希尔伯特Hilbert空间

一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。

希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。

大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。

那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。

欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。

于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。

这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。

注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。

只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。

如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。

Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。

这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。

数学的发展可以说是一部抽象史。

最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。

希尔伯特空间柯西施瓦茨不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述希尔伯特空间是数学中一个重要的概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。

希尔伯特空间是一种完备的内积空间，其内积定义了空间中向量的长度和夹角。

希尔伯特空间不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等多个领域中发挥着重要作用。

柯西施瓦茨不等式是希尔伯特空间中的一个基本定理，它描述了两个向量之间内积的性质。

柯西施瓦茨不等式指出，对于任意的两个向量，在希尔伯特空间中，其内积的绝对值不超过两个向量的范数乘积。

这一不等式揭示了希尔伯特空间中向量之间的内积关系，为后续的分析提供了重要的基础。

本文将首先介绍希尔伯特空间的定义和一些基本性质，包括内积的性质、完备性等。

然后引入柯西施瓦茨不等式的概念，并对其进行详细的证明。

最后，我们将讨论希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式在实际问题中的应用，并探讨其重要性和未来的研究方向。

通过本文的研究，读者将能够全面了解希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式的内容和应用。

对于数学、物理和工程等领域的学生和研究人员来说，掌握这些基本概念和定理是非常重要的。

希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，促进对希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式的更深入理解和应用。

1.2 文章结构文章结构如下：2.正文2.1 希尔伯特空间的定义和性质2.2 柯西施瓦茨不等式的引入2.3 柯西施瓦茨不等式的证明在正文部分，我们将首先介绍希尔伯特空间的定义和性质，以便读者对后续内容有一个清晰的认识。

希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，其内积赋予了空间中向量之间的长度和角度的度量。

我们将讨论希尔伯特空间的定义以及一些重要的性质，例如空间的完备性和内积的连续性等。

接下来，我们将引入柯西施瓦茨不等式。

柯西施瓦茨不等式是希尔伯特空间中一项极为重要的基本定理，它描述了内积中的向量之间的关系。

我们将探讨柯西施瓦茨不等式的具体内容及其在希尔伯特空间中的应用。

希尔伯特空间有关定理希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出。

希尔伯特空间在函数分析和量子力学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍希尔伯特空间的定义、性质和相关的定理。

希尔伯特空间是一个具有内积的完备的向量空间。

具体来说，设H 为一个向量空间，如果H中的元素可以进行内积运算，并且满足以下条件：1. 内积是线性的，即对于所有的x, y, z ∈ H和所有的实数a, b，有内积(ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z)；2. 内积是共轭对称的，即对于所有的x, y ∈ H，有内积(x, y) = (y, x)；3. 内积是正定的，即对于所有的x ∈ H，有内积(x, x) ≥ 0，并且当且仅当x = 0时，有内积(x, x) = 0。

如果一个向量空间满足上述条件，那么它就是一个希尔伯特空间。

希尔伯特空间中的元素称为向量，内积运算可以理解为向量之间的乘法。

希尔伯特空间的完备性意味着任何一个柯西序列（即一个序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m > N 时，序列中第n个元素和第m个元素之间的距离小于ε）在该空间中都有一个极限。

希尔伯特空间的一个重要性质是Riesz表示定理。

该定理指出，对于任意的连续线性泛函f，存在唯一的向量y使得f(x) = (x, y)对于所有的x成立。

换句话说，希尔伯特空间中的每一个连续线性泛函都可以表示为内积形式。

这个定理在函数分析中有着广泛的应用。

另一个重要的定理是希尔伯特空间的正交分解定理。

该定理指出，对于任意的闭子空间M，希尔伯特空间H可以分解为M和M的正交补空间的直和。

这个定理在希尔伯特空间的几何结构研究中起到了重要作用。

希尔伯特空间还具有一些其他的重要性质。

例如，希尔伯特空间是自反的，即它与其对偶空间是等距同构的。

此外，希尔伯特空间是拓扑线性空间，它具有一组可数的完全正交基，这使得希尔伯特空间在数学分析和量子力学等领域中有着广泛的应用。

希尔伯特空间入门希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。

希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，它在数学分析、量子力学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍希尔伯特空间的基本概念、性质以及一些常见的例子。

