八年级数学图形的位似2

位似第1课时位似图形的概念及画法一、新课导入观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征呢？这就是这节课要研究的问题.〔板书课题〕〔1〕知道位似图形以及相似与位似的关系，能说出位似图形的性质.〔2〕能按要求作一个图形的位似图形，会利用位似作图将一个图形放大或缩小.3.学习重、难点重点：位似图形的概念、性质和位似作图.难点：利用作位似图形的方法将一个图形按一定的比例放大或缩小.二、分层学习〔1〕自学内容：教材P47.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学方法：观察、交流和归纳,并完成自学参考提纲.〔4〕自学参考提纲：①观察：以下各组图形中的两个图形，它们有什么特征？特点：两个图形相似；对应点所在的直线交于一点.②如果两个相似图形的对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似.③在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？位似中心可在两个图形之间或之外. 在各图形中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离，计算这两个距离的比与这两个相似图形的相似比有何关系？相等.④如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？如果AB∥CD, 那么△OAB和△OCD是位似图形吗? 为什么?AB∥CD，因为AB、CD是两个位似图形的对应边.如果AB∥CD,那么△OAB与△OCD是位似图形.因为AB∥CD,那么△OAB∽△OCD,又因为对应点连接交于O点，所以△OAB与△OCD是位似图形.2.自学：参考自学指导进行自学.〔1〕师助生：①明了学情：了解学生对位似图形定义的两个要素的把握情况.②差异指导：根据学情进行指导.〔2〕生助生：小组交流、研讨.〔1〕判断位似图形两要看：一要看这两个图形是否相似，二要看对应点的连线是否都经过同一点.〔2〕点学生口答自学参考提纲第④题，并点评.〔1〕自学内容：教材P47~P48练习之前的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：完成探究提纲.〔4〕探究提纲：①把四边形ABCD 放大到原来的2倍. 作法一：任取一点O ，过点O 分别作射线 OA 、OB 、OC 、OD ; OA 、OB 、OC 、OD 上取点 A′、B′、C′、D ′，使得2OA OB OC OD OA OB OC OD''''====. A′、B′、C′、D′ ，得到所要画的四边形A′B′C′D′. 作法二：自己独立完成.a.在四边形ABCD 外任取一点O ，过点O 分别作射线AO 、BO 、CO 、DO;b.分别在射线AO 、BO 、CO 、DO 上取点A′、B′、C′、D′,使得2OA OB OC OD OA OB OC OD''''====. c.顺次连接A′、B′、C′、D′，得到所要画的四边形A′B′C′D′. ②把四边形ABCD 缩小到原来的12. 作法同上，使12OA OB OC OD OA OB OC OD ''''====. ③如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原来的3倍. 如下列图.2.自学：参考自学指导，体会学习方法指导，展开自学.〔1〕师助生：① 明了学情：明了学生能否掌握位似图形的画图方法. ② 差异指导：根据学情进行指导. 〔2〕生助生：小组交流、研讨.(1)位似图形的画法.(2)点几名学生展示探究提纲第③题，并点评.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑虑？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价；从学生参与到学习活动中的积极性、小组交流与合作等方面进行评价；〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕.本课时通过创设情境让学生感受了什么是位似图形，接着通过实际操作让学生体会了位似图形的作法.学生之间相互交流讨论，明白位似图形是一种特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质，又具有特殊的性质.应用知识的迁移，引导学生快速掌握位似图形的性质.同时学会利用位似，可以将一个图形放大或缩小.一、根底稳固〔70分〕1.(10分)以下说法不正确的选项是〔D〕C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比2.(10分)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心〔D〕3.(10分)如图, △ABC与△DEF是位似图形, 相似比为2∶3, AB=4, 那么DE 的长等于(A)D.8 3第3题图第4题图4.(10分)如图, 点O是等边△PQR的中心, P′,Q′,R′分别是OP,OQ,OR的中点, 此时, △P′Q′R′与△PQR是位似三角形, 那么相似比、位似中心分别是(D)A.2,点PB.12,点PC.2,点OD.12,点O5.(10分)如图, 火焰的光线穿过小孔O, 在竖直的屏幕上形成倒立的实像, 像的高度BD=2 cm, OA=60 cm, OB＝15 cm, 那么火焰的高度为8 cm .6.(10分)如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心．解：〔1〕相似比为2∶1，位似中心为点A；〔2〕相似比为2∶1，位似中心为点B；〔3〕相似比为4∶1，位似中心为点C.7.(10分)如图，以点P为位似中心，将五角星缩小为原来的12.解：如下列图.二、综合应用〔20分〕8.(20分)如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心.〔1〕如果相似比为3，正方形ABCD 的位似图形是哪一个？〔2〕正方形IJKL 是正方形EFGH 的位似图形吗？如果是，求相似比； 〔3〕如果由正方形EFGH 得到它的位似图形正方形ABCD ，求相似比. 解：〔1〕正方形IJKL. 〔2〕是；3∶2. 〔3〕1∶2.三、拓展延伸〔10分〕9.(10分)如图, △ABC 与△A′B′C′是位似图形, 点A, B, A′, B′,O 共线, 点O 为位似中心.(1)AC 与A′C′平行吗? 请说明理由; (2)假设AB ＝2A′B′, OC′=5, 求CC′的长. 解：〔1〕AC ∥A′C′.∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形， ∴∠A=∠B′A′C′, ∴AC ∥A′C′.(2)∵△ABC 与△A′B′C′位似, ∴△ABC ∽△A′B′C′, ∴2OC ABOC A B =='''， ∴OC=10，∴CC′=OC -OC′=5.5.3.1 平行线的性质一、新课导入 1.导入课题：利用同位角、内错角、同旁内角之间的关系可以判定两条直线平行.你还记得这些判定方法分别是如何表达的吗？反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课我们所要研究的内容.〔板书课题〕2.学习目标：〔1〕能表达平行线的三条性质.〔2〕能运用平行线的三条性质进行简单的推理和计算.3.