第十六章 二次根式知识点与常见题型总结

第十六章二次根式（2）【目标知识点】1、二次根式的乘除：（1）二次根式的乘法法则：（，），即二次根式相乘，把被开方数，根指数不变。

（2）二次根式的除法法则：（，），即二次根式相除，把被开方数，根指数不变。

例1：化简：例2：若成立，则的取值范围为A. B. C. D. 或例3：如果，，那么下列各式：①；②；③．其中正确的是A.①②B. ②③C. ①③D. ①②③2、最简二次根式（分母有理化）：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式；例1：下列式子中，属于最简二次根式的是A. B. C. D.例2：下列各式中是最简二次根式的是A. B. C. D.例3：下列二次根式中属于最简二次根式的是A. B. C. D.例4：下列二次根式中属于最简二次根式的是A.B.C.D.例5：把 化成最简二次根式为A.B.C. D.例6：计算A. B. C. D.例7：下列计算结果，正确的是A. B. C. D.例8： 计算 的结果是A. B. C.D.例9是最简二次根式，则 ；．3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

如：333和 ，222和，312和4、二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式，不是同类二次根式的无法进行加减运算 <注>：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．例1： 计算 的结果是A.B.C.D.例2：下列计算正确的是A.B.C.D.例3 = ．例4：计算的值是．例5：计算：．例6：计算：（1）；（2）．（3）；（4）；（5）；（6）．例7：已知：，求的值．例8：已知，，求的值．例9：已知，，求的值．例10：先化简，再求值：，其中．【目标检测题】一、二次根式的概念与二次根式有意义的条件1. 下列各式①；②；③；④；⑤中，二次根式有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个2. ，则A. B. C. D.3. 使代数式有意义的的取值范围是 ( )A. B.C. D. 且4. 当为何值时，下列各式有意义?（1）；（2）；（3）；（4）．（5）；（6）．5. 若、为实数，且，化简：．二、二次根式的双重非负性1. 已知实数，满足，则的值为A. B. C. D.2. 方程，当时，的取值范围是 ( )A. B. C. D.3. 已知的三边长，，均为整数，且和满足．试探求的边的长．4. 已知，是实数，且，解关于的方程．三、最简二次根式与二次根式的性质1. 下列根式是最简二次根式的是A. B. C. D.2. 若，则a的取值范围是（）A. B. C. D.3. = ；= ；= ．4. 实数，在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为．5. 实数在数轴上的位置如图所示，化简．6. 实数、、在数轴上的位置如图：则化简的结果是．四、二次根式的计算1. 已知，，则代数式的值为A. B. C. D.2. 已知，，则（1），（2），（3），（4），（5）．3. 计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）．（13）（14）．（15）（16）（17）（18）．（19）．（20）。

八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理单选题1、√2×√8=（）A．4√2B．4C．√10D．2√2答案：B分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：√2×√8=√16=4．故选B．小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3、二次根式√2x+4中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2答案：D分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．由题意，得2x+4≥0，解得x ≥-2，故选：D ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．4、已知a ＝√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式答案：A分析：求出a 与b 的值即可求出答案．解：∵a ＝√5−2=√5+2(√5+2)(√5−2)＝√5+2，b ＝2+√5， ∴a ＝b ，故选：A ．小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．5、已知：a=2−√3，b=2+√3，则a 与b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等答案：C 因为a ×b =2−√32+√3=1,故选C.6、计算√8+√18的值等于（ ） A ．√26B ．4√2C ．5√2D ．2√2+2√3答案：C 分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C ．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、已知max {√x,x 2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {√x,x 2,x}=max{√9,92,9}＝81．当max {√x,x 2,x}=12时，则x 的值为（ ） A ．−14B ．116C ．14D ．12答案：C分析：利用max {√x,x 2,x}的定义分情况讨论即可求解．解：当max {√x,x 2,x}=12时，x≥0①√x ＝12，解得：x ＝14，此时√x ＞x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝√22；此时√x ＞x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12，√x ＞x ＞x 2，不合题意； 故只有x ＝14时，max {√x,x 2,x}=12． 故选：C ．小提示：此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．8、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9、观察下列等式：第1个等式：a 1=1+√2=√2−1， 第2个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋯+a n=（）A．√n+1−1B．√n+1−√n C．√n+1D．√n−1答案：A分析：首先根据题意，可得a1=1+√2=√2−1，a2=√2+√3=√3−√2，a3=√3+2=2−√3，a4=2+√5=√5−2⋯⋯a n=√n+1+√n=√n+1−√n，再相加即可得解．解：第1个等式：a1=1+√2=√2−1，第2个等式：a2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，……第n个等式：a n=√n+1+√n=√n+1−√n，∴a1+a2+a3+⋯⋯+a n=√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，故A正确．故选：A．小提示：本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．10、如图，数轴上的点可近似表示(4√6−√30)÷√6的值是( )A．点A B．点B C．点C D．点D答案：A分析：先化简原式得4−√5，再对√5进行估算，确定√5在哪两个相邻的整数之间，继而确定4−√5在哪两个相邻的整数之间即可．原式=4−√5，由于2＜√5＜3，∴1＜4−√5＜2．故选：A．小提示：本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．填空题11、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．12、将√45化为最简二次根式，其结果是 __．2答案：3√102分析：将分母有理化后进行化简即可．解：√452=√45×22×2=√3×3×5×22×2=3√102，所以答案是：3√102．小提示：本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．13、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．14、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．15、√27+√3的结果是_________．答案：4√3分析：直接化简二次根式进而合并得出答案．原式=3√3+√3=4√3．所以答案是：4√3.小提示：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．解答题16、在一个边长为（√3+√5）cm的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．答案：4√15( cm2)．分析：用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5-√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．小提示：此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解本题的关键．17、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18、已知a满足|2021−a|+√a−2022=a．(1)√a−2022有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将|2021−a|去掉绝对值符号可得|2021−a|=______．(2)根据（1）的分析，求a−20212的值．答案：(1)a≥2022；a−2021(2)a−20212=2022分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵√a−2022有意义，∴a−2022≥0，∴a≥2022，∴2021−a<0，∴|2021−a|=a−2021；所以答案是：a≥2022；a−2021；（2）∵|2021−a|+√a−2022=a，∴a−2021+√a−2022=a，∴√a−2022=2021，∴a−2022=20212，∴a−20212=2022．小提示：本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。