一、希尔伯特空间的定义希尔伯特空间是一个向量空间，它具有内积的结构。

设H是一个实数域或复数域上的向量空间，如果在H上定义了一个满足以下条件的二元运算（内积）<x, y>，则称H为希尔伯特空间：1. 对于任意的x, y∈H，有<x, y>=<y, x>（对称性）；2. 对于任意的x, y, z∈H和任意的实数a，有<a*x+y, z>=a<x,z>+<y, z>（线性性）；3. 对于任意的x∈H，有<x, x>≥0，并且当且仅当x=0时，<x, x>=0（正定性）。

二、希尔伯特空间的性质1. 希尔伯特空间是一个完备的度量空间。

这意味着在希尔伯特空间中，任意一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。

2. 希尔伯特空间中的范数可以由内积来定义。

对于任意的x∈H，定义||x||=√<x, x>，则||x||是H上的一个范数。

3. 希尔伯特空间中的向量可以进行正交分解。

设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果<x, y>=0，则称x和y是正交的。

4. 希尔伯特空间中的向量可以进行投影分解。

设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果y是x的一个投影，则y是x在H上的正交投影。

三、希尔伯特空间的例子1. 有限维希尔伯特空间：设V是一个n维向量空间，定义内积为<x, y>=x1y1+x2y2+...+xnyn，则V是一个希尔伯特空间。

2. L2空间：L2空间是所有平方可积函数的集合，定义内积为<f,g>=∫f(x)g(x)dx，则L2空间是一个希尔伯特空间。

希尔伯特空间希尔伯特空间(Hilbert space)由大卫‧希尔伯特(David Hilbert)提出，是一个完备的内积空间。

希尔伯特空间将傅立叶展开及诸如傅立叶转换之类的线性转换概念加以厘清并广义化。

它是有限维欧几里得空间向无穷维的推广，也是巴拿赫空间(Banach space)的特例。

其并出现在泛函分析之研究范畴。

一个量子系统的状态ψ，可将其张开在一线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。

集合{ψ}不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件并定义了内积、由复函数构成的线性空间。

在数学上再符合一些严格定义，如此的线性空间即为希尔伯特空间。

希尔伯特空间中的任何一维子空间(subspace)都视为矢量，内积采取的方式为矢量与另一矢量之共轭矢量进行各基底(basis)分量的点乘(dot product)在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。