学习重、难点：重点：对平行线性质的理解及它们与平行线的判定之间的关系.难点：性质2和性质3的推理过程的逻辑表述.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P18的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：正确画图、测量、验证、归纳.〔4〕探究提纲：①画图：画两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交〔如图1所示〕.②测量：测量这些角的度数,把结果填入表内.③分析：∠1～∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？答案：同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，相等.④猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？⑤验证：如果改变截线的位置，你的猜想还成立吗？⑥归纳：a.你能用文字语言表述你发现的结论吗？b.你还能用符号语言表述该结论吗？2.自学：学生按探究提纲进行研讨式学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生围绕探究提纲进行学习的情况及存在的困惑.②差异指导：对个别学生在学法和认知有偏差时进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内学生之间相互交流，展示成果，查找并纠正不正确的认识或结论.4.强化：〔1〕平行线的性质1及其几何表述.〔2〕经历平行线的性质1的探究过程，体会研究几何图形的一般方法.1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P19的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：阅读教材，重要的局部做好圈点，疑点处做好记号.〔4〕自学参考提纲：①与平行线的判定类似，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？a.结合图2，你能写出推理过程吗？b.类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？答案：两直线平行，内错角相等.c.你还能用几何语言表述该结论吗？②a.类似地，可以推出平行线关于同旁内角的性质3:两直线平行，同旁内角互补，如图2，用几何语言表述为：∵a∥b,∴∠2+∠4=180°.b.试写出用性质1推出性质3的推理过程.c.试写出用性质2推出性质3的推理过程.③如图3，平行线AB、CD被直线AE所截.∠1＝110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？答案：∠2=110°.两直线平行，内错角相等.∠1＝110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？答案：∠3=110°.两直线平行，同位角相等.∠1＝110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？答案：∠4=70°.两直线平行，同旁内角互补.④如图4，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝39°，∠C是多少度？为什么？答案：∠C=39°.∵AB∥CD,∴∠C=∠FGB,又∵AE∥CF,∴∠A=∠FGB,∴∠A=∠C=39°.2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的自学情况，尤其是性质2和性质3的推理过程，看学生能否写出来.②差异指导：对局部感到困难的学生进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、订正.4.强化：〔1〕平行线的性质1、2、3及其几何表述.〔2〕判定与性质的区别：从角的关系得到两直线平行，就是判定；从直线平行得到角相等或互补，就是性质.〔3〕练习：课本P20“练习〞第1题和第2题.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组组长对本组的学习成果和困惑进行总结交流.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效及缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕:这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用标准性的几何语言.缺乏的是师生之间的互动配合和默契程度有待加强.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔60分〕1.〔10分〕如图，由AB∥CD可以得到〔C〕A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠4D.∠3＝∠4第1题图第2题图2.〔10分〕如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝〔C〕A.180°B.270°C.360°D.540°3.〔10分〕如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,那么如果第一次拐的角是76°,那么第二次拐的角是76度,根据是两直线平行，内错角相等.4.〔10分〕如图,要在公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以60°角度铺设纵向联通管道,根据是两直线平行，同旁内角互补.第3题图第4题图第5题图5.〔20分〕如图,a∥b,c、d是截线，假设∠1＝80°，∠5＝70°，求∠2、∠3、∠4各是多少度?为什么？解：∵a∥b，∴∠2=∠1=80°〔两直线平行，内错角相等〕,∠3=180°-∠5=110°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠4=∠3(两直线平行，同位角相等)，∴∠4=110°.二、综合运用〔20分〕6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数.解：由题意得：∠3=∠1=45°,∠1+∠7=180°,∴∠7=180°-∠1=135°.∴∠8=∠7=135°.又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°-∠2=58°.∴∠6=∠5=58°.三、拓展延伸〔20分〕7.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°.〔1〕∠DAB等于多少度？为什么？〔2〕∠EAC等于多少度？为什么？〔3〕∠BAC等于多少度？〔4〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：〔1〕∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B=44°〔两直线平行，内错角相等〕.〔2〕∵DE∥BC，∴∠EAC=∠C=57°(两直线平行，内错角相等).〔3〕∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°.。

