Hilbert空间中框架,Riesz基与正交基之间的关系

第２３卷第５期（２Ｏ０ｒ７）　河西学院学报　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．５（２００７）　

Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中框架，Ｒｉｅｓｚ基与正交基之间的关系　

牛晓芳。　李建华２　

（１．陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安７１００６２；２．河西学院数学系，甘肃张掖７３４０ＯＯ）　

摘要：本文讨论了Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的框架、Ｒｉｔｚ基与正交基的关系。结果表明：无冗余的紧框架即为正交　基组；Ｒｉｃｓｚ基是线性无关的框架．并构造了适当的反例说明线性无关的框架不一定是无冗余的框架，正交基不　

一定都能构成框架。　关键词：Ｈｉｌｂｃｒｔ空ｆ｜１；Ｒｉｃｓｚ基：小波；紧框架；正交基　中图分类号：Ｏ　１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—０３２０（２００７）０５—００１２—０７　

框架与Ｒｉｅｓｚ基的研究是小波分析理论研究的重要内容之一，正交小波基理论的发展则架起了逼近论　

与信号处理间一座新的桥梁．框架理论是由Ｒ．Ｊ．Ｄｕｆｆ＇ｍ和Ａ．Ｇ．Ｓｃｈａｅｆｆｅｒ在１９５２年研究非调和Ｆｏｕｒｉｅｒ级数　

时正式提出的，直到１９８６年，Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ，Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ和Ｍｅｙｅｒ的突破性研究，才使框架理论开始被广泛　

关注。从空间中元素表示的角度看，框架可看成是基组概念的推广．由于正交基的正交性和紧支撑性是一　

对不可调和的矛盾，所以我们试图放宽正交的条件，来构造可以表示　（　）的序列，即框架，Ｒｉｅｓｚ基，　多小波等．正是由于框架与Ｒｉｅｓｚ基有一定的冗余性，因此，它们在信号消噪、特征提取、鲁棒信号处理　

等方面具有广泛的应用．近年来关于框架的研究与发展为小波研究的热点之一．框架，Ｒｉｅｓｚ基与基组之　

间既有密切的联系，又有本质的区别．本文讨论了框架与Ｒｉｅｓｚ基之间和框架与正交基之间的关系．得到　

Ｒｉｅｓｚ基是线性独立的矢量组成的框架；无冗余的紧框架即为正交基．　

为了方便，如果不作特别说明，本文中空间　均指Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．本文第一部分介绍了一些基本的定　

义、引理，第二部分讨论了框架与Ｒｉｅｓｚ基的关系，第三部分研究了紧框架与正交基的关系。　

ｌ　引言　定义１．１　设｛Ｐ　））为　中的线性无关的函数列，若对于任何ｇ（ｘ）∈Ｈ，都有　

ｇ（　）＝∑ａ，ｅ　，　（１）　

且系数口月是唯一的，则称｛　｝为空间　的一个基组．　

若该基组还满足　

＜　：｛？　如，　（２）　Ｌｌ

＇ｍ　则称该基组为空间　的标准正交基，此时（１）式可以写成　

ｇ（　）＝∑＜ｇ（　Ｐ　（　）＞　（　）．　

收稿日期：２００６－０９－０４　作者简介：牛晓芳（１９８３一），女，山西晋城人，陕西师范大学在读硕士研究生，主要研究方向为智能信号处理。　

．１２．　（３）

　维普资讯 http://www.cqvip.com 牛晓芳，李建华：Ｈｉｌｂｃｒｔ空间中框架，Ｒｉｃｓｚ基与正交基之间的关系　

这时有Ｐａｒｓｅｖａｌ等式　

ｌＩ　ｇ（ｘ）ｌｌ　＝∑ｌ＜ｇ（　），　（　）＞Ｉ　．　（４）　

事实上，Ｉｌ　ｇ（ｘ）ｌｌ　＝＜ｇ（ｘ），ｇ（ｘ）＞：＜∑＜ｇ（ｘ），　（ｘ）＞Ｐ　（ｘ），ｇ（ｘ）＞　

＝∑＜ｇ（　），　（　）＞＜　（　），ｇ（　）＞　

＝∑ｌ＜ｇ（ｘ），　（ｘ）＞ｌ　。　

定义１．２设　是一个Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，Ｊ是一个可列指标集，｛　Ｉ　Ｊ∈以是　中的一个函数序列，若对于　