与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。

此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。

希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

向量空间（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。

是线性代数研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。

譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。

第二篇 数学物理方程第一章 希尔伯特空间[]2,L a b 与施斗姆-刘维尔算子§2.2.1希尔伯特（Hilbert ）空间],[2b a L 希尔伯特空间[]2,L a b 是一个函数空间，这里简单地介绍一下，不作专门的理论研究. 2.1.1.1连续函数空间],[b a C 定义在区间[],a b 上的所有连续的复值函数的集合记为，这里区间],[b a C [],a b 可以是无限的. 是一个线性空间，现在在空间引入内积运算.],[b a C ],[b a C 定义1.设()(),f x g x 为空间内的任意两个函数，称在黎曼（Riemann ）意义下的积分],[b a C x x g x f bad ∫)()(为,f g 的内积，记作x x g x f g f bad ∫=)()(),(这里()g x 表示取()g x 的复共轭.根据定义，内积满足以下性质： 1.()(),,f g g f =. 2．对任意复数,αβ都有()()(),,,f g h f h g h αβαβ+=+这里[],,,a b f g h C ∈.3．≥0，当且仅当(f f ,)0f =时，(),0f f =. 可见是一内积空间. [],a b C 引入空间内的范数.[],a b C 定义2.设()f x 为[],a b C ()f x 的范数，记为f .显然范数与内积满足关系式()g f ,≤g f ⋅，它就是Cauchy-Schwarz 不等式.范数⋅具有以下明显的性质. 1．f ≥0，当且仅当0f =时，0f =. 2．对任意复数α，有f f ⋅=αα. 3．成立三角不等式g f +≤g f +.现在引入连续函数空间中函数序列收敛的概念.[],a b C 定义3.设中的一个函数序列[],a b C (){}n f x ，如果有函数()f x ，使得0lim lim 212=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−∫+∞→+∞→x f f f f ba n n n n d ,则称函数()f x 为函数序列{}n f 的极限，记为lim n n f f →+∞=.这种收敛的概念与高等数学中的序列收敛（点点收敛）的定义是不同的，通常称{}n f 为以范数收敛或平均收敛，为方便，也可简称平均收敛为收敛.高等数学中有一个判定序列收敛的著名的哥西（Cauchy ）准则.称凡是满足哥西准则的中的函数序列[],a b C (){}n f x 为基本列，即如果(){}nf x 是基本列，那么对于任意给定的0ε>，总存在自然数()N N ε=，当时都有,n m N >n m f f ε−<，反之亦然.应当指出，在空间中，基本列[],a b C {}n f 的极限未必是连续函数，即基本列{}n f 在中未必收敛.不能使得每一个基本列都收敛的空间称为不完备空间.可见，空间是不完备的.[,a b C ][],a b C 为了便于极限运算，可以将不完备的内积空间完备化，并且称的完备化空间为[],a b C [],a b C []2,L a b 空间.所谓完备化，就是在中增加所有基本列的极限函数.设函数序列{[],a b C }n f 是中的基本列，则定义函数[],a b C ()f x 为)(lim )(x f x f n n +∞→=.这样，若{}n f 本身在中为收敛于[],a b C 0f 的基本列，则取0f f =.若中两个基本列[],a b C {}n f 与{}n g 满足0→−n n g f （当时），则n →+∞规定lim lim n n n n f g →+∞→+∞=.2.1.1.2[]2,L a b 空间由此可见，函数空间[]2,L a b 中所有函数()f x 都可以表示为连续函数序列{}n f 的极限.于是，可以这样来引入[]2,L a b 中的线性运算与内积运算.定义4.设{}n f ，{}n g 是中的两个基本列，记[],a b C lim n n f f →+∞=，，则定义lim n n g →+∞=g ()lim n n n f g f αβαβ→+∞+=+g ，这里,αβ为复数，()(),lim ,n n n f g f →+∞=g由于{}n n f g αβ+仍是中的基本列，[],a b C (){},n n f g 是复数域中的基本列，因此上面的定义是合理的.由此，[]2,L a b 空间中函数f 的范数定义为f =.显然，成立定理1.定理1.设{}n f 是空间中的基本列，则数列是复平面上的基本列，这里区间[],a b C ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f b a n d 11)([]11,a b 是区间[],a b 的任意一个子区间.这样，数列是复平面上的基本列，并且有复数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f ba n d 11)(A 为x x fA b a nn d ∫+∞→=11)(lim.