考点五函数的性质——单一性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单一性(1)单一函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一增函数．假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上涨的，减函数图象从左到右是降落的，如下图：（2）单一性与单一区间假如一个函数在某个区间M 上是单一增函数或是单一减函数，就说这个函数在这个区间M 上拥有单一性 (区间 M 称为单一区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的观点一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，一般步骤是：①观察定义域能否对于原点对称．②观察表达式 f(－ x)能否等于 f(x)或－ f( x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x) 为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f( x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f( －x) ＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f( －x) ≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的观点：对于函数y＝ f(x)，假如存在一个不为零的常数T，使适当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋ T)＝ f(x) 都建立，则称y＝ f(x)为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期．(3)一般地，假如 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（n∈Z）也是函数 f(x)的周期，即有 f(x＋ nT)＝f(x)．(4) 最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．其实不是全部的周期函数都有最小正周期，比方常数函数最小正周期．f(x)＝ C（ C 为常数）就没有典例分析题型一函数单一性的判断例 1以下函数中，在区间 (0，＋∞ )上为增函数的是 ________. (填序号 )① y＝x＋ 1② y＝ (x－ 1)2－ x④ y＝ log0.5 (x＋1)③ y＝ 2答案①分析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞ )上为减函数，选① .变式训练以下函数中，知足“f(x＋ y)＝ f(x)f(y)”的单一递加函数是 ________. ( 填序号 )131 x x2① f(x)＝ x② f(x)＝ x③ f(x)＝2④ f(x)＝ 3答案④1111分析f(x)＝x2， f(x＋y) ＝ (x＋y) 2≠ x2· y2，不知足f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，①不知足题意．f(x)＝ x3， f(x＋ y)＝ (x＋ y)3≠ x3· y3，不知足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不知足题意．1x1x＋ y1x1y1xf(x)＝2，f( x＋y)＝2＝2·2，知足 f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，但 f( x)＝2不是增函数，③不知足题意．x x＋ y x y xf(x)＝ 3 ， f(x＋ y)＝ 3＝3· 3，知足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3是增函数，④知足题意．(1)定义法：先求定义域，再依据取值、作差、变形、定号的次序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或许函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单一性．(3)转变法：转变为已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，再依据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确立函数的单一性．(4)导数法：先求导，再确立导数值的正负，由导数的正负得函数的单一性．题型二函数单一性的应用例 2假如函数f(x)＝ ax2＋2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是________.答案－14≤ a≤ 0分析当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3，在定义域R 上是单一递加的，故在(－∞， 4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1 a，由于 f( x)在 (－∞， 4)上单一递加，所以a<0，且－1≥4，解得－1≤ a<0. a4综合上述得－1≤ a≤ 0. 4变式训练函数 f(x)＝1在区间 [a， b]上的最大值是1，最小值是1，则 a＋ b＝________. x－ 13答案6分析易知 f(x)在 [a， b]上为减函数，f a ＝ 1，1＝1，a＝ 2，a－ 1∴ a＋b＝ 6.∴1即∴1 ＝1，f b ＝3，b＝ 4.b－ 13解题重点 1.利用单一性求参数．①视参数为已知数，依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a， b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．③注意数形联合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单一性求最值．应先确立函数的单一性，而后再由单一性求出最值．题型三求函数的单一区间例 3求函数 y＝ log 1 (x2－ 4x＋3) 的单一区间．3分析令 u＝ x2－ 4x＋ 3，原函数能够看作y＝ log 1 u 与 u＝ x2－ 4x＋ 3 的复合函数．3令 u＝ x2－ 4x＋ 3>0，则 x<1 或 x>3.∴函数 y＝ log 1 (x2－4x＋ 3)的定义域为 (－∞， 1)∪ (3，＋∞)．3又 u＝ x2－ 4x＋ 3 的图象的对称轴为x＝ 2，且张口向上，∴u＝ x2－ 4x＋ 3 在(－∞， 1)上是减函数，在 (3，＋∞)上是增函数．而函数 y＝ log 1 u 在 (0，＋∞)上是减函数，3∴y＝ log 12－ 4x＋ 3)的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为 (－∞， 1)．(x3解题重点 1.求单一区间的常用方法：(1)定义法； (2) 图象法； (3) 导数法．2．求复合函数y＝ f(g(x))的单一区间的步骤：(1)确立定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝ f(u)， u＝ g(x)；(3)分别确立这两个函数的单一区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝ f(g(x)) 为增函数；若一增一减，则y＝ f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单一区间时需注意两点：①最后结果写成区间的形式；②不行忽略定义域．题型四判断函数的奇偶性例 4判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝ (x＋ 1)1－ x；1＋ x(3)f(x) ＝ 3－ x2＋ x2－ 3.分析(1) 定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ x3＋ x＝－ (x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．1＋x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 由于 f(x)定义域为 { －3，3} ，所以 f(x)＝ 0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数．解题重点判断函数单一性的两个步骤： 1.判断函数定义域能否对于原点对称；2.判断 f(－ x)与 f(x)关系 . 若 f( －x)＝－ f(x)或是利用以下两个等价关系式进行判断：若则函数为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)则函数为偶函数．f(x)＋ f(－ x)＝ 0 则函数为奇函数；若 f(x)－ f(－ x)＝0 则函数为偶函数．题型五函数的周期性例 5已知 f(x)是定义在R上的偶函数，而且 f(x＋ 2)＝－1，当 2≤ x≤ 3 时，f(x)＝ x，则 f(105.5) f x＝______.答案 2.5分析由已知，可得f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－1＝－1＝ f( x)．1f x＋ 2－f x故函数的周期为 4.∴f(105.5)＝f(4 ×27－2.5)＝ f(－ 2.5)＝f(2.5) ．∵2≤2.5 ≤3，由题意，得 f(2.5)＝ 2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题重点对于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a；1(2) 若 f(x＋ a)＝f（x），则 T＝ 2a；1(3) 若 f(x＋ a)＝－，则T＝2a.f（ x）题型六函数性质的综合运用1例 6已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足f(2x－ 1)<f 3的 x 的取值范围是________．