黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三上学期期末考试数学(理)试题

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={x |x 2-3x ＜0}，则A ∩B 为（ ）A. 2，B.C.D. {1,3}{2,3}{1,2}(0,3))2.已知角α在第三象限，且sinα=-，则tanα=（ ）23A. B. C. D. 52‒52255‒2553.的值为（ ）sin10°⋅sin80°cos 235∘‒sin 235∘A.B.C. 1D. ‒1212‒14.已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2+ab ，则△ABC 的内角C 为（ ）A. B. C. D. 150∘120∘60∘30∘5.设函数，则f （2）+f （-log 23）的值为（ ）f (x )={log 2x,x >02‒x ,x ≤0A. 4B. C. 5 D. 6436.若sin （）=，sin （2）的值为（ ）π6‒α23α+π6A.B. C. D. 59‒5979‒797.已知f （x ）=sin 2x +2cos x ，则f （x ）的最大值为（ ）A. B. 0 C. 1D. 2‒18.已知函数f （x ）=cos 2x -，则下列说法正确的是（ ）12A. 是周期为的奇函数B. 是周期为的偶函数f(x)π2f(x)π2C. 是周期为的奇函数D. 是周期为的偶函数f(x)πf(x)π9.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x +6）=f （x ），当x ∈（0，3）时，f （x ）=x 2，则f （64）=（ ）A. B. 4 C. D. 98‒4‒9810.函数的图象如图所示，为了得到f(x)=Asin(ωx +ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)g （x ）=sin （3x +）的图象，只需将f （x ）的图象（ ）5π4A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度ππC. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度π3π311.奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式x [f （x ）-f （-x ）]＞0的解集为（ ）A. B. (‒1,0)∪(0,1)(‒∞,‒1)∪(0,1)C. D. (‒∞,‒1)∪(1,+∞)(‒1,0)∪(1,+∞)12.将函数f （x ）=2sin （x +2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x =对称，π2π2π4且f （0）＞0，则φ=（ ）A. B. C. D. π83π8‒π8‒3π8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f （x ）=x +log a x 的图象过点（2，3），则实数a =______．14.已知sin ，且α∈（0，），则tan 的值为______．α+cosα=2π2α+1tanα15.已知f （x ）=x 2-ax +2a ，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．16.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos C =-，sin B =sin C ，则边1823c =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f （x ）=2x -sin2x -．3cos 23（I ）求函数f （x ）的最小正周期及对称轴方程；（II ）求函数f （x ）的单调区间．18.若0，0，sin （）=，cos （）=．＜α＜π2＜β＜π2π3‒α35β2‒π3255（I ）求sinα的值；（II ）求cos （）的值．β2‒α19.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（2a -c ）cos B =b cos C ．（I ）求角B 的大小；（II ）若b =2，求△ABC 周长的最大值．20.已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点π2（）中心对称，且过点（）．π12，0π2，1（I ）求函数f （x ）的解析式；（II ）若方程2f （x ）-a +1=0在x ∈[0，]上有解，求实数a 的取值范围．π221.在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ＞c ，若△ABC 的面积为2，sin （A -B ）2+sin C =sin A ，b =3．23（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求边a ，c 的值．22.设函数f （x ）=a 2x +ma -2x （a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若f （1）=，且g （x ）=f （x ）-2kf （）+2a -2x 在[0，1]上的最小值为2，求实数k 的取值范154x 2围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2-3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵角α在第三象限，且sinα=-，∴cosα=-．∴．故选：C．由已知利用平方关系求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：==．故选：B．把分子利用诱导公式化sin80°为cos10°，然后利用二倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2-c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．根据余弦定理，求出cosC的值，即可得出角C的大小．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数求值及指对数运算，难度中等.推导出f（2）=log22=1，f（-log23）==3，由此能求出f（2）+f（-log23）的值．【解答】解：∵函数，∴f（2）=log22=1，f（-log23）==3，∴f（2）+f（-log23）=1+3=4．故选A．6.【答案】A【解析】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[-（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．由已知利用诱导公式及二倍角的余弦求得sin（2）的值．本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．7.【答案】D【解析】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1-cos2x+2cosx，=-（cosx-1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步求出函数的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．8.【答案】D【解析】解：函数f（x）=cos2x-=（2cos2x-1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．化函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最小正周期，判断它的奇偶性．