一、教与学目标：1、了解位似变换及位似图形的有关概念，能得用位似变换将一个图形放大或缩小。

2、 经历图形的位似变换和平移、旋转的过程，体会图形之间的变化过程以及内在的联系。

二、教与学重难点： 重点：了解位似图形的有关概念及性质，能利用位似变换将一个图形放大或缩小。

难点：运用图形的相似解决实际问题。

教学过程一、情境导入：1．位似图形的概念：下列三幅图有什么共同特点？定义：如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 2．观察位似图形下列图形中，每个图中的四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′都是相似图形.分别观察这五个图，哪些是位似图形，哪些不是位似 图形？为什么？ ：个性化修改显然，位似图形是相似图形的特殊情CD C 1D 1C 1D 1C D C 1D 1C D A BC D A 1 B 1 C 1 D 1A B CDC 1 A 1D 1 B 1 (1) (2)形，其相似比又叫做它们的位似比.（学生经过小组讨论交流的方式总结得出：）特点：（1）两个图形相似：（2）每组对应点所在的直线交于一点。

二、探究新知：1、做一做：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是。

（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）△ABC与△ADE（①DE∥BC；②∠AED＝∠B）2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.2.位似图形的性质例1.等边△A BC与等边△A′B′C′是位似图形，请找出位似中心，并求出位似比。