于是我们定义定义5.设{}n f 是空间中的基本列，[],a b C [][]11,a b a b ⊂,，记()()lim n n f x f →+∞=x ，那么我们称数列的极限⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f b a n d 11)(A 为函数()f x 在[]11,a b 上的勒贝格(Lebesgue )积分，记为，并说⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f ba d 11)(()f x 在[]11,a b 上勒贝格可积.显然，若()f x 在[],a b 上黎曼可积则它的黎曼积分与它的勒贝格积分相等.今后如不特别声明，本书中的积分均指勒贝格积分.注意到中基本列的有界性，因此数列[],a b C {}2nf 也是基本列，这样[]2,L a b 中函数f 的范数也可用积分表示：+∞<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫∫+∞→212212lim x f x f f ba ba n n d d . 同样，[]2,L ab 中的内积用勒贝格积分表示为x x g x f g f bad ∫=)()(),(,其中()()[]2,,f x g x L a b ∈.若函数()f x 的模数()2f x 在[],a b 上勒贝格可积，则称函数()f x 是平方可积的.由此可见，[]2,L a b 中的每一个函数都是平方可积函数.凡是平方可积的函数也必都属于[]2,L a b ，因此也可以把它作为空间[]2,L a b 的定义.如果两个函数[]2,,f g L a b ∈，在[],a b 的任一子区间[]11,a b 上有x x g x x f b a b a d d ∫∫=1111)()(,则说两个函数,f g 是在[],a b 上几乎处处相等的，仍记为f g =.于是，在此意义下，在[]2,L a b 空间中(),f f 0=的必要且充分的条件是.0f =显然，[]2,L a b 是内积空间，满足内积的三条性质与范数的三条性质，同样，保持哥西不等式及内积连续性等性质，是完备的内积空间，因此[]2,L a b 空间是希尔伯特空间. 2.1.1.3[]2,L a b 空间的傅里叶（Fourier ）级数有人曾经指出，希尔伯特空间[]2,L a b 是无穷维的欧氏空间.这反映了[]2,L a b 具有许多类似于欧氏空间的性质：一个n 维欧氏空间n R 中存在标准正交基，对于n R 中的任一向量均可由这组标准正交基线性表示，对于[]2,L a b 空间也有这方面的类似性质.定义6.设[]122,,f f L a b ∈，如果()12,f f 0=则称函数12,f f 是正交的.定义7.若[]2,L a b 中一个可列无穷的函数列{}n ϕ满足{})3,2,1,()(1)(0,L =⎩⎨⎧=≠==j i j i j i ijjiδϕϕ 则称函数列{}n ϕ为[]2,L a b 中的标准正交系.例1：在复的[]2,L ππ−+空间里，函数系()0,1,2,inx n ⎫[] =±±⋅⋅⋅⋅⎬⎭是2,L π−π+中的一个标准正交系.例2：在[]2,L a b 空间里,这里是实数,函数系,a b ()2,1,2n x a n b a π−, =⋅⋅⋅⋅−是[]2,L a b 的一个标准正交系.对于欧氏空间n R 的任一向量均可由它的标准正交基线性表出,也就是说,欧氏空间的标准正交基是完全的.对于[]2,L a b 空间，也可以讨论其标准正交系是否完全的问题以及[]2,L a b 空间中的任一函数由标准正交系线性表示问题.定义8.设{}n ϕ是[]2,L a b 空间的一个标准正交系，如果存在一个非零函数[]2,f L a b ∈，使f 与{}n ϕ中的每一个函数都正交，则称{}n ϕ是不完全的，否则称{}n ϕ是完全的.例3：函数系()()21,2,3,n x a n b a π⎫−⎪=⋅⋅⋅⎬−⎪⎭[是]2,L a b 上一个不完全的标准正交函数系.事实上，函数系()()21,2,3,n x a n b a π⎫−⎪ =⋅⋅⋅⎬−⎪⎭是[]2,L a b 上的一个标准正交系是显然的.因此只要证明它不是完全的.取()[]21,f x L a =∈b，且()21bbaan x a b aπ−−∫0=)(1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅，所以函数系()2n x a b a π⎫−⎪⎬−⎪⎭是[]2,L a b 上一个不完全的标准正交系.例4：函数系()()1,2,3,n x a n b a π⎫−⎪ =⋅⋅⋅⎬−⎪⎭[是]2,L a b 上一个完全的标准正交系.应当指出，标准正交系{}n ϕ中任意有限个函数12,,,m n n n ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅是线性无关的.定义9.设{}()1,2,n n ϕ =⋅⋅⋅是[]2,L a b 中的一个标准正交系，则把数列(){}(),1,n f n ϕ2, =⋅⋅⋅叫做函数f 关于标准正交系{}n ϕ的傅里叶系数，这里[]2,f L a b ∈.我们不加证明给出傅里叶级数的收敛定理.定理：如果{}n ϕ是[]2,L a b 空间中一个完全标准正交系，则()[]2,f x L a b ∈的傅里叶级数∑收敛于+∞=1)(),(n n n x f ϕϕ()f x ，即()f x =()(1,n n n )f x ϕϕ+∞=∑,并且成立巴塞伐尔(Parseval )等式()221,n n ff ϕ+∞==∑,即[]2,L a b 空间中的勾股定理.