二次根式复习(2)

1 二次根式知识点总结

1. 二次根式的概念

二次根式的定义： 形如)0(aa的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义．

2. 二次根式的性质

1. 非负性：)0(aa是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2.)0()(2aaa

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2aaa

3.

)0()0(2aaaaaa

注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

3. 最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；

②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

4. 二次根式计算——分母有理化

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两 2 个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用aaa来确定，如：a与a，ba与ba，ba与ba等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ba与ba，ba与ba，ybxa与ybxa分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

5. 二次根式计算——二次根式的乘除

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

第三章 二次根式复习作业（2））

一、选择题:

1. 在下列式子中，一定是二次根式的是（ ）

A．2x B．x C．22x D．22x

2．若bb3)3(2，则（ ）

A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3

3．若x＜0，则xxx2的结果是（ ）

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2

4．对于二次根式92x，以下说法不正确的是（ ）

A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3

5．计算：ababba1等于（ ）

A．abab21 B．abab1 C．abb1 D．abb

6．如果 x(x－6) ＝x

·x－6 ，那么（ ）

A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数

二、填空题:

7．计算：yxy82 ；2712 ；2)23(______ __ _ _．

8．化简：①yxyx_________；② 若x＜2，则xx3)2(2的正确结果是 ．

9．观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，6，3，23，15，32，……，那么第10个

数据应是 .

三、解答题:

10．计算：(1)521312321 (2) )1(3babba

（3）0)13(27132 （4）22)2332()2332( 四、解答题: 11. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简式子(a+1)2＋2(b-1)2 －|a－b|

第二十一章 二次根式

【知识要点

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2=a （a≥0）；

（2）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）； bbaa（b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，

其中是二次根式的是_________（填序号）． a（a＞0）

aa2

a（a＜0） 0 （a=0）； 例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）xx315；（2）22)-(x

例3、 在根式1) 222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

例4、已知：的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy

第1页（共45页） 专题二：二次根式

1：考向解读

1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．

2．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算．能掌握形如：123,2323的化简与运算（分母有理化）．

2：导图导学

3：考点

数的乘方 负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．

数的开方 （1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．

（2）若3ba，则b叫做a的立方根．

二次根式的相关概念 （1）二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， 第2页（共45页） 这样的二次根式叫做最简二次根式． （3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 二次根式的运算 二次根式的性质：

0(0)aa，2()(0)aaa．

2(0),||(0)aaaaaa．

(0,0)ababab．

(0,0)aaabbb．

4：解题技巧

化简二次根式的步骤（易错点）

（1）把被开方数分解因式(或因数) ；

（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式运算中的注意事项

（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。