三重积分变换公式的证明

！墨塑！Ｑ塑：１２塑ＣＮ２２．１３２３／Ｎ长春工程学院学报（自然科学版）２００４年第５卷第２期Ｊ．ＣｈａｎｇｃｈｕｎＩｎｓｔ。Ｔｃｃｈ．（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．Ｅｄｉ．），２００４，Ｖ０１．５，Ｎｏ．２１９／２３５９．６０

三重积分变换公式的证明刘慧钦１，蒋婷２（１．烟台教育学院数学系，烟台２６４００１；２．长春工程学院基础部，长春１３００１２）

摘要：由于部分三重积分在直角坐标系下计算比

较困难，选择适当的坐标变换，使得原坐标下积分区域变换为新坐标系下积分区域，新坐标系下积分面正交。从而各函数在满足一定条件下，证明了积分转换公式的成立。并通过实例验证公武的正确性。关键词：三重积分；坐标变换；积分区域中图分类号：０１７２文献标识码：Ａ文章编号：１００９．８９８４（２００４）０２．００５９．０２

实际计算重积分时，有些积分，无论从被积函数还是积分区域角度讲都不适合在空间直角坐标系中进行运算，尤其是三重积分就更加不易，即便是最简

单的三重积分…ｄｘｄｙｄｚ，当积分区域。为单位向Ｊ；ｆ

量艺＝（１，０’ｏ）忘＝（譬，譬，ｏ）毛＝（吉，吉，譬），

所张开的平行六面体时，如果不用技巧而采用化为累次积分求解，其计算是相当复杂的。因此需要建立重积分坐标变换公式。一般高等数学教材都给出了二重积分坐标变换公式。下面给出了三重积分坐标变换公式。设变换Ｔ：戈＝髫（ｕ，”，ｔ‘，），Ｙ＝Ｙ（Ⅱ，∥，埘），石：：（ｕ，ｔ，，埘）则三重积分…厂（算，Ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ在变换惴２１下有变换公式

ＪⅡｆ（ｘ，ｙ，ｚ№州彳：Ⅲｍ㈦…），

Ｙ（ｎ，”，埘），ｚ（ｎ，口，ｌ￡，））茗－菇＂了ｕ了ｔ’∞

收稿Ｉ＝１期：２００４—０４—２２作者简介：刘慧钦（１９６３，８一），男（汉）。吉林。讲师主要研究高等数学，（０５３５）６２０２８７７。

ｄｚ‘ｄｖｄｌ￡，

其中ｌｌ三三耋ｌｌ，表示ｌ兰三耋ｌ取正则ｆ妻Ｚ扯Ｉ冬孙乞ｌ—ｐｓｉｎ０ｐｃｏｓ９０ｌ＝（ｐｃｏｓ２＋ｐｓｉｎ２１５０）＝Ｐ，所以０１

＝Ⅲ八ＰｃｏｓＭｓｉｎＰ，设变换ｎｉ＝。ｐｓｉｎＯｃｏｓ＿ｃｐ，则ｌ耋ｉ耋ｌ＝ｃｏｓｃｐｓｉｎＯ～ｐｓｉｎＯｓｉｎ９ｐｃｏｓＯｃｏｓ９Ｉ（一ｐ２ｓｉｎ３０ｃｏｓ２‘ｐ—ｐ２ｓｉｎＯｃｏｓ２Ｏｓｉｎ２０一ｐ２ｃｏｓ２０ｃｏｓ２ＰｓｉｎＯ—ｐ２ｓｉｎ３０ｓｉｎ２Ｐ）＝一ｐ２ｓｉｎＯ所以Ⅲ厂（菇，），，＝）ｄ茹ｄｙｄ：：刖，（１Ｄｓｉｎ‰８Ｐ，ｌＤｓ枷ｓｉｎ９，』Ｄｃ础），ｐ２ｓｉｎＯｄ．９０ｄｐｄＯ．设变换ｒ：｛Ｙ＝ｂｐｓｉｎＯｓｉｎｑＤ，则【石：ｑＤｃ。ｓ０ＰＰ∞ｍＰＰ＝＝＝＝ｙ；ｄｙｄｄ、，石ｙ