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11-2）=f（-2）=f（2）=22=4．故选：B．由f（x+6）=f（x），可得f（x）是以6为周期的周期函数，则f（64）=f（6×11-2）=f（-2），再由函数的奇偶性，x∈（0，3）时，f（x）=x2求解．本题主要考查函数的周期性，来转化自变量所在的区间进而来求函数值．10.【答案】D【解析】解：根据函数的图象，可得A=1，=-，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（-1）=0，则当x∈（-∞，-1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）-f（-x）＜0；当x∈（-1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）-f（-x）＞0，则不等式x[（f（x）-f（-x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（-∞，-1），故选：C．由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易判断函数f（x）在（-∞，-1），（0，1），（-1，0），（1，+∞）上的符号，进而得到不等式x[（f（x）-f（-x）]＞0的解集．本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．12.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=-，k∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．由题意利用对数函数的图象的特殊点，求得实数a的值．本题主要考查对数函数的图象的特殊点，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．由已知利用辅助角公式变形，可得sin（）=1，结合α的范围求得α值，则答案可求．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．15.【答案】（8，+∞）【解析】解：∵二次函数f（x）=x2-ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．根据二次函数的性质列出不等式组求解即可．本题考查了二次函数的性质，零点的个数判断，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：△ABC中，a=2，cosC=-，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2-2abcosC=22+c2-2×2×c×（-），化简得5c 2-3c-36=0，解得c=3或c=-（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．根据正弦、余弦定理，列方程求出c 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=cos 2x -sin2x -233=（1+cos2x ）-sin2x -33=-sin2x +cos2x3=2cos （2x +）；π6∴f （x ）的最小正周期为π，令，得，2x +π6=kπ,k ∈Z x =‒π12+kπ2,k ∈Z 对称轴方程为x =+，k ∈Z ；‒π12kπ2（Ⅱ）令π+2k π≤2x +≤2π+2k π，k ∈Z ，π6解得+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，5π1211π12∴f （x ）的单调递增区间为[+k π，+k π]（k ∈Z ）；5π1211π12令2k π≤2x +≤π+2k π，k ∈Z ，π6解得-+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，π125π12∴f （x ）的单调递减区间为[-+k π，+k π]（k ∈Z ）．π125π12【解析】（Ⅰ）化函数f （x ）为余弦型函数，再求它的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）根据余弦函数的单调性，求出f （x ）的单调递增、递减区间．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵0，＜α＜π2∴，‒π6＜π3‒α＜π3又sin （）=，π3‒α35∴cos （）=，π3‒α45∴sinα=sin[-（）]=sin cos （）-cos sin （）π3π3‒απ3π3‒απ3π3‒α=；32×45‒12×35=43‒310（Ⅱ）∵0，∴，＜β＜π2‒π3＜β2‒π3＜‒π12又 cos （）=，β2‒π3255∴sin （）=，β2‒π3‒55∴cos （）=cos[（）+（）]β2‒αβ2‒π3π3‒α=cos （）cos （）-sin （）sin （）β2‒π3π3‒αβ2‒π3π3‒α=．255×45‒(‒55)×35=11525【解析】本题考查两角和与差的正弦，关键是“拆角、配角”思想的应用，是中档题．（I ）由已知求得cos （）=，利用sinα=sin[-（）]，展开两角差的正弦求解；（II ）由已知求得sin （）=，利用 cos （）=cos[（）+（）]，展开两角和的余弦求解．19.【答案】解：（Ⅰ）∵由（2a -c ）cos B =b cos C ，可得：（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C ，可得：2sin A cos B =sin （B +C ）=sin A ，∵A ∈（0，π），sin A ＞0，∴可得：cos B =，12∴由B =，B ∈（0，π），B =.12π3（Ⅱ）∵2R ==，a =sin A ，c =sin C ，bsinB 433433433∴可得三角形周长：a +b +c =sin A +sin C +2433433=sin A +sin （-A ）+2=4sin （A +）+2，4334332π3π6∵0＜A ＜，＜A +＜，可得：sin （A +）∈（，1]．2π3π6π65π6π612∴周长的最大值为6．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA ，结合sinA ＞0，可求cosB=，结合范围B ∈（0，π）即可解得B 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可得a=sinA ，c=sinC ，由三角函数恒等变换的应用化简可求三角形周长：a+b+c=4sin （A+）+2，由A 的范围可求＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解周长的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=A sin （ωx +φ）的最小正周期为T ==π，2π|ω|由ω＞0，得ω=2；由函数f （x ）的图象关于点（）中心对称，π12，0∴2×+φ=k π，φ=-+k π，k ∈Z ；π12π6又|φ|＜，∴φ=-；π2π6又f （x ）过点（），π2，1∴A sin （2×-）=1，解得A =2，π2π6∴函数f （x ）=2sin （2x -）；π6（II ）方程2f （x ）-a +1=0，∴a =4sin （2x -）+1；π6又x ∈[0，]，∴2x -∈[-，]，π2π6π65π6∴sin （2x -）∈[-，1]，π612∴4sin （2x -）+1∈[-1，5]，π6∴实数a 的取值范围是[-1，5]．【解析】（Ⅰ）由题意求出T 、ω、φ和A 的值，即可写出f （x ）的解析式；（II ）分离变量a ，利用三角函数的图象与性质求出a 的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由sin （A -B ）+sin C =sin A ，得sin A cos B -cos A sin B +sin （A +B ）=sin A 2323即2sin A cos B =sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B =．