广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试 数学(文)含答案

佛山一中2019-2020学年上学期高三期中考试试题

数学（文科）

本试题卷共4页，23题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合𝑀={𝑥|𝑥2=𝑥),𝑁={𝑥|𝑙𝑔𝑥≤0)，则𝑀∪𝑁=( )

A. [0,1) B. (0,1] C. [0,1] D. (−∞,1]

2. 若复数𝑧=𝑚(𝑚−1)+(𝑚−1)𝑖是纯虚数，其中m是实数，则z1( )．

A.

−𝑖

B. i C. 2i D. −2𝑖

3. 已知𝛼,𝛽表示两个不同的平面,m为平面𝛼内的一条直线，则“𝛼⊥𝛽”是“𝑚⊥𝛽”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知𝑠𝑖𝑛2𝛼=23, 则cos2(𝛼+𝜋4)=( )

A. 16 B. 13 C. 12 D. 23

5. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2⋅sin(𝑥−𝜋)，则其在区间[−𝜋,𝜋]上的大致图象是( )

A. B. C. D.

6. 曲线𝑥2+(𝑦−1)2=1(𝑥≤0)上的点到直线𝑥−𝑦−1=0的距离最大值为a，最小值为b，则𝑎−𝑏的值是( )

A. √2 B. 2 C. √22+1 D. √2−1

7. 已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑎1−𝑎5−𝑎10−𝑎15+𝑎19=2,

则19S的值为 ( )

A. 38 B. −19 C. −38 D. 19

8. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是顶角为32的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．20π B．16π C．8π D．17π 9. 已知定义在(0,+∞)上的函数mxxf2)(，xxxg4ln6)(，设两曲线𝑦=𝑓(𝑥)与)(xgy在公共点处的切线相同，则m值等于( )

A. 5 B. 3 C. −3 D. −5

10. 若函数bxxbxxf2)21(31)(23在区间1,3上不是单调函数，则函数𝑓(𝑥)在R上的极小值为(  )

A. 342b B. 3223b C. 0 D. 3261bb

11. 如图所示,在棱长为a的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中， E是棱𝐷𝐷1的中点，F是侧面𝐶𝐷𝐷1𝐶1上的动点， 且BEAFB11//面, 则F在侧面𝐶𝐷𝐷1𝐶1上的轨迹的长度是( )

A. a B. 2a C. a2 D. 22a

12. 设椭圆)0(12222babyax的焦点为1F,2F，P是椭圆上一点, 且321PFF, 若𝛥𝐹1𝑃𝐹2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r，当𝑅=4𝑟时，椭圆的离心率为( )

A. 54 B. 32 C. 21 D. 51

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知直线𝑙1：𝑥+𝑎𝑦+6=0和𝑙2：(𝑎−2)𝑥+3𝑦+2𝑎=0，若21//ll，则a .

14. 已知函数xxxfln)(， 若01)(mxf恒成立，则m的取值范围为______ ．

15. 设等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+𝑎3=10，𝑎2+𝑎4=5，则naaa21的最大值为______．

16. 已知函数)0(21)6sin()(xxf，点P，Q，R是直线)0(mmy与函数𝑓(𝑥)的图象自左至右的某三个相邻交点，且322QRPQ，则m______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

（一）必考题：60分.

17. （本小题满分12分）已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和，且𝑆𝑛=2𝑎𝑛−𝜆(𝜆是非零常数)．

（1）求na的通项公式（答案含）；

（2）设𝑏𝑛=2𝑎𝑛+(−1)𝑛log2𝑎𝑛，当𝑎1=1时，求数列{𝑏𝑛}的前n项和nT． 18. （本小题满分12分）

如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点P在BC边上，∠𝑃𝐴𝐶=60∘，𝑃𝐶=2，𝐴𝑃+𝐴𝐶=4．

(Ⅰ)求∠𝐴𝐶𝑃；

(Ⅱ)若△𝐴𝑃𝐵的面积是3√32，求sin∠𝐵𝐴𝑃．

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若𝐴𝐷=√2𝑃𝐴=√2𝑃𝐷=√2𝐴𝐵，且四棱锥的侧面积为6+2√3，求该四棱锥P﹣ABCD的体积．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C：)0(12222babyax的两个焦点分别为1F,2F, 离心率为21, 过𝐹1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△𝑀𝑁𝐹2的周长为8．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AB与椭圆C分别交于A,B两点，且𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．

21. （本小题满分12分）

已知函数)0(ln)(axaxxf．

(Ⅰ) 若函数𝑓(𝑥)有零点,求实数a的取值范围；

(Ⅱ) 证明：当ea2，1b时，bbf1)(ln．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中,已知曲线𝐶1：𝑥+𝑦=1与曲线（sin2cos22:2yxC为参数），