第十六章 《二次根式》知识点及考点典例一、重点知识回顾1、二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是__________。

2、为什么要学二次根式？加、减、乘、除、乘方、开方3、最简二次根式若二次根式满足：被开方数____________；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4、二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a （2）==a a 2(0)( 0)a a a a ≥≤⎧⎨⎩（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （4）= ()备注： 的异同点：________________________________.5、二次根式的加减先将二次根式化成__________，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

6、二次根式的乘除ba b a ⋅=⋅ 0,0≥≥b a b a b a = ()7、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方和开方，再_______，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

※8、二次根式非负性运算技巧（易错题）（1）根号下互为相反数（2）非负式=字母（3）根号内外移动二、典例剖析考点一、二次根式概念与性质【例1】若使二次根式24x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【举一反三】若代数式在实数范围内没有意义，则x 的取值范为是（ ） A ．x 2 B ．x ＞－2C ．x≥2D ．x≤2 考点二、二次根式的运算【例2】如果ab ＞0，a +b ＜0，那么下面各式：①a ab b =，②1a b b a =，③a ab b b÷=-其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【举一反三】1.计算：273-=2.计算：= ． 考点三、二次根式混合运算【例3】计算：（+）2﹣= ．011244(12)38考点四、估算大小 【例4】a ，b 是两个连续整数，若a 7b ，则a ，b 分别是（ ）A ．2，3B ．3，2C ．3，4D ．6，8【举一反三】若a 13b ，且a ，b 为连续正整数，则b 2-a 2= 考点五、二次根式运算中的技巧（1）根号下互为相反数【例5】若332y x x =--，则y x = ．【举一反三】若(m-1)22n +=0，则m +n 的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2（2）非负式=字母【例6】已知实数a 满足a a a =-+-20192018，求22018-a 的值。

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

第十六章 二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念：1、定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a≥0时，a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）概念：式子a （a≥0）叫二次根式。

a （a≥0）是一个非负数。

题型一：判断二次根式（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y+=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 2、21x x --有意义，则 ； 3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_______________。

典型练习题：1、当x 是多少时， 23x ++11x +在实数范围内有意义？2、当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3、当__________时，212x x ++-有意义。

4、使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数 5、已知y=2x -+2x -+5，求x y的值． 6、若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．7、若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。

8、已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。

9、使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。

10、已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤011、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y12、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 13、化简aa 3-(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a3、最简二次根式的化简最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。