sin B =2313223（Ⅱ）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac •cos B =a 2+c 2-ac23⇒a 2+c 2-ac =9…①23又∵s △ABC =ac •sin B =2，∴ac =6…②122由①②解得，{a =3c =2{a =2c =3∵a ＞c ，∴a =3，c =2．【解析】（1）由sin （A-B ）+sinC=sinA ，得sinAcosB-cosAsinB+sin （A+B ）=sinA ，即．sinB=，然后求解cosB 的值．（Ⅱ）由余弦定理得：a 2+c 2-ac=9…①，又s △ABC =ac•sinB=2，ac=6…②，由①②解得a ，c ．本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f （0）=0，1+m =0，解得m =-1，则f （x ）=a 2x -a -2x ，f （-x ）=a -2x -a 2x =-f （x ），可得f （x ）为奇函数，则m =-1成立；（Ⅱ）由f （x ）=a 2x -a -2x ，f （1）=，154可得a 2-a -2=，解得a =2，154则f （x ）=22x -2-2x ，设y =g （x ）=22x +2-2x -2k （2x -2-x ）=（2x -2-x ）2-2k （2x -2-x ）+2，设t =2x -2-x ，y =t 2-2kt +2x ∈[0，1]，可得t ∈[0，]，32当k ＜0时，y min =2成立；当0≤k ≤时，y min =2-k 2=2，解得k =0成立；32当k ≥时，y min=-3k +=2，解得k =不成立，舍去．3217434综上所述，实数k 的取值范围是（-∞，0]．【解析】（Ⅰ）由题意可得f （0）=0，1+m=0，求得m ，由定义检验可得成立；（Ⅱ）由题意可得a=2，y=g （x ）=（2x -2-x ）2-2k （2x -2-x ）+2，设t=2x -2-x ，y=t 2-2kt+2，求得对称轴，讨论与区间[0，]的关系，可得最小值，解方程即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．04 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【分析】A“若p则q，“的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故A正确；B p∨q为真命题说明p和q中至少有一个为真；C是全称命题与存在性命题的转化；D从充要条件方面判断．【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选：C．【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，比较基础．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到输出的值S=16，确定跳出循环的i 值，从而得判断框的条件i＜n中n的范围．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．04 D．17【分析】根据随机数表依次进行选取即可．【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17（重复），24，06，04，则第6个红色球的编号为，04，故选：C．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【分析】根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论．【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选：D．【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选：A．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选：D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，再求体积的值．【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B．【点评】本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题．12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．【分析】求出F1，F2、A、G、P的坐标，由•=0，得GA⊥F1F2，故G、A 的横坐标相同，可得=a，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，角形的重心坐标公式，求出重心G的坐标是解题的关键．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r，解出即可．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【分析】作出P到平面ABC的高，判断垂足是外心，然后解三角形ABC的外接圆半径，最后求得P到平面ABC的距离．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查正弦定理、余弦定理，是中档题．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【分析】（1）根据表中数据，计算，，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由题知2017年时科研投入的x值，代入回归方程求出的值即可．【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，x i y i=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．【点评】本题考查了求回归直线方程以及应用回归方程预测实际问题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【分析】（1）根据中位线定理可得EF∥平面PBC，GF∥平面PBC，故而平面GEF ∥平面PCB；（2）建立坐标系，求出与平面PAB的法向量，计算与法向量的夹角即可得出结论．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）直接利用关系式求出结果．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．，θ1），则有，（2）设P（ρ设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【分析】（Ⅰ）由AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD．（Ⅱ）建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（0，，），=（1，﹣，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，﹣，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，﹣1，1），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0，1），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆离心率，点在椭圆C 上，建立方程组，求解a2，b2，则椭圆的方程可求；（2）确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=﹣时，S取得最大值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查弦长问题、最值问题．属难题．。

