积分变换主要公式

常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。

下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。

常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。

(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。

(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。

(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。

(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。

(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。

(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。

复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。

拉普拉斯变换
逆变换 反演积分公式
f(t)
=
ℒ−1[F(s)]
=
1 2πj
β+j∞
∫ F(s)estds
β−j∞
(t > 0)
周期函数的拉普拉斯变换：f(t)在[0, +∞)内是以 T 为周期的函数
F(s)
=
1
1 − e−sT
T
∫ f(t)e−stdt
0
拉普拉斯变换性质
1.线性性质 ℒ[αf(t) + βg(t)] = αF(s) + βG(s);
位移性质
ℱ[f(t − t0)] = e−jωt0f̂(ω) ℱ−1[f̂(ω − a)] = ejatf(t)
相似性质
ℱ[f(at)]
=
1 |a|
f̂
ω (a)
微分性质
ℱ[f’(t)] = jωf̂(ω) ℱ[f (n)(t)] = (jω)nf̂(ω)
ℱ[−jtf(t)]
=
d dω
f̂(ω)
(−j)n
H(t)
↔
1 jω
+
πδ(ω)
ℱ[ejat] = 2πδ(ω − a) ℱ[cosat] = π[δ(ω + a) + δ(ω − a)] ℱ[sinat] = πj[δ(ω + a) − δ(ω − a)]
sgnt
=
{−11, ,
t>0 t<0
2/6
sgnt = 2H(t) − 1
ℱ[sgnt]
n
∑
k=1
Res[F(s)est,
sk]
5/6
常见拉氏变换：
ℒ[H(t)]

积分拉普拉斯变换公式表一、拉普拉斯变换的定义。

设函数f(t)在t≥slant0上有定义，若广义积分F(s)=∫_0^+∞f(t)e^-stdt（s是一个复参量）在s的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，记为F(s)=L[f(t)]，而f(t)称为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为f(t)=L^- 1[F(s)]。

二、一些常见函数的拉普拉斯变换。

1. 单位阶跃函数u(t)- 定义：u(t)=<=ft{begin{array}{ll}0, t < 0 1, t≥slant0end{array}right.- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=∫_0^+∞1× e^-stdt=(1)/(s)，(s > 0)2. 指数函数f(t)=e^at（a为常数）- 拉普拉斯变换：L[e^at]=∫_0^+∞e^ate^-stdt=∫_0^+∞e^-(s - a)tdt=(1)/(s - a)，(s > a)3. 正弦函数f(t)=sin(ω t)（ω为常数）- 拉普拉斯变换：- 已知sin(ω t)=frac{e^iω t-e^-iω t}{2i}- L[sin(ω t)]=(1)/(2i)<=ft((1)/(s - iω)-(1)/(s + iω))=(ω)/(s^2)+ω^{2}，(s>0)4. 余弦函数f(t)=cos(ω t)（ω为常数）- 拉普拉斯变换：- 已知cos(ω t)=frac{e^iω t+e^-iω t}{2}- L[cos(ω t)]=(1)/(2)<=ft((1)/(s - iω)+(1)/(s + iω))=(s)/(s^2)+ω^{2}，(s > 0)三、拉普拉斯变换的性质及相关公式。

1. 线性性质。

- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，a,b为常数，则L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 微分性质。