二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

〕1.〕。

A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。

〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。

x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。

8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。

m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。

八年级数学下册第十六章二次根式总结(重点)超详细单选题1、若a ＝√2﹣1，则a +1a 的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C分析：把a 的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a =√2−1，∴a +1a =√2−1+√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9， ∴2<2√2<3，∴a +1a 的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．2、下列计算正确的是（ ）A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C ．（﹣2a 2）2＝2a 4D ．√3+2√3＝3√3答案：D分析：由有理数的乘方运算可判断A ，B ，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C ，由二次根式的加法运算可判断D ，从而可得答案．解：32=9，故A 不符合题意；(−25)3=−8125, 故B 不符合题意；(−2a 2)2=4a 4, 故C 不符合题意；√3+2√3=3√3, 故D 符合题意；故选D小提示：本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．3、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4、当x >2时，√(2−x )2= （ ）A ．2−xB ．x −2C ．2+xD ．±(x −2)答案：B分析：根据√a 2=|a |的进行计算即可．∵x ＞2，∴√(2−x )2=|2−x |=x −2，故B 正确．故选：B ．小提示：本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握√a 2=|a |是解题的关键．5、对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．A ．2√3−3√2B ．√3+√3C ．(√3)3D ．0×√3答案：D分析：分别计算出各选项的结果再进行判断即可．A ．2√3−3√2不能再计算了，是无理数，不符合题意；B ．√3+√3=2√3，是无理数，不符合题意；C ．(√3)3=3√3，是无理数，不符合题意；D ．0×√3=0，是有理数，正确．故选：D ．小提示：此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．6、若式子√m+2(m−1)2有意义，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＞﹣2且m ≠1C．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠1答案：D分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．由题意可知：{m +2≥0m −1≠0， ∴m≥﹣2且m≠1，故选D ．小提示：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.7、下列计算：(1)(√2)2=2;(2)√(−2)2=2;(3)(−2√3)2=12;(4)(√2+√3)(√2−√3)=−1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据二次根式的运算法则即可进行判断．(1)(√2)2=2，正确；(2)√(−2)2=2正确；(3)(−2√3)2=12正确；(4)(√2+√3)(√2−√3)=−1，正确，故选D．小提示：此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：(√a)2=a；√a2=|a|．8、下列二次根式中，最简二次根式是（）D．√a2A．−√2B．√12C．√15答案：A分析：根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．故选：A．小提示：本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9、化简2√5−√5×(2−√5)的结果是（）A．5B．−5C．√5D．−√5答案：A分析：先进行二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．解: 2√5−√5×(2−√5)，=2√5−2√5+5，=5．故选择A．小提示：本题考查二次根式乘除加减混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题关键．10、√(−3)2化简后的结果是（）A．√3B．3C．±√3D．±3答案：B试题分析：“√a”表示的是a的算术平方根，“±√a”表示的是a的平方根．√(−3)2=√9=3，故选B．填空题11、实数2﹣√3的倒数是_____．答案：2+√3分析：先根据倒数的定义写出2﹣√3的倒数，再分母有理化即可．解：2−√3的倒数是2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√34−3=2+√3,所以答案是：2+√3．小提示：本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．12、我们知道√5是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（√5+a）·b的值是_________．答案：1分析：先根据2＜√5＜3，确定a=2，b=√5-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．∵2＜√5＜3，∴a=2，b=√5-2，∴（√5+a）·b=（√5+2）（√5-2）=5-4=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．13、若a>√2a+1，化简|a+√2|−√(a+√2+1)2=_____．答案：1分析：先根据a>√2a+1，判断出a<−1−√2，据此可得a+√2<−1,a+√2+1<0，再依据绝对值性质和二次根式的性质化简可得．解：∵a＞√2a+1,∴(1−√2)a>1，则a<1−√2，即a<−1−√2，∴a+√2<−1,a+√2+1<0，原式=−a−√2+a+√2+1=1，所以答案是：1 ．小提示：本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质和解一元一次不等式的步骤．14、计算√(−2)2的结果是_________．答案：2分析：根据二次根式的性质进行化简即可．解：√(−2)2=2．所以答案是：2．小提示：此题主要考查了二次根式的化简，注意：√a2=|a|={a(a＞0）0(a=0)−a(a＜0)．15、计算√5×√15−√12的结果是_______．答案：3√3分析：根据二次根式的运算法则计算即可得出答案．原式=√5×15−2√3=5√3−2√3=3√3，故答案为3√3.小提示：本题考查的是二次根式，比较简单，需要熟练掌握二次根式的运算法则．解答题16、计算：(1)√32−√18−√18；(2)(7+4√3)(7−4√3)−(√3−1)2．答案：(1)34√2 (2)√3−3分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项；（2）利用平方差和完全平方公式计算．（1）原式=4√2−3√2−√24=3√24 （2）原式=49−48−(3−2√3+1)=2√3−3小提示：本题考察了二次根式的混合运算和乘法公式．先把二次根式化为最近二次根式，然后再合并同类项，平方差公式(a −b)(a +b)=a 2−b 2，完全平方公式(a ±b)2=a 2±2ab +b 2，正确化简二次根式和使用乘法公式是解题的关键．17、计算：(1)√100+√−273−2×√14(2)−√(−3)2+√6+|√6−3|答案：(1)6(2)0分析：（1）先计算算术平方根与立方根，再合并即可；（2）先求解算术平方根与绝对值，再合并即可．(1)解：√100+√−273−2×√14=10−3−2×12=10−3−1=6；(2)−√(−3)2+√6+|√6−3|=−3+√6+3−√6=0小提示：本题考查的是化简绝对值，算术平方根与立方根的含义，二次根式的加减运算，掌握以上运算是解本题的关键．18、在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）√45，（2）√13，（3）√52，（4）√0.5，（5）√145．答案：（1）不是，3√5；（2）不是，√33；（3）是；（4）不是，√22；（5）不是，3√55. 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．（1）√45=3√5，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2）√13=√33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3）√52，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；（4）√0.5=√12=√22，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5）√145=√95=3√55，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 小提示：本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．。

