渤海大学 线性代数试题 期末考试试卷及参考答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。

① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。

线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。

答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 分，共 分）若022150131=---x ，则=χ 。

．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题 分，共 分） 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ） 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

三、单项选择题 每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题 分，共 分设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n 2② 12-n③ 12+n④n 维向量组 s ααα，，， 21（ ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 下列命题中正确的是 。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关设A ，B 均为 阶方阵，下面结论正确的是 。

线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。

2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。

线性代数20－21学年第二学期期末考试试卷一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共15分）1．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 2．设A 是n 阶矩阵，秩（A ）<n ，且A *≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个数为_____________________.3．若A ，B 均为3阶矩阵，且｜A ｜＝2，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 4．设A 为n 阶矩阵，若行列式｜5E －A ｜＝0，则A 必有一特征值为__________________.5．二次型3223222122x x x x x +--的秩为_____________________. 1．若A ，B 为3阶矩阵，且｜A ｜＝3，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 2．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________. 3．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中a i b i ≠0(i =1,2,3).则秩（A ）＝_______________. 4．设A 为n 阶矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b 的解的个数为_____________________.5.()()===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A R A 则秩设,,3,2,1,321 αββα____________________()==A R A 则秩已知1101001100001100001100101 .1________________________.2224, 4., ,000200011132200233121232221是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵x x x tx x x x f t y x y B x A ++---===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=., ,222252322323121232221==+=+++++=b a y y f x bx x x x ax x x x f 则经正交变换化为标准形．已知二次型二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

第 1 页 共 2 页渤海大学2017级 专升本 (计算机科学与技术专业)第三学期《线性代数》试卷一、填空：（每空2分，共20分）（1）_________3412=。

（2）_________40000300002000011=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-（3）_________4000830057206041=（4）_________11211120122431210133=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-（5）若__________ 5032==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A T则(6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______(7)12111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=____________。

（8）若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2，则列向量组的秩为________。

二、选择题：（下列四个选项中，只有一个正确的，将正确的选项的字母添入括号内，每题2分，共10分）（1） 设==≠==2223331111333222111222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则（ ） (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k（2）n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为（ ）ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()(（3）E C B A 、、、为同阶矩阵，且E 为单位阵，若E ABC =，下式（ ）总是成立的。

E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)(（4）), (=κ下列方程组有唯一解。

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。

<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。

<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。

则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。

<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。

< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。