解决实际问题：定积分可以用来解决许多实际问题，例如求解电路中 的电流和电压等。
理论推导：定积分在物理理论推导中也有着重要的作用，例如在电 磁学和量子力学等领域中的应用。
定积分在经济学中的应用
计算经济成本和收益 分析经济现象和趋势 预测经济指标和未来发展 制定经济政策和计划
定积分在生物学中的应用
定积分表示函数图像与x轴 所夹的面积
定积分的性质
线性性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以 分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
区间可加性：定积分的区间可加性，即对于函数在一个区间上的定积分， 如果将该区间分成若干个子区间，则定积分等于各个子区间的定积分之和。
积分常数：积分常数是一个确定的数，它表示函数在一个无穷区间上的定 积分。
探讨心理学中人类行为、决策制 定等问题的量化研究
定积分的跨学科应用价值
物理学中的应 用：计算物体 在流体中的运 动阻力、电磁 场中的电势和
电流等。
工程学中的应 用：优化设计、 控制工程、信 号处理等领域 中都有广泛的
应用。
经济学中的应 用：用于研究 供需关系、市 场均衡、投资 回报等问题。
生物学中的应 用：用于研究 种群增长、生 物循环等问题。
电磁学中的定积分应用
电磁学中的定积分应用：计算 电场和磁场分布
电磁学中的定积分应用：计算 电磁波的传播
电磁学中的定积分应用：计算 电磁感应现象
电磁学中的定积分应用：计算 电路中的电流和电压
定积分在物理问题中的重要性
描述物体运动规律：定积分可以用来描述物体的运动规律，例如速度、 加速度和位移等。
计算物理量：定积分可以用来计算物理量，例如功、力和能量等。
三角函数的定积 分公式： ∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C， 其中C为积分常 数

一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

涉及周期函数积分的变换公式1、指数函数积分变换公式：$$\int e^{\alpha x}dx=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha}+C$$2、正弦函数积分变换公式：$$\int \sin{\alpha x}dx=-\frac{\cos{\alpha x}}{\alpha}+C$$3、余弦函数积分变换公式：$$\int \cos{\alpha x}dx=\frac{\sin{\alpha x}}{\alpha}+C$$4、正切函数积分变换公式：$$\int\tan{\alpha x}dx=\frac{\ln{\sec{\alpha x}}}{\alpha}+C $$5、反正切函数积分变换公式：$$\int\cot{\alpha x}dx=\frac{\ln{\sin{\alpha x}}}{\alpha}+C $$6、指数函数的指数函数积分变换公式：$$\int{a^x}dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C$$7、双曲正切函数积分变换公式：$$\int{\tanh{\alpha x}}dx=\frac{\ln{\cosh{\alpha x}}}{\alpha}+C $$8、双曲余切函数积分变换公式：$$\int{\coth{\alpha x}}dx=\frac{\ln{\sinh{\alpha x}}}{\alpha}+C $$这些涉及周期函数积分的变换公式可以用来解决积分问题。

以上所列的公式可以从多项式的积分变换公式推导而来。

具体的算法步骤如下：第一步：将待积分的函数在其中一个周期内进行三角函数的拆分；第二步：利用多项式的积分变换公式，求出函数三角函数拆分后的积分；第三步：最后，根据积分时不同周期内的转换关系，将每个周期离散积分求和，形成连续积分，最终求得函数的积分；通过这种方法，可以将一般的函数拆分为多个周期的函数，然后利用以上的几种涉及周期积分的变换公式，对每个周期的函数进行积分，从而求出原函数的积分，从而解决一些复杂的积分问题。

T 2 T 2

f 2 (t ) d t

T 2 T 2

g 2 (t ) d t
[ f , g] 这样可令 cos 是f , g间的夹角余弦, f g 则如果[ f , g ] 0称为f与g正交.
而在区间[T/2,T/2]上的三角函数系 1, cost, sint, cos 2t, sin 2t, ..., cos nt, sin nt, ... 是两两正交的, 其中=2p/T, 这是因 为cos nt和sin nt都可以看作是复 j n t 指数函数e 的线性组合. 当nm时,
T 2

布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为 2p p n n n 1 , 或T , T n
2p 2p 2p T T T
2p 如图 T
O 1 2 3
f (t )又可写为 1 f (t ) lim T T 1 lim n 0 2p
{ { {

T
n-1n
2 j nt j n fT ( )e d e T n 2 j nt j n fT ( )e d e n T n 2
T 2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
am T cos mt cos nt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mt cos nt d t
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t ) cos nt d t T 2
T 2
2
a0 dt 2