答案1， 233分析偶函数知足 f(x)＝ f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x－ 1)<f 3 ?f(|2x－ 1|)< f 3，1从而转变为不等式|2x－1|<3，解这个不等式即得x 的取值范围是1， 2.3 3当堂练习1. 函数 f(x) ＝x3－x 的图象对于 ________对称 .答案原点分析由 f(－ x)＝ (－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－ f(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象对于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数 f( x)，知足 f(x＋4)＝ f(x)，则 f(8) 的值为 ________．答案0分析∵ f(x)为奇函数且 f(x＋ 4)＝f(x)，∴ f(0)＝ 0， T＝ 4，∴ f(8)＝ f(0) ＝ 0.3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1) ＝________．答案 1分析由于 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以 f(1) ＋ g(1) ＝ f(－ 1)－ g(－ 1)＝ (－ 1)3＋ (－ 1)2＋ 1＝1.4．函数 f(x)＝log 1 (x2－ 4) 的单一递加区间是 ________．2答案(－∞，－2)分析由于y＝ log1 t在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝x22－4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为5．函数 y＝ f( x)是定义在 [ － 2，2]上的单一减函数，且f( a＋(－∞，－ 2)．1)< f(2a)，则实数 a 的取值范围是________．答案[－ 1， 1)－ 2≤ a＋ 1≤ 2，分析由条件－ 2≤ 2a≤2，解得－1≤ a<1.a＋ 1>2a，课后作业一、填空题1．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为________． (填序号 )①y＝ x＋ 1② y＝－ x21④ y＝ x|x|③ y＝x答案④2．函数 y＝1－1________．(填序号 ) x－ 1①在 (－ 1，＋∞ ) 上单一递加②在 (－ 1，＋∞ )上单一递减③在 (1，＋∞ )上单一递加④在 (1，＋∞ )上单一递减答案③3．以下函数中，在区间(－∞， 0)上是减函数的是 ________． (填序号 )①y＝ 1－ x2②y＝ x2＋ x③y＝－－ x④ y＝xx－ 1答案④4．以下函数 f(x)中，知足“对随意x1，x2∈ (0，＋∞ )，都有f x2－f x1<0”的是 ________．(填x2－ x1序号 )①f(x)＝1② f(x)＝ (x－1) 2③ f(x)＝ e x④ f(x)＝ ln(x＋ 1) x答案①分析知足 f x2－ f x1<0 其实就是 f(x)在 (0，＋∞)上为减函数，应选① .x2－x15．已知 f(x)是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1) ＝2， f(1) ＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1) 等于________． 答案 3分析∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ 1)＝－ f(1) ，又 g(x)为偶函数，∴ g(－ 1)＝ g(1) ，∴－ f(1) ＋ g(1)＝2， f(1) ＋g(1) ＝ 4，将两式相加得 2g(1) ＝ 6，∴ g(1)＝ 3.6．以下函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞ ) 单一递加的函数是 ________． (填序号 ) ①y ＝ x 3 ②y ＝ |x|＋ 1③ y ＝－ x 2＋1④y ＝ 2－ |x|答案②7．若函数 y ＝ x 2＋ (2a － 1)x ＋ 1 在区间 (－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案－∞，－322a － 1 3.分析由题意得－ ≥ 2，得 a ≤－2 28．定义在 R 上的函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，且 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数， 则 f(－1)与 f(3)的大小关系是 ________． 答案 f(－ 1)＜ f(3)分析依题意得 f(3) ＝f(1)，且－ 1＜ 1＜ 2，于是由函数 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数得 f(－ 1)＜ f (1)＝ f(3) ．9．函数 y ＝x 2－ 2x( x ∈[2,4]) 的增区间为 ________． 答案[2,4]10．设 f(x) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f( x)＝ x － 2，则 f(－ 1)＝ ________.答案 － 1分析由题知， f(－1)＝ f(－1＋ 2)＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1.11．给出以下命题12①y ＝ x 在定义域内为减函数；②y ＝ (x － 1) 在 (0，＋∞ )上是增函数； ③y ＝－ 1在(－∞， 0)上为增函数；④ y ＝ kx 不是增函数就是减函数．x 此中错误命题的个数有 ________． 答案 3分析①②④错误，此中④中若 k ＝ 0，则命题不建立．二、解答题－ 2x12．证明函数 g(x)＝ x － 1在 (1，＋∞ )上单一递加．证明： 任取 x 1，x 2∈ (1，＋∞ )，且 x 1 <x 2，－ 2x1－2x2 2 x1－x2则 g(x1 )－ g(x2)＝－＝，x1－ 1x2－ 1x1－ 1 x2－ 1由于 1<x1<x2，所以 x1－x2<0， (x1－1)(x2－ 1)>0 ，所以 g(x1 )－g(x2)<0 ，即 g(x1)< g(x2)．故 g(x) 在 (1，＋∞ )上是增函数．13．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，且在区间 [ － 2,0] 上递减，求知足 f(1－m)＋ f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围．解∵ f(x)的定义域为 [ － 2,2]．－2≤1－ m≤ 2，∴有解得－ 1≤ m≤ 3.①－2≤1－ m2≤2，又 f(x)为奇函数，且在 [ － 2,0]上递减，∴f(x)在 [ － 2,2] 上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)? 1－m>m2－1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－ 1≤ m<1.即实数 m 的取值范围是[－ 1,1)．。
考点四函数的概念与表示知识梳理1．函数的基本概念(1) 函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．2. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．3. 映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R．(4)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．5．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为244ac by ya⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≥；当a ＜0时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤．(3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]．(7)y ＝tan x 的值域是R ．典例剖析题型一 函数的概念例1 下列各组函数中，表示同一函数的是________.(填序号)① f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 ② f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2③ f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 ④ f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1答案 ①解析 ①中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )．②中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)，∴两函数的定义域不同．③中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )，∴两函数的定义域不同．④中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选①.变式训练 下列四个图象中，是函数图象的是________.(填序号)答案 ①③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象． 