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微积分期末试卷(考试必做)

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微积分期末试卷(考试必做) 第 2 页 共 6页 一、填空题（每小题2分，共16分）

1、22d)cose(4xxxx 2 .

fxe^(x^4)dx =0.5fe^(x^4)d(x^2)=1/(4x^2)*e^(x^4)+sinx+c 2、12dlnxxx . 1

∫lnx/x² dx = (-1/x)·lnx - ∫(-1/x)·(lnx)' dx

= (-1/x)·lnx + ∫1/x² dx = (-1/x)·lnx + (-1/x) = (-1/x)(lnx + 1) 3、设xyyxz，则函数在)1,1(处的全微分为 dx+dy . (1,1) zx=y*x^(y-1)+y^x*lny=1 zy=1 ∴dz=dx+dy

D是由0,1,0,eyxxyx所围成区域，则Dd e^x-1 .

5、当a满足 0<=a<0.5 时，121)1(nann条件收敛. 第 3 页 共 6页

lim(-1)^n/n^(1-2a) 6、幂级数14)1(nnnnx的收敛域为 [-3,5) . 7、交换积分次序后 yyxyxfyd),(d10∫1/-1dx∫x/x^2 f(x,y)dy . 8、微分方程 1ddxyxy的通解为 y=cx-xlnx . dy/dx=y/x dy/y=dx/x lny=lnx+lnc y=cx c-y/x=-1 y/x=c+1 y=cx+x

二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、下列广义积分收敛的是（ b ）. （A） 1 dlnxx （B） 1 2d1xx （C） 1 d1xx （D） 1 dexx

2、设f是连续函数，积分区域01:22yyxD且，则Dyxyxfdd)(22可化为（ a ）. （A）10d)(rrfr （B）10d)(2rrfr （C）10d)(2rrf （D）10d)(rrf

3、设)sin(2yxz, 则22xz（ a ）. （A）)sin(2yx （B）)cos(2yx （C）)sin(2yx （D）)cos(2yx Cos(x+y^2) 第 4 页 共 6页 第 5 页 共 6页

原级数为交错级数，且)}11{ln(n单调下降趋向于零， 故原级数条件收敛.

4、求微分方程 5ddtanyxyx 的通解. 另tanx dy/dx -y=0 dy/y=dx/tanx=cotxdx lny=ln|sinx|+ln|c| y=csinx tanx dy/dx -y=5 tanx*ccosx-y=5 csinx-y=5 y=csinx-5 第 6 页 共 6页

四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、求 30d1ln)1(xxx. 令tx1， 41dln21ttt原式

412)d(ln41tt )d1|ln(41412412ttttt )|214ln16(41412t

8152ln8.

2、计算 110ded12xyyxxI. 22010d1deyyxxy原式

10de22yyy 102ey

.e11

3、求幂级数 13nnnnx 的收敛域及和函数. 第 7 页 共 6页

4、求微分方程 xyyysin1034 的通解. y’=dy/dx y”=

五、应用题（每小题8分，共16分） 1、设某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元、9万元。若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为 )33(01.032400),(22yxyxyxyxC万元。又已知两种产品的总产量为100件，问两种产品的产量各为多少时，企业利润最大？ 第 8 页 共 6页

2、经过坐标原点作曲线xyln的切线,该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.求：（1）D的面积；（2）D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

六、证明题（5分） 设)(xf在]1,0[上可微，且210d)(2)1(xxxff，试证存在)1,0(，使0)()(ff. 第 9 页 共 6页

杭州商学院08/09第二学期《微积分(下)》试卷(A)参考答案 一、1、2 2、1 3、 dd yx 4、1e 5、210a

6、)5,3[ 7、1112d),(dxyyxfx 8、xxCxyln 二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、A 三、1、解：1、设20d)(xxfI，两边从0到2积分, IIxxI242d203, 即4I,所以 4)(3xxf.（5分）