从中，我们可以看到，△ABO∽△A′B′O,则OAOA′＝OBOB′＝ABA′B′.图中同样可以看到AF AD ＝AP AC ＝AE AB ＝EP BC ＝FP DC位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 精讲点拨：位似图形的画法例 2.如图，请以坐标原点O 为位似中心，作ABCD 的位似图形，并把ABCD 的边长放大3倍. 想一想：(1)四边形GCEF 与四边形G ′C ′E ′F ′具有怎样的对称性？(2) 以原点为位似中心的位似图形中像与原像对应点的坐标有何关系？ 三、学以致用： （一）、巩固新知： 1、下面每组图形中都有两个图形. （1）哪一组中的每两个图形是位似图形? （2）作出位似图形的位似中心2、如图AB ，CD 相交于点E ，AC ∥DB. △ACE 与△BDE 是位似图形吗？为什么？（（（(((CADBE（二）、能力提升：1、如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长缩小到原来的一半.2、如图，在直角坐标系中，△ABC 的各个顶点的坐标为A （－1，1），B （2，3），C （0，3）.现要以坐标原点O 为位似中心，位似比为23 ，作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，则它的顶点A ′、B ′、C ′的坐标各是多少？ 四、达标测评：1、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形__________（填“一定”、“不”或“可能”等）2、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中_____________中的两个图形是位似图形。

《利用位似放缩图形》教学设计一、教材分析：本节课是鲁教版八年级下册第九章《图形的相似》第9节第一课时内容，《图形的相似》是属于数学课程标准“空间与图形”的重要内容之一。

这一单元是整个图形与变换板块的基础，在结构上起着承上启下的作用。

而图形的位似是图形的相似的延伸和深化，是在学生已经掌握了相似图形相关知识和具备一定图形研究方法的基础上，再来研究图形的位似，进一步对相似强化理解，更为相似三角形的应用作了一定的铺垫。

二、学情分析：学生已较为系统地掌握了相似图形的相关知识及研究图形的一般方法，且具有一定的数学活动经验。

初三学生思维敏锐，具备一定的逻辑推理能力，对自主学习有着浓厚兴趣，渴望充分展示和表现自己，获得成功的体验。

三、教学目标：（一）知识与技能目标：1. 理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质。

2. 利用位似图形的性质，掌握作位似图形的方法，并学会对图形放大或者缩小。

（二）过程与方法目标：经历位似图形概念和性质的探索过程，进一步发展学生探究和交流合作的能力。

培养学生的动手能力、几何语言表达能力以及几何识图能力。

（三）情感与态度目标：增强学生学数学的愿望和信心，培养学生爱思考、善于交流的良好学习习惯，通过对图形的放大和缩小，使学生进一步体会几何图形的形象直观美。

四、教学重难点：重点：了解位似图形及其有关概念，将一个图形放大或缩小难点：能根据位似图形的性质，利用作位似图形的方法，将任意一个几何图形放大或者缩小。

五、教学策略：本节课依照新数学课程标准的要求，结合学生已有的知识和能力水平，从提高学生数学兴趣入手，采用启发式、类比式教学，在教学中力求体现“问题情境——问题解决——知识延伸——归纳概念”的模式。

六、课时安排：1课时老师演示′BB′结合1、2图，得出图形可以在位2、正五边形ABCDE与正五边形B′C′D′E′是位似图形吗？3、如果将正五边形换成五边形，结论还成立吗？若△ABC与△A’B’1:2，则OA：OA’=八、板书设计：。