解题要点 1．判断是否是同一函数关键看两点：①定义域相同；2对应关系相同．2.判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一个因变量．题型二 函数解析式求法例2 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3) 已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，求f (x )．答案 (1) f (x )＝x 2－1(x ≥1)，(2) f (x )＝2x ＋7，(3) f (x )＝x 2－x ＋1解析(1) (换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1.代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3) (待定系数法) ∵ f (x )是二次函数，∴ 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1. 由f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ，整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b )＝0， 比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f (x )＝x 2－x ＋1.变式训练 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.答案 －x (x ＋1)2解析 当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)． 解题要点 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)方程组法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型三 函数的定义域例3 求下列函数的定义域 (1); (2)答案 (1)，(2) (1，1)∪(1，＋∞)解析 (1) 使函数有意义，则且，得或， 所以定义域为(2)使函数有意义，则，解得：且. 所以定义域为(1，1)∪(1，＋∞) 变式训练 函数f ()=的定义域为________. 答案 [0，1)(1， +∞)解析 由题意知，所以函数定义域为[0，1)(1， +∞)解题要点 抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关键，需要注意的是：函数定义域应写成集合或区间的形式．题型四 函数的值域例4 求下列函数的值域(1) y ＝x 2＋2x ，x ∈[0，3]；(2)32;y x x =--(3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]； (4) f (x )＝x －1－2x .解析 (1) (配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域为[0，15]．(2) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝⎛⎭⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎡⎭⎫－112，＋∞. (3) (分离常数法)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max ＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32. (4) (单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，容易判断f (x )为增函数， 所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 题型五 分段函数例5 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________. (2) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________． 答案 (1)14(2) －2 解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14. (2) ∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 变式训练 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________． 答案 －3解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.解题要点 1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．2.在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．当堂练习1. 函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案 {x |x ≥－1且x ≠2}2．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是________．答案 [0，2]解析 －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2. 3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．① ② ③ ④答案 ②4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于________． 答案 12解析 由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 若52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78(舍去)． 所以b ＝12.5．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是_________________．答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．课后作业一、填空题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是__________．① ② ③ ④ 答案 ①解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．2．若函数()y f x =的定义域为{}38,5x x x -≤≤≠，值域为{}12,0y y y -≤≤≠，则()y f x =的图象可能是__________．①② ③ ④ 答案 ②解析 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除③；由定义域为{}38,5x x x -≤≤≠排除①、④,选②.3．设f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于__________． 答案 12解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1141－12＝12.4．函数y ＝x 22－x＋lg(2x ＋1)的定义域是__________． 答案 (－12，2) 解析 x 同时满足不等式2－x >0,2x ＋1>0，解得－12<x <2，故所求函数的定义域是(－12，2). 5．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是__________．(填序号)①f ：x →x 3－1 ②f ：x →(x －1)2 ③f ：x →2x －1 ④f ：x →2x答案 ③解析 对于选项①，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项①不符合；同理可知②、④两选项均不能构成①到②的映射，选项③符合.6．函数y ＝16－4x 的值域是__________．答案 [0，4)解析 ∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，∴0≤y ＜4.7．若f (2x +1)=6x +3，则f (x )的解析式为f (x )= __________．答案 3x 解析 令t =2x +1，则x =，所以f (t )=6·+3=3t ，故f (x )=3x .8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x ＞1，若f (f (1))＝4a ，则实数a 等于__________． 答案 2解析 ∵f (1)＝2，∴f (f (1))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.9．函数y ＝lg （2－x ）12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是__________． 答案 {x |－3<x <2且x ≠1}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，12＋x －x 2>0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3<x <4，x ≠1，所以－3<x <2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3<x <2且x ≠1}．10．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝______. 