F ( λ ) = F [ f ( t )] =
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫

定积分交换公式1. 二重积分交换积分次序公式。

- 在直角坐标系下，对于二重积分∬_D f(x,y)dxdy，如果积分区域D可以表示为a≤slant x≤slant b,φ_1(x)≤slant y≤slantφ_2(x)，也可以表示为c≤slant y≤slantd,ψ_1(y)≤slant x≤slantψ_2(y)，那么有∫_a^bdx∫_φ_1(x)^φ_2(x)f(x,y)dy=∫_c^ddy∫_ψ_1(y)^ψ_2(y)f(x,y)dx。

- 例如，计算∬_D xy^2dxdy，其中D是由y = x，y = 2x，x = 1，x = 2所围成的区域。

- 先按照x型区域计算，D可表示为1≤slant x≤slant 2,x≤slant y≤slant 2x，则∬_D xy^2dxdy=∫_1^2dx∫_x^2xxy^2dy。

- 再按照y型区域计算，D可表示为1≤slant y≤slant 2,(y)/(2)≤slant x≤slant y 与2≤slant y≤slant 4,(y)/(2)≤slant x≤slant 2，则∬_Dxy^2dxdy=∫_1^2dy∫_(y)/(2)^yxy^2dx+∫_2^4dy∫_(y)/(2)^2xy^2dx。

通过计算可以验证两种计算结果相同，体现了积分次序交换公式的正确性。

2. 三重积分交换积分次序公式（以直角坐标系为例）- 对于三重积分∭_Ω f(x,y,z)dxdydz，如果积分区域Ω可以用不同的变量范围表示，就可以交换积分次序。

例如，若Ω可以表示为a≤slant x≤slant b,φ_1(x)≤slanty≤slantφ_2(x),ψ_1(x,y)≤slant z≤slantψ_2(x,y)，也可以用其他关于y或者z先积分的形式表示，那么可以相应地交换积分次序。

- 例如，计算∭_Ω xyzdxdydz，其中Ω是由x = 0，x = 1，y = 0，y = x，z = 0，z = xy所围成的区域。

一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()Fnn Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()nn n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()t F w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2 （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

场论中的积分变换公式积分变换公式是控制工程中常用的数学工具，用于将时间域中的函数转换为复频域中的函数。

它在研究信号的频谱特性、系统的稳定性、性能指标等方面具有重要作用。

以下是常见的几种积分变换公式：1.常数函数的积分变换公式：∫[0, t]1 dt = T其中，T表示积分上限。

2.单位冲激函数（单位脉冲函数）的积分变换公式：∫[0, t]δ(t) dt = 1其中，δ(t)表示单位冲激函数。

3.单位阶跃函数的积分变换公式：∫[0, t]u(t) dt = t其中，u(t)表示单位阶跃函数。

4.积分的线性性质：若F(t)的积分为F(s)，G(t)的积分为G(s)，则kF(t)+mG(t)的积分为kF(s)+mG(s)。

其中，k和m为常数。

5.拉普拉斯变换与积分变换的关系：L{f(t)}=F(s)-F(0-)其中，L表示拉普拉斯变换，F(t)表示时间域函数，F(s)表示复频域函数。

6.数学常函数e的积分变换公式：∫[0, t]e^(st) dt = 1 / s其中，s为复频域变量。

7.e的负幂函数的积分变换公式：∫[0, t]e^(-st) dt = 1 / (s + a)其中，s为复频域变量，a为常数。

8.正弦函数的积分变换公式：∫[0, t] sin(ωt) dt = ω / (s^2 + ω^2)其中，s为复频域变量，ω为角频率。

9.余弦函数的积分变换公式：∫[0, t] cos(ωt) dt= s / (s^2 + ω^2)其中，s为复频域变量，ω为角频率。

上述是常见的几种积分变换公式，它们在控制工程中具有广泛的应用。

通过积分变换公式，可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，以便研究系统的频谱特性、稳定性、性能指标等。

