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同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期
一、填空题（每空3分，共24分）
1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=,
()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B =
-12
.
2、 设分块矩阵A O C O B ??
=?
???
, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 .
(A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆.
(B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵.
(C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化.
3、 设23413
451
45617891
D =
，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0.
4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选)
(A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关
(C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相
关
5、 已知方阵A 满足2
23A A O +=, 则()
1
A E ?+= E+2A .
6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选）
(A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）
(C).A 的列向量组线性无关
(D).A O
≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为
A 的特征值，
B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 .
8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 .
二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ????
=???????
.
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矩阵P ，X 满足PA B =,PX C =. 求矩阵X .
三、（10分）设线性方程组12312312
3304235
x x x x x ax b x x x ??=??
??=???+=? ， 问当参数,a b 取何值时，
(1). 此方程组无解? (2). 此方程组有唯一解? (3).此方程组有无穷多解?
四、（10分）设A 为4阶方阵，4维列向量0b ≠，()2R A =.若1234,,,p p p p 都是非齐次
方程组Ax b =的解向量，且满足
1223342322
1
,
,
010421p p p p p p ??????
????????????+=+=+=??????????????
??
??
(1).(6分) 求齐次方程组0Ax =的一个基础解系. (2).(4分) 求Ax b =的通解.
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五、（16分）将二次型2
2
2
123123121323(,,)46448f x x x x x x x x x x x x =+++++ 用正交变换化为标准型.
六、（14分）设V 为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义V 上的变换T 如下：
对任意X V ∈，()T
T X AX X A =?，其中1221A ??=?
????
，T
X 表示X 的转置矩阵．
(1). (6分)证明T 是V 上的一个线性变换；
(2). (8分)求T 在V 的基1112212210010000,,,00001001E E E E ????????
====????????????????
下的
矩阵.
七、(1). (8分)已知向量组12,,,n a a a L 线性无关,向量组12,,,n b b b L 满足：
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112223111
n n n
n n b a a b a a b a a
b a a ??=+??=+??
?
?=+?=+??M ， 分别讨论当4n =和5n =时，向量组12,,,n b b b L 是否线性相关？
(2). (8分)设12,λλ为方阵A 的两个不同的特征值， 12,αα为A 相应于1λ的两个线性无关的特征向量，34,αα为A 相应于2λ的两个线性无关的特征向量，证明向量组1234,,,αααα线性无关.
同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010学年第一学期
一、填空题（每空3分，共24分）
1、 已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,
B αααβ=, 且 4A =?，
2B =?，则行列式 =+B A 6 . 2、 设行列式11311
000
21034
5
1
2
D =
，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .
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3、 已知矩阵222222a A a a ????=??????
，伴随矩阵0≠?A ，且0=?
x A 有非零解，则 C .
(A) 2=a ； (B) 2=a 或4?=a ；
(C) 4?=a ； (D) 2≠a 且4?≠a .
4、 向量组s ααα，，，L 21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，，L 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B . (A) 向量组s βββ，，，L 21线性无关；
(B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，L 2线性相关；
(C) 向量组s ααα，，，L 21与向量组s βββ，，，L 21等价.
5、 已知
3
阶矩阵A 与B 相似且010100001A ???
??=??
?????
,
则
201222B A ?=___
__???
?
?
??????100030003_________. 6、 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的特解，12,,,s ξξξL 是齐次方程组0Ax =的
基础解系，则以下命题中错误的是 B .
(A) 001020,,,,s ηηξηξηξ???L 是Ax b =的一组线性无关解向量；
(B) 0122s ηξξξ++++L 是Ax b =的解；
(C) Ax b =的每个解均可表为001020,,,,s ηηξηξηξ+++L 的线性组合.
7、 设4阶矩阵A 有一个特征值为2?且满足5T AA E =，||0A >，则其伴随矩阵?
A 的一个特征值为 2
25
?
. 8、 已知实二次型2
2
2
1,231231323(,)2624f x x x x x x ax x x x =++++正定,则常数a 的取值
范围为 (-2,2) .
二、（10分）设矩阵A 的伴随矩阵*
110011102A ?????=???
?????
，且0A >，E BA ABA 311+=??，
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求矩阵B .
三、（10分）已知321ααα，，
与321βββ，，为所有3维实向量构成的线性空间3
R 的两组基, 123ααα，，到321βββ，，的过渡矩阵为021102100P ???
??
=???????