2024《图形的位似》说课稿范文今天我将给大家说一下《图形的位似》这一课程的内容。

下面我将从以下几个方面进行阐述。

一、说教材1、《图形的位似》是人教版小学数学七年级下册第一单元的内容。

它是在学生已经学习了比例尺及其应用的基础上进行教学的，是小学数学中的重要知识点，也是几何的基础。

2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解位似的概念，掌握图形的位似判定方法。

②能力目标：培养学生观察、分析和推理的能力，提高解决图形位似问题的能力。

③情感目标：在图形的位似判定和应用中，培养学生的兴趣，激发学生对数学的热爱。

3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解位似的概念，能够判定图形的位似关系。

难点是：通过观察、分析和推理判定图形的位似关系。

二、说教法学法以学生为主体，以问题为导向是本节课的教学理念。

因此，这节课我采用的教法：启发式教学法，探究式教学法；学法是：自主学习法，合作学习法。

三、说教学准备在教学过程中，我准备了一些教具和实物图形，以便更好地帮助学生观察、比较和判定图形的位似关系。

四、说教学过程根据教材内容和教学目标，我设计了以下教学环节。

环节一、谈话引入，导入新课。

课堂开始，我会通过一道问题导入新课：如果有两个图形A和B，它们的形状相似，但是大小不一样，你们认为它们是否位似？学生可以思考一下并给予回答。

然后，我会向学生介绍位似的概念，并引导学生思考如何判定图形的位似关系。

环节二、观察实物图形，导入位似判定方法。

为了帮助学生更好地理解位似的概念和判定方法，我将准备一些实物图形，让学生观察它们的形状和大小，并让学生尝试比较和判定它们的位似关系。

通过学生的观察和比较，我将逐步引导学生总结出图形位似的判定方法。

环节三、学生合作探究，发现位似规律。

在这个环节，我会让学生分成小组，让每个小组选择一些图形进行观察和探究。

每个小组都需要观察和比较图形的形状和大小，并通过合作讨论，尝试找出位似的规律和判定方法。

第1篇教学目标：1. 知识与技能：理解位似的概念，掌握位似图形的性质，能够识别和运用位似变换解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、实验、讨论等方式，培养学生的几何直观能力和抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的科学态度和团队合作精神。

教学重点：1. 位似的概念和性质。

2. 位似变换的应用。

教学难点：1. 位似图形的识别和性质的理解。

2. 位似变换在实际问题中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 教学模型或实物。

3. 学生分组。

教学过程：一、导入1. 展示生活中常见的位似现象，如放大镜、望远镜、相机等，引导学生思考位似现象的特点。

2. 提问：什么是位似？位似图形有什么特点？二、新课讲授1. 定义位似：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不同，那么这两个图形是位似的。

2. 位似图形的性质：a. 对应角相等。

b. 对应边成比例。

c. 位似中心是两个位似图形的对应点连线的交点。

3. 位似变换：a. 定义：将一个图形绕某一点按一定比例放大或缩小，得到的新图形与原图形位似。

b. 位似变换的性质：位似变换保持图形的形状，只改变图形的大小。

三、课堂练习1. 识别位似图形，判断两个图形是否位似。

2. 根据位似图形的性质，找出对应角、对应边和位似中心。

3. 利用位似变换解决实际问题，如计算相似三角形的面积比。

四、小组讨论1. 分组讨论位似变换在实际生活中的应用，如建筑设计、地图绘制等。

2. 每组派代表分享讨论成果。

五、总结与拓展1. 总结位似的概念、性质和变换方法。

2. 拓展：研究位似图形的对称性、中心对称性等性质。

六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固位似的相关知识。

2. 收集生活中位似现象的例子，并分析其位似性质。

教学反思：1. 本节课通过观察、实验、讨论等方式，使学生掌握了位似的概念、性质和变换方法。

2. 在教学过程中，注重培养学生的几何直观能力和抽象思维能力。

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。

考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。

23.5 位似图形学习目标1. 会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。

2. 理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形。

知识详解1. 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。

这点O叫做位似中心。

利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。

2. 如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便。

【典型例题】例1：在下列图形中，不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形。

例2：下列说法中正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形一定是位似图形C．两个位似图形一定在位似中心的同侧D．位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行【答案】A【解析】根据位似图形的定义可知：A、位似图形一定是相似图形，故本选项正确；B、相似图形不一定是位似图形，故本选项错误；C、两个位似图形可以在位似中心的同侧或异侧，故本选项错误；D、位似图形中每对对应点所在的直线必交于一点，故本选项错误。

