同济大学线性代数期末考试试题(多套)

线性代数20－21学年第二学期期末考试试卷一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共15分）1．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 2．设A 是n 阶矩阵，秩（A ）<n ，且A *≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个数为_____________________.3．若A ，B 均为3阶矩阵，且｜A ｜＝2，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 4．设A 为n 阶矩阵，若行列式｜5E －A ｜＝0，则A 必有一特征值为__________________.5．二次型3223222122x x x x x +--的秩为_____________________. 1．若A ，B 为3阶矩阵，且｜A ｜＝3，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 2．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________. 3．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中a i b i ≠0(i =1,2,3).则秩（A ）＝_______________. 4．设A 为n 阶矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b 的解的个数为_____________________.5.()()===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A R A 则秩设,,3,2,1,321 αββα____________________()==A R A 则秩已知1101001100001100001100101 .1________________________.2224, 4., ,000200011132200233121232221是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵x x x tx x x x f t y x y B x A ++---===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=., ,222252322323121232221==+=+++++=b a y y f x bx x x x ax x x x f 则经正交变换化为标准形．已知二次型二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

同济大学课程考核试卷(A 卷)2010—2011学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷年级 专业 学号 姓名 任课教师题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(均为单选题)(27分)1、 已知4阶方阵123456789054a b A c d ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，函数()||f x xE A =−,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________.2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式1231,,,m αααβ=，又1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m −_______________.3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=−=−=，其伴随矩阵为*A ，则行列式*A =_____36_________.4、 已知α是3维实列向量，且111111111Tαα−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则α=5、设α是3R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,Tx x x ，则α在基1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx −________________.6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________.1(). ).(). ().n A A A A B C n cE c D −若矩阵可逆，则与可交换(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______.()222(). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E==−==8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____(). 0 (). 0(). 0().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======⇔=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________.()()()()()()()()()()()()()()(). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D −−,, (二、(10分) 已知n 阶行列式12312001030100n n D n="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.三、(10分)参数,a b 满足什么条件的时侯，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++−=⎪⎨+++=⎪⎪+++−=⎩有解？并在有解的情况下，求出它的通解.四、(15分)已知3阶方阵3221423A k k −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，问参数k 满足什么条件的时候A 可以对角化？并求出可逆阵P 及对角阵Λ，使得1P AP −=Λ.五、(12分)设向量组12341111,,1,4115k k k αααα−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠，问： (1) 参数k 为何值时，123,,ααα为向量组的一个最大线性无关组？(2) 参数k 为何值时，12,αα为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出34,αα由最大线性无关组表出的线性表达式.六、(12分)设V 为实数域R 上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在V中定义映射:()a b T T X X c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，(1) 证明T 是V 中的线性变换，(2) 求线性变换T 在自然基11122122,,,E E E E 下的矩阵，(3) 若1,2,3,4a b c d ====，试求线性变换T 的核ker T 与像空间Im T .七、(1)(7分)已知A 为3阶方阵，123,,λλλ为A 的三个不同的特征值，123,,ααα分别为相应的特征向量，又123βααα=++，试证：2,,A A βββ线性无关.(2) (7分)设A 为3阶实对称阵，且220A A +=，又()2R A =，试求出A 的全体特征值，并问参数k 为何值时，矩阵A kE +为正定阵?。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。

答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

线代期末试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个矩阵是零阵？A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}2 & -2 \\ -3 & 3\end{bmatrix}$答案：B解析：零阵是所有元素都为0的方阵，选项B满足此条件。

2. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=I$，其中$I$为单位矩阵，则矩阵$B$是矩阵$A$的：A. 逆矩阵B. 转置矩阵C. 相反矩阵D. 对角矩阵答案：A解析：若矩阵$A$的逆矩阵存在，则$A$的逆矩阵为$B$。

3. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$答案：D解析：对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵，选项D满足此条件。

4. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=BA$，则矩阵$A$和$B$是：A. 可逆矩阵B. 特征矩阵C. 对角矩阵D. 可交换矩阵答案：D解析：可交换矩阵是指满足$AB=BA$的矩阵，选项D满足此条件。

5. 若行矩阵$\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$满足$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$，其中$\mathbf{0}$为零向量，则下列哪个说法是正确的？A. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定不相等B. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定相等C. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$可能相等也可能不相等D. 不能确定$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是否相等答案：C解析：行向量的内积为零意味着两个向量正交，不一定相等，所以选项C是正确的。

