人教版八下数学家之二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解

第1讲 《二次根式》全章复习【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a . （32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2)a 的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b=≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).举一反三： 【变式】已知，求的值.2.（2016•柘城县校级一模）把1a a --中根号外的因式移到根号内的结果是( ).A ．a -B ．a -C ．a --D ．a举一反三：【变式】（2014春•团风县校级期中）已知x 为奇数，且=，求•．3. 实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：化简22()1()a c c b a b c -+-++-+.举一反三：【变式】∆ABC 的三边长为a 、b 、c ，则22()()a b c a b c ---+-= . 类型二、二次根式的运算 4．（2015•昆山市一模）计算 （1）（2）．举一反三：【变式】计算5.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简6.若0x >___________x xy xy y xy yx xy+-=+-.举一反三：【变式】当22211221123a a a aaa a a-+-+=---+时，求的值.《二次根式》全章复习与巩固一.选择题1．x是怎样的实数时，212xx--在实数范围内有意义（）.A.122x x>≠且 B.122x x≥≠±且 C.122x x≠≠±且 D.122x x≥≠且2．若，则( ).A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤33．已知443253x<<+-，那么满足上述条件的整数x的个数是（）.A．4 B. 5 C. 6 D. 74．若x＜0，则的结果是( ).A．0 B．-2 C．0或-2 D．25．5220,x y x y-++=-若则的值是( ).A．-7 B．-5 C．3 D．76．（2016春•东莞市校级期中）已知，则=（）A． B．﹣ C． D．7．小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④.做错的题是( ).A．① B．②C．③ D．④8．()2220,a a a a ≥--时，和相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.A.()222a a a =-≥- B. ()222a a a >->-C. ()222a a a <-<- D. ()222a a a ->=-二.填空题 9. 计算＝___________.10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________. 11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12. 已知最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式，则b aa b +的值为___________.13．若m ＜0，则＝___________.14.已知实数a 满足20102011a a a -+-=，则22010a -＝____________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---＝__________. 16．（2015•黔西南州）已知x=，则x 2+x+1= ．三.解答题17． 计算： (1) ()ab bab a ab--÷+ (2)18.（2016春•巢湖市校级月考）已知x=，y=，求代数式2x 2﹣4xy+2y 2的值．19已知：20.（2015•蓬溪县校级模拟）如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1）。

最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。

2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。

4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。

5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。

6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A。

$-3$；B。

$x$；C。

$x^2+1$；D。

$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。

二次根式应用复习教案知识点一：二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．1.二次根式的定义及其意义 形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。

如：)0(2),1(1,2≥-≥+a ax x 等都是二次根式。

)0(≥a a 是一个非负数；)0()(2≥=a a a ；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a典型例题二次根式：(1).下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--x B.x C ．22+x D ．22-x 二次根式有意义的条件:(2) .a 的取值范围是（）． A ．a<1 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D．a>1（3）.有意义的x 取值范围是________．根据算术平方根意义计算（4）.根据算术平方根意义计算：（）2 （）2二次根式化简（5）.化简：362)13(-6.3-课后练习基础练习1、形如______________________的式子叫做二次根式 1.2322、4的平方根是3x 的取值范围是．4、面积为a 的正方形的边长为________．5、负数________平方根．6．下列式子中，是二次根式的是（）A ．BCD ．x7.=-a 的取值范围是（ ）（A ）0a ≥ （B ）02a ≤≤ （C ）20a -≤≤ （D ）2a ≤-8.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5BC ．D ．以上皆不对 9.若代数式1-x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．0>x B ．10≠≥x x 且 C ．0≠x D ．0≥x10.代数式11-x 有意义时，字母x 的取值范围是（）A ．0>xB ．0≥xC ．10≠>x x 且D ．10≠≥x x 且16.2 二次根式的乘除知识框架二次根式的乘法规定⇒二次根式的除法规定⇓⇓⇓最简二次根式⇐⇐⇐⇐⇐⇐化简（明确二次根式的特点）1.乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ⇒)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2.除法：)0,0(>≥=b a b a b a ⇒)0,0(>≥=b a ba b a ⇓二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中,被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式.例1．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0)．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二,被开方数是正数或0．知识点二:取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时，有意义,是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时，没有意义.例2．当x是多少时，31x-在实数范围内有意义？例3．当x是多少时，23x++11x+在实数范围内有意义？知识点三:二次根式（)的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，(）是一个非负数，即0(）.注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数,即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若,则a=0,b=0;若，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x-+2x-+5，求xy的值．（2)若1a++1b-=0,求a2004+b2004的值知识点四：二次根式（）的性质(）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(）是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：若，则,如：，.例1 计算1．（32）22．（35）23．（56)24．（72）2例2在实数范围内分解下列因式:（1）x2—3 （2)x4—4 (3) 2x2—3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。