第16章二次根式一、二次根式的概念核心提要1．二次根式的定义：形如________(其中a≥0)的式子叫做二次根式．2．与二次根式相关的概念：(1)若x2＝a，则________是________的平方根；(2)a(a≥0)表示________的算术平方根．知识点1：平方根与算术平方根1．填空：(1)9的平方根是________；(2)25的算术平方根是________；(3)0的算术平方根是________；(4)a(a≥0)的算术平方根是________．知识点2：二次根式的定义2．下列式子中是二次根式的是()A．7B．3 7C．x D．－7知识点3：二次根式有意义的条件3．式子1x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＜1B．x≤1 C．x＞1D．x≥1 4．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x＋1；(2)2x；变式1填空：(1)5的平方根是________；(2)11的算术平方根是________；(3)－3________平方根是(填“有”或“没有”)；(4)a(a≥0)的平方根是________．变式2下列式子：①12；②－3；③－x2＋1；④327；⑤（－3）2是二次根式的有()A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤变式3式子x－1 x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥1B．x≥1且x≠2 C．x＞1D．x≤1且x≠2变式4当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3－x；(2)－4x；基础巩固1.下列各式①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3的是()A．2x－3B．1x－3C．x－3D．x－3 3．若使二次根式2x－6有意义，则x的取值范围是________ 4．若|3－a|＋2＋b＝0，则a＋b的值是________．5．若式子4－x－x－3有意义，求x的取值范围．6．若式子11－3a有意义，求a的取值范围．能力提升7．下列式子没有意义的是()A．－3B．0C．2D．（－1）28．若代数式11－x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥0B．x≥1C．x≠1D．x≥0 且x≠1 9．若a为实数，则下列各式中一定有意义的是()A.a＋3B．a2＋3C.a2－3D．a a2＋310．一个面积为18 cm2的矩形，它的长与宽之比为3∶2，求它的长与宽各是多少？培优训练11．若y＝x－3＋3－x3，求(x＋y)y的值．二、二次根式的性质核心提要二次根式的性质：1．(a)2＝________(a≥0)．2．a2＝________．知识点1：(a)2＝a(a≥0)1．计算：(1)(3)2＝________；(2)(7)2＝________；(3)(4)2＝________；(4)(0.3)2＝________；(5)(13)2＝________；(6)(23)2＝________．知识点2：a2＝a(a≥0)(一般地a2＝|a|)2．计算：(1)42＝________；(2)（－3）2＝________；(3)（13）2＝________；(4)（－0.2）2＝________．知识点3：双非负性a≥0(a≥0)3．已知实数x、y满足(5－x)2＋y＋6＝0，求代数式(x＋y)2 001的值．变式1计算：(1)(5)2＝________；(2)(8)2＝________；(3)(34)2＝________；(4)(0.6)2＝________；(5)(24)2＝________；(6)(－32)2＝________.变式2计算：(1)112＝________；(2)（－7）2＝________；(3)（－1.2）2＝________；(4)（－13）2＝________．变式3已知1＋a＋||b－7＝0，求a＋b的值．基础巩固1.计算（－4）2的结果是()A．－4B．4C．±4D．162．二次根式（3－2）2的值等于()A．3－2B．2－3C．±(3－2)D．2＋3 3．当x＜5时， (x－5)2的值是()A．x－5B．5－x C．5＋x D．－5－x 4．计算：(1)(9)2＝________；(2)－(5)2＝________；(3)32＝________；(4)－（－34）2＝________；5．若a、b、c分别是三角形的三边长，化简： (a＋b－c)2＋ (b－c－a)2＋ (b＋c－a)26．若(m＋1)2＋n－2＝0，求代数式m＋n的值．能力提升7.计算：(1－2)(1＋2)＝________．8．若（x－1）2＝1－x，则x的取值范围是________．9．在实数范围内分解因式：x2－2＝_____________．10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（a－1）2＋a.培优训练11．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．三、二次根式的乘法核心提要二次根式的乘法公式a·b＝________(a≥0，b≥0)．知识点：a×b＝ab(a≥0，b≥0)1．计算：(1)5×6；(2)12×8.2．计算：(1)32×23；(2)212×(－3)；(3)a3·a；(4)x3·2 x.3.计算：ab·bc·cd·da.变式1计算：(1)3×5； (2)13×27.