拉格朗日中值定理
引言
众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学
应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理
如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；（3）
()()b f a f =,则在()b a ,至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf
罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ?
AB 上至少有一点()(),C
f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，
注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'
=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.
2拉格朗日()lagrange 中值定理
若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；则在
()b a ,至少存在一点ζ
，使()()()a
b a f b f f
--=ζ'
拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧
?
AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，
从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理
3.1 教材证法
证明 作辅助函数 ()()()()
f b f a F x f x x b a
-=-
-
显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，而且()()F a F b =．于
是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0'
'=---
=a
b a f b f f F ζζ.
即()()()a
b a f b f f --=
ζ'
.
3.2 用作差法引入辅助函数法
证明 作辅助函数 ()()()()()()??
???
?---+
-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，()()0==b a ??，因此，由
罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0'
'=---
=a
b a f b f f ζζ?，即 ()()()a
b a f b f f --=
ζ'
推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()a
b a f b f K K AB OT --=
=，OT 的直线方程为：()()x a
b a f b f y --=
，于是引入的辅助函数为：()()()()x a
b a f b f x f x ---
=?. （证明略）
推广2 如图4过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线'
'B A 的方程为：
()()()a x a
b a f b f y ---=
，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ?，于是有：
()()()()()a x a
b a f b f x f x ----
=?. （证明略） 推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ，直''B A 线的方程为
()()()b x a
b a f b f y ---=
，由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ?，于是有：
()()()()()b x a
b a f b f x f x ----
=?. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作
//B A ∥AB 得直线为()()m x a
b a f b f y +--=
，从而利用()x f 与直线的'
'B A 函数之差构成满足罗
尔中值定理的辅助函数()x ?都可以用来证明拉格
朗日中值定理. 因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.
3.3 用对称法引入辅助函数法
在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数
()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ，即可得与之对称的辅助函数如
下：
⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -??
???
?
---+=? ⑵ ()()()()x f x a
b a f b f x ---=
?
⑶ ()()()()()x f a x a b a f b f x ----=
? ⑷ ()()()()()x f b x a
b a f b f x ----=? 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.
证明 显然，函数()x ?满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；
()3()()()()a
b a bf b af b a --==??.由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得
()()()()0''=---=
ζζ?f a b a f b f ，从而有()()()a
b a f b f f --=
ζ'，显然可用其它辅助函数作类似的证明.
3.4 转轴法
由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy 逆时针旋转适当的角度α，得新直角坐标系XOY ，若OX 平行于弦AB ，则在新的坐标系下()x f 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.
证明 作转轴变换ααsin cos Y X x -=，ααcos sin Y X y +=，为求出α，解出
Y X ,得
()()x X x f x y x X =+=+=ααααsin cos sin cos ① ()()x Y x f x y x Y =+-=+-=ααααcos sin cos sin ② 由
()()
b Y a Y =得
()()α
αααcos sin cos sin b f b a f a +-=+-，从而
()()a
b a f b f --=
αtan ，取α满足上式即可.由()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，知()x Y 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，且()()b Y a Y =，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()0cos sin '
=+-=αζαζf Y ，即
()()()a
b a f b f f --=
=αζtan ' 3.5 用迭加法引入辅助函数法
让()x f 迭加一个含待顶系数的一次函数m kx y +=，例如令()()()m kx x f x +-=?或()()m kx x f x ++-=?，通过使()()b a ??=，确定出m k ,，即可得到所需的辅助函数.
例如由 ()()()m kx x f x +-=?，令()()b a ??=
得()()()()m kb b f m ka a f +-=+-，从而()()a
b a f b f k --=，而m 可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数()()()m x a
b a f b f x ---=
?，由m 的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.
3.6 用行列式引入辅助函数法
证明 构造一个含()x f 且满足罗尔中值定理的函数()x ?，关键是满足()()b a ??=.
我们从行列式的性质想到行列式()()()1
11
x
f x a
f a b
f b 的值在,x a x b ==时恰恰均为0，因此可设易证()()()()1
11
x
f x x a
f a b
f b ?=，展开得 ()()()()()()()x f b x bf a af x af b f a x bf x ?=++---.
因为()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，所以()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，且()()0a b ??==，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点
()b a ,∈ζ，使得()0'=ζ?. 因为()()()()()0''=---=ζζ?f b a b f a f
即： ()()()a
b a f b f f --=
ζ'
3.7 数形相结合法
引理 在平面直角坐标系中，已知ABC ?三个顶点的坐标分别为()()
,A a f a ，
()(),B b f b ，()(),C c f c ，则ABC ?面积为()()()
11
12
ABC
a f a S
b f b a c
f c ?=， 这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设()()
,c f c 是直线AB 与()y f x =从A 点开始的第一个交点，则构造
()()
()()
2
11
14
1a
f a x c f c x
f x ?=
， 易验证()x ?满足罗尔中值定理的条件：在闭区间
[],a c 上连续，在开区间(),a c 可导，而且()()b a ??=，则至少存在一点()b a ,∈ζ，使
()/0?ζ=，即：
()()()()()()
01
11111
1'=ζζζ
f c f c a f a f c f c
a f a
但是()
()()
1101a f a c
f c f ζ
ζ≠，这是因为，如果 ()
()()
1101a f a c f c f ζ
ζ=， 则
()()()()
f f c f c f a c c a
ζζ--=--，这样使得()(),f ζζ成为直线AB 与()y f x =从A 点
的第一个交点，与已知矛盾）.
故()
()()
011
1=ζζ
f c f c
a f a
，即()()()()()a
c a f c f a b a f b f f --=--=ζ'
. 若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造()()
()()
111a
f a x b
f b x
f x ?=来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造()()()()
()()
()11
1g a f a x g b f b g x f x ?=来证明柯西中值定理. 3.8 区间套定理证法
证明 将区间[],I a b =二等分，设分点为1ζ，作直线1x ζ=，它与曲线()y f x = 相交于1M ，过1M 作直线11L M ∥弦b a M M . 此时，有如下两种可能:
⑴ 若直线11M L 与曲线()y f x =仅有一个交点1M ，则曲线必在直线11M L 的一侧.否则，直线11M L 不平行于直线a b M M . 由于曲线()y f x =在点1M 处有切线，根据曲线
上一点切线的定义，直线11M L 就是曲线()y f x =在点1M 处的切线，从而