同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)1、 设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），31312221112233+3a a a a a a a a a a --=，31122213123-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为62、 已知4阶行列式34222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则441jj A==∑__0_________.解：根据代数余子式性质44130402222007001111j j A ===-∑.(这是代数余子式经常出的一种形式的习题)3、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为123-6-6-63262-9212-3λλλ=++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__14k =__________时，123,,ααα线性相关.解：因为这三个向量构成的矩阵为方阵，则对该矩阵求行列式，因为三个向量线性相关，所以行列式的值等于0，解得14k =5、已知二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参数a 满足___405a -<<____________. 解：先写出二次型对应的矩阵，为1-112-125a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于二次型是正定二次型，则矩阵也一定是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，它的顺序主子式都应大于0，则有221041-005450a a a a >⎧⎪>−−→-<<⎨⎪-->⎩6、 设A 是m n ⨯矩阵，3,3m n >>,若A 与B 行等价，则__D______________.().().().().A A B B A B C A B D 若的前三行线性无关，则的前三行也线性无关若的前三列线性无关，则的前三列也线性无关若的左上角的三阶行列式非零，则的左上角的三阶行列式也非零以上都不对(解：A 和B 都是m n ⨯的矩阵，且A 和B 的行等价,则A 和B 的行向量可以相互表示 ，也就是说对A 做初等行变换可以得到B ，所以存在可逆矩阵P 使得PA B =对,A B 进行列分块就有()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =,也就是要说明在P 可逆的情况下 ,A 的某几列无关和B 的对应的某几列无关等价. 随意取3列()123,,a a a 无关于()123,,b b b 无关等价这是显然的,因为()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =因为P 可逆所以()()()121212,,...,(,,...,)(,,...,)n n n r a a a r P a a a r b b b ==)7、 设,,A B C 为同阶方阵，且ABC E =，则下列各式中不成立的是___B_________.111111(). (). (). ().A CAB E BC A B E C BCA ED B A CE ------====解：因为ABC E =，所以我们可知-1A BC =和-1C AB =，又因为-1-1XX X X E ==，所以A ，C 正确，现在，对ABC E =两边求逆，有-1-1-1C B A E =，可以看出B 错，对于D ，-1A BC =，所以-1-1A C B =，所以-1CA B =，带入D ，可知其正确性8、 非齐次线性方程组Ax b =中，A 是m n ⨯矩阵，()R A r =，则____A___________.(). (). (). (). A r m B r n C m n D r n ===<时方程组有解时方程组有唯一解时方程组有唯一解时方程组有无穷多解解：这题我直接看到A 就选了，其它的也不好分析，因为他们的条件和结论根本没什么明显联系。

同济大学课程考核试卷（B 卷）2009—2010学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分）1．已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,B αααβ=, 且 4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 。

2. 设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .3. 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； （B ） 2=a 或4-=a ； (C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .4. 向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价. 5. 已知3阶矩阵A 与B 相似且010100001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭, 则201222B A -=300030001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的特解，12,,,s ξξξ是齐次方程组0Ax =的基础解系，则以下命题中错误的是 B(A) 001020,,,,s ηηξηξηξ---是Ax b =的一组线性无关解向量；(B) 0122s ηξξξ++++是Ax b =的解；(C) Ax b =的每个解均可表为001020,,,,s ηηξηξηξ+++的线性组合.7. 设4阶矩阵A 有一个特征值为2-且满足5T AA E =，||0A >，则其伴随矩阵*A 的一个特征值为 _________8. 已知实二次型2221,231231323(,)2624f x x x x x x ax x x x =++++正定,则常数a 的取值范围为22a -<<.二、（10分）设矩阵A 的伴随矩阵*110011102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且0A >, E BA ABA 311+=--。

《线性代数》期终试卷1（ 2学时）本试卷共七大题一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是, 则的属于的两个线性无关的特征向量是()；2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随矩阵, 则的行列式()；3.(4分)设, , 则()；4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()；5.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则()；6.(3分)行列式中的系数是()；7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量, 其中, , 则该方程组的通解是()。