任何ｇ（　）∈Ｈ，存在正常数Ａ，Ｂ，且０＜Ａ　Ｂ＜ｏＯ，有　

Ａ　ｌＩ　ｇ　ｌｌ　∑Ｉ＜ｇ，　＞Ｉ　Ｂ　ＩＩ　ｇ　ＩＩ　．　（５）　

则称｛　Ｉ　Ｊ∈　）是Ⅳ的一个框架・称　为框架的下界，Ｂ为框架的上界，Ａ和　统称为框架界・　

如果　＝Ｂ，称｛　Ｉ　∈　）为紧框架．当　＝Ｂ时，即在紧框架下，对于任何ｇ（ｘ）∈Ｈ，有类似的　

Ｐａｒｓｅｖａｌ等式　

∑Ｉ＜ｇ，　＞Ｉ　＝Ａ　ｌＩ　ｇ　ＩＩ　．　（６）　

由此可以推出　

ｇ（　）＝　∑＜ｇ，　＞　．　（７）　ｊ　中的框架，如果去掉其中任意一个元素，使它不再构成框架，则称该框架为无冗余的框架．　

（６）式说明，紧框架一般不是标准正交基，但是它可以提供函数的一个冗余表示．（７）式也可以看　

作由＜ｇ，　＞重构ｇ（　）的一个方法．　

冗余框架还有另外一个等价定义：　定义１．３设｛　Ｉ　Ｊ∈　）是Ⅳ中的框架，且　Ｊ，若｛　Ｉ　Ｊ∈　）是Ｈ中的框架，则称｛　Ｉ　Ｊ∈Ｊ）是　

冗余框架．否则称之为无冗余框架．　定理１．１设｛　，Ｉ　Ｊ∈　）是日中的一个框架，则｛　，Ｉ　∈　）是冗余框架的充要条件是存在ｋｏ∈Ｊ，使得　

＝∑　（　为常数）．　ｊＥＪ．ｊｔ　’　定义１．４称函数列｛　Ｉ　Ｊ∈・，＞ｃ　Ｈ是Ｈ的Ｒｉｅｓｚ基，如果：　１）函数列｛　Ｉ　Ｊ∈　）在日中稠密；　

２）对于任意｛　）∈，　，存在正常数　，Ｂ，且０＜　＜∞，有　

Ａ　ＩＩ｛　）ＩＩ２－＜ｌｌ∑　ＩＩ２　Ｂ　ｌｌ｛　）ＩＩ　．　（８）　ｊ　和　称之为Ｒｉｃｓｚ界．　定义１．５设｛　，Ｉ　Ｊ∈　）是可分Ｈｉｌｂｃｒｔ　５￣ｆｎｑＨ的一个框架，框架算子Ｆ：Ｈ　１２（　）定义为　

Ｆ（ｆ）＝｛＜ｆ，　，＞Ｉ　Ｊ∈　），　∈Ｈ．　

２　Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的框架与Ｒｉｅｓｚ基的关系　

定理２．１｛　Ｉ　Ｊ∈　）是可分的Ｈｉｌｂｅｒｔ　５￣ｆｎｑ　Ｈ的框架，框架界为　，Ｂ，Ｆ为框架算子，则有：　

１）Ｆ是Ⅳ　１２（　）的有界线性算子，且ＩＩ　ＩＩ２　Ｂ．　

．

１３．　维普资讯 http://www.cqvip.com 河西学院学报　２００７年第５期　

２）Ｆ的伴随算子Ｆ　：ｌ２（　）　的作用为Ｆ　（｛　））－Ｚ　，Ｖ｛ｃｊ｝￣ｌ　（　）．　

３）Ｆ　Ｆ是　上的有界可逆线性算子．　４）令　，：（Ｆ‘Ｆ）一‘　，，则形『ｌ＿，∈　＞也是Ｈ的框架，框架界为Ｂ一　和　～，称｛　ｌ　ｊ『∈　＞为｛　Ｉ　ｊ『∈　）　

