指数函数图象和性质

0
-1
定义域 值域
R 0,
性 质
（1）过定点（0,1） （2）在R上是增函数
（2）在R上是减函数
探究：比较下列数的大小
1.71x 0.94
x
1.71 1.71
3.1 1
2.5
4 0.94 0.94 1.2
同底数幂比较大小 利用图象的单调性
如何 比较
1、指数函数图象和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图 像
-4 -2
5
4
3
3
(0,1)
1 0
2
y=1
2 4 6
2
(0,1)
2 4
y=1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
-4
-2
0
-1
-1
定义域
值域
0,
R
性 （1）过定点（0,1） 质 （2）在R上是增函数 （2）在R上是减函数
2、指数函数的大小比较
人教版高中数学必修1第二章第一节
2.1指数函数图象
及其性质
课前回顾
1、什么样的函数叫指数函数？
x y a (a 0且a 1) 叫做指数函数 一般地，函数 定义域为 R ，值域为(0,) 。
a 为何只
解析式的三 个特点！
能在此 范围内 取值？
指数函数的图象和性质
设问：得到函数图象一般的步骤是什么？研究函数一
…
8
x
4
2
1.4
1
0.71 0.5 0.25
0.13
…
11 x yy 22
y 3

指数函数的图象与性质1．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0 时，y＞1；当x＞0 时，0＜y＜1；x＜0 时，0＜y＜1 x＜0 时，y＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当 0＜a＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴．②底数对函数值的影响如图．1③当a＞0，且a≠l 时，函数y＝a x 与函数y =(푥的图象关于y 轴对称．푎)3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：1/ 2若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．2．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0 ＜a＜1 的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x 如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果 0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X 的增大，Y 值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值就在不断的减小，而内层函数的Y 值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X 的增大时，内层函数的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X 不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y 值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X 不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y 值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．2/ 2。

当 x>0时, y>1; 时 当 x<0时, 0<y<1. 时
R (0,+∞)
当 x>0时, 0<y<1; 时 当 x<0时, y>1. 时
单调性 定点
单调增 (0,1)
单调减 (0,1)
小结
2、比较指数幂大小的方法
①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右 两侧的特点。 ③、异指异底:搭桥比较法,用别的数如1做桥。
R
性
x>0, x<0,
再仔细观察,能发现什么新大陆吗?
1 x y =( ) 3
y=3X
1 x y=( ) 2
Y
y = 2x
Y=1 -x1
O
x1
X
(1)Y轴右侧:底大图高
(左侧呢?)
(2)底数互为倒数时两函数的图象关于y轴对称
应用:比较大小
例1、比较下列各组数的大小： ①、
1.7 ,1.71 3 源自 2作业： 作业：P59
7，8
3 ( ②、 4 )
3 ( ) 4
−
1 5
,2
−
1 5
−
1 5
的一个函数值
3 x 可看作是函数 y = ( ) 4
可看作是函数
2
−
1 5
y=2
x
的一个函数值
∵ ∴根据y轴左侧底大图低可知
1 当 x = − 时， x < 0 5
− 3 −5 ( ) > 2 5 4
1
1
5 ③、 0 . 8 , ( ) 3

[精解详析]
(1)(7)为指数函数．
(2)不是指数函数．
(3)是－1与指数函数4x的乘积，所以不是指数函数．
(4)中底数－4<0，所以不是指数函数． (5)中指数不是自变量x，所以不是指数函数． (6)中底数x不是常数，不符合指数函数的定义，所以 不是指数函数．
[悟一法]
指数函数是形式化的概念，形如y＝ax(a＞0，且a≠1)的函
在求值域时应根据定义域结合指数函数的图象进行求解．
[通一类]
3．求函数 y＝ ax－1的定义域、值域(其中 a＞0 且 a≠1)．
解：要使函数有意义，只须满足ax－1≥0，即ax≥1. 当a＞1时，x≥0，由ax－1≥0，得y≥0； 当0＜a＜1时，x≤0，由ax－1≥0，得y≥0. 因此，当a＞1时，定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．
[错因]
错解的原因是将 ax 当成了 x，从而错误地判断
了 y 在[－1,1]的增减性． [正解] 设 t＝a ，若 a＞1，则
1 t∈a，a，
x
1 t∈a，a，
若 0＜a＜1，则
∵y＝(t＋1)2－2，它关于 t 在(－1，＋∞)上单调递增． ∴当 a＞1 时，y 在 t＝a 处取得最大值，
x
当 a＝1 时，y＝1x＝1 无研究的必要． 所以规定 a＞0 且 a≠1.
[悟一法]
[例 1] 下列函数哪些是指数函数？ (2)y＝x4； (4)y＝(－4)x；
(1)y＝4x； (3)y＝－4x；
(5)y＝4x2；(6)y＝xx； 1 (7)y＝(2a－1) (a>类]
2．利用函数f(x)＝2x的图象，作出下列函数的图象： (1)f(x＋2)；(2)f(x)－2；(3)－f(x)． 解：(1)只需把f(x)＝2x的图象向左平移2个单位，即得f(x ＋2)的图象(图①)．图象过定点(－2,1)，形状与f(x)相同； (2)只需把f(x)＝2x的图象向下平移2个单位，即得f(x)－2的