答案 11解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 二、解答题11．(1)已知f (x )是一次函数，且满足f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋3，求f (x )的解析式．(2) 若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，求g (x )的解析式． 解析 (1)设f (x )＝kx ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)－2f (x －1)＝kx ＋k ＋b －2kx ＋2k －2b ＝－kx ＋3k －b ，即－kx ＋3k －b ＝2x ＋3不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2， 3k －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，b ＝－9，∴f (x )＝－2x －9. (2) 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .12．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析 当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2， ∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2.∴f (x )＝⎩⎨⎧ 115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，试解不等式f (x )<f (－1)．解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3， 解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．。
考点四函数的概念与表示知识梳理1．函数的基本概念(1) 函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．2. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．3. 映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R．(4)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．5．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≥； 当a ＜0时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤． (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]．(7)y ＝tan x 的值域是R ．典例剖析题型一 函数的概念例1 下列各组函数中，表示同一函数的是________.(填序号)① f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 ② f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2③ f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 ④ f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 ①解析 ①中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )．②中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)，∴两函数的定义域不同．③中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )，∴两函数的定义域不同．④中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选①.变式训练 下列四个图象中，是函数图象的是________.(填序号)答案 ①③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象．解题要点 1．判断是否是同一函数关键看两点：①定义域相同；2对应关系相同．2.判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一个因变量．题型二 函数解析式求法例2 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3) 已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，求f (x )．答案 (1) f (x )＝x 2－1(x ≥1)，(2) f (x )＝2x ＋7，(3) f (x )＝x 2－x ＋1解析(1) (换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1.代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3) (待定系数法) ∵ f (x )是二次函数，∴ 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1. 由f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ，整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b )＝0，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f (x )＝x 2－x ＋1.变式训练 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.答案 －x (x ＋1)2解析 当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)． 解题要点 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)方程组法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型三 函数的定义域例3 求下列函数的定义域 (1); (2)答案 (1)，(2) (1，1)∪(1，＋∞)解析 (1) 使函数有意义，则且，得或， 所以定义域为(2)使函数有意义，则，解得：且. 所以定义域为(1，1)∪(1，＋∞)变式训练 函数f ()=的定义域为________. 答案 [0，1)(1， +∞)解析 由题意知，所以函数定义域为[0，1)(1， +∞)解题要点 抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关键，需要注意的是：函数定义域应写成集合或区间的形式．题型四 函数的值域例4 求下列函数的值域(1) y ＝x 2＋2x ，x ∈[0，3]；(2)32;y x x =-(3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]； (4) f (x )＝x －1－2x .解析 (1) (配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域为[0，15]． (2) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝⎛⎭⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎡⎭⎫－112，＋∞.(3) (分离常数法)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max ＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32. (4) (单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，容易判断f (x )为增函数， 所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 题型五 分段函数例5 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________. (2) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________． 答案 (1)14(2) －2 解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14. (2) ∵π4∈⎣⎡⎭⎫0，π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 变式训练 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________． 答案 －3解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.解题要点 1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．2.在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．当堂练习1. 函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案 {x |x ≥－1且x ≠2}2．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是________．答案 [0，2]解析 －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．