指数与指数函数图像及性质
【知识要点】 1．根式
（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*
∈N n 。
（2）如果a x n
=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a
叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*
∈N n 。
(3)()
()
*∈>==N n n a a n
n
n ,1,
00。
(4)
,||,a n a n ⎧=⎨
⎩为奇数
为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。 2. 分数指数幂
(1)正分数指数幂的定义: n m n m
a a =()1,,,0>∈>*n N n m a
(2)负分数指数幂的定义: n
m n
m a
a
1=-
()
1,,,0>∈>*
n N
n m a
(3) 要注意四点：
①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。 (4)有理数指数幂的运算性质:
①s
r s
r
a a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；
② ()
rs s
r
a a =()Q s r a ∈>,,0；
③()r r r
b a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.
3.无理数指数幂
(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：
一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质
第一课时
【典例精讲】
题型一 根式、指数幂的化简与求值
1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a
=；
2.
(1,)
n a n n N
+
=>∈
,
,
||,
a n
a n
⎧
=⎨
⎩
为奇数
为偶数
；
3.
1
(0,,,)
n
m
n
m
n
a a m n N
m
a
-
+
=>∈且为既约分数
，=
a a
αβαβ
（）.
【例1】计算下列各式的值．
（1
（2
；（3
；（4
)
a b
>
.
正确解析：（1
8 =-
；
（2
|10|10 =-=
；
（3
|3|3
ππ
=-=-
；
（4
||() a b a b a b =-=->
.
温馨提醒：
(1) n
中实数a的取值由n的奇偶性确定，
只要
n
有意义，其值恒等于
a
，即
n a
=；
n的奇偶性限制，a R
∈
n的奇偶
性影响.
【变式1】求下列各式的值：
（1
（*
1,
n n N
>∈
且）；（2
.
【例2
】计算
)
2
130
1
34
1
0.02725631
7
-
-
⎛⎫
--+-+
⎪
⎝⎭
【答案】
)
2
130
1
34
11479 0.027256310.349641
7330 -
-
⎛⎫
--+-+=-+-+=
⎪
⎝⎭
【变式2】化简
3
4
]
的结果为（）
A ．5
B ．
C ．﹣
D ．﹣5
【答案】B
【解析】3234
[(5)]-=
==
，故选B
【变式3】1332-
⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0
＋14
84223
23⎛⎫- ⎪⎝⎭________.
【答案】2
【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×14
2－13
223⎛⎫= ⎪⎝⎭.
题型二 根式、指数幂的条件求值
1. 0a >时，0;b
a > 2. 0a ≠时， 0
1a =；
3. 若
,r s a a =则r s =； 4. 11112
22222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5.
11112222
()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.
【例3】已知1
12
2
3a a -+=，求下列各式的值.
（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）221
1
1a a a a --++++
【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将1
12
2
3a a
-+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.
（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以
2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得221
1471
6.171a a a a --+++==+++