尔滨市第六中学2017届高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整，字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效;(4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、复数()20173z i i i =-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i + 3c =2、设2cos17)2a =+，22cos 131b =-，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c a b << B 。

a c b << C.b ac <<D 。

c b a <<3、已知命题p ：对任意x R ∈，总有22x x >;q ：开始结束1,1k a ==5a a k =+2k k =+ 输出a是否“1ab >”是“1a >,1b >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A 。

p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝ D 。

p q ⌝∧⌝4、设变量,x y 满足约束条件：02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则|21|z x y =-+的取值范围为（)A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[3,4]D ．[1,3]5、定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，12()log(1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2内是（）A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <6、执行右面的程序框图，如果输出的是a 值是大于2017，那么判断框内的条件为（）A ．9k <B ．9k ≥C ．10k <D ．11k ≥ 7、在等差数列{}na 中，前n 项和为n S ,且20112011S=-，10123a=，则2017S 等于（)A ．1009B ．2017-C ．2017D ．1009-8、现有语文书第一二三册,数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数(） A ．144 B ．288 C ．216 D ．360 9、某几何体三视图如图,则该几何体体积是（） A ．4 B ．43C ．83D ．210、已知,3,4,5Rt ABC AB BC CA ∆===，P ABC ∆为外接圆上的一动点，且AP ,xAB y AC x y =++则的最大值是（）A ．54B ．43CD ．5311、已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为矩形，点,E F 在侧棱,PA PB 上且2,2PE EA PF FB ==，点M为四棱锥内任一点，则M 在平面EFCD 上方的概率是（）A ．38B ．49C ．710D ．5812、已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是()A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥． B.000,0,()0a x f x ∃>∃>≤。

黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=( )A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）3．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为( ) A．B．C．D．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3=( )A．﹣10 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣45．先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=( )A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A．2 B．C．D．37．如图所示程序框图中，输出S=( )A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．668．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为( ) A．B．C．D．29．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A．B．C．D．10．哈六中2015届高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )A．484 B．472 C．252 D．23211．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是( )A．（0，）B．C．D．12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为( )A．ln2 B．﹣ln2 C．D．e2﹣3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为__________．14．下列四个结论中，①“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；②若p∧q为假，则p，q均为假；③若p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0；④设，为两个非零向量，则“•=||•||”是“a与b共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是__________．15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB 的面积为__________．16．已知数列{a n}中，a1=2，a n=2﹣，设S n是数列{b n}的前n项和，b n=lga n，则S99=__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．21．若函数f（x）=．（1）讨论函数f（x）=的单调性，并求其最大值；（2）对于∀x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．黑龙江省哈尔滨六中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=( )A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求解一元二次不等式化简集合A，求解对数函数的定义域化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：C．点评：本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．点评：本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3=( )A．﹣10 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣4考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a32=（a3﹣4）（a3+2），解关于a3的方程可得．