积分变换公式是控制理论中的重要工具，对于控制系统的分析与设计起到至关重要的作用。

记作：F [ f ( x)] = f (k ) ，即
F [ f ( x)] = f (k ) = ∫
f f(x)： (k ) 的傅里叶逆变换
∞ −∞
f ( x) e −ikx dx
记作： f ( x) = F −1[ f (k )] ，即
1 F [ f (k )] = f ( x) = 2π
−1
∫
∞
9
可以证明： 如果定义在 (−∞, ∞) 的函数在任一有限区间上满足 狄利克莱条件，且绝对可积（ ∫ | f ( x) |dx 有界），则在
−∞ ∞
f(x)的连续点处，傅里叶积分存在：
1 f ( x) = 2π ⎡∞ ⎤ ikx −ikξ ∫∞ ⎢−∫∞ f (ξ )e dξ ⎥ e dk − ⎣ ⎦
——对于发生了任意位移x 0 的函数，其傅里叶变换 − ikx 等于 f(x)的傅里叶变换乘以一相位因子 e 0 证明：由定义：
F [ f ( x − x0 )] = ∫ f ( x − x0 ) e −ikx dx
−∞ u = x − x0 ∞
=
∫
∞
−∞
f (u ) e −ik (u + x0 ) du
频率域 波矢域
e − ikx
↔Leabharlann 412.1 傅里叶变换 一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数 一个以2l为周期的函数f(x)，若在区间[-l, l]满足 狄利克莱条件：(1)连续或只有有限个第一类间断 点；(2)只有有限个极值点，则 f(x) 在[-l, l]上可展开 为傅里叶级数
a0 ∞ nπ x nπ x + bn sin ) f ( x) = + ∑ (an cos 2 n =1 l l

s→∞
lim ∫ F(s)est ds
R→∞ C
R
展开定理
F(s)在复平面 s 上有限个奇点在Re(s) < 内，设s → ∞时，F(s) → 0
n
1 β+j∞
f(t) =
∫
F(s) est ds = ∑ Res[F(s)est , sk ]
2πj β−j∞
k=1
5/6
常见拉氏变换：
ℒ[H(t)] =
1
ℱ[f(t)g(t)] =
f̂(ω) ∗ ĝ(ω)
2π
ℱ[f1 (t) ∗ f2 (t) ∗ ⋯ ∗ fn (t)] = f̂1 (ω)f̂2 (ω) ⋯ f̂n (ω)
1
ℱ[f1 (t)f2 (t) ⋯ fn (t)] =
f̂ (ω) ∗ f̂2 (ω) ∗ ⋯ ∗ f̂n (ω)
(2π)n−1 1
积分变换
傅立叶级数
∞
a0
nπt
nπt
f(t) = + ∑(an cos
+ bn sin
)
2
l
l
n=1
1 l
a0 = ∫ f(τ)dτ
l −l
1 l
nπτ
an = ∫ f(τ)cos
dτ
l −l
l
1 l
nπτ
bn = ∫ f(τ)sin
dτ
l −l
l
n = 1,2, …
傅立叶积分公式
+∞
̂f(ω) = ∫
ℱ[sinat] = πj[δ(ω + a) − δ(ω − a)]
1, t > 0
sgnt = {
−1, t < 0

fT (t 0)

a0 2

n1
an cos
nw
t
bn sin
nw
t
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0

1 T
T
f (t) d t
T
余弦分量的幅度
an

2 T
T T
fT (t) cosnwtd t
正弦分量的幅度
bn

2 T
T T
fT (t)sinnwtd t
4
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
定理(Fourier积分存在定理)若f (t)在任何有限区间
上满足Dirichlet条件，且在， 绝对可积，则
1
2


f
(
)e
jw
d

e
jw
t
dw
f (t)
积分变换
所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函 数变成另一个函数的变换。一般是含有参变量 的积分：