2、解：方程两边关于x求偏导，0221)()ee(xzzxzxyyzxzz

xx

，

zxyyzzxzxxee

（3分）

方程两边关于y求偏导，0221)(eyzzyzxyxzyzx，zxyxzyzxe（5分） 3、解： 因为 11)11ln(limnnn，而11nn发散，故原级数非绝对收敛 （2分） 原级数为交错级数，且)}11{ln(n单调下降趋向于零，故原级数条件收敛.（5分）. 4、解法1 分离变量并两边积分,得 xxyydcotd51 （2分） ||ln|sin|ln|5|lnCxy （4分） 故原方程的通解为xCysin5 （5分）

解法2 原方程写为xyxxycot5cotdd,是一阶线性微分方程,其通解为

)decot5(edcotdcotCxxyxxyx)decot5(esinlnsinlnCxxxx )dsin1cot5(sinCxxxx)sin5(sinCxx5sinxC （5分）

四、1、解：令tx1， 41dln21ttt原式412)d(ln41tt)d1|ln(41412412ttttt

)|214ln16(41412t8152ln8. （7分）

2、解：交换积分次序， 22010d1deyyxxy原式

10de22yyy

1

02ey.e11 （7分）

3、解：收敛半径,333)1(limlim11nnnnnnnnaaR 端点处,3x, 1)1(nnn,收敛；3x,11nn,发散,收敛域为3 ,3.（3分） 第 10 页 共 6页

设13)(nnnnxxS,逐项求导得 ,313/1131)3(31)(11xxxxSnn )3,3(x,

因为0)0(S,所以,3ln)3ln(3dd)()(00xxxxxSxSxx 3 ,3x.（7分） 4、解：特征方程 0342rr,特征根为3,1r，（2分） 对应齐次方程的通解为 xxCCY321ee,（4分） 由于ii不是特征根，故设原方程的特解为xBxAysincos, 代入原方程解得1,2BA，即xxysincos2. 所以原方程的通解为 xxCCyxxsincos2ee321 （7分）

五、1、解：利润为 )]33(01.032400[91022yxyxyxyxL )33(01.04006822yxyxyx 约束条件：100yx （2分） 设拉格朗日函数 )100()33(01.04006822yxyxyxyxF，

令 100001.006.06001.006.08yxxyFyxFxx，解得30,70yx， 由实际问题，此时利润最大。（8分） 或解：xyyx100100，代入L得：100705.02xxL 令3070071.0yxxLx

2、解：设切点为)ln,(00xx，则切线方程为 )(1ln000xxxxy,

因为切线过原点)0,0(,)0(1ln0000xxx, 解得e0x，从而10y，得切点为)1,e(. （2分） (1) 所求面积为

e1dlne121xxSe1e1d1ln[2exxxxx

1e21)]1e(e[e21. （5分）

(2) 所求面积为 e122dlne13xxVx)2e(e3e322. （8分） 六、证：设)()(xxfxF，则)1()1(fF，210210d)(2d)(2)1(xxFxxxff， )(xF在]1,0[上连续，由积分中值定理，)21,0(，使 )()(212d)(2)1(210FFxxFf，于是 )()1(FF，（3分）

