人教版编号68第二章第8讲知能训练轻松闯关

1．(2012·厦门高二质检)商鞅变法与下图秦国疆域的扩大之间的内在联系应是()A．变法直接导致了秦国的统一B．变法为秦国统一奠定了基础C．变法与秦国完成统一无关D．变法减缓了秦国统一的步伐解析：选B。

商鞅变法增强了秦国的国力，使秦国逐渐成为七个诸侯国中最强大的国家，这就为秦国完成统一奠定了基础。

2．战国时期，世卿世禄制开始向赐爵制转变，这一转变适应了()A．新兴奴隶主的需要B．奴隶主贵族的需要C．新兴地主阶级的需要D．没落的奴隶主贵族的需要解析：选C。

赐爵制是指军功爵制，结合其背景知识可知C项正确。

3．商鞅变法的措施直接促使统治集团内部构成发生重大变化的是()A．废井田，开阡陌B．重农抑商C．奖励军功D．实行连坐法解析：选C。

内部构成变化指的是军功地主取代宗室贵族成为统治的支柱，这根源于军功爵制的推行，故选C。

4．(2012·济宁高二测试)(公元前338年)孝公死，惠王代后……人说惠王曰：“大臣太重者国危，左右太亲者身危。

今秦妇人婴儿皆言商君之法，莫言大王之法，是商君反为主，大王更为臣也。

”文中“人”应代表谁的利益()A．没落贵族B．立功将士C．新兴地主D．富裕农民解析：选A。

材料核心信息是攻击商鞅及其变法活动，备选项中只有没落贵族群体是变法中利益受损者，故选A。

5．《史记》记载，秦孝公死后，太子即位。

守旧贵族诬告商鞅“谋反”，结果商鞅被处死。

请大家议一议，商鞅变法是成功了，还是失败了？为什么？答案：一场变革成功或失败的标准，不在于实施变法的人的生与死，而在于变法的目的是否达到。

守旧贵族的反扑，商鞅被处死，说明了守旧势力的猖狂和统治者的昏庸。

商鞅虽死，但变法还是获得了成功。

因为经过变法，秦国的经济得到发展，军队战斗力不断增强，发展成为战国后期最富强的封建国家。

一、选择题1．(2012·烟台高二测试)《史记·商君列传》：“商君相秦十年，宗室贵戚多怨望者。

”这主要是因为商鞅变法()A．允许工商者入仕为官B．准许土地自由买卖C．承认土地归私人所有D．规定按军功授爵赐田解析：选D。

(2014·江苏学业水平测试)右图为某研究性学习小组绘制的某区域城市聚落分布模式示意图，a、b、c、d分别代表不同等级的城市，M区域分布有若干乡村聚落。

读图完成1～2题。

1．图示区域中，等级最高的城市( )A．a B．bC．c D．d2．M区域居民去附近城市寻求服务，到达频率最高的城市是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：第1题，从图中可以看出d等级的城市数量最少，说明其等级最高。

第2题，从图中可以看出城市甲距M区域最近，且图中区域与甲同等级的城市数量最多，说明其等级低，其提供的服务多为人们日常生活所需的服务，因而到达频率最高。

答案：1.D　2.A读“长江三角洲城市分布图”，完成3～4题。

3．下列关于城市服务范围叙述正确的是( )A．上海的服务范围最大B．上海的服务范围与无锡相同C．南京的服务范围大于杭州D．杭州的服务范围包括南京4．有关城市级别与提供职能的正确叙述是( )A．城市等级越高，提供的职能种类越少B．同级别城市提供的职能完全相同C．高等级城市不具有低等级城市的功能D．城市等级越低，提供的职能种类越少解析：第3题，上海是全国的经济中心，城市级别最高，服务范围最广；南京、杭州都属于省会城市，服务范围大致相当。

第4题，城市的等级越高，职能种类越多，但同级别城市提供的职能不一定完全相同。

答案：3.A　4.D(2014·北京朝阳高一检测)下图为首都圈地区城市体系图。

回答5～6题。

5．北京、唐山、石家庄、秦皇岛、保定、张家口六个城市按等级可分为( )A．2级B．3级C．4级D．5级6．下列叙述正确的是( )A．唐山比张家口提供的服务种类少B．承德比辛集的服务范围小C．北京和天津服务范围不可能重叠D．与廊坊相比，保定的服务功能更全面解析：第5题，北京的人口规模大于500万，石家庄的人口规模为200～500万，唐山的人口规模为100～200万，秦皇岛、保定、张家口的人口规模为50～100万。