① ② ③ ④答案 ②4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于________． 答案 12解析 由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 若52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78(舍去)． 所以b ＝12. 5．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是_________________．答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．课后作业一、填空题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是__________．① ② ③ ④ 答案 ①解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．2．若函数()y f x =的定义域为{}38,5x x x -≤≤≠，值域为{}12,0y y y -≤≤≠，则()y f x =的图象可能是__________．①② ③ ④ 答案 ②解析 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除③；由定义域为{}38,5x x x -≤≤≠排除①、④,选②.3．设f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于__________． 答案 12 解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1141－12＝12. 4．函数y ＝x 22－x＋lg(2x ＋1)的定义域是__________． 答案 (－12，2) 解析 x 同时满足不等式2－x >0,2x ＋1>0，解得－12<x <2，故所求函数的定义域是(－12，2). 5．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是__________．(填序号)①f ：x →x 3－1 ②f ：x →(x －1)2 ③f ：x →2x －1 ④f ：x →2x答案 ③解析 对于选项①，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项①不符合；同理可知②、④两选项均不能构成①到②的映射，选项③符合.6．函数y ＝16－4x 的值域是__________．答案 [0，4)解析 ∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，∴0≤y ＜4.7．若f (2x +1)=6x +3，则f (x )的解析式为f (x )= __________．答案 3x 解析 令t =2x +1，则x =，所以f (t )=6·+3=3t ，故f (x )=3x .8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x ＞1，若f (f (1))＝4a ，则实数a 等于__________． 答案 2解析 ∵f (1)＝2，∴f (f (1))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.9．函数y ＝lg （2－x ）12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是__________．答案 {x |－3<x <2且x ≠1}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，12＋x －x 2>0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3<x <4，x ≠1，所以－3<x <2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3<x <2且x ≠1}．10．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝______. 答案 11解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 二、解答题11．(1)已知f (x )是一次函数，且满足f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋3，求f (x )的解析式．(2) 若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，求g (x )的解析式．解析 (1)设f (x )＝kx ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)－2f (x －1)＝kx ＋k ＋b －2kx ＋2k －2b ＝－kx ＋3k －b ，即－kx ＋3k －b ＝2x ＋3不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2， 3k －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－9，∴f (x )＝－2x －9.(2) 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .12．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析 当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2， ∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，试解不等式f (x )<f (－1)． 解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．。
考点四十七 用样本估计总体及样本的数字特征知识梳理1．统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2.频率分布直方表(1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表． (2)频率分布表的画法步骤：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3. 频率分布直方图利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图． (1)作频率分布直方图的方法①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形．③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图． (2)频率分布直方图的特征①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；②从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示为频率分布直方图后，原有的数据信息就丢失了；③直方图中各小长方形的面积之和为1.④直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积．⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 4.频率分布折线图将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图． 5.总体密度曲线如果将样本容量取得足够大，分组的组距足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体密度曲线．6．茎叶图茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的个位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好． 茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．7．样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．(4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是 s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． (5)标准差和方差的一些结论若取值x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均值为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2.典例剖析题型一 频率分布直方图例1 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．答案 12解析 志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.变式训练 某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．答案 600解析 由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.解题要点 解决频率分布直方图时要明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 常用的结论有： ③直方图中各小长方形的面积之和为1.④直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积．⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 题型二 茎叶图例2 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．