，当 a ∈ － ∞，－6 ∪2，＋ ∞ 时，解集为 (a ，＋ ∞)；当 a ∈ －2， 2时，解222 2集为 [a ＋26，－2时，解集为 (a ，a －223－2a，＋ ∞)；当 a ∈ －3－2a ] ∪[a ＋ 3－ 2a ，＋32233∞)．已知函数 f(x) ＝ ax 2＋ ax － 4(a ∈R )．(1) 若函数 f(x) 恰有一个零点，求 a 的值；(2) 若对随意 a ∈ [1， 2]， f(x) ≤0恒建立，求 x 的取值范围；(3) 设函数 g(x) ＝ (a ＋ 1)x 2＋ 2ax ＋ 2a － 5，能否存在实数 a ，使适当 x ∈ (－ 2，－ 1)时，函数 g(x) 的图象一直在 f(x) 图象的上方？若存在， 试求出 a 的取值范围； 若不存在， 请说明原因．解： (1) 当 a ＝ 0 时， f(x) ＝－ 4 无零点，舍去；当 a ≠0时，有 ＝ a 2＋ 16a ＝ 0，解得 a ＝－ 16 或 a ＝ 0(舍去 ) ；综上得 a ＝ －16.(2) 由题意得，由于随意 a ∈[1 ，2]， f(x) ≤0恒建立，令 H(a) ＝ ax 2＋ ax － 4＝ (x 2＋ x)a － 4，因此，此题等价于 H(a) ≤0在 a ∈ [1，2] 上恒建立 . 又 H(0) ＝－ 4.因此 H(2) ＝ 2(x 2＋ x)－ 4≤0，即 x 2＋ x － 2≤0. 又 x ≠0，解得－ 2≤x ≤1且 x ≠0.(3) 令 F(x) ＝g(x) － f(x) ＝ x 2＋ ax ＋2a － 1，假定存在这样的实数 a ，则必有 F(x) ＝ x 2＋ ax ＋ 2a －1>0 在区间 (－ 2，－ 1)上恒建立．由于 F(x) 对称轴方程为 x ＝－ a，因此有a 2①－ ≤－2，2F （－ 2）＝ 4－2a ＋ 2a － 1≥0，a ≥4，解得因此 a ≥4. a ∈ R ， a②－ ≥－1，2F （－ 1）＝ 1－ a ＋ 2a － 1≥0，解得a ≤2，因此 0≤a ≤2.a ≥ 0，a③－ 2<－ <－ 1，2 ＝ a 2－ 4（2a － 1） <0， 2<a<4， 因此 2<a<4.解得4－ 2 3<a<4＋ 2 3，综上，得 a ≥0因此，存在这样的实数 a ，当实数 a ≥0时，函数 g(x) 的图象一直在 f(x) 图象的上方．x ≥0，1. (2013 ·北京卷 )设 D 为不等式组 2x － y ≤0，表示的平面地区，地区D 上的点与点 (1， 0)x ＋ y － 3≤0之间的距离的最小值为 ________．答案：255分析：画出地区，最小距离即为点 (1， 0)到直线 2x － y ＝ 0 的距离，由点到直线的距离公式获得．2. (2014 江·苏卷 )已知函数 f(x) ＝x 2 ＋mx － 1，若对于随意的 x ∈ [m ，m ＋ 1]都有 f(x)<0 ，则实数 m 的取值范围为 ________ ．答案： － 2，02f （ m ）＝ m 2＋ m 2－ 1<0 ，分析：据题意2＋ m （ m ＋ 1）－ 1<0 ，f （ m ＋ 1）＝（ m ＋ 1）解得－ 22 <m<0.2在 x ＝1 处的切线与两坐标轴围成三角形地区为 D( 包括三角3. (2013 江·苏卷 )抛物线 y ＝ x形内部与界限 )．若点 P(x ， y)是地区 D 内的随意一点，则 x ＋ 2y 的取值范围是 __________ ．答案： － 2，12x ≥0，分析：抛物线 y ＝x 2 在 x ＝1处的切线方程为 y ＝ 2x － 1，围成的地区 D 为 y ≤ 0， 目－2，1y ≥ 2x － 1，标函数 z ＝ x ＋ 2y 的取值范围是2.4. (2013 天·津卷 )设 a ＋ b ＝ 2， b>0，则 1＋ |a|的最小值为________． 2|a| b答案： 34分析： 1 ＋|a|＝ a ＋ b ＋ |a|＝ a ＋ b ＋ |a|≥ a ＋ 2 2|a|b 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a|当 4|a|b＝|a|b ， a<0，即 a ＝－ 2， b ＝ 4 时取等号，故最小值为b |a| a13，当且仅· ＝＋1≥－ ＋1＝ 4|a| b 4|a| 4 434.5. 