第2课时逆变换与逆矩阵

第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)
1. 若 x2y2－11＝x xy－y，求x＋y的值．
解：x2＋y2＝－2xyx＋y＝0.
2. 用几何变换的观点，判断并求出矩阵 01－10的逆矩阵．

解：因为矩阵 01－10表示的是绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所以它有逆变换，
对应的逆矩阵为0－11 0.
3. 已知矩阵A＝12c1的一个特征值为λ，10是A的属于λ的特征向量，求矩阵A
的逆矩阵A－1.
解：∵ Aα＝λα，12c110＝λ10，

∴ 1＝λ，c＝λ，解得λ＝1，c＝1.A＝1211，
则A－1＝1－10 1.
4. 已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为 1－3，属于特征值3的一个特
征向量为11，求矩阵A.
解：设A＝abcd，由题知abcd 1－3＝－1 3，abcd11＝311.

即a－3b＝－1，c－3d＝3，a＋b＝3，c＋d＝3，解得a＝2，b＝1，c＝3，d＝0，所以A＝2130.
5. 已知二阶矩阵A有两个特征值1、2，求矩阵A的特征多项式.
解：由特征多项式的定义知，特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式．因此不妨
设f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因为1， 2是A的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c＝0
的根．由根与系数的关系知：b＝－3，c＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2.

6. 矩阵M＝3652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e1＝65，及属于特征值λ2＝

－3的一个特征向量e2＝ 1－1.对向量α＝38，计算M3α.
解：令α＝me1＋ne2，将具体数据代入，有m＝1，n＝－3，所以a＝e1－3e2.M3α＝M3(e
1

－3e2)＝M3e1－3(M3e2)＝λ31e1－3(λ32e2)＝8365－3×(－3)3 1－1＝3 1532 479 ,

M3α＝3 1532 479.

7. 求下列矩阵的特征值和特征向量．
(1) M＝6244；
(2) M＝2541.
解：(1) 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－6－2－4λ－4＝(λ－8)(λ－2)，令f(λ)＝0得λ
1

＝2，λ2＝8.λ1＝2对应的一个特征向量为 1－2，λ2＝－8对应的一个特征向量为11.

(2) 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－2－5－4λ－1＝(λ＋3)·(λ－6)，令f(λ)＝0得λ1＝－
3，λ2＝6.λ1＝－3对应的一个特征向量为－1 1，λ2＝6对应的一个特征向量为541.
8. 利用逆矩阵的知识解方程MX＝N，其中M＝5241，N＝ 5－8.
解：设M－1＝xyzw，
5241


xy
zw
＝


5x＋2z5y＋2w4x＋z4y＋w＝

10
01
，






5x＋2z＝1，
5y＋2w＝0，
4x＋z＝0，
4y＋w＝1，

解得x＝－13，y＝23，z＝43，w＝－53，所以M－1＝－132343－53.

可得X＝M－1N＝－132343－53 5－8＝－720.
所以原方程的解为－720.
9. 已知矩阵M＝10012，N＝12001，试求曲线y＝cosx在矩阵M－1N变换下的函
数解析式．
解：由M－1＝1002，得M－1N＝100212001＝12002，即在矩阵M－1N的变

换下有如下过程，xy→x′y′＝12x2y，则12y′＝cos2x′，即曲线y＝cosx在矩阵M－1N的变换
下的解析式为y＝2cos2x.
10. 设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变
换．求：
(1) 直线4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2) M的特征值与特征向量．
解：(1) M＝1005.设 (x′，y′)是所求曲线上的任一点，1005xy＝x′y′，所以

{
x′＝x，y′＝5y，
得x＝x′，y＝15y′，代入4x－10y＝1，得4x′－2y′＝1，所以所求曲线的方程

为4x－2y＝1.
(2) 矩阵M的特征多项式

f(λ)＝λ－100λ－5＝(λ－1)(λ－5)＝0，所以M的特征值为λ1＝1，λ2＝5.

当λ1＝1时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝10；当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特
征向量α2＝01.
11. 已知矩阵M＝3652.
(1) 求矩阵M的特征值和特征向量；
(2) 对于向量α＝74，求M3α.

解：(1) 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)(λ＋3)＝0，得M的特征
值为λ1＝8，λ2＝－3.
λ1＝8对应的一个特征向量为65，λ2＝－3对应的一个特征向量为 1－1.

(2) 因为α＝74＝e1＋e2，所以M3α＝M3(e1＋e2)＝M3e1＋M3e2＝λ31e1＋λ32e2＝3 0452 587.