变式2 计算： (1)23×276； (2)2a7×(－14a )；(3)(5＋3)(5－3)； (4)()2－32. 变式3 计算：115×23×(－1210).巩固练习1．计算3×2的结果( )． A ．5 B ．6 C ．23D ．322．一个矩形的长和宽分别是36、23，则它的面积是( ) A ．203B ．182C．172D．1623．化简x－1x，正确的是()A．－x B．xC．－－x D．－x4．已知7·a的积是一个整数，则正整数a的最小值是()A．7B．2C．19D．55．若一个长方体的长为3 6 cm，宽为2 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.6．计算：(1)2a·8a(a≥0)＝________；(2)43×(－12)＝________．(3)54×64125＝________．(4)－8x3×63x＝________．7．如图，在△ABC中，AD△BC于点D，BC＝42，AD＝2，求△ABC的面积．8．把代数式(a－1)11－a中的a－1移到根号内，则这个代数式等于()A．－1－a B．a－1C．1－a D．－a－1 9．化简：(1)0.4×(－ 3.6)＝________；(2)(3＋22)99(3－22)100＝________．10．计算：ab·5ab·(－ba)·(－1ab)．培优训练11．已知x＝3－2，求代数式(x＋1)2＋2(x＋1)＋1的值．四、积的算术平方根核心提要积的算术平方根ab＝________(a≥0，b≥0)．(此公式用于化简二次根式)知识点：ab＝a·b(a≥0，b≥0)1．化简：(1)4＝________；25＝________；81＝________；(2)9×16＝________；32×72＝________；(3)4×5＝________；16×3＝________；(4)8＝________；24＝________；32＝________；4a＝________．2．化简：(1) 1 000＝________；(2)9a3＝________；(3)5×15＝________；(4)4a2b＝________；(5)3a·6a＝________；(6)2y 3·8y＝________． 3．设正方形的边长为a ，面积为S . (1)如果a ＝2 5 cm ，则S ＝________cm 2； (2)如果S ＝32 cm 2，则a ＝________cm ； (3)如果S ＝50 cm 2，则a ＝________cm. 变式1化简：(1)9＝________；16＝________； 64＝________；(2) 32×52＝________；36×4＝________；(3)4×16＝________；3×49＝________； (4)12＝________；18＝________； 60＝________；36b ＝________． 变式2化简：(1)25b 3＝________； (2)10a ·5a ＝________； (3)28×(－36)＝________； (4)－16a 2b 3c ＝________； (5)2×23×12＝________； (6)133x 2y 3·12x 2y＝________.变式3已知非负实数a、b、c满足a2＋b2＝c2.(1)如果a＝3，b＝5，则c＝________；(2)如果c＝12，b＝10，则a＝________；(3)如果a＝32，b＝3，则c＝________．基础巩固－32×3的计算结果是()1．二次根式()A．33B．－33C．3D．92．若a＜0，b＞0，则－a3b化简得()A．－a－ab B．－a abC．a－ab D．a ab3．化简：(1)24＝________；(2)28＝________；(3)45＝________；(4)72＝________；(5)25a2(a>0)＝________；(6)80ab3(a>0，b>0)＝________．4．已知x>0，y>0，则xy2·x2y＝________．5．化简：（a2－b2）（a4－b4）(b＜a＜0)得_______________．6．计算：(1)32×224；(2)214x·4xy.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝12，AC＝18.求△ABC 的面积．能力提升8.已知12n是正整数，则满足条件的最小正整数n为()A．2B．3C．4D．59．计算：(1)62＋82＝________；(2)132－52＝________；(3)4－2＝________．10．先化简，再求值：x＋2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3＋2.培优训练11．先化简，再求值：(a2－b2a2－2ab＋b2＋ab－a)÷b2a2－ab，其中a、b满足1＋a＋||b－3＝0.五、二次根式的除法核心提要1．二次根式的除法法则为：ab＝________(a≥0，b>0)．2．最简二次根式同时满足下列条件：(1)________________________________________；(2)________________________________________．知识点1：二次根式的除法1．计算：(1)186；(2)8a÷2a.知识点2：化成最简二次根式2．将下列式子化成最简二次根式：(1)3100；(2)11336；(3)13； (4)35.知识点3：二次根式的乘除混合运算 3．计算：34÷112×24. 变式1 计算：(1)455； (2)243.变式2 将下列式子化成最简二次根式：(1)225； (2)112；(3)123； (4)a 1a变式3 计算：20×3515÷(－6)．