已知正数 a ，b ，c 知足： 5c －3a ≤ b ≤－4ca ，clnb ≥a ＋ clnc ，则b的取值范围是 ________． a答案： [e ， 7]分析：条件 5c － 3a ≤b ≤4c － a ， clnb ≥a ＋ clnc ，a b3·＋ ≥5，c ca ＋ bab可化为 c c≤4，设c ＝ x ， y ＝ c ，则题目转变为：a b≥ ec. c3x ＋ y ≥5，已知 x ， y 知足x ＋ y ≤4， 求 y 的取值范围． y ≥ e x，xx>0 ， y>0，作出 (x ，y)所在平面地区 ( 如图 )．求出 y ＝ e x 的切线的斜率 e ，设过切点 P(x 0，y 0)的切线为y ＝ ex ＋ m(m ≥ 0)，则y 0＝ex 0＋ m ＝ e ＋ m ，要使它最小，须m ＝ 0.x 0x 0 x 0∴ y的最小值 P(x 0， y 0)处，为 e.此时，点 P(x 0，y 0)在 y ＝ e x 上 A 、 B 之间．x当(x ，y)对应点 C 时， y ＝ 4－ x ， 5y ＝ 20－ 5x ，y ＝ 7xy ＝ 7，∴ y 的最大值在 C y ＝ 5－ 3x 4y ＝ 20－ 12x 处，为 7.x x∴ y 的取值范围为 [e ， 7]，即 b的取值范围是 [e ， 7]．x a6. 设各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .已知 2a 2＝ a 1＋ a 3，数列 { S n } 是公差为 d的等差数列．(1) 求数列 {a n } 的通项公式 ( 用 n 、 d 表示 )；(2) 设 c 为实数，对知足 m ＋n ＝ 3k 且 m ≠n 的随意正整数 m 、 n 、 k ，不等式 S m ＋ S n >cS k都建立．求证： c 的最大值为 92.(1)解：由题意知 d ＞0， S n ＝ S 1＋ (n － 1)d ＝ a 1＋ (n －1)d ，2a 2＝ a 1＋ a 33a 2＝ S 33(S 2－ S 1)＝ S 3，即 3[( a 1＋ d)2 －a 1] ＝ ( a 1＋ 2d)2，化简得 a 1－ 2 a 1· d ＋ d 2＝ 0，即a 1 ＝d ，则 a 1＝ d 2，2 22 22 22S n ＝ d ＋ (n －1)d ＝ nd ， S n ＝nd ，当 n ≥2时， a n ＝ S n － S n － 1＝ n d － (n － 1)d ＝(2n － 1)d ，合适 n ＝1 情况．2 *故所求 a n ＝ (2n － 1)d(n ∈ N )．m 2＋ n 2(2) 证明： S m ＋ S n ＞ cS km 2d 2＋ n 2d 2＞ c ·k 2d2m 2＋n 2＞c ·k 2，即 c ＜k 2 恒建立． 又 m2 m 2＋ n 2222 9 9 9＋ n ＝ 3k 且 m ≠n，2(m ＋ n )＞ (m ＋ n)＝ 9kk 2＞ ，故 c ≤ ，即 c 的最大值为.222(此题模拟高考评分标准，满分 14 分)19.5m 2，此中 ABCD 是(2013 ·锡一模无 )要制作一个如图的框架，要求所围成的总面积为一个矩形， EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝ 1 AB ， tan ∠ FED ＝ 3，设 AB ＝x m ， BC ＝ y m.2 4(1) 求 y 对于 x 的表达式；(2) 怎样设计 x 、 y 的长度，才能使所用资料最少？解： (1) 如图，在等腰梯形 CDEF 中， DH 是高．1 1依题意： DH ＝2AB ＝ 2x ，DH 4 1 2分 )EH ＝＝ ×x ＝ x ， (3 tan ∠ FED 3 2 339＝ xy ＋ 14 15 2∴2 2 x ＋ x ＋ 3x 2x ＝ xy ＋ 6x ，395∴ y ＝ 2x － 6x.(6 分 )∵ x ＞ 0， y ＞ 0，∴ 39 53 652x － x ＞ 0，解之得0＜ x ＜5 .6∴ 所求表达式为 y ＝ 39－ 5x 0<x< 3 65 .(7 分)2x 653 (2) 在 Rt △ DEH 中，∵ tan ∠ FED ＝4，∴ sin ∠ FED ＝ 3，5∴ DE ＝ DH ＝ 1x × 5＝ 5x ， (9 分)sin ∠ FED 2 3 65 239 － 5 39 ＋13 39 13∴ l ＝ (2x ＋ 2y) ＋ 2×2× x ＋ x＝ 2y ＋ 6x ＝ x 3x ＋ 6x ＝ x 3 x ≥2 x ×3 x ＝ 26，6x ＋ 3(11 分)当且仅当39＝13x ，即 x 2＝9，即 x ＝3 时取等号，(12 分)x3此时 y ＝39 5 (14 分)2x－ x ＝ 4，∴ AB ＝ 3 m ， BC ＝ 4 m 时，能使整个框架所用资料最少．