大学线性代数考试模拟题14

《线性代数》模拟题二答案一、填空题(每空 3 分，共 30分) 1. 排列3421的逆序数为___5___.2. 设A 为三阶方阵,*A 为其伴随矩阵, ||2,A = 则*|3|A =___108___.3. 设n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =，()R A r =，则0Ax =有非零解的充要条件r n < .4. 设B 可逆，()3R C =,A BC =，则矩阵A 的秩()R A = 3 .5. 设1012,,1134A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则AB =1246⎛⎫⎪⎝⎭. 6. 设1,2,3是三阶矩阵A 的特征值，则2|-5|A A = __-144_. 7. 设方阵A 满足 2,A A = 则1(2)A E --=1-()2A E +8. 122112121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则122232A A A ++=0. 9. 设12,,s ααα,是非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122+++s s C C C ααα也是Ax b =的一个解，则12+++s C C C = 1 解10. 若1234,,,αααα线性无关,则12233441,,,αααααααα++++线性 相关 . 二（1,2,3）、计算题 (30分)1、(8分) 111111111411030077189;1141003011140003=⨯=⨯=解：D ….. (8分)2、 (10分) 设21-3111222013225A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，, 求解矩阵方程AX B = .解：2131112220(,)12220031311322505005A B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭102221002200132010010100100132---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭…………(7分) 即1420132x A B --⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭……………………………………(3分)3、(12分) 求非齐次线性方程组的通解及其对应的齐次线性方程组的基础解系．⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+-=-+=-+-62421351134543214214321x x x x x x x x x x x解: 154311154311530110282014562421601410728B ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭………(2分) 3172551172721543111010120120000000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………..(2分) ()()R A R B =,方程组有解通解为31725172121212,,100010x y c c c c R z w --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……..(4分)齐次线性方程组的基础解系为3511772212,T T ξξ--==（，，1，0）（，，0，1） ……..(4分)二(4,5)、计算题 (24分)4、(10分) 已知矩阵20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似.求x 与y . 解: 矩阵A 与矩阵B 相似，则||||,A B =即22,1y y -=-= …..(5分) 由trA trB =,即221,x y +=+-因此0x =….. ……. ……. ……. (5分)5、(14分)解：（1）二次型所对应的矩阵513153333A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭……..(3分)（2）513413153453335033A E λλλλλλλλ-----=---=-------=(-4)(-9)λλλ-….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(4分)当10λ=时由0Ax =及12121531002412010126000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，…(2分) 当24λ=时由2)0A E x -=（及1104001000A E-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭得2110ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，…(2分) 当39λ=时由9)0A E x -=（及1019011000A E-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭得3111ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， …(1分) 令123)=P x Py =，，则有222349fy y =+ …...(2分)三、证明题(16分)1、 (8分)向量组T 1:(0,1,1),A α＝T 2(1,1,0);α＝ T1:(1,0,1)B β-＝,T 2(1,2,1),β＝T 3(3,2,1)β-＝.证明A 组与B 组等价..证明：对矩阵()12123(,),,,A B ααβββ=，进行行初等变换0111310111(,)11022011131011101113A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭………………(2分) 1011101113,(,)200000R A B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭..………………………… (2分) 又()()2R A R B ==，因此向量组321,,ααα ……………………..(2分)()()(),2R A R B R A B ===,因此A 组与B 组等价 .……………… (2分)2、(8分) 设A 是n 阶方阵，若存在正整数k ，使得线性方程组0=x A k 有 解向量α，且01≠-αk A .证明：向量组ααα1,,,-k A A 是线性无关的.证明：设10110k k l l A l A ααα--+++=，则 …………..(2分)11011()0k k k A l l A l A ααα---+++=即100k l A α-=，又01≠-αk A因此00l =，带入第一式可得1110k k l A l A αα--++= …………..(2分)类似可得110k l l -=== …………..(2分)即0110k l l l -====，向量组ααα1,,,-k A A 是线性无关的..(2分)。

线性代数复习题（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）一、单项选择题1、设3阶方阵A的3个特征值为24 5-，，，则A*的3个特征值为（ D）。

A. 24 5-，，B.111245-，， C. 2010 8-，，D.20 108--，，2、设1200470000250013A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。

A.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭3、设1300250000210074A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。

A.5300210000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.5300210000410072-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.5300210000410072-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.5300210000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭4、设n 阶方阵,,A B C 则()TABC =（ B ）。

A. T T T A B CB.T T T C B AC.T T T B A CD.T T T A C B 5、设3阶方阵A 的3个特征值为1 24-，，，则A *的3个特征值为（ A ）。

A. 8 4 2--，， B.8 4 2-，， C.1 2 4-，， D.111 24-，， 6、设111111111a A a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则下列答案正确的是（ A ）。

A. 3a =-B. 0a =C. 3a =-或0a =D. 3a ≠-且0a ≠ 7、设五元齐次线性方程组0AX =，若()1r A =，则其基础解系含有解向量的个数为（ D ）。

A. 1B. 2C. 3D. 48、设111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1，则a =（ D ）。

线性代数试题集与答案解析一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设向量组α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。

(A) α 1 −α 2 ，α 2 −α 3 ，α 3 −α 1(B) α 1 ，α 2 ，α 3 + α 1(C) α 1 ，α 2 ，2 α 1 −3 α 2(D) α 2 ，α 3 ，2 α 2 + α 3正确答案：B解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与α1，α2，α3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。

2.(A) 必有一列元素全为0；(B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。

你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( )。

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为。

(A) 0(B) 0或-1(C) -1(D) -1或1正确答案：B解答参考：5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3，则 f的矩阵为。

(A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 )(B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 )(C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 )(D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )正确答案：C解答参考：6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ−3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则λ的取值为(A) 0(B) -1(C) 2(D) -3正确答案：C8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 A x=0 的基础解系的是(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1正确答案：B解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。

线性代数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）A. -4B. -8C. 4D. 82. 设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与β的点积为（）A. 32B. 14C. 22D. 43. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}\]，则矩阵A的秩为（）A. 1B. 2C. 3D. 04. 设A为3阶方阵，且A的行列式为0，则A（）A. 可逆B. 不可逆C. 有逆矩阵D. 没有逆矩阵5. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}\]，则AB-BA=（）A. \[\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}-2 & 0\\-2 & 0\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}2 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共20分）6. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}\]，则AB=（）。

7. 设向量α=(1,2,3)，β=(2,3,4)，则向量α与β的叉积为（）。