空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法
- 格式：pdf
- 大小：204.51 KB
- 文档页数：6
第34卷第4期2000年7月浙 江 大 学 学 报 (工学版)JournalofZhejiangUniversity (EngineeringScience)Vol.34№.4July2000
收稿日期:1998-12-01基金项目:国家“863”计划资助项目(863-2-4-1-12)作者简介:陈务军(1969-),男,重庆云阳人,浙江大学博士,现为上海交通大学博士后,从事空间结构研究.文章编号:1008-973X(2000)04-0382-06
空间可展开桁架结构展开过程
分析的理论与方法
陈务军,关富玲,董石麟,张京街
(浙江大学土木工程学系,浙江杭州310027)
摘 要:以理想桁架节点笛卡尔坐标为未知量,全面建立了复杂桁架结构的几何约束方程,并推导出相应的几何约束Jacobi矩阵,建立了空间展开桁架结构展开过程分析的理论与方法,系统地分析了机构特
性,阐明了展开过程的力学本质特点,明确提出展开目标函数的概念.关键词:展开结构;展开过程分析;约束Jacobi矩阵中图分类号:V414;V414.1 文献标识码:A
空间展开桁架结构的主要特点为:¹在地面及发射阶段为收纳状态,发射定轨后锁定为稳定的
展开状态;º结构由折叠到展开为不稳定向稳定转化的过程;»杆件、接点数量大,几何拓扑关系复
杂,接点形式简洁,构架单元具有高度一致性;¼轻质、高抗振,形式丰富.因此,空间展开桁架结构
被广泛应用于空间平台、可展式天线、太阳帆、伸展臂等.美、俄、日等在展开桁架结构设计、分析、技
术开发等方面做了大量工作,我国于20世纪90年代初开始这一领域的研究[1].
空间展开桁架结构作为结构学研究的主要内容为:¹可展体系研究;º机构分析与展开动力特
性研究;»结构特性研究.可展体系的创新是宇航工程师永远的追求;接点间隙引起的动力非线性
和柔性动力控制是结构特性研究的重点方向;展开动力学研究是一般力学研究的热点,主要采用
Euler,Lagrange,Kane方法建立多体(刚体、柔体)系统微分方程,由Gear积分法求解.目前国外对
复杂展开桁架结构展开性能的研究主要基于实验,如足尺接点、构架单元实验等,整体模型实验,仅
对接点机构、构架单元进行动力分析模拟,或对整体进行等惯量矩简化模拟分析.空间展开桁架结
构展开方式大体上分为:¹瞬间爆炸式展开(非控方式),持续时间极短,约为0.5～1s;º渐进可控
展开,持续时间长,为10～30min.目前在微机甚至于工作站上都很难有效地模拟复杂展开桁架结
构的展开动力行为[1].
本文根据不稳定结构分析的理论[2]和机构学知识[3],以绝对坐标描述位形,以理想杆件作为基
本单元,建立了“展开过程”分析的理论与方法,有效地进行机构特性分析,判定杆件位置协调与干扰属性,确定展开过程位形的变化轨迹,适合展开结构初步设计分析.
1 展开桁架结构几何约束关系
基本假设:¹理想直杆,节点具有三个相对转动自由度;º杆单元长度保持不变;»结构为稳态
移动变化;¼忽略摩擦力、结构缺陷等.
展开结构几何约束决定其机构特性、广义运动自由度、几何位形变化特征.将几何约束按构造
分三类:¹杆长刚体几何约束;º附加接点几何约束,如滑枕等;»边界条件.
图1 杆单元节点坐标Fig.1 Coordinatesofthepoleelementnodes1.1 杆长刚体几何约束
杆单元如图1,设杆长la,两端节点i,j坐标为
X′i=(xi yi zi)′,X′j=(xj yj zj)′.(1)
杆长la由杆端节点坐标表示为
[(Xi-Xj)′(Xi-Xj)]12=la.(2)
对式(2)求一阶导数,则
laa=Kaa(Xõj-Xõi)=[-K′a K′
a]Xõi
Xõj,(3)
式(3)中,Ka=1la(Xj-Xi).