且
1231110,1,1001ααα??????
??????
===??????????????????
,
试求：(1) 基321βββ，，
；(2) 在基 321321,,,,βββααα与 下有相同坐标的全体向量.
四、（10分）设)(4321αααα，，，=A 为4阶方阵，其中4321αααα，，，是4维列向量，
且234,ααα，线性无关，3214αααα++=.已知向量4321ααααβ+++=，
试求线性方程组β=x A 的通解.
五、（20分）已知二次型()2
2
2
123123121323,,4422f x x x x x x x x x x x x =+++??,
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(1). 设矩阵A 为二次型()123,,f x x x 所对应的对称阵, 试证111??????????
为A 与4
A 共同的特征向
量. (2). 用正交变换将此二次型化为标准型. 六、（12分）
设123,,a a a 为3维线性空间V 的一组基, V 上的线性变换T 在123,,a a a 下的矩阵为
124010021A ????=??????
(1). 求线性变换T 在V 的基11213,,a a a a a ++下的矩阵;
(2). 试证V 中不存在一组基使T 在该基下的矩阵为对角阵.
七、(14分) 证明题:
(1). 设A 为2阶实方阵,且1A =?,试证A 可对角化. (2).
设
向
量
组
{}
1234,,,a a a a 线
性
无
关
，
11142224333444,,,b a k a b a k a b a k a b a =+=+=+=
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证明向量组1234,,,b b b b 线性无关．
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第二学期
一、(24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.
1、 设6510423y A x ????
=??????
，则A 中元素y 的代数余子式的值为 .
2、 设3阶方阵A 与对角阵100020000??????????
相似，则A 的伴随矩阵*
A 的秩
*()R A = .
3、 设实二次型2
2
2
12312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，则k 的取值范围是 .
4、 设矩阵2061101k A k ???
??
=???????
有两重特征值-1，则行列式5A E ?= .
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5、 设A 为34×阵，非齐次线性方程组Ax b =有解，其解向量组的秩为2，则
()R A = .
6、 设矩阵10233104A k ????=???????
可对角化，则k = .
7、 设向量组1α，2α，3α线性相关，向量123βααα=++，则下面说法正确的
是 .
(A) 向量组β，2α，3α线性无关.
(B) 向量组1βα+，2α，3α线性无关.
(C) β由1α，2α，3α线性表示的表达式唯一.
(D) 向量组1βα?，12αα+，13αα+线性相关.
8、设A 为n 阶方阵，已知()R A n =，则下面说法不正确的是 .
(A) A 的列向量组一定是线性无关的.
(B) A 的特征值一定都不等于零.
(C) A 一定有n 个线性无关的特征向量.
(D) 非齐次线性方程组Ax β=一定只有唯一解.
二、(12分) 设有非齐次线性方程组??
?
??
=+
?+?=+?+?=?++
λ
λλλλλ3
2
1321
3
2
1)1()35(1)1()1(1
)1(x x x
x x x x x x ， 问λ取何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？当解不唯一时，求出所有的解.
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三、(10分) 设0
,0A X C B
??=?
??? 其中1013,011,111A B ??
??=?=?????
???
3011,0121C ???=????? 求矩阵X .
四、(14分) 设1(1,1,1,1)T α=，2(0,1,2,1)T
α=，3(1,2,3,4)T
α=?，4(3,2,1,0)T
α=，
5(1,0,4,1)T α=?生成的向量空间为V ，求向量空间V 的维数和它的一组基，并分别求出1α，2α，3α，4α，5α在这组基下的坐标.
五、 (15分) 设有二次型(
)
2
2
2
12,31231223,2344f x x x x x x x x x x =++??, (1) 写出二次型
f
的矩阵;
(2)求一正交变换112233x y x P y x y ????????
=????????????
，把二次型f 化为标准形;
(3) 写出二次型
f
的标准形和规范形.
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六、(15分) 设2
3
301230123[]{()|,,,}P x f x a a x a x a x a a a a ==+++∈R 是次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间. 已知多项式的微分运算:
23201233123()[],(())23f x a a x a x a x P x f x a a x a x ?=+++∈=++D
是3[]P x 上的线性变换.
(1)证明223
{1,1,1,1}x x x x x x ++++++构成线性空间3[]P x 的基; (2)求由基2
3
{1,,,}x x x 到 2
2
3
{1,1,1,1}x x x x x x ++++++的过渡矩阵P ;
(3)求多项式23
()1234f x x x x =+++分别在基2
3
{1,,,}x x x 与基
223{1,1,1,1}x x x x x x ++++++下的坐标.