以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)写出曲线1C，2C的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，已知l：𝜃=𝛼(𝜌>0)与𝐶1,𝐶2的公共点分别为A,B，)2,0(，当4OAOB时，求的值．

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知21)(xxxf ．

(1)求使得2)(xf的x的取值集合M；

(2)求证：对任意实数a,b（0a），当MCxR时，)(xfababa恒成立．

佛山一中2019-2020学年上学期高三期中考试答案 数学（文科）

一、选择题 CBBAD CCADA DB

12.解：椭圆的焦点为𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0),|𝐹1𝐹2|=2𝑐, 根据正弦定理可得2𝑅=|𝐹1𝐹2|sin∠𝐹1𝑃𝐹2=2𝑐sin𝜋3=4√3𝑐3, ∴𝑅=2√3𝑐3,𝑟=14𝑅=√3𝑐6．设|𝑃𝐹1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑛,则𝑚+𝑛=2𝑎,

由余弦定理得,4𝑐2=𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛𝑐𝑜𝑠𝜋3=(𝑚+𝑛)2−3𝑚𝑛=4𝑎2−3𝑚𝑛,∴𝑚𝑛=4(𝑎2−𝑐2)3,

∴𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12𝑚𝑛sin𝜋3=√3(𝑎2−𝑐2)3,又𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12(𝑚+𝑛+2𝑐)⋅𝑟=√3𝑐(𝑎+𝑐)6,

∴√3(𝑎2−𝑐2)3=√3(𝑎+𝑐)𝑐6,即2𝑎2−3𝑐2−𝑎𝑐=0,故3𝑒2+𝑒−2=0, 解得：𝑒=23或𝑒=−1(舍)．

故选：B．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 1； 14.),0[; 15. 64; 16. 3

16. 解：函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋6)+12(𝜔>0),由2|𝑃𝑄|=|𝑄𝑅|=2𝜋3,解得|𝑃𝑄|=𝜋3,

∴𝑇=|𝑃𝑄|+|𝑄𝑅|=𝜋,∴𝜔=2𝜋𝑇=2, 设𝑃(𝑥0,𝑚),则𝑄(𝑇2−𝑥0,𝑚),𝑅(𝑇+𝑥0,𝑚),

∴|𝑃𝑄|=𝑇2−2𝑥0,|𝑄𝑅|=𝑇2+2𝑥0, ∴2(𝑇2−2𝑥0)=𝑇2+2𝑥0, 解得𝑥0=𝑇12=𝜋12,

∴𝑚=sin(2×𝜋12)+12=12+12=1, ∴𝜔+𝑚=2+1=3．故答案为：3．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 解：（1）当𝑛≥2时,𝑆𝑛=2𝑎𝑛−𝜆.①, 𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1−𝜆②，

①−②可得𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1(𝑛≥2), ………………………………2分

当𝑛=1时,𝑎1=𝜆, …………………………………3分

故数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=𝜆2𝑛−1． …………………………………4分

（2）由𝑎1=1时,知𝑎𝑛=2𝑛−1, 故𝑏𝑛=2𝑛+(−1)𝑛(𝑛−1), …………………5分

当n为正偶数时，)1()2(32102222nnTnn

222221)21(21nnnn …………………………8分

当n为正奇数时，23222212211211nnnbTTnnnnnn …11分 综上，数列{𝑏𝑛}的前n项和为偶数为奇数nnnnTnnn

,222

,232211．

…………………………12分

18.解：(Ⅰ) 在△𝐴𝑃𝐶中，因为∠𝑃𝐴𝐶=60∘，𝑃𝐶=2，𝐴𝑃+𝐴𝐶=4，

由余弦定理得𝑃𝐶2=𝐴𝑃2+𝐴𝐶2−2⋅𝐴𝑃⋅𝐴𝐶⋅cos∠𝑃𝐴𝐶，……………………………1分

所以22=𝐴𝑃2+(4−𝐴𝑃)2−2⋅𝐴𝑃⋅(4−𝐴𝑃)⋅cos60∘，

整理得𝐴𝑃2−4𝐴𝑃+4=0， …………………………………………………………2分

解得2AP ……………………………………………………………………………3分

所以2AC ……………………………………………………………………………4分

所以△𝐴𝑃𝐶是等边三角形 ……………………………………………^………………5分

所以60ACP …………………………………………………………………6分

(Ⅱ) 法1：由于∠𝐴𝑃𝐵是△𝐴𝑃𝐶的外角，所以120APB …………………7分

因为△𝐴𝑃𝐵的面积是3√32，所以12⋅𝐴𝑃⋅𝑃𝐵⋅sin∠𝐴𝑃𝐵=3√32. ………………………8分

所以𝑃𝐵=3 ……………………………………………………………………………9分