的对偶框架．　５）设　是相对于框架　，）的框架算子，　是其伴随，则　Ｆ＝Ｆ　＝，为Ｈ上的恒等算子，所　

以　∈Ｈ，有两种级数表示：　

＝∑＜　，　＞　＝∑＜　，　＞　．　

定理２．２｛　ＩＹ∈　）是可分的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间　中的一列向量，则下列命题等价　

Ｉ）｛　，Ｉ，∈　）是日的Ｒｉｅｓｚ基；　２）｛　ｌ＿，∈　）是日的框架，且｛　，ｌ　Ｙ∈　）是线性无关的，ａ￣Ｖ｛ｃｊ｝∈，　（　），如果　Ｃ，　ｏ，则　

Ｃ　ｉ＝　ｌ∈ｊ　Ｊ　推论２．３（　，Ｉ　∈　）是可分的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间　的Ｒｉｅｓｚ基，￣，Ｊｖｆ∈Ｈ・存在唯一｛　）∈１２（Ｊ），使得　

＝∑　．　

推论２．４｛　，Ｉ　ｊ『∈　提Ｈｉｌｂｅｒｔ　ｆ．ｑＨ的Ｒｉｅｓｚ基，｛　，ｌ＿，∈　）是｛　ｌ　ｊ『∈　）的对偶框架，则｛　ｌ＿，∈　）　

也是　的Ｒｉｅｓｚ基、　定理２．５　若＜　Ｉ　∈　）为Ｈｉｌｂｅｒｔ空间日的无冗余框架，则（　Ｉ　ｊ　Ｅ　）是　的Ｒ　ｉｅｓｚ基・　

证明　若不然，则｛　，Ｉ　Ｊ∈　）中有限个元　，　，…，　线性相关，不妨设　＝∑　，并设　

＝ｍ　｛ｌ　ｌ，ｌ　ｌ，…，ｌ　１），则　＞，记　＝　，则　是　的真子集，对　ｉ＝ｌ０　Ｊ－｛ｒｏ｝　∈Ｈ，有　

Ｙ￣Ｉ＜ｆ，　＞ｌ　∑ｌ＜　，　＞ｌ　－ＢＩＩｆｌｌ　

ＡＩＩｆｌｌ　∑ｌ＜　，　＞ｌ　＝∑ｌ＜　，　＞Ｉ　＋ｌ＜　，　＞Ｉ　

＝∑ｌ＜　，　＞ｌ　＋Ｉ＜　，∑　＞Ｉ　

＝∑ｌ＜厂，　＞ｌ　＋ｌ∑　＜　，　＞ｌ　

∑Ｉ＜厂，　＞Ｉ２＋∑Ｉ　Ｉ　Ｉ＜ｆ，　＞Ｉ　

∑Ｉ＜ｆ，　＞Ｉ　＋　∑Ｉ＜ｆ，　＞Ｉ　

＝（１＋　）∑Ｉ＜ｆ，　＞Ｉ　

所以　ｌｌ　ｌｌ　∑Ｉ＜ｆ，　＞Ｉ　Ｂ　ＩＩ　ｆ　ｌｌ　．因此｛　Ｉ，．∈　＞为框架，这与｛　Ｉ　∈　）是无冗余框架　Ｉ＿ｒ＾　，　矛盾．于是｛　，ｌ＿，∈　）是线性无关组．由定理２．２可知，｛　ｌ＿，∈　）是日的Ｒｉｅｓｚ基・　

注：定理２．５的逆不成立．例如：　）　。是　的标准正交基，‘　ｅＩ，　＋　，Ｐｚ＋　，…，　＋　ｅｎ＋　ｌ，…＞　

．

】４　维普资讯 http://www.cqvip.com 牛晓芳，李建华：Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中框架，Ｒｉｅｓｚ基与正交基之间的关系　

