圆锥曲线专题复习与训练学生版

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圆锥曲线专题复习与训练

——常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练

【高考命题特点】

圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。

1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。

2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、离心率、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。

3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。分析问题和解决问题的能力及运算能力。

一、圆锥曲线的常用性质

1. 关于椭圆222210xyabab的补充性质（常在解题中遇到）：

① 经过焦点1F或2F的椭圆的弦AB，当ABx轴时，AB最短，且2min2bABa

② 过焦点的直线交椭圆于P、Q两点，点M是x轴上一定点，则当PQx轴时，MPQ的面积最大。

③ 设右（左）准线与x轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P,，Q两点，点P与点P关于x轴对称，则直线PQ一定过椭圆的右（左）焦点F。

一般地，设P、Q是椭圆上两动点，直线PQ交x轴于点1,0)Ex（，点P与点P关于x轴对称，直线PQ交x轴于点2(,0)Fx，则212xxa为定值。

④ 设点P是椭圆右（左）准线上任一点（不在x轴上），12AA、是椭圆的左、右顶点，直线1AP, 2AP与椭圆分别交于MN、两点，则直线MN一定过椭圆的右（左）焦点。 反之，过椭圆右（左）焦点F的直线交椭圆于MN、两点，则直线12AMAN、的交点P在椭圆的右（左）准线上。。

⑤ 设12AA、是椭圆的左、右顶点，12BB、是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任一点，则121222PAPAPBPBbkkkka为定值。

一般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于M、N两点，P是椭圆上异于M、N的任一点，则22PMPNbkka为定值。

高考数学专题复 难点突破 2 ⑥ 存在以坐标原点O为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P,

Q两点，满足OPOQ，且圆的方程为222222abxyab；反之，若OPOQ，则O点到直线PQ的距离为定值22abab. 当PQbka时，|PQ|取得最大值22ab；当0PQk或PQx轴时，|PQ|取得最小值222abab。.

⑦ 设ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形ABCD的最大面积为2ab.

⑧已知点P在椭圆上，设12FPF，则焦点三角形12PFF的面积2tan2Sb。

2. 双曲线222210,0xyabab的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）：

① 平行于渐近线（斜率为ba）的任一条直线与双曲线有唯一交点.

②若斜率为k的直线与双曲线的两支各交于一点，则bbkaa，若直线只与双曲线的同一支相交于两点，则bbkkaa或。（在0的前提下，反之也成立）.

③双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值2222abab.

.④ 当焦点弦ABx轴时，22bABa，是同一支上所有焦点弦中的最短者。

⑤在焦点三角形12PFF中，设12FPF，则焦点三角形12PFF的面积2cot2Sb

⑥设P是双曲线右（左）支上任一点，则12PFF的内切圆与x轴的切点为双曲线的右（左）顶点。

⑦双曲线222210,0xyabab和222210,0yxabba称为共轭双曲线

共轭双曲线的性质：⑴渐近线相同 ； ⑵ 2212111ee

3. 抛物线的常用性质（常在解题中遇到）： 3 （1）抛物线的焦点性质：已知抛物线C：22ypx，过焦点,02pF的直线交C于两点1122(,),(,)AxyBxy，分别过,AB作准线l的垂线，垂足分别为11,AB，设直线AB的倾斜角为，则：

① 2124pxx，212yyp.

② 12ABxxp.

③ 22sinpAB，当2时，AB的最小值为2p。

④ 112AFBFp.

⑤ 1,,AOB三点共线；1,,AOB三点共线。

⑥ 以AB为直径的圆与直线l相切。

⑦ 以11AB为直径的圆过焦点F。

（2）抛物线的补充性质：

⑴ 设A、B是抛物线22(0)ypxp上两动点，且满足OAOB，（O为坐标原点），则直线AB经过x轴上的定点(2,0)Mp。反之，也成立。

⑵ 设抛物线22(0)ypxp的准线l交x轴于点E，过E点的直线交抛物线于A,B两点，A是点A关于x轴的对称点，则直线AB过抛物线的焦点F.

⑶ 过x轴上的定点(,0)Mm的直线l与抛物线22(0ypxp) 交于两点1122(,),(,)AxyBxy，则 21212,2xxmyypm（定值）。

⑷（抛物线的切线） 设 1122(,),(,)AxyBxy12(0)xx是抛物线22(0)xpyp上两动点，分别过A、B两点作抛物线的切线相交于点00,Mxy，则有：

① 切线AMBM、的方程分别为：22112222xxxxyxyxpppp、。

② 切线的交点坐标为：12012022xxxxxyp， 即 1212,22xxxxMp。

③ 直线AB的斜率为：0kABxp 。

④ 若直线AB与y轴交于点(0)Pa，，则0(,)Mxa。

二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。 1B B 1A A

E O F l 4

1. 求圆锥曲线的标准方程

先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c的方程组），求出待定参数。在解方程（组）求a，b时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察——猜想——验证，得出a，b的值。

2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围

求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c之间的等量关系，求出ca的值。在椭圆中，有：21cbeaa；在双曲线中，有：21cbeaa。能求出ba，也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。

求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中 几个常用的不等关系：①圆锥曲线上点的坐标的范围；②在椭圆中，有1212FBFFPF，（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）(1,2)iacPFaci；③在双曲线中，有PFAF（其中F为焦点，

P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。

解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。

3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系

除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关系，只需确定APB的大小，通过计算PAPB，确定其符号。

4. 证明定点，定值，定直线问题

可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。

证明直线过定点，有两种思路：①求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点；② 先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点(,0)m），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有1212,xxxx（或 1212,yyyy），用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。

证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。

5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题

这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题

处理问题的基本方法有两种：

（1）联立方程法：解题步骤是：先设交点1122(,),(,)AxyBxy，再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求1212,xxxx，（或 1212,yyyy），令0（如果直线经过曲线内 5 的点，可以省去这一步），再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。

（2）点差法：设交点为1122(,),(,)AxyBxy及AB的中点00(,)Mxy，将A、B两点的坐标代人圆锥曲线方程，作差变形，可得：120012(,)yyfxyxx，即00(,)ABkfxy，再由题设条件，求中点坐标00(,)Mxy，根据问题的条件和要求列式。

值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过x轴上的定点(,0)Pa，则直线方程可设为kyxa（此直线不包括x轴），联立方程，消去x，得到关于y的方程，求出1212,yyyy备用。有时，还要根据1212,yyyy，求出1212,xxxx。若直线过y轴上的定点(0,)Qb，则直线方程可设为ykxb（此直线不包括y轴），联立方程，消去y。

对于直线ykxm=+，无特殊交代时，通常注意分两种情况：①直线的斜率存在，消元后，注意0；②直线的斜率不存在，即直线为xttR。

在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率k）的取值范围，通常采用点差法。

6. 最值问题

这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或截距）、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。

其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：

（1）利用基本不等式；

（2）考察函数的单调性；

（3）利用导数法；

（4）利用判别式法。

在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用0。

7. 求参数的取值范围问题

这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。

具体解法如下：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径：①已知不等式（含基本不等式）；②直线与圆锥曲线相交时，有 0；③点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系；④圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。