61， x ＜ 0，x则不等式 |f(x)| 1≥的解集为 ________．1. 若函数 f(x) ＝x13， x ≥ 0， 3答案： [－3，1]分析：此题主要考察分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、 基本运算的考查．1≥ x ＜ 0， 由|f(x)| 1 1 T － 3≤x＜ 0.3 Tx ≥31≥x ≥0，x ≥0，由|f(x)| 1 x1 1x1 T 0≤x ≤ 1.3 T≥≥333 3综上，不等式 |f(x)|1≥的解集为 {x| － 3≤x ≤1}．32. 设函数 f(x) ＝ x 3＋ 3bx 2＋3cx 有两个极值点 x 1、 x 2，且 x 1∈ [ － 1， 0]， x 2∈ [1，2]．(1) 求 b 、 c 知足的拘束条件，并在座标平面内画出知足这些条件的点(b ， c)的地区； 1(2) 求证：－ 10≤f(x 2)≤－ 2.(1) 解： f ′ (x)＝3x 2＋ 6bx ＋3c.由题意知方程f ′ (x)＝ 0 有两个根 x 1、 x 2，且x 1∈ [－ 1， 0]，2b － c －1≤0，c ≤ 0，x 2∈ [1， 2]．则有 f ′(－1) ≥0，f ′ (0) ≤0，f ′ (1) ≤0，f ′ (2) ≥0，故有2b ＋ c ＋1≤0， 4b ＋ c ＋4≥ 0.图中暗影部分即是知足这些条件的点 (b ， c)的地区．(2) 证明： 由题意有 f ′2(x)＝ 3x 22＋ 6bx 2＋3c ＝ 0， ① 又 f(x 2)＝ x 23＋ 3bx 22＋ 3cx 2， ②1 3 3c消去 b 可得 f(x 2)＝－ 2x 2＋2 x 2.1∵ x 2 ∈[1， 2]且 c ∈ [－ 2，0]，∴ － 10≤f(x 2) ≤－ .23. 如图，为办理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 m 的无盖长方体积淀箱．污水从 A 孔流入，经积淀后从 B 孔流出．设箱体的长度为 a m ，高度为 b m ．已知流出的水中该杂质的质量分数与 a 、b 的乘积成反比．现有制箱资料260 m .问当 a 、b 各为多少米时，经积淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(A 、 B 孔的面积忽视不计 )解： ( 解法 1)设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝ k，此中 k 为比率系数且 k ＞ 0，ab依题意，即所求的 a 、b 值使 y 值最小．依据题设，有4b ＋ 2ab ＋2a ＝ 60(a>0，b>0) ，得 b ＝(30－ a)/(2＋ a) (0<a<30), ①于是 y ＝ k＝ k 2＝k64 ≥k＝ kab 30a －a34－ 264 18.当且仅当 a ＋ 2＝2＋ a 34－ a ＋ 2＋a ＋ 2 （ a ＋2） ·a ＋ 264时取等号， y 取最小值，此时 a ＝6 或 a ＝－ 10(舍 )．将 a ＝ 6 代入①式得 b ＝ 3，故当 a 为 6 a ＋ 2 m ， b 为 3 m 时，经积淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(解法 2)依题意，即所求的 a 、 b 的值使 ab 最大．由题设知 4b ＋ 2ab ＋2a ＝ 60(a>0，b>0) ，即 a ＋ 2b ＋ ab ＝ 30(a>0 ，b>0).∵ a ＋ 2b ≥2 2ab ，∴ 2 2ab ＋ab ≤30, 当且仅当 a ＝ 2b 时，上式取等号 . 由 a>0， b>0，解得 0<ab ≤18.即当 a ＝ 2b 时， ab 获得最大值，其最大值为 18，即 2b 2＝ 18，解得 b ＝ 3， a ＝ 6.故当 a 为 6 m ， b 为 3 m 时，经积淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．。