二、计算行列式：(满分10分)三、设, , 求。

(满分10分)四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组, , 也线性无关。

(满分10分)六、已知二次型，(1)写出二次型的矩阵表达式；(2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型；(3)是什么类型的二次曲面?(满分15分)七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）：1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。

2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组必有非零解。

《线性代数》期终试卷2（ 2学时）本试卷共八大题一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵。

（）2.若矩阵和矩阵满足，则。

（）3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵。

（）4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。

（）5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有。

（）6.若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等价。

（）7.若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。

线性代数2019－2020学年第二学期期末考试试卷一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

）1. 行列式11111111---x 的展开式中x 的系数是_________；2. 已知3阶矩阵A 的特征值为0，1，2，则=+-E A A 752__________；3. 向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩为______；4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12032211t A ，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t ；5. 设3阶可逆方阵A 有特征值2，则方阵12)(-A 有一个特征值为_________。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分。

） 1. A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是【 】A .若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；B .若A 不是可逆矩阵，则*A 也不是可逆矩阵；C .若0||*≠A ，则A 是可逆矩阵；D .AE AA =||*。

2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111b c a b c a b c a AP ，则P =【 】 A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001； B . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001100；C . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100；D . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100000.3. n m >是n 维向量组m ααα,,,21 线性相关的【 】.A 充分条件 .B 必要条件.C 充分必要条件 .D 必要而不充分条件4．设321,,ααα是0=Ax 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为【 】A ．321,,ααα的一个等价向量组；B. 321,,ααα的一个等秩向量组；C. 321221,,αααααα+++；D . 133221,,αααααα---.5. s ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX (A 为n m ⨯矩阵)的基础解系，则=)(A R 【 】A ．sB ．s n -C ．s m -D ．s n m -+三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

共3页第1页线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

共3页第2页 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

同济大学线性代数试卷题库（4）同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵123(,,)A ααα=,()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 .解：由矩阵之间的关系，我们可以得到1321941278B A =??，对等式两边取行列式，有 1321941278B A ??=??。

所以得到-12B =2、设分块矩阵A O C O B ??=, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 .(A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆.(B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵.(C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 解：A. 若,A B 均可逆，说明,A B 的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出C 的行列式为A B ，所以可知C 的行列式也不为0，即C 可逆.B ．若,A B 均为对称阵，则有,TTA AB B ==，对矩阵C 取转置，根据对角阵性质有T TT A O A O C C O B O B === ? ??,所以C 也是对称阵。

C ．若,A B 均为正交阵, 则有,T TA A EB B E ==，固T T TT TA O A O A A O C C E OB O B O B B === ? ? ?。

所以C 也为正交阵. D ．若,A B 均可对角化,则有-1-112,A P P B Q Q =Λ=Λ,则-1-111-1-122=O P O P P O P O C O O Q OQ Q O Q ΛΛ= ? ? ΛΛ??，令P O M O Q ??= ，则原式可看成-1-111-12P P O C M M OQ Q ??Λ==Λ ?Λ??固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）3、设2341345145617891D =，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 .解：直接利用代数余子式性质，求113411451015611891D ==4、设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选)(A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关(C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关解：直接分析，举反例，A 反例1201,,,10200r r ααα==??L ，（），()12100,,,0103001s s βββ==??L ，；B 反例()12100,,,0103001s s βββ??==L ，，121000,,,010040011r r ααα==??L ，（）；C 反例1201,,,10200r r ααα??==L ，（），()12100,,,0103001s s βββ??==L ，；D.正确，这个很显然。

8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（ ）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（ ）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （ ）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（ ）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 （ ）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（ ）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。

线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足 时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2． 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个； 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝ 时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆 ； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =， 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示， 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)， 一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ， 此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆， 又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ， 即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2． 证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2， 即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ， 所以0=A ， 故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ， 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数 期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

同济线代期末试题及答案
1. 选择题（共10题，每题2分，共计20分）
（题目略）
答案：
1. B
2. C
3. A
4. D
5. A
6. B
7. D
8. C
9. B 10. A
2. 填空题（共5题，每题4分，共计20分）
（题目略）
答案：
1. (1, -4, 2)
2. 3
3. Rank(A) = 2
4. 6
5. -2
3. 证明题（共2题，每题15分，共计30分）
（题目略）
答案：
1. （证明过程略）
2. （证明过程略）
4. 计算题（共3题，每题15分，共计45分）
（题目略）
答案：
1. （计算过程略）
2. （计算过程略）
3. （计算过程略）
5. 应用题（共2题，每题20分，共计40分）
（题目略）
答案：
1. （解答过程略）
2. （解答过程略）
小结：
本文为同济线代期末试题及答案，共包括选择题、填空题、证明题、计算题和应用题五个部分。