)(xF在]1,0[上可导，且)()()(xfxxfxF，在]1,[上对)(xF应用罗尔定理， )1,0()1,(，使0)(F，即0)()(ff.（5分）

xyO1e

xylnABC

1ex

y

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高等数学微积分期末试卷及答案

高等数学微积分期末试卷及答案

选择题〔6×2〕1~6 DDBDBD一、填空题1 In x + 1 ;2 y = x3 一 2x 2 ; 3 y = log 2 x1一x,(0,1), R ; 4(0,0) lim (x 一 1)(x + m) = lim x + m = 1 + m = 25 解：原式= x )1 (x 一 1)(x + 3) x )1 x + 3 4：m = 7 ：b = 一7, a = 6二、判断题1 、 无穷多个无穷小的和是无穷小〔 〕2 、 假设 f(*)在x 处取得极值，则必有 f(*)在x 处连续不可导〔 〕0 03 、 设 函 数 f (*) 在 [0,1] 上 二 阶 可 导 且f '(x) 想 0令A = f '(0)， B = f '(1),C = f (1)一 f (0), 则必有A>B>C( )1~5 FFFFT三、计算题11 用洛必达法则求极限 lim x2 e x 2x )01 1e x 2 e x 2 (一2x 一3 ) 122 假设 f (x) = (x3 +10)4 , 求f ''(0)f '(x) = 4(x 3 +10)3 . 3x 2 = 12x 2 (x 3 +10)3解： f ''(x) = 24x . (x 3 +10)3 + 12x 2 . 3 . (x 3 +10)2 . 3x 2 = 24x . (x 3 +10)3 +108x 4 (x 3 +10)2：f ''(x) = 043 求极限lim(cos x)x 2x )04 求y = (3x 一 1)35x 一 1 的导数x 一 2 j tan 3 xdxx 解：原式= lim = lim = lim e x 2 = +w x )0 1 x )0 一2x 一3 x )0 5求j x arctanxdx6四、证明题。

(完整word版)微积分期末试卷A及答案

(完整word版)微积分期末试卷A及答案

共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。

lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。

、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。

6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。

8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。

9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。

《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。

二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。

微积分(下册)期末试卷与答案

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。

微积分考试试卷(期末)

微积分考试试卷(期末)

xxx 课程考核试卷（A ）卷课程名称： 《微积分 》（二） 考核性质： 考试 考核学期： xxxxxxxxxx 学年第 二 学期 考核形式： 闭卷 年级、专业： xxxxxxxxxxxx 相关专业 时 量： 120 分钟一、判断题（每小题2分，共12分）下列各题，你认为正确，则在括号内打“√”；否则，打“╳”。

1、 d C =⎰（ ）2、22211xdx x dx >⎰⎰ （ ）3、 ()()bxd f x dx f x dx =⎰（ ）4、 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。

（ ）5、 若级数1nn u∞=∑发散，1nn v∞=∑发散，则1()nn n uv ∞=+∑一定发散。

（ ）6、 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 偏导数存在，则(,)z f x y =在该点可微。

（ ）二、填空题（每小题2分，共18分） 1、(2sin x x dx ++⎰＝2、1x t d te dt dx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰＝ 3、1201xdx x+⎰＝4、(6)2(3)ΓΓ＝ 5、级数13572468++++的敛散性6、函数ln()z x y =--的定义域为7、3z xy =，则dz ＝ 8、已知sin ()cos xf x ey =⋅，则f fx y∂∂-∂∂＝ 9、设区域D 的面积为A ，则3Dd σ⎰⎰＝三、选择题（每小题4分，共20分）下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请你将你认为正确答案的题号，填写在括号中。

1、若22()x f x dx x e C =+⎰，则()f x =（ ）A 22x xeB 24x xeC 222x x eD 22(1)x xe x +2、下列积分中不是广义积分的为（ ） A 21ln dx x x ⎰B 20cos dx x π⎰ C 21dx x ⎰ D 101x dx e -⎰3、若230(34)0kx x dx -=⎰，且0k ≠，则k = （ ）A -1B 1C -2D 24、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A 115(1)3nn n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ B 1311(1)n n n ∞-=-∑C 11(1)n n ∞-=-∑ D 111(1)n n n ∞-=-∑ 5、若级数1n n u ∞=∑收敛，那么下列级数一定收敛的有（ ）A 1(100)n n u ∞=+∑B 1n n u ∞=∑C 110n n u ∞=∑ D 110n n u ∞=+∑四、计算题（每小题 6分，共36分）1、计算sin x xdx ⎰ 2、计算0⎰3、求曲线2y x =与直线1,2,0x x y === 4、分析1n ∞=的敛散性所围成图形绕x 轴旋转所得体积。