积分变换公式知识点总结一、积分变换的概念积分变换是微积分学中的一个重要概念，它是对函数进行变换的一种方法，通过对函数进行积分变换，可以得到原函数的一些新的性质和特征。

积分变换被广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。

二、常见的积分变换公式1. 恒等式公式1）积分的线性性质：若f(t)和g(t)都在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b]（af(t) + bg(t)）dt = a∫[a, b]f(t)dt + b∫[a, b]g(t)dt。

2）区间可加性：如果函数f(t)在区间[a, c]上可积，那么f(t)在区间[a, b]和区间[b, c]上都可积，并且有∫[a, c]f(t)dt = ∫[a, b]f(t)dt + ∫[b, c]f(t)dt。

3）可积函数的基本性质：若函数f(t)在区间[a, b]上可积，那么f(t)在这个区间的任何子集上也可积，且积分的值是相同的。

2. 基本积分变换公式1）积分的基本性质：∫kf(t)dt = k∫f(t)dt，其中k为常数。

2）换元积分法：∫f(u)du = ∫f(u(t))u'(t)dt。

3）分部积分法：∫udv = uv - ∫vdu。

3. 常用的积分变换公式1）指数函数的积分变换：∫e^x dx = e^x + C。

2）三角函数的积分变换：∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C。

3）对数函数的积分变换：∫1/x dx = ln|x| + C。

三、积分变换的应用1. 信号处理中的应用积分变换在信号处理领域有着重要的应用，特别是在分析和处理一些特殊的信号时，比如正弦信号、脉冲信号等。

通过对这些信号进行积分变换，可以得到它们的频谱特性，从而更好地理解和处理这些信号。

2. 控制系统中的应用在控制系统中，积分变换也有着重要的应用。

例如在PID控制器中，积分环节能够消除系统的静态误差，改善系统的稳定性和精度。

积分变换常用公式积分变换是微积分中的一个重要概念，它是求解微分方程、计算函数的面积或弧长等问题的关键工具之一、积分变换的常用公式包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等。

下面将详细介绍这三种积分变换的常用公式。

一、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个函数f(t)在t轴上的每个点t对应到一个复数域的变换F(s)上。

拉普拉斯变换的常用公式如下：1.常数因子公式：L{af(t)} = aF(s)其中a为任意实数。

2.延迟公式：L{f(t-a)} = e^(-as)F(s)其中a为任意实数。

3.积分公式：L{∫f(t)dt} = F(s)/s4.微分公式：L{df(t)/dt} = sF(s) - f(0)其中f(0)表示f(t)在t=0时的值。

5.时移公式：L{e^(at)f(t)} = F(s-a)其中a为任意实数。

6.乘积公式：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)其中*表示复数的乘积。

通过使用上述常用公式，可以将一个函数在t轴上的变换转化为在复数域上的变换，从而简化问题的求解过程。

二、傅里叶变换：傅里叶变换是将一个函数f(t)分解成一系列正弦和余弦函数的叠加形式。

傅里叶变换的常用公式如下：1.正弦函数公式：F(s) = ∫f(t)sin(st)dt其中s为实数，∫表示积分号。

2.余弦函数公式：F(s) = ∫f(t)cos(st)dt其中s为实数，∫表示积分号。

3.指数函数公式：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中s为复数，∫表示积分号。

通过使用上述常用公式，可以将一个函数在时域上的变换转化为在频域上的变换，从而简化问题的求解过程。

三、Z变换：Z变换是将一个离散序列x(n)转化为一个复数域上的变换X(z)。

Z变换的常用公式如下：1.线性公式：Z{ax(n) + by(n)} = aX(z) + bY(z)其中a和b为任意实数。

2.延迟公式：Z{x(n-k)}=z^(-k)X(z)其中k为任意正整数。