基础巩固1．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12B ．0.2C ．2D ．202．化简－32×27的结果是( )A ．－23B ．－23C ．－66D ．－23．能使等式x x －2＝x x －2成立的x 的取值范围是( ) A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x ＞2D ．x ≥24．若长方形的宽为 2 cm ，面积为2 6 cm 2，则长方形的长为________．5．计算： (1)(－113)÷554；(2)512×34÷52；(3)12÷227×18.能力提升6．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：△ab＝ab，△ab·ba＝1，△ab÷ab＝－b，其中正确的是()A．△△B．△△C．△△D．△△△7．计算：(1)6－33＝________；(2)233－1＝________．8．先化简，再求值：a2＋3aa2＋4a＋4÷a＋3a＋2－2a＋2，其中a＝2－2.培优训练9．小芳在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此她认为一个化简过程：－20－5＝－20－5＝－5×4－5＝－5×4－5＝4＝2是正确的．△你认为她的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；△说明ab＝ab成立的条件．六、二次根式的加减法核心提要1．同类二次根式：把几个二次根式化成____________后，如果被开方数(即根号下的数或式)________，则这几个二次根式叫做同类二次根式．2．二次根式加减时，先将二次根式化为_______________，再将______________的二次根式进行合并．知识点：二次根式的加减1．计算：(1)4a－3a＝________；(2)5a＋6ab－a＋2ab＝________；(3)32－22＝________；(4)5ab－3ab＝________．2．计算：(1)35＋2－25－32；(2)3－12＋18.3．计算：22－23＋12.变式1计算：(1)5xy＋6xy＝________；(2)3x＋5xy－4x－xy＝________；(3)66－6＋26＝________；(4)7x－x＝________．变式2计算：(1)37－28＋7；(2)36－2＋24＋8.变式3计算：a＋a4－2a1a.基础巩固1．计算27－3的结果是()A．24B．26C．3D．232．下列根式中，与18为同类二次根式的是()A．2B．3C．5D．63．如果等腰三角形的底边长为8，腰长为18，则其周长为________．4．计算：(1)3－32＋33＋2；(2)16b－25b；(3) (48＋20)＋(12－5)；(4)28＋1417－700.能力提升5．已知2a －3＋5＝25，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．56．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．33－3 B ．3 C ．1D ．37．若x ＝12(a ＋b )，y ＝12(a －b )，则x ＋y 的值为________．8．若对实数a ，b ，c ，d 规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－38＝________．9．计算：(48－418)－(313－20.5)．培优训练10．已知x＝1＋3，求x2－x＋1的值．七、二次根式的混合运算核心提要二次根式的混合运算顺序：先算________，再算________，最后算________，有括号先算括号里面的．知识点1：化成最简二次根式1．化简：(1)8＝________；(2)32＝________；4(5)35＝________；(6)2a＝________．知识点2：二次根式的混合运算2．计算：(1)3×15＝________；(2)363＝________；(3)12＋3＝________；(4)28－63＝________．3．计算：13×(212－75).4．若x＝2＋1，求x2－2x＋1的值．变式1化简：(1)27＝________；(2)40＝________；(3)18a2＝________；(4)17＝________；168变式2计算：(1)2×98＝________；(2)40÷5＝________；(3)2＋18＝________；(4)27－75＝________．变式3计算：(248－327)÷ 3.变式4若m＝2＋3，n＝2－3，求mn2＋m2n的值．巩固练习1．下列运算错误的是()A．2＋3＝5B．2×3＝6C．8÷2＝2D．(－2)2＝22．估计32×12＋20的运算结果应在( ) A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间3．计算5×153的结果是________．4．一个矩形的长和宽分别为12 cm 和27 cm ，则这个矩形的周长为___________．5．计算：(1)(12＋58)×3；(2)(48＋36)÷27；(3)3＋33；(4)(3＋2)2－(3＋22)(3－22).能力提升6．计算：(2＋1)2 018×(2－1)2 019.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，CD△AB于D.AC＝3＋1，BC＝3－1，AB＝22，求CD的长．