对所有杆件单元写成(3)式,并整理为矩阵
AXõ=Eõ,(4)
式(4)中,A(b×n)为约束矩阵,b为杆件数,n=3N为总自由度,N为理想杆件的节点.
Xõ=(xa1xa2…xan)T,Lõ=(la1la2…lab)T,(5)
由杆件为刚体的假设,la=0,得
AXõ=0.(6)
1.2 接点附加约束
实际桁架杆件节点并不都具有三个转动自由度,如滑枕、套筒、固定角度、刚接、剪式铰单元、T
型接点等,可通过在理想杆端附加几何约束方程来模拟各种复杂节点的几何约束.
图2 滑动铰构造Fig.2 Sliphingestructure1.2.1 滑动机构 滑动铰构造如图2,节点k为滑块,与一个或两个单元的节
点相连,并始终在单元i-j上滑动,则i-j-k点之间满足几何约束
xk-xjxi-xj=yk-yjyi-yj=zk-zjzi-zj.(7)
对式(7)求一阶导数,并整理为
BsXõs=0.(8)
式(8)中,Bs=-yjkxjk0-ykixki0-yijxij0
-zjk0xjk-zki0xki-zij0xij,
Xõs=(xai yai zai xaj yaj zaj xak yak zak).
图3 交叉杆单元接点Fig.3 Jointoftheintercrossedpoleelement1.2.2 交叉固定接点 理想杆单元i-j与k-l交叉形成一个整体交叉单元,
见图3.交叉点o的位置与交叉角度由设计者根据构造要求决定.杆单元i-j,k-l满足几何约束
cosH=XijXkllijlkl,(9)
ba+bXi+aa+bXj=dc+dXk+cc+dXl,(10)
式(10)中,Xij=Xi-Xj,Xkl=Xk-Xl,lij,lkl,H为设计参数.将式(9)和式(10)求一阶导数,合并整理为
HõsinH
0=-XkllijlklXkllijlkl-XijlijlklXijlijlklba+bIaa+bI-dc+bIcc+dIXõc
,(11)
式(11)中,I3×3为单位阵,Xõc=[Xõi Xõj Xõk Xõl]′.假设两杆之间的角度在运动过程中不变,即
Hõ=0,则上式可简写为383第4期 陈务军,等:空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法BcXõc=0,(12)
Bc可由相应表达式得到.
对套筒、剪式单元铰、刚接、T型连接等节点,可据空间几何关系写出相应的几何约束方程,并
推导出对应的几何约束Jacobi矩阵.1.3 边界条件
杆件节点与空间平台边界可为球铰、销铰等,其约束与约束导数方程可概括为5j(x1x2…xnt)=0, j=1,2,…,Nb.(13)
BbXõb=0,(14)
式(13)中,Nb为构造连接数,Bb可由相应表达式导出.上面三类构造约束可以有非完整约束情况,本文仅考虑几何完整约束.
2 系统机构特性分析
对理想桁架体系,建立力法平衡方程[4]:
A0R-=l0,(15)
式(5)中,A0(n×b)为平衡矩阵,R-(b)为杆件轴力,l0(n)为节点载荷向量,n=3N.矩阵A0的行代
表节点向量空间,列代表杆件单元向量空间,它全面反应了体系内节点、单元数量以及空间拓扑关
系,矩阵A0的秩是揭示这些向量关系的本质特征参数.
设rankA0=r0,m0=n-r0,s0=b-r0,则s0表示自应力状态数,超静定次数;s0=0为体系静定;m0表示刚体位移模态数.
由虚功原理可证明式(4)中几何约束Jacobi矩阵A(b×n)与式(15)的平衡矩阵A0有:A0=
AT,因此,矩阵A可全面反应理想桁架结构的机构特性.
