尊敬的评委老师：
大家下午好！
我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。
下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。
首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。
下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。
我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。
这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。
下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此
可以考虑对函数在闭区间上应用罗尔定理加以证明，如何找到满足罗尔定理条件的函数就成为了证明中的一个难点，所以大家必须注意这个函数的构造方法，下面就是函数构造的思路，注意到待构造的函数满足……，而……，由导数的四则运算法则，……，因此可以选取……，其中…为任意常数。证明思路已经有了，下面我们来写一下这个定理的证明过程。首先构造辅助函数（为简化证明过程，这里取常数C=0），由连续函数的性质和导数的性质，有函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且……，显然……，由罗尔定理，至少存在一点属于开区间，使得……，也即……。证毕。
对于该定理的证明，我们用到了构造辅助函数的思想，也就是通过结论对照条件找合适的函数，这属于逆向思维的过程，这种思想也是未来在应用微分中值定理解决相关问题时的一种常用思想。在这里，大家应该引起重视，而且对于拉格朗日中值定理的证明，辅助函数的形式并不唯一，今天给出的辅助函数的构造是从定理的代数意义着手的，这里留给大家一个思考题，如果从定理的几何意义出发能成功构造合适的辅助函数吗？请同学们课后试着构造一下。
拉格朗日中值定理是沟通函数和导数的桥梁，也是未来研究函数的极值、单调性以及凹凸性等函数性态的重要工具，所以这里再给出拉格朗日公式的几种常用形式。第一个形式：……，在由…和…构成的闭区间上应用拉格朗日中值定理就得了第二个形式：……，如果令……，……，则有第三个形式……，在一元函数微分学中，我们介绍过增量的近似表示……，相比这个近似表示，这里实际上给出了增量的一种精确表达式，所以这个公式也成为有限增量公式，相应的拉格朗日中值定理又称为有限增量定理。
下面就通过一个例子来学习一下该如何应用拉格朗日中值定理解决相关问题，首先看一元函数微分学中的一个简单命题，如果函数在区间上是一个常数，那么函数在该区间上的导数恒为零。请同学们写出这个命题的逆命题，并思考逆命题成立吗？成立的话该如何证明？
大家已经写出了逆命题了，那就是下面这个定理：如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。该如何证明呢？我们来对这个定理的条件和结论做一个简要的分析，条件非常简单，就是在区间上函数的导数恒为零，要证明结论，只需要在区间上取一个定点，证明对于区间上的任意一点，总
有……，也即……成立即可。由于拉格朗日中值定理表述的是函数和导数的关系，所以，考虑在区间……上应用拉格朗日中值定理，可得……，由定理条件知，因此有……，请大家独立的写一下该定理规范的证明过程。
这节课我们学习了拉格朗日中值定理的相关知识，通过这节课的学习，我们必须熟记定理成立的条件和结论，应该知道罗尔定理是拉格朗日中日中值定理的特殊情形，重点应该掌握拉格朗日中值定理证明中构造辅助函数的思想。
今天的作业分为两类，一类是必做题，习题3-1，第2题和第6题；一类是选做题，思考拉格朗日中日中值定理的条件是不是必要的？如果不是，请举例说明。
最后，请各位老师多提宝贵意见，谢谢！