8．如图所示，在Rt△ABC中，△B＝90°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为24平方厘米？(结果用最简二次根式表示)第十六章二次根式第1课时二次根式的概念【核心提要】1.a2．(1)x a (2)a【典例精讲】1．±3 5 0a2．A 3.C4．(1)x ≥－1 (2)x ≥0【变式训练】1．±511 没有 ±a 2．B 3.B4．(1)x ≤3 (2)x ≤0【基础巩固】1．B 2.D3．x ≥3 4.1 5.3≤x ≤4 6.a <13【能力提升】7．A 8.D 9.B10．长3 3 cm 宽2 3 cm【培优训练】11．1第2课时 二次根式的性质【核心提要】1．a 2.|a |【典例精讲】1．(1)3 (2)7 (3)4 (4)0.3 (5)13(6)12 2．(1)4 (2)3 (3)13(4)0.2 3.－1 【变式训练】1．(1)5 (2)8 (3)34(4)0.6 (5)16 (6)18 2．(1)11 (2)7 (3)1.2 (4)133.6 【基础巩固】1．B 2.B 3.B4．(1)9 (2)－5 (3)3 (4)－345．a ＋b ＋c 6.1【能力提升】7．－18．x ≤1 9.(x ＋2)(x －2) 10.1【培优训练】11．7＋42第3课时 二次根式的乘法【核心提要】ab【典例精讲】1．(1)30 (2)2 2.(1)66 (2)－12(3)a 2 (4)2x 3.1【变式训练】1．(1)15 (2)32．(1)3 (2)－2a(3)－4 (4)5－263．－6【基础巩固】1．B 2.B 3.C 4.A5．366．(1)4a (2)－4 (3)45 (4)－4x7．4【能力提升】8．A 9.(1)－1.2 (2)3－22 10.5【培优训练】11．3第4课时 积的算术平方根【核心提要】a ·b【典例精讲】1．(1)2 5 9 (2)12 21 (3)25 43 (4)22 26 42 2a2．(1)1010 (2)3a a (3)53(4)2a b (5)3a 2 (6)4y3．(1)20 (2)42 (3)52【变式训练】1．(1)3 4 8 (2)15 12 (3)8 73(4)23 32 215 6b 2．(1)5b b (2)5a 2 (3)－243(4)－4ab bc (5)122 (6)2x 2y3．(1)34 (2)211 (3)33【基础巩固】1．A 2.A3．(1)26 (2)27 (3)35 (4)62 (5)5a (6)4b 5ab4．xy xy5．(b 2－a 2)a 2＋b 26．(1)243 (2)2x y7．36【能力提升】8．B9．(1)10 (2)12 (3)1410.1x －2 33【培优训练】11.a b －33第5课时 二次根式的除法【核心提要】 1.a b2．(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(2)被开方数中不含分母【典例精讲】1．(1)3 (2)22．(1)310 (2)76 (3)33 (4)1553．66【变式训练】1．(1)3 (2)222．(1)25 (2)62 (3)36 (4)a 3．－32【基础巩固】1．C 2.C 3.C4．2 3 cm5．(1)－6105 (2)324(3)2 【能力提升】6．解析：∵ab ＞0，a ＋b ＜0，∴a ＜0，b ＜0.①a b ＝a b，被开方数应≥0，a ，b 不能作被开方数，(故①错误)， ②a b ·b a ＝1，a b ·b a ＝ab ＝a b ×b a ＝1＝1，(故②正确)， ③ab ÷a b ＝－b ，ab ÷a b ＝ab ÷ab －b ＝ab ×－b ab＝－b ，(故③正确)． 故选：B. 7．(1)2－1 (2)3＋3 8.1－22【培优训练】9．解：①化简不对，正确过程为－20－5＝205＝5×45＝4＝2； ②∵0作除数无意义，∴a b ＝a b 成立的条件：a ≥0，b ＞0. 第6课时 二次根式的加减法【核心提要】1．最简二次根式，相同2．最简二次根式，被开方数相同【典例精讲】1．(1)a (2)4a ＋8ab (3)2 (4)2ab 2．(1)5－22 (2)－3＋323.223【变式训练】1．(1)11xy (2)－x ＋4xy (3)76(4)6x2．(1)27(2)56＋23．－a 2【基础巩固】1．D 2.A3．824．(1)43－22(2)－b(3)63＋5(4)－67【能力提升】5．C 6.C7.a8.529.33【培优训练】10．解：∵x＝1＋3，∴x2－x＋1＝(1＋3)2－(1＋3)＋1＝1＋23＋3－1－3＋1＝3＋4；第7课时二次根式的混合运算【核心提要】乘方乘除加减【典例精讲】1．(1)22(2)42(3)2a6(4)3 2(5)155(6)2aa2．(1)35(2)23(3)33(4)－7 3．－1 4.2【变式训练】1．(1)33(2)210(3)3a2(4)7 7(5)22 (6)324 2．(1)32(2)22 (3)42 (4)－233．－1 4.4【基础巩固】1．A 2.C 3．5 4.10 3 cm 5．(1)6＋106 (2)43＋2 (3)3＋1 (4)4＋26 【能力提升】6.2－17.22【培优训练】8．解：设t 秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米，根据题意得： 12×2t ×t ＝24， 解得：t 1＝－26(不合题意舍去)，t 2＝2 6.答：26秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米．。