(4)求线性变换D 分别在基2
3
{1,,,}x x x 与基 2
2
3
{1,1,1,1}x x x x x x ++++++下的矩阵.
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七、(10分) 证明题：
设A 是正交矩阵, 11λ=?, 21λ=是A 的特征值, βα,分别是属于特征值11λ=?,
21λ=的特征向量,
(1) 问α与β是否线性相关, 写出你的理由. (2) 向量α与向量β是否正交, 写出你的理由.
同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010学年第二学期
一、 (24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.
1、 设三阶矩阵1
21121113x A x x ??????=?+??
???+??
，则A 的行列式展开式中2
x 的系数是 4 .
2、 设A 为3阶方阵，行列式20A E A E A E +=?=+=，则A 的伴随矩阵的行列式
*A = 4 .
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3、 设3阶方阵1110101k A k ?????=???????与对角阵300010001????
???????
相似，已知0k >，则k =
4、 设向量()5,,1,4T
x α=与向量()3,0,,2T
y β=正交，那么y = -23 . 5、 设A 为3阶方阵，()R A =2，且A 的各行元素之和为0，则线性方程组0Ax =的通解
为 R k k ∈???
?
?
?????,111 .
6、 设矩阵10011302A k ????
=??????
可对角化，则k = 3 .
7、 设V 为有限维向量空间，V 上的线性变换T 在V 的两组不同基下的矩阵分别为A 和B ，则下面说法不正确的是 D .
(A) A 可经过有限次初等变换变为B . (B) A 和B 有相同的行列式.
(C) A 和B 有相同的特征值. (D) A 与B 是合同的.
8、 设A 为34×矩阵，已知()2R A =，矩阵100001
02002011
3B ???
??
?
=???
????
，则()R AB = B .
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
二、(10分)计算行列式01251
052
25015
2
10
D =
的值.
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三、(12分) 设0,0A X C B ??=???? 其中1112,120,042A B ???
??=?=????
???
1120,1042C ???=????? 求
矩阵X .
四、(16分) 已知110,1α????=??????221,3α??
??=??
??
??
3313α????=??????与111,1β????=??????211,0β????=???????3101β????=??????分别是3
R
的两组基, 求从123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵P , 并分别求向量200ξ??
??=??????
在基
123{,,}ααα下的坐标和在基123{,,}βββ下的坐标.
五、(18分) 设有二次型2
2
2
123123121323(,,)+4+4-4+4-8f x x x x x x x x x x x x =,求一正交变换
112233x y x P y x y ????????
=????????????
，把二次型f 化为标准形，并求出该二次型的标准形和规范形.
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六、(20分) 设1112233:x x T x A x x x ????????→????????????，1122233:x x T x B x x x ????????→????????????为向量空间3
R 的两个线性变换，
其中101225110A ?????=???????，324051167B ???
??
=??
?????. 定义11122233:()x x TT x A B x x x ????????→????????????
.记123,,e e e 为3R 的自然基.
(1) 证明：12TT 为向量空间3
R 的线性变换.
(2) 证明：12233,,e e e e e ++仍为向量空间3
R 的基.
(3) 求线性变换12TT 在3
R 的自然基123,,e e e 及基12233,,e e e e e ++下的矩阵.
同济大学课程考核试卷(A 卷) 2010—2011学年第一学期
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一、填空与选择题(均为单选题)(27分)
1、 已知4阶方阵1234
567890
54
a b A c d ?????
?
=??????
，函数()||f x xE A =?,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3
x 项的系数为___________________.
2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式
1231,,,m αααβ=，又
1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=_____________________.
3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=?=?=，其伴随矩阵为*
A ，则行列式
*A =______________.
4、 已知α是3维实列向量，且111111111T
αα?????=?????????
，则α=____________.
5、设α是3
R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T
x x x ，则α在基
1323,,k εεεε+下的坐标是_________________________.
6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是_____________________.
1(). ).
(). ().n A A A A B C n cE c D ?若矩阵可逆，则与可交换
(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数
初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换
7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2
AB E =，则下列式子中成立的是____________.
()2
2
2
(). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E
==?==
8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是__________
(). 0 (). 0
(). 0 ().()
A Ax Ax b
B Ax Ax b
C Ax b Ax
D Ax b R A n =======?=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解
9、 下列向量组中线性无关的是_________________.