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万方数据长春工程学院学报（自然科学版）Ⅲ几小舢嘶虮ｊ】］，（咿ｉｎ‰ｓ９，即ｓｉｎ阳ｎ９，

卜‰‰ＩＩ气毛‰ＩⅢ厂（ｘ，ｙ，ｚ）ｄ算ｄｙｄ：＝Ⅲ八戈（ｕ，移，训），

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图１积分换图Ｃ弧ＡＤ，ＡＢ，ＡＣ的切向量分别为ｔ（％ＹＹ。，石。）“ｈ…）忘：（孙扎，

＝Ｌ茹“＇ｕ＇石ｕ，（ｕ．，。埘），ｒｐ＝Ｌ石口，扎’

乙）（。。。）克：（并。，ｙ。，‰）（。㈠，其长度分别为

｛。ｄｕ—Ｔｖｄ＂≥。ｄ埘的模，因此其体积可看成由ｔｄ“，

ｔｄ秽克ｄ埘张开的平行六面体的体积，且ｄＶ＝Ｉ矗。志）．一ＴＷＩｄｕｄｖｄｗ：Ｊｄｕｄｖｄｗ：Ｊｄ矿，Ｉ（ｒ。，ｒ，）·＝＝矿，

Ⅲ厂（ｘ，ｙ，ｚ）ｄ髫ｄｙｄ石＝Ⅲ八戈（“，ｔ，，埘），

ｙｃｕ，ｔ，，埘，，三ｃⅡ，ｔ，，埘，，Ｉｌ兰；耋Ｉｌｄ“ｄｔ，ｄ埘。

譬，，，：譬髫，ｙ：譬（并一１），：：以），，＝：应ｙ一１丁，，，２虿髫，ｙ２丁Ｌ并一‘Ｊ，：２吖ｚ），，＝２＾／ｚｙ一１

于该平行六面体是由单位向Ｅ。：（１，ｏ，ｏ）忘：（譬，譬，ｏ）忘＝（号，虿１，譬）所张开的平行六面体，故ｙ＝Ｉ亢×气）·气Ｉ＝虿１。若将Ⅲ，（茁，ｙ，

…ｒ＝［｜］＝髫＂｜ＩＹ。儿‰ＩＪ＝％彳。Ｉ

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ｕｉｉ０＇ｏ迮２ｍ则Ｉ埘ｊ：一１。所以：２一●，／Ｉ＂一

Ⅲｄ并ｄ，，ｄ石＝Ⅲ丢ｄ菇ｄ，，ｄ：＝吉ｊＩｄＭＪ．ｄ口，ｄ叫＝丢可见，采用积分变换求解过程是很方便的。参考文献［１］同济大学数学教研室．高等数学（第４版）［Ｍ］．北京：高

等教育出版社，１９９９．６［２］同济大学．应用数学系微积分［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．８（下转第６６页）