答案 45 46解析 甲组数据为：28，31，39，42，45，55，58，57，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.变式训练 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________． 答案 91.5和91.5解析 这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96， ∴中位数为12×(91＋92)＝91.5.平均数为18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.解题要点 求解茎叶图的习题，要读懂图，弄清楚“茎”和“叶”分别是什么，从而还原出具体的数据．题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 (2014·高考陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为________． 答案 x －＋100，s 2 解析x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变.变式训练 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下：(单位：mm) 甲：99，100，98，100，100，103； 乙：99，100，102，99，100，100.(1) 分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2) 根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 解析 (1) x －甲＝100＋16(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；x －乙＝100＋16(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100.s 2甲＝16[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32]＝73， s 2乙＝16[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02]＝1. (2) 由(1)知，x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙， ∴ 乙机床加工的这种零件更符合要求．解题要点 1.熟记一些常用结论：若取值x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均值为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2.2. 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．当堂练习1．（2015安徽理）若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________． 答案 16解析 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.2．（2015江苏）已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 答案 6解析 这组数据的平均数为16(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.3. （2015重庆文）重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是________． 答案 20解析 由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20,20，所以这组数据的中位数为20.4．（2015山东文）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为________． 答案 ①④解析 甲地5天的气温为：26,28,29,31,31， 其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32， 其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝ 2. ∴x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．5．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为________．答案 5,8解析 因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x ＝5， 因乙组数据的平均数为16.8， 则9＋15＋(10＋y )＋18＋245＝16.8，解得y ＝8.课后作业一、 填空题1．样本中有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 答案 2解析 由题意知该组数据的平均值为15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1，所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.2．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为______．答案 100解析 支出在[50,60)元的频率为1－0.36－0.24－0.1＝0.3， 因此30n＝0.3，故n ＝100.3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为________．答案 0.4解析 落在[22,30)的频数为4，则所求频率为P ＝410＝0.4.4．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为________． 答案 5,24235．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________． 1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 96 178 答案 46,45,56解析 样本中数据共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据中出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56.6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是________． 答案 62.8,3.6解析 平均数增加60，即为62.8.方差＝1n ∑ni －1[(a i ＋60)－(a ＋60)]2＝1n ∑ni －1 (a i－a )2＝3.6.7．某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：答案 25解析 甲班的平均数为x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，甲班的方差为s 2甲＝(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)25＝25；乙班的平均数为x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7，乙班的方差为s 2乙＝(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)25＝65.∵65>25，∴s 2＝25. 8．(2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．答案 480解析 少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)，∴不少于60分的学生人数为480人．9．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为________． 答案 78解析 由题意得75×0.4＋80×0.6＝30＋48＝78，∴平均分为78.10． （2015湖北文）某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．答案 (1)3 (2)6 000解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a ×0.1＝1，解得a ＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000，故应填3,6 000.11．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45.二、解答题 12． (2015广东理)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? 解析 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40.s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009.(3)40－103＝1103，40＋103＝1303在⎝⎛⎭⎫1103，1303的有23个，占63.89%. 13．(2015广东文)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解析 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230. 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．。