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，∴a32=（a3﹣4）（a3+2），解得a3=﹣4故选：D点评：本题考查等差数列和等比数列，属基础题．5．先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=( )A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值．解答：解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3=18个基本事件，∴事件A的概率为P（A）=而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P（AB）=因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）=．故选：A．点评：本题主要考查了随机事件的概率公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A．2 B．C．D．3考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．如图所示程序框图中，输出S=( )A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66考点：循环结构．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．解答：解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．8．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为( ) A．B．C．D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．点评：本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．9．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．解答：解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×=18．故选C．点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．10．哈六中2015届高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )A．484 B．472 C．252 D．232考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由分类计数原理，故分为2类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，根据分类计数原理，即可得到答案解答：解：分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有﹣3=208选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有=264种，根据分类计数原理，得208+364=472，故选：B．点评：本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是( )A．（0，）B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1•e2的取值范围，即可得答案．解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，⇒＜c＜5．⇒，∴=；=．∴，故选C．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为( )A．ln2 B．﹣ln2 C．D．e2﹣3考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b﹣a=2•﹣lnm﹣2，（m＞0）；再令h（m）=2•﹣lnm﹣2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．解答：解：不妨设g（a）=f（b）=m，∴e a﹣2=ln+=m，∴a﹣2=lnm，b=2•，故b﹣a=2•﹣lnm﹣2，（m＞0）令h（m）=2•﹣lnm﹣2，h′（m）=2•﹣，易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，故h（m）=2•﹣lnm﹣2在m=处有最小值，即b﹣a的最小值为ln2；故选：A．点评：本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．解答：解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T r+1=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；∴T3+1=（﹣1）3••22••x；∴x的系数是﹣•22•=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．14．下列四个结论中，①“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；②若p∧q为假，则p，q均为假；③若p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0；④设，为两个非零向量，则“•=||•||”是“a与b共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是①③．考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据逆否的形式判断出①对；根据复合的真假与构成其简单的真假关系判断出②错；根据含量词的的否定形式判断出③对；根据向量数量积的定义及充要条件的定义判断出④对．解答：解：对于①，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，故①对对于②，p∧q的真假与p，q真假的关系为p，q中有假则假，故②错对于③，若p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0，故③对对于④，“•=||•||”表示，同向，故“•=||•||”是“a与b共线”的充分不必要条件，故④不对故答案为：①③．点评：求含量词的的否定是将量词“任意”与“存在”互换，同时结论否定；判断充要条件问题一般先化简各个条件．15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB 的面积为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．解答：解：设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=，∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=故答案为：．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．16．已知数列{a n}中，a1=2，a n=2﹣，设S n是数列{b n}的前n项和，b n=lga n，则S99=2．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=2﹣，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式可得a n，可得b n=lga n═lg（n+1）﹣lgn，利用“累加求和”即可得出．