万方数据６６长春工程学院学报（自然科学版）２００４，５（２）（１０）式中的ｍ为直线歹丽的斜率，ｉ、ＤＴ的

意义与前面相同。在ＥＯ，Ｆ坐标系中的正立竖放椭圆的标准方程为：掣＋掣：ｌ

（１１）一

将（９）式代人到（１１）式，并顾及（１０）式，可解得：（即㈤）２＝万７乏褊（１２）

则０’点至Ｐ（ｉ）点的距离为：Ｄ（ｉ）＝￣／（ＥＰ（ｉ））２＋（ＦＰ（ｆ））２（１３）

在图Ｉ与图２中，不论椭圆是正立竖放，还是倾斜任意角度的，Ｄ（ｉ）是不变的。因此，Ｐ（ｉ）点在坐标系ＸＯＹ中的坐标按坐标正算公式可得：

ｆｘｐ（ｉ）＝ＸＤ＋Ｄ（ｉ）·ｃｏｓ（Ｔ＋ｉ·Ｄｒ），、ｉｙＰ（ｉ）：Ｙｏ＋Ｄ（ｉ）．ｓｉｎ（ｒ＋ｉ．ＤＴ）（１４）编程中，如图１所示，从Ｇ点开始依顺时针方向用ＬＩＮＥ依次连接相邻点，最后，再回到Ｇ点，即可绘出所要求的误差椭圆。３结语本文介绍了绘制误差椭圆的一种基本思路，推导出了计算误差椭圆上任一点坐标的２种方法的数学模型，可供编程时参考。此外，仿照文中所述的方法。也可进一步研究出绘制误差曲线、椭圆弧或圆弧（上接第６０页）ＤｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍａｒｌｏｎｆｏｒｍｕｌａｅｏｆｔｒｉｐｌｅｉｎｔｅｇｒａｌＬＩＵＨｕｉ－ｑｉｎ，ｅｔａ１．（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＹａｎｔａｉＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｙａｎｔａｉ２６４００１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔｉｓｒａｔｈｅｒｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｓｏｍｅｔｒｉｐｌｅｉｎ一等其它曲线的方法。参考文献［１］於宗俦，鲁林成．测量平差基础［Ｍ］．北京：测绘出版社。１９８３．［２］孙家广，许隆文．计算机图形学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９８６．［３］谢步赢，龚沛曾．ＶｉｓｕａｌＢａｓｉｃ计算机绘图基础［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００２．ＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｆｏｒｄｒａｗｉｎｇｅｒｒｏｒｅｌｌｉｐｓｅＧＡＯＰｉｎｇ－ｈｅ，ｅｔａ１．（Ｄｅｐｔ．ｏｆ，ｋ，以ａｎｄＲｅｓｏｕｒｃｅｓ，ＣｈａｎｇｃｈｕｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅｓｕｒｖｅｙｉｎｇｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ｔｈｅｅｌｌｉｐｓｅｗｉｔｈｔｉｔｌｅｄａｒＩｇｌｅａｎ

ｏｕｔｐｕｔ

ｓｈｏｕｌｄｂｅ

ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ

ａｃｈｉｅｖｅｄａｆｔｅｒｔｈｅｓｔｒｉｃｔａｄｊｕｓｔｍｅｎｔｏｆｔｈｅｈｏｒｉｚｏｎｔａｌｃｏｎ－

ｔｍｌｎｅｔｗｏｒｋ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｉｎｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄｐｒｏ－

ｇｒａｍｍｉｎｇｌａｎｇｕａｇｅｓ，ｔｈｅｒｅａｒｅｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ，ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｍｅｔｈｏｄｒｅｇａｒｄｉｎｇｔｉｔｌｅｄａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｅｌｌｉｐｓｅ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒ

ｉｎ－

ｔｒｏｄｕｅｅｓｔｈｅｂａｓｉｃｔｈｉｎｋｉｎｇａｂｏｕｔｄｒａｗｉｎｇｔｈｅｅｌｌｉｐｓｅ

ａｎｄｏｆｆｅｒｓｔｗｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓ，ｗｈｉｃｈｂｅｉｎｇｕｓｅｄ

ｂｙｔｈｅａｕｔｈｏｒｓｉｎｐｒａｃｔｉｃｅ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌｃｏｎｔｒｏｌｎｅｔｗｏｒｋ；ｅｒｒｏｒｅｌｌｉｐｓｅ；ｅｌ—ｌｉｐｔｉｃｐａｒａｍｅｔｒｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｉｎｔ—ｓｌｏｐｅｆｏｒｍ

ｓｔｒａｉｇｈｔ—ｌｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ

ｔｅｇｒａｌｉｎｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ｂｙｕｓｉｎｇｓｕｉｔａｂｌｅｅｏｏｒ－ｄｉｎａｔｅｔｒａｎｓｆｅｒｒｉｎｇ，ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｒｅｇｉｏｎｉｎｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌ

ｏｒｄｉｎａｔｅｓｂｅｔｍｎａｆｅｒｒｅｄｉｎｔｏｉｎｔｅｇｒａｌｒｅｇｉｏｎｉｎｔｈｅｎｅｗｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ，ａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｐｌａｔｅｓｉｎｔｈｅｎｅｗ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ

ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｌｙ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

ｒｅｓｕｌｔｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｅ

ｔｒａｎｓｆｅｒｒｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｅｏｆｔｒｉｐｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｒｒｅｃｔ．ｉｆａＵｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｍｅｅｔｃｅｒｔａｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｒｉｐｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌｄｏｍａｉｎ；ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎｏｆ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ

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