例3：如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD=12 OD′，则A′B′：AB为（）A．2：3B．3：2C．1：2D．2：1【答案】D【解析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比．∴A′B′：AB=OD′：OD=2：1【误区警示】易错点1：位似变换1. 如图：已知点M、N、P、Q分别为菱形ABCD四边上的中点，下列说法正确的是（）A．四边形MNPQ是菱形B．四边形MNPQ与菱形ABCD相位似C．四边形MNPQ与菱形ABCD周长之比为1：2D．四边形MNPQ与菱形ABCD面积之比为1：2【答案】D【解析】A、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故本选项错误；B、矩形不可能和菱形位似，故本选项错误；C、利用中位线的性质可知矩形的周长等于对角线的和，而菱形的周长不等于其两条对角线的和，故本选项错误；D、利用菱形和矩形的面积计算方法可知：设对角线长分别为a、b，菱形的面积为12ab，矩形的面积等于111224a b ab⨯=，所以两图形的比为1：2，故本选项正确．易错点2：位似图形2. 如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D【解析】∵将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于他们的交点∴三个正六边形彼此位似∴成位似图形关系的有3对．【综合提升】针对训练1. “标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A．左上B．左下C．右上D．右下2. 如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点（）A．AB．BC．CD．D3. 关于对位似图形的表述，下列命题正确的是．（只填序号）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．1.【答案】B【解析】开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下较小的“E“是位似图形。

第五节 位似图形要点精讲（1）位似图形的定义：如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（2）位似图形的性质：如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O ，相似比为k ，那么：①设A 与是一双对应点，则直线过位似中心O 点，并且．②设A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线AB 、不通过位似中心O ，则．（3）位似图形是相似图形的一种特殊情况，利用位似，可以将一个图形放大或缩小。

（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或。

典型例题【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．【答案】解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）【解析】未似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．【例1】 把下图中的四边形ABCD 缩小到原来的21．【答案】（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如下图。

【解析】：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．。

中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1. 位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

2. 位似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 。

练习题1、（2022•百色）已知△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是（ ）A ．1：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【分析】利用为位似的性质得到△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是1：9．故选：C ．2、（2022•梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知 OA OA ＝31，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，＝，∴＝＝， 则四边形A ′B ′C ′D ′面积为：18．故选：D ．3、（2022•威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）A ．（34）3B ．（34）7C ．（34）6D ．（43）6 【分析】根据余弦的定义得到OB ＝OA ，进而得到OG ＝（）6OA ，根据位似图形的概念得到△GOH 与△AOB 位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos∠AOB＝，∴OB＝OA，同理，OC＝OB，∴OC＝（）2OA，……OG＝（）6OA，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，故选：C．4、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．5、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC 的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF 的周长．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．6、（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，而点A（4，0），点C（2，0），∴相似比为4：2＝2：1，∴△OAB与△OCD周长的比值为2．故答案为：2．7、（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．8、（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．。

《图形的位似》教学设计经历观察.操作.分析等数学活动过程,通过详细实例认识中心对称,知道中心对称的性质.⒈中心对称的涵义⒉中心对称的性质.⒊成中心对称的图形的画法⒈中心对称的性质.⒉成中心对称的图形的画法通过详细的中心对称实例,让学生经历观察.操作.分析等数学活动,从而让学生认识中心对称,知道中心对称的性质,最后通过画图操作,进一步加深对性质的理解,同时掌握利用中心对称的根本性质作图的技能.利用课本提供的两个实物图，引导学生观察、探索：他们的形状、大小是否相同？如果将其中一个图形绕着某一点旋转180 ，能与另一个重合吗？⒈ 引出概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点说一说：观察你生活的周围各处，指出几个中心对称的现象，并加以数学描述。

【设计说明：通过对生活中的中心对称现象的描述，加深了对中心对称的理解，锻练了用数学语言进展表达的能力】⒉ 探索活动活动一用一张透明纸覆盖在图3-5上，描出四边形ABCD。

用大头针钉在点O处，将四边形ABCD绕点O旋转180度问题一：四边形ABCD与四边形关于点O成中心对称吗？问题二：在图3-5中，分别连接关于点O的对称点A和、B 和、C和、 D和。

你发现了什么？成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分【设计说明：让学生在操作与观察的根底上，发现中心对称的两个图形具有（一般地）旋转的一切性质，且具有特殊的性质——对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分】活动二中心对称与轴对称进展类比轴对称中心对称有一条对称轴——直线有一个对称中心——点图形沿对称轴对折（翻转180度）后重合图形绕对称中心旋转180度后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。