1．在函数y ＝1x，y ＝2x 3，y ＝x 2＋1，y ＝(x ＋1)3中，幂函数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.形如y ＝x α的函数才是幂函数，其中系数为1，α为实常数，故只有y ＝1x ＝x －12是幂函数．2．(2011·高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.∵y ＝x －1和y ＝x 13都是奇函数，故B 、D 错误．又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 错误．y ＝x －2＝1x2(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意． 3．函数y ＝x 12与函数y ＝x －1的图象交点坐标是________．答案：(1,1)4．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y ＝x α在(0，＋∞)为减函数．故α<0.答案：α＜0[A 级 基础达标]1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53 D ．y ＝x 23 解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2．(2011·高考陕西卷)函数y ＝x 13的图象是( )解析：选B.因为当x ＞1时，x ＞x 13，当x ＝1时，x ＝x 13，所以A 、C 、D 错误．选B. 3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( ) A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A.在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________．(写出所有正确的序号) ①y ＝x 2；②y ＝x ；③y ＝x 12；④y ＝x 3；⑤y ＝x －1.解析：由奇偶性的定义知y ＝x 2为偶函数，y ＝x 12＝x 既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，故填②④.答案：②④5．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是________ . 解析：设f (x )＝x α(α是常数)，因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，所以(－2)α＝－18＝(－2)－3，解得α＝－3，所以f (x )＝x －3.从而有x －3＝27＝⎝⎛⎭⎫13－3，解得x ＝13答案：136．比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)2.334，2.434； (2)(2)－32，(3)－32；(3)(－0.31)65，0.3565.解：(1)∵y ＝x 34R 上的增函数，又2.3<2.4，∴2.334<2.434.(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，又2<3，∴(2)－32>(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.[B 级 能力提升]7．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点． 8．如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A.由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.取x ＝2，则有2m >2n ，知m >n ，故n <m <0.9．若幂函数y ＝(m 2＋3m －17)·x 4m －m 2的图象不过原点，则m 的值为________．解析：由m 2＋3m －17＝1，解得m ＝3或m ＝－6，当m ＝3时，指数4m －m 2>0不合题意，当m ＝－6时，指数4m －m 2<0符合题意．∴m ＝－6.答案：－6 10．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，求a 的取值范围．解：f (x )＝x －12＝1x(x >0)， 由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.11．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.。

【优化方案】2021年高考数学 第八章 第8课时 曲线与方程知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对 解析：选C ．(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 2．假设点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，那么点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C ．点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0，2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，因此P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .3．(2021·河南焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A|＝1，那么P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D ．如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接M A ，那么M A ⊥P A ，且|M A|＝1.又∵|P A|＝1，∴|PM |＝|M A|2＋|P A|2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.4．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，假设点C 知足O C →＝λ1O A →＋λ2O B →(O为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，那么点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A ．设C(x ，y )，则O C →＝(x ，y )，O A →＝(3，1)，O B →＝(－1，3)． ∵O C →＝λ1O A →＋λ2O B →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角极点作等腰直角三角形OP Q ，那么动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B ．设Q(x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，那么有OP →·O Q →＝0，且|OP →|＝|O Q →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0， 消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y 2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1.6．(2021·广东阳江质检)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P (x ，y )，知足P A →·P B →＝x 2－6，那么动点P 的轨迹是________．解析：∵动点P (x ，y )知足P A →·P B →＝x 2－6，∴(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，∴动点P 的轨迹方程是y 2＝x ，轨迹为抛物线．答案：抛物线7．已知定点A(1，0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F且知足A E→⊥A F→，还有动点P，知足EP→∥O A→，FO→∥OP→(O为坐标原点)，那么动点P的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)．由EP →∥O A →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x.由A E →⊥A F →⇒y 2＝4x (x ≠0)． 答案：y 2＝4x (x ≠0)8．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线C P 的交点为Q ，那么点Q 的轨迹方程是______________．解析：依题意有|Q P |＝|Q F |，那么||QC|－|Q F ||＝|C P |＝2，又|C F |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为核心的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 9．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程． 解：∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上高h ＝205＝4. 故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43， AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0.由|c －4|5＝4，得c ＝24或c ＝－16， 故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.10．过双曲线x 2－y 2＝1上一点M 作直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段M N 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，那么N(2x －x 0，2y －y 0)．由N 在直线x ＋y ＝2上，得2x －x 0＋2y －y 0＝2.①由PM 垂直于直线x ＋y ＝2，得y －y 0x －x 0＝1，即x －y －x 0＋y 0＝0.②由①②得x 0＝32x ＋12y －1，y 0＝12x ＋32y －1， 代入双曲线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，即点P 的轨迹方程为2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长别离是定值26和24，那么圆心的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2－y 2＝65B ．(x －1)2－y 2＝65C ．(x ＋1)2＋y 2＝65D ．(x －1)2＋y 2＝65解析：选A ．设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离别离为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144， 消去r 得动点M 知足的几何关系为d 22－d 21＝25，即（3x －2y ＋3）213－（2x －3y ＋2）213＝25. 化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程．2．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选B ．设N(a ，b )，M (x ，y )，那么a ＝x －22，b ＝y 2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，现在|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线．3．直线x a ＋y 2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程为______________． 解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 的轴交点为A(a ，0)，B(0，2－a )，AB 中点为M (x ，y )，那么x ＝a 2，y ＝1－a 2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1. 答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)4．(2021·四川成都质检)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个核心，O 为坐标原点，有一动点Q 知足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是______________．解析：由O Q →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q(x ，y )，则OP →＝－12O Q → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2. 又P 在椭圆上，那么有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b 2＝1 5．(2021·高考辽宁卷) 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B(M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线M A 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2，且切线M A 的斜率为－12，因此A 点坐标为(－1，14)，故切线M A 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线M A 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－（1－2）22p ＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N(x ，y )，A(x 1，x 214)，B(x 2，x 224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线M A ，M B 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥ 由⑤⑥得M A ，M B 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，因此x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦ 由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标知足x 2＝43y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .6．(选做题)(2021·湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，O N →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A(5，0)、B(1，0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q(点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是不是存在直线l ，使得|B P |＝|BQ|，并说明理由．解：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，那么M 1的坐标为(0，y ′)， O N →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255x ′，0， 因此M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，255y ′. 由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，255y ′， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝255y ′. 由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，因此x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1， 即所求的方程表示的曲线C 是椭圆．(2)点A(5，0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，因此直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k （x －5），得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0. 依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0， 得－55<k <55.当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，P Q 的中点为R(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4. ∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k 5k 2＋4. 又|B P |＝|BQ|⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不成立，因此不存在直线l ，使得|B P |＝|BQ|.。