对空间展开桁架结构,节点不全为理想球铰接(按运动学描述),必须考虑各种复杂接点和边
界.将式(6),(8),(14)等合并整理为
BXõ=AJXõ=0,(16)
式(16)中,J(m1×n)为包括附加接点与边界的约束矩阵,m1=nc+nb,nc为接点附加约束条件数,
nb为边界条件数.B(m×n)统称为体系几何约束Jacobi矩阵,m=m1+b,它全面反应了体系节点
数、杆件数、各种复杂接点、边界和空间拓扑关系.
约束Jacobi矩阵的秩和零空间基是揭示体系机构特性的本质量,而秩又是求取零空间基向量
的基础.当约束条件的独立性不确定时,求秩最可靠的方法为奇异值分解.设约束Jacobi矩阵奇异值分散形式为[5]
B=USV′=[U1 U2]2r0
00V′1V′2,(17)
式(17)中,U(m×m),V(n×n)为正交阵,U1为(m×r)矩阵,U2为m×(m-r)矩阵,V1为(n
×r)矩阵,V2为n×(n-r)矩阵,2r=diag(R1,…,Rr),r=rank(B).矩阵U1为B∈Rm的正交
基,U2为B′的零空间基;而矩阵V1为B′∈Rn的正交基,V2为B的零空间基.
设p=n-r,则p>0表示结构具有p个广义运动自由度,即约束Jacobi矩阵B零空间基的
维数dimN(B).当p<0时,表示结构有效几何约束数超过3N,结构为稳定状态,不具有运动自由度,而且具有p个自应力状态.
设q1=b-r,b为理想桁架杆件刚体几何约束数.因为杆件刚体约束方程始终独立,q1>0表
示结构内至少有q1个自应力状态.
设q2=m-r=(b+m1)-r,并不能说明结构内具有q2个自应力状态,因为附加的m2个几何约束方程并不一定完全独立,因此,展开桁架结构内自应力状态数大于等于q1、小于等于q2.作为384浙 江 大 学 学 报(工学版) 2000年可展开折叠桁架结构,结构整体在展开过程中结构内部必须具有运动自由度,即p>0.
3 系统展开过程解
将结构在任一展开过程状态向量X(t+$t)在状态X(t)处Maclaurin级数展开,并忽略高阶项,即稳态线性移动,则t+$t时位置矢量为
X(t+$t)=X(t)+Xõ(t)$t.(18)
结构在展开过程中始终满足几何约束条件式(16).由线性代数可知,式(16)解为
Xõ=HA,(19)
式(19)中,A=(A1 A2 … Ap)为p维任意矢量,H=(h1 h2 … hp)为Jacobi矩阵B的零空
间基.
据矩阵性质,由(17)式可知
V′2B=0,(20)
式(20)表明V′2为矩阵B的正交补阵,即矩阵B的零空间基.约束Jacobi矩阵零空间基表示系统的
刚体位移模态,它由结构自身的几何拓扑关系决定,与外力无关,可表示为
V′2=Null(B)=[V12 V22 … Vp2]′=H=[h1 h2 … hp]′.(21)
将(21)式代入(19)式,并将(19)式代入(18)式,得t+$t时刻位置矢量
X(t+$t)=X(t)+V′2A$t.(22)
结构在外力矢量f(包括节点驱动外力、自重等)作用下,向目标(稳定)状态运动.由能量原理
可知,如果外力对结构体系作功,则结构体系运动;如果外力对结构体系不作功,则结构在该力系下
稳定.外力对结构体系是否作功是结构能否移动的原因,因此,将式(22)中矢量A设为外力在刚体
位移模态上所作“功”的“功率”的倍数[2],即
A=A1MAp=
A
0V1′2f
M
Vp′2f,(23)
式(23)中,Vi′2f表示力矢量f在这一刚体位移模态Vi2上的“功率”,则Vi′2fA0$t表示f在A0$t内的功.
设A0$t=B,称其为广义增量.因B为任意小量,影响结构展开折叠过程分析的是外力矢量模态f和
刚体位移模态Vt2,而其大小只影响B和计算步数的选取.结构体系的刚体位移模态,即几何约束
Jacobi的零空间V′2,为单位矢量,由结构状态参数-几何拓扑关系、节点约束、边界条件确定.除重力