【设计说明：中心对称与轴对称都是指两个图形按某种规那么运动能互相重合的特殊位置关系，教学中，将他们进展类比，进一步加深对中心对称的理解】练一练课本98页练习1【设计说明：学习概念后，把概念直接运用到题目中，这是一个从一般到特殊的过程，也是数学学习的一大特点。

关于相似形和位似形的对比河南 曹旭忠相似形和位似形好比一对孪生兄弟，它们有着千丝万缕的联系，但也有明显的区别．我们只有正确理解和掌握它们的区别与联系，才能更好的应用它们来为我们服务． 一、从原始概念作比较形状相同的图形叫做相似形．与这些图形的大小、位置无关． 形状相同而又存在一定位置关系的图形叫做位似形．与这些图形的大小无关，但与它们的位置有关．二、从数学定义作比较相似形：如果两个图形的形状相同，那么这样的两个图形叫做相似图形．如图1所示．位似形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形．对应点所在的直线的交点叫做位似中心．如图2所示． 三、从性质方面作比较相似形：对应角相等；对应点连结的线段都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．比如相似三角形：对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角的平分线以及周长等，它们的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方．又如相似多边形：对应角相等；对应边、对应对角线以及周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．例如在图3中，如果111ABC A B C △∽△，相似比为k ，CD ，11C D 分别是它们的高（或中线或角平分线），那么1A A ∠=∠，1B B ∠=∠，111ACB A C B ∠=∠；11111111::::AB A B BC B C AC A C CD C D k ====；111111():()AB BC AC A B B C A C k ++++=；1112:ABC A B C S S k =△△．位似形：它不仅具有相似形的所有性质，而且还有如下性质： 1．任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，这个相似比也可称为位似比． 2．对应线段互相平行．例如在图4中，如果ABC △与111A B C △位似，位似中心为O ，位似比为k ，CD ，11C D 分别是它们的高（或中线或角平分线等），那么除了这些等式（1A A ∠=∠，1B B ∠=∠，111ACB A C B ∠=∠；11111111::::AB A B BC B C AC A C CD C D k ====；111111():()AB BC AC A B B C A C k ++++=；1112:ABC A B C S S k =△△）之外，还有111:::OA OA OB OB OC OC k ===；11AB A B ∥，11BC B C ∥，11AC A C ∥，11CD C D ∥．四、从识别方法上作比较 相似形需要满足的条件是： 1．对应角相等． 2．对应边成比例．位似形需要满足的条件是： 1．对应角相等． 2．对应边成比例．3．每组对应点所在的直线都必须经过同一个点． 五、应用方法的比较1．如图5，利用小镜子、标杆、皮尺测量建筑物的高度．这是利用的相似三角形的性质．如图6，利用太阳光下人与建筑物的影子、皮尺测量建筑物的高度．这是利用的位似三角形的性质．当然，也可以说利用的是相似三角形的性质．2．如图7，1l ，2l 是一条河的两岸，要测量这条河的宽度，可以在河的岸边用木桩确定一个直角梯形ABCD ，并且沿A D 和BC 的方向观测到河对岸一点O ，量得AB AD ，，DC 的距离，就可以计算出OD 的长，即河的宽度．这个问题中，OAB △和ODC △我们可以看作相似三角形，也可以看成位似三角形．总有O A B O D C △∽△．于是::OD OA CD AB =．因为O A O D D A =+，所以:():O D O D D A C D A B +=，所以O D A B C D O D D A=+ ．所以C D D A O D AB C D=- ．我们可以用画位似图形的方法，画一个图形的相似图形，也可以把一个图形放大或缩小．比如美术课老师带同学写生时，伸开右臂用铅笔测量景物的比例，就是根据画位似图形的道理．关于相似形和位似形的应用很多，不再枚举．从上面的讨论可以看到，相似形和位似形有着许多共同的性质．但是由于位置的不同也存在一定的区别．把两张大小不一的中国地图挂在同一个墙壁上，就形成位似图形．而挂在不同方向的墙壁上，就只能是相似形了．。