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()()()()()()()()()()()()()()
(). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D ??,, (
二、(10分) 已知n 阶行列式1
231
200
1
0301
00
n n D n
=L L L M M M O M L
，求第一行各元素的代数余子式之和.
三、(10
分)参数,a b 满足什么条件的时侯，线性方程组
1234512345
234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b
++++=??+++?=??
+++=?
?+++?=?有解？并在有解的情况下，求出它的通解.
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四、(15分)已知3阶方阵32
21423A k k ?????=?????????，问参数k 满足什么条件的时候A 可以对角化？并求出可逆阵P 及对角阵Λ，使得1
P AP ?=Λ.
五、(12分)设向量组12341111,,1,4115k k k αααα??????????????????====?????????????????????????
，问： (1) 参数k 为何值时，123,,ααα为向量组的一个最大线性无关组？
(2) 参数k 为何值时，12,αα为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出34,αα由最
大线性无关组表出的线性表达式.
六、(12分)设V 为实数域R 上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，
在V 中定义映射:()a b T T X X c d ??
=?
???
，(1) 证明T 是V 中的线性变换，(2) 求线性变换
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T 在自然基11122122,,,E E E E 下的矩阵，(3) 若1,2,3,4a b c d ====，试求线性变换T 的
核ker T 与像空间Im T .
七、(1)(7分)已知A 为3阶方阵，123,,λλλ为A 的三个不同的特征值，123,,ααα分别为相
应的特征向量，又123βααα=++，试证：2,,A A βββ线性无关.
(2) (7分)设A 为3阶实对称阵，且2
20A A +=，又()2R A =，试求出A 的全体特征值，并问参数k 为何值时，矩阵A kE +为正定阵?
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
微 信 公 众 号 ： 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期 一、填空题（每空3分，共24分） 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选） (A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为 A 的特征值， B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
渤海大学20 级 专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 填空：（每空2分，共20分） （1） _________3 412=。 （2）_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- （3） _________4 00 083005 720604 1= （4）_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- （5）若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。 （8）若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2，则列 向量组的秩为________。 二、选择题： （每题2分，共10分） （1） 设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则（ ） (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k （2）n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为（ ） ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( （3）E C B A 、、、为同阶矩阵，且E 为单位阵，若E ABC =，下式（ ）总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( （4）), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b （5）设A 是n m ?矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组，则下列 结论正确的是（ ） 有唯一解。仅有零解，则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解，则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX d 三、 简单计算（每题8分，共24分） （1）1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页
5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/082096897.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。 s ，2，， ① 1，2，中任意两个向量都线性无关 ，
②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/082096897.html,线性代数综合测试题 ④1，2，，s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。 ①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆 ③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆 4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（） 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量 四、计算题(每小题9分，共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B，且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221，B(A2E) 1A 432 111223
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （ ） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 ． （A ）13524876； （B ）51324867； （C ）38124657； （D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（ ） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（ ） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（ ）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足 ． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ； （B ） a > ； （C ） 2 a < ； （D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是 ． （A ） A T 与 B T 相似； （B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量； （C ） A -1 = B -1 ； （D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似． 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题
一 单项选择题（每题3分，共18分） 1． 设33)(?=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式， 则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a. 6 21； b. 611； c. 311 ； d. 6。 2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =???? ? ??=????? ??=若，， 3332 31 2322 21131211 001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。 3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关； c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示； d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。 4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，为任意常数） （ ） a. **B A ＋； b. **-B A ； c. * *B A ； d. **B k A k 21＋。 5．已知矩阵???? ? ??=222222a a a A ，伴随矩阵0≠* A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ） a. 2=a ； b. 2=a 或4=a ； c. 4=a ； d. 2≠a 且4≠a 。 6．设βα， 是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ） 线性代数考试题及答案
线性代数 一. 单项选择题 1.设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 。 (a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 (b)若A ≠0且B ≠0，则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d)若AB 是可逆矩阵，则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b) ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A)=m 时,则方程组 . (a) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 . (a)A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5.A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 . (a) A 可逆 (b) A 合同于单位矩阵 (c) A =0 (d) 0=AX 有无穷多解 6．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = （B ）CBA E = （C ）BAC E = （D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D （ ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A|=3，则|AA '|= ,| 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ，则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ①n 2②1 2 -n ③1 2 +n ④4 2. n 维向量组s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ①s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关