是　的线性无关框架，但　ｅＩ＋　ｅ２，　＋　，　＋　，…，　＋　爹，…）仍为框架．所以线性无关框架　

不一定是无冗余的。　

由定理２．５的证明可以得到Ｆ向的推论：　推论２．６若｛　，Ｉ　Ｊ∈　）为Ｈ的无冗余框架，则｛　，Ｉ　Ｊ∈　）为线性无关组．　

在参考文献【８】中给出一个判定Ｒｉｅｓｚ基的简便方法：　定理２．７设｛　），　ｚ￣Ｂａｎａｃｈ空问Ｂ上的一个Ｒｉｅｓｚ基，且设｛岛），　ｚ是Ｂ中的一组向量，假如存在　

一个常数　∈【Ｏ，１】，对于所有的数列｛　）ｆＥＺ成立　

ＩＩ∑　（　－ｇ，）Ｉ１￣　∑　刖，　

则｛ｇｆ）Ｊ　ｚ也是空间Ｂ的一个Ｒｉｅｓｚ基．　

３　紧框架与正交基的关系　

３．Ｉ从正交基到紧框架　定理３．１　设　是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，｛　，Ｉ　Ｊ∈　）为Ｈ中的一个正交基组，且对任意Ｊ，ＩＩ　『ｌＩ　＝Ａ，则　

｛　Ｉ　Ｊ∈Ｊ）是　的界为Ａ的紧框架。　证明：因为｛　Ｉ　Ｊ∈　）为正交基，且对任意　，ＩＩ　ＩＩ　＝　，所以　）为　的标准正交基，因　

此Ｖｇ∈　，有ｇ（　）＝　＜ｇ，。　＞　，　（　）　＜ｇ　＞　，所以　Ｉ＜ｇ　＞Ｉ　＝　Ｉｌｇ¨２・　

因此｛　Ｉ　Ｊ∈　）是　以　为界的紧框架．　

注：并不是任意的正交基组都能构成　的框架，下面先给出　中正交基为框架的必要条件．　

定理３．２设　是Ｈｉｌｂｅｒｔ空问，｛　，Ｉ　Ｊ∈　）为Ｈ中的正交基，若｛　，Ｉ　Ｊ∈　）构成　中下界为Ａ，上界　

为Ｂ的框架，则对ｖｊ∈Ｊ，都有　－＜ｌＩ　川　成立．　

证明：对于正交基构成的框架｛　，Ｉ　Ｊ∈　），在（５）式两端取ｇ＝　，则　

Ａ　ＩＩ　１１２＜∑Ｉ＜　，　＞Ｉ　＝ｌｌ　ＩＩ。＋∑Ｉ＜　，　＞Ｉ　Ｂ　ＩＩ　ＩＩ　，　

因为它们之间的正交性，　ＩＩ　Ｉｌ　－＜ｌＩ　ＩＩ。　Ｂ　ＩＩ　ＩＩ　，所以有　＜－ｌＩ　¨２≤Ｂ．　

下面给出一个正交基但不构成框架的例子，设｛　）为Ⅳ的标准正交基，令　＝手，显然｛　）还是Ｈ　

的正交基，但｛厂月）已不再是Ｈ的框架了，因为ｌｉｍ　ＩＩ　¨２＝０，所以不存在正数Ａ，使ＩＩ　¨２　Ａ恒成　

立，由定理３．２，｛厂月）不是　的框架．　３．２从紧框架到正交基　

定理３・３　若｛　Ｉ　∈　）为　的一个框架，则　Ｉ　｝＝Ｈ．　

证明（反证法）：　设　≠　，则　ｃ　Ｈ；取ｇ∈Ｈ，ｇ≠ｏ且ｇ上　｛　Ｉ　∈以，　

所以∑Ｉ＜ｇ，　＞Ｉ　＝０＜ｌｌｇｌｌ　。所以｛　Ｉ　∈　）不为　的框架，与假设矛盾．　

定理３．４设　是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，｛　Ｉ　Ｊ∈　）是　中的一个无冗余紧框架，贝　Ｉ　Ｊ∈　）必为　的一组基．　

证明：由定理３・３，有　＿Ｉ｛《　＝Ｈ．另外，　由引理２．５，｛　Ｉ　∈　）的各元素之间必定足线性　

ｌ５．　维普资讯 http://www.cqvip.com