试题分别按题型进行呈现，答案则包括了
各题的具体解答过程和结果。

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⎪ 1 ⎪1⎪1同济大学2019-2020 学年第二学期数学专业《线性代数》期末考试卷及参考答案参考解答学院：专业班级：学号：姓名：一．填空题（每空 3 分，共 15 分）10 13 -111．行列式0 -17 1 中（3，2）元的代数余子式A32的值为 -10 ...-15 19 4⎛2 0 0 ⎫⎛0.5 0 0 ⎫2．设A, B 为3 阶方阵，若AB =0 2 0⎪，则B-1 A-1 =0 0.5 0⎪. ⎪ ⎪0 2 1 ⎪ 0 -1 1 ⎪⎝⎭⎝⎭3．设α1,α2,α3为3 维列向量，且| α1,α2 ,α3 | = 2 ，则| -α1,3α3 -2α2 ,α2 | = 6 ....4.若向量组α1⎛2 ⎫= λ⎪，α⎪⎝⎭⎛-1⎫= -2 ⎪，α⎪⎝⎭⎛2 ⎫= 3 ⎪的秩为2 ，则λ=3.⎪⎝⎭5.设λ是方阵A 的一个特征值，则A +aE 的一个特征值为λ+a .二．选择题（每小题 3 分，共 15 分）1．设方阵A, B, C （C 不是零矩阵）满足AC =BC ，则必有【 C 】. （A） A =O 或 B =O ; （B） A =B ;（C）| A -B | = 0 或| C | = 0 ; （D）以上等式没有正确的.2．设B =PAQ ，下列说法错误的是【 A 】.23⎪ ⎝ ⎭（A ） 若 B 为单位矩阵 E ， P , A , Q 皆为方阵，则必有 P -1= QA ;（B ） 若 P , Q 可逆，则 A 可经过有限次初等变换化为 B ;（C ） 若 B 为单位矩阵 E ， P , A , Q 皆为方阵，则必有QPA = E ;（D ） 若 P , Q 可逆，则 R ( A ) = R (B ) .⎛ 0 1 0 ⎫ 3. 设 A 为 3 阶可逆矩阵，B = 1 0 0 ⎪ A ，关于 A -1, B -1 的说法，正确的是【 B 】.0 0 1 ⎪（A ） 交换 A -1 的第 1，3 行得到 B -1 ；（B ） 交换 A -1 的第 1，2 列得到 B -1 ；（C ） 交换 A -1 的第 1，2 行得到 B -1 ；（D ） 交换 A -1 的第 1，3 列得到 B -1 . 4.若非齐次线性方程组 AX = B 所对应的导出方程组 AX = 0只有零解，则以下判断错误的是【 A 】.（A ） A 的列向量组线性相关； （B ） AX = B 可能无解； （C ） AX = B 不可能有无穷多解； （D ） AX = B 可能有唯一解.⎛ a ⎫ ⎛ 0 ⎫ ⎛ -1⎫ 5．若α = 2 ⎪ ， β = b ⎪， γ = 0 ⎪ 是正交向量组，则a ， b ， c 分别为【 D 】.⎪ ⎪ ⎪ -1⎪ 1 ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ （A ）0，0，0； （B ）0，1，1/2；（C ）0，-1/2，0； （D ）0，1/2，0.三．解答下列各题（每小题 8 分，共 16 分）⎝⎭ 2 ⎭ ⎛5 0⎫⎝ ⎭ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭2 ⎭ 1 23 42 3 4 1 1. 计算行列式 D =.3 4 1 2 4 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1解： D = 10 2 3 4 1 = 10 0 1 2 -1 (4)3 4 1 2 4 1 2 3 0 1 -2 -1 0 -3 -2 -1 ⎛ 1 2 -1⎫ = 101 -2 -1⎪6 分⎪ -3 -2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎛ 1 2 -1⎫ = 100 -4 0 ⎪ =160。