浙教版初中数学第四章 因式分解章末复习 教学设计
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期末复习四 因式分解
复习目标
要求 知识与方法
了解 因式分解的意义
因式分解与整式乘法之间的关系
添括号法则
理解
提取公因式法分解因式
用平方差、完全平方公式分解因式
运用 利用因式分解解决实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 把一个多项式化成几个
，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有
的关系．
2． 一个多项式中每一项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式． 把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做
．
3． 公式法分解因式
a2－b2= ；
a2±2ab+b2= .
二、防范点：
1． 提取公因式法分解因式时提取的公因式要彻底，并且注意不要漏项．
2． 因式分解要注意分解到底．
例题精析
考点一 因式分解的概念
例1 （1）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． （a+1）（a－1）=a2－1
B． 2a－2b=2（a－b）
C． a2－2a+1=a（a－2）+1
D． a+2b=（a+b）+b （2）下列因式分解正确的是（ ）
A． ab+ac+ad+1=a（b+c+d）+1
B． （x+1）（x+2）=x2+3x+2
C． a3+3a2b+a=a（a2+3ab+1）
D． x2－y2=（x+y）（y－x）
反思：因式分解是把多项式变成乘积形式，判断因式分解先要看是否符合形式，再判断运算的正确性．
考点二 添括号
例2 下列添括号错误的是（ ）
A． 3－4x=－（4x－3）
B． （a+b）－2a－b=（a+b）－（2a+b）
C． －x2+5x－4=－（x2－5x+4）
D． －a2+4a+a3－5=－（a2－4a）－（a3+5）
反思：添括号和去括号类似，注意括号前为“－”号，括号里各项都要变号．
考点三 用提取公因式法、公式法分解因式
例3 （1）在下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． m2+n B． m2－m－1 C． m2－m+1 D． m2－2m+1
（2）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是（ ）
A． x2－1 B． x（x－2）+（2－x）C． x2－2x+1 D． x2+2x+1
（3）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值为（ ）
A． b=3，c=－1 B． b=－6，c=2 C． b=－6，c=－4 D． b=－4，c=－6
（4）因式分解：
①7x2－63；
②x3 －6x2+9x；
③4（a－b）2－8a+8b；
④a4－8a2b2+16b4.
反思：分解因式时常先看有无公因式，再考虑能否使用公式法分解，并注意分解一定要进行到底．
考点四 因式分解的应用
例4 （1）对于任何整数，多项式（n+5）2－n2一定是（ ）
A． 2的倍数 B． 5的倍数 C． 8的倍数 D． n的倍数
（2）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为 ．
（3）已知正方形的面积是9a2+6a+1（a>0），则该正方形的边长是 ．
（4）用简便方法计算：
①20162－2015×2016；
②0.932+2×0.93×0.07+0.072.
反思：因式分解的应用往往是利用因式分解进行求值，注意把各代数式进行因式分解即可．
校内练习
1． 若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是（ ）
A． 1 B． －1 C． 3 D． －3
2． 9x3y2+12x2y2－6xy3的公因式为 ．
3． 若关于x的多项式x2－px－6含有因式x－3，则实数p= ．
4. 因式分解：16－8（x－y）+（x－y）2= .
5. 因式分解：4xy2－4xy+x= .
6. 将x2－2x－3因式分解的结果是（x+1）（x+a），则a= .
7. 简便计算：101×99= .
8. 分解因式：
（1）2a3－8a；
（2）－3x2－12＋12x；
（3）（a＋2b）2＋6（a＋2b）＋9；
（4）2（x－y）2－x+y；
（5）（a2＋4b2）2－16a2b2.
9. 已知x2＋5x－991＝0，求x3＋6x2－986x＋1027的值．
10. 下面是某同学对多项式（x2－4x＋2）（x2－4x＋6）＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步）
＝y2＋8y＋16（第二步）
＝（y＋4）2（第三步）
＝（x2－4x＋4）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果： ；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行分解．
参考答案 期末复习四 因式分解
【必备知识与防范点】
1. 整式的积的形式 互逆
2. 相同的因式 提取公因式法
3. （a+b）（a－b） （a±b）2
【例题精析】
例1 （1）B （2）C
例2 （1）D
例3 （1）D （2）D （3）D
（4）①7x2－63=7（x2－9）=7（x+3）（x－3）
②x3－6x2+9x=x（x2－6x+9）=x（x－3）2
③4（a－b）2－8a+8b=4（a－b）2－8（a－b）=4（a－b）（a－b－2）
④a4－8a2b2+16b4=（a2－4b2）2=（a－2b）2（a+2b）2
例4 （1）B （2）24 （3）3a+1
（4）①20162－2015×2016=2016×（2016－2015）=2016
②0.932+2×0.93×0.07+0.072=（0.93+0.07）2=1
【校内练习】
1. C
2. 3xy2
3. 1
4. （4－x+y）2
5. x（2y－1）2
6. －3
7. 9999
8. （1）原式＝2a（a2－4）＝2a（a＋2）（a－2）．
（2）原式＝－3（x2－4x＋4）＝－3（x－2）2.
（3）原式＝[（a＋2b）＋3]2＝（a＋2b＋3）2.
（4）原式＝2（x－y）2－（x－y）=（x－y）（2x－2y－1）.
（5）原式＝（a2＋4b2）2－（4ab）2＝（a2＋4b2＋4ab）（a2＋4b2－4ab）＝（a＋2b）2（a －2b）2.
9. 原式＝x3＋5x2－991x＋x2＋5x－991＋991＋1027＝x（x2＋5x－991）＋（x2＋5x－991）＋2018＝2018.
10. （1）C （2）不彻底 （x－2）4 （3）设x2－2x＝y，则原式＝y（y＋2）＋1＝y2＋2y＋1＝（y＋1）2＝（x2－2x＋1）2＝[（x－1）2]2＝（x－1）4.