e二次根式（知识点）知识点一、二次根式的意义（a≥0） 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是的形式；2、被开方数必须是非负数。

a知识点二、二次根式的性质⑴⑵)0()(2≥=aaa⑶＝× ( a≥0，b≥0)b>0）ab a b对(a≥0)是一个非负数的理解；对等式及知识点三、最简二次根式满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

知识点四、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．知识点五、二次根式的乘除法1、二次根式的乘法：×＝( a≥0，b≥0)a b ab2（a≥0，b>0）二次根式（常见题型）【历年考点例析】考点一、概念与被开方数的取值范围确定1.下列各式1，8）中，是二次根式的是。

21a--2.当a 时，是二次根式。

1-a3.下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2--x x22+x22-x4.要使二次根式有意义，x应满足的条件是。

62-x5.若是二次根式，则x的取值范围是（）2-xA． x＞2 B．x≥2 C 、 x＜2D．x≤26.x的取值范围为（）A、x≥2B、x≠3C、x≥2或x≠3D、x≥2且x≠37.式子中x的取值范围是（ ）21+-xxA. x≥1且 X ≠-2B.x>1且x≠-2C.x≠-2D. .x≥18.当有意义a的取值范围是（）22-+aaA．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－29.要使1213-+-xx有意义，则x应满足（）．A．21≤x≤3 B．x≤3且x≠21C．21＜x＜3 D．21＜x≤310.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）mnm1+-gA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11.若式子有意义，则x的取值范围是。

2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。

2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。

3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。

4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。

5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。

6.若a≥0，则√a²=a。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。

8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。

3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。

第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。

二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。

②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。

③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。

二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。

第十六章 二次根式知识点一、二次根式1.定义：一般地，我们把形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“”．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如(0)b a a ≥的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积． 例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．(1)327 (2)9- (3)23a (4)21x + (5)221a a ++ (6)1212x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ (7)2816a a -+-2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A .7-B .12+x （x 为任意实数）C .m （m 为任意实数）D .33 练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．(1)33 (2)4 (3)21x - (4)(0,0)x y x y +≥≥ (5)238a + (6)2612x x --- 2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A .9-B .21x -（x 为任意实数）C .2m （m 为任意实数）D .35 知识点二、二次根式有意义的条件1.从总体上描述：在二次根式a 中，当0a ≥时，a 有意义，当0a <时，a 无意义．2.从具体的情况总结，如下：(1)单个二次根式如A 有意义的条件：0A ≥；(2)多个二次根式相加A +B N +⋅⋅⋅+有意义的条件：000A B N ≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；(3)二次根式作为分式的分母如B A有意义的条件：0A >；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义． (1)31x - (2)1x -- (3)12x x -+ (4)1211x x +++ (5)21x + (6)223x x ---2.函数1y x =+自变量的取值范围是（ ）A . 1x ≥-B . 1x >-C . 0x ≥D . 0x ≠ 3.若12x -有意义，则x 的取值范围是_______．练习：1.若式子3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A . 3x ≥B . 3x ≤C . 3x >D . 3x < 2.下列四个式子中，x 的取值范围为2≥x 的是（ ） A .2x - B .2x - C .12x - D .22x x -- 3.21x x +-有意义的x 的取值范围是_______．知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质1：式子(0)a a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根， 具体描述为：(1)a 是非负数，a 的最小值是0；(2)a 的被开方数a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 例题：1.(2015.外国语期末卷)若012=++-y x ，则y x +=_______．2.若22(1)0x y -++=，则x y -=_______．3.若232(1)0x z y -+++-=，则2015()x y z ++=_______．4.若225y x x =-+-+，求yx 的值______． 5.若3260x y x y +-+-+=，求x ，y 的值．1. (2015.铜盘中学期末卷)若x ，y 为实数，且错误！未找到引用源。

第十六章 二次根式（7个知识归纳+13类题型突破） 1.掌握二次根式的概念和有无意义的条件；2.掌握二次根式的性质；3.掌握二次根式的化简与计算；知识点1．二次根式的定义a≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.知识点2.二次根式有无意义的条件：（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．知识点3.二次根式的性质：（1）0a ³0³（双重非负性）．（2）2,0a a =³（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．应用：在实数范围内分解因式：22247(2)(2m m m m -=-=+（3,0,0a a a a ³-£（4（a≥0，b≥0）（5（a≥0，b>0）知识点4.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．知识点5.二次根式的运算：（1）二次根式的乘法（a≥0，b≥0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.=0(a0,b0....k)³³³（2（a≥0，b>0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．二次根式的加减步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．知识点6.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．知识点7.二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．题型一求二次根式的参数题型二　二次根式有意义的条件题型三　利用二次根式的性质化简题型四　复合二次根式的化简题型五　化为最简二次根式巩固训练4．（2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中）把二次根式题型六　已知最简二次根式求参数的值为题型七　同类二次根式根式？若存在，求出m的㨁；若不存在，请说明理由．题型八　二次根式的混合运算题型九　分母有理化题型十　已知字母的值，化简求值题型十一　已知条件式，化简求值题型十二　比较二次根式的大小题型十一　二次根式的应用A．6338．（2023春·湖北孝感方形，余下部分的面积为（A ．278cmB 39．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，某小区有块长为要在中间修建一个长为A ．()2623m -B ．巩固训练1．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下3．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考阶段练习）我国南宋时期的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即：若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么该三5．（2023春·新疆阿克苏长．。