解答：解：∵a n=2﹣，∴，∴=1+，化为﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，∴，解得a n=．∴b n=lga n═lg（n+1）﹣lgn，∴S n=[lg（n+1）﹣lgn]+[lgn﹣lg（n﹣1）]+…+（lg3﹣lg2）+（lg2﹣lg1）=lg（n+1）．∴S99=lg100=2．故答案为：2．点评：本题考查了递推式、等差数列的通项公式、“累加求和”、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从8个球中摸出2个小球的种数为．其中一次摸出2个小球，恰为异色球包括一黑一白，一黑一红，一白一红三种类型，为，根据古典概型的概率计算公式即可得出．（II）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种方法；一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有种方法；一种是所摸得的3小球均为红球，共有种摸法；故符合条件的不同摸法共有40种．利用古典概型的概率计算公式、分布列和数学期望的计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为=19．从8个球中摸出2个小球的种数为．故所求概率为．（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有=12种．一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有=24种，一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：ξ 1 2 3PEξ==．点评：正确分类和掌握古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．19．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：解法1：（1）证明C1A1⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定定理，只需证明A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB；（2）作BD⊥直线AA1于D，连接C1D，∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角，再利用正弦函数，可求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值；解法2：（1）C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用数量积为0证明垂直关系，即可证得线面垂直；（2）求出面A1C1C的法向量，，利用向量的数量积公式即可求解．解答：解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A1O，OC．∵AC=BC，∴CO⊥AB，∵四边形A 1OBB1为平行四边形，∴∵，∴又由CC1⊥面ABC知CC1⊥CO，∴四边形A1OCC1为矩形，∴A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB…又∵A1O∩AB=C，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（2）解：作BD⊥直线AA1于D，连接C1D．由（1）知平面AA1C1⊥平面ABB1A1，从而BD⊥平面AA1C1，∴∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角．…∵，∴，于是，∴∴，∴直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值为．…解法2：CA，CB，CC1两两垂直，且CA=CB=CC1=1，以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图，则，所以，，，．…（1）证明：∵，，∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB，又∵AA1∩AB=A，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（2）设面A1C1C的法向量为，由，可得，令x=1，则…又，设直线B证明C1与平面AA1C1所成的角为θ，则．…点评：本题考查线面垂直，考查线面角，两法并用，解题的关键是掌握线面垂直的判定，作出线面角，正确构建空间直角坐标系，利用向量方法解决立体几何问题．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出线段AF、AB的垂直平分线方程，联立求得圆心坐标，由p+q≤0得到关于a，b，c的关系式，结合b2=a2﹣c2可得椭圆的离心率的取值范围；（2）当椭圆离心率取得最小值时，把a，b用含c的代数式表示，代入椭圆方程，设出M点坐标，求出（）•，然后对c分类求出最小值，然后由最小值等于求得c的值，则椭圆方程可求．解答：解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2=b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c=2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即=，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查与向量有关的最值问题，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是2015届高考试卷中的压轴题．21．若函数f（x）=．（1）讨论函数f（x）=的单调性，并求其最大值；（2）对于∀x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数性质判断单调性，并求其最大值．（2）由a=0，a＜0，a＞0三种情况进行分类讨论，结合导数性质能求出a的取值范围．解答：解：（1）f′（x）==由f′（x）＞0，得1﹣e x＞0，解得x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得1﹣e x＜0，解得x＞0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得极大值，同时也是最大值f（0）=1，∴函数f（x）的增区间（﹣∞，0]，减区间[0，+∞），最大值1．（2）当a=0时，，不等式不成立；当a＜0时，ax2+1＜1，，不等式不成立；当a＞0时，，等价于（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0，设h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，h′（x）=x（ax+2a﹣1）e x，若，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0，，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）=0，不合题意．综上，a的取值范围是．点评：本题考查的是利用导数判定函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，解题时注意等价转化、分类讨论的应用．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．解答：（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…点评：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．解答：解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．。