类似地，推广到二维上去.设函数系(){}()1,2,n x n ϕ =⋅⋅⋅是[]2,L a b 中的一个标准正交的完全系.那么函数系()(){}m n x y ϕϕ是[][]2,,L a b a b ×上的一个标准正交的完全系，这里,1,2,m n =⋅⋅⋅⋅.于是对于在[][],,a b a b ×上平方可积的函数(,)f x y 有二维傅里叶级数的收敛定理()()(,1,mnm n m n )f x y ax y ϕϕ+∞==∑并且成立()22,1,mn m n f x y a +∞==∑,这里()()()(),,mn m n a f x y x y ϕϕ=是二维的傅里叶系数.2.1.1.4 施斗姆(Sturm )-刘维尔(Liouville )算子通常称算子⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≡)()()()(1x y x q x y x p x x r Ly d d d d 为施斗姆−刘维尔算子.这里系数()(),p x q x 在[],a b 上定义，并且≥)(x p 0const 0>=p ,≥0，≥)(x q )(x r 0const 0>=r .我们考虑空间[]()()2,,L a b r x ，其内积为带权因子()r x 的积分定义，记为 x x g x f x r g f bar d ∫=)()()(),(,从而其范数为212)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫x x f x r fba rd . 若(),0f g r =则记,f g 带权因子正交，r 1r =就是通常意义下的正交.2.1.1.5施斗姆−刘维尔本征值问题 称方程Ly y λ=即0)()()()()(=+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛x y x r x y x q x y x p x λd d d d为施斗姆−刘维尔方程,是数学物理问题中常见的一种微分方程，这里λ是参数.施斗姆−刘维尔方程Ly y λ=在不同情况下应与如下几种边界条件构成本征值问题：（1）若在端点x a =有()0p a ≠，则在x a =点要附加三类齐次边界条件0)()(=+′a y a y βα，这里220αβ+≠，若0,0αβ=≠为第一类边界条件；若0,0αβ≠=为第二类边界条件.（2）若()0,p a =而0)(≠′a p ,则在x a =有()y a 为有限的条件称之为自然边界条件.（3）若在端点x a =，x b =有()()p a p b =，则在x a =，x b =有称之为周期性的边界条件)()(b y a y =，)()(b y a y ′=.在上述三类条件之一下，求使得方程Ly y λ=有非零解()y x 的值λ的问题称之为本征值问题（又叫固有值问题）.对于此，在空间[]()2,,L a b r 内有① 有可列无穷多个非负的本征值（固有值）0≤1λ≤2λ≤≤L n λ≤L 和相应的本征函数()()()12,,,,n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足n n L n ϕλϕ=.② 这些本征函数()()()12,,,,n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅构成[]()2,,L a b r 空间内的标准正交完全系，且有,...)3,2,1,,(,0)()()(=≠=∫m n m n x x x x r bam nd ϕϕ③若()[]()2,,f x L a b r ∈，则有（广义）傅里叶级数()()1n n n f x C ϕ+∞==∑x ，其中 x x x f x r C b anr nn d ∫=)()()(12ϕϕ.例5: 证明施斗姆−刘维尔本征值问题⎩⎨⎧≠+≠+=+′=+′≠≠=0,0,0)()(0)()(0)(,0)(222221212211βαβαβαβαλb y b y a y a y b p a p y Ly 这里的本征函数系{}()1,2,n n ϕ =⋅⋅⋅在区间[],a b 上是带权因子()r x 正交的.证：设(),n m n m λλ≠为两个不相等的本征值，()(,n m )x x ϕϕ分别是它们的对应的本征函数，即n n L n ϕλϕ=，m m L m ϕλϕ=，并且满足0)()(,0)()(2211=+′=+′b b a a n n n nϕβϕαϕβϕα,0)()(,0)()(2211=+′=+′b b a a m m m mϕβϕαϕβϕα. 注意到()()(),,p x q x r x 都是实值函数，所以有,n n n m m rL r rL r m ϕλϕϕλϕ= =用m ϕ乘以第一式，n ϕ乘以第二式，相减，并在[],a b 上积分，注意到算子的特点得：L ()∫−bam n m n x x x x r d )()()(ϕϕλλx x x p x x x x p x x ba n m m n d d d d d d d d d ∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ϕϕϕϕ)()()()( ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′=)()()()()()()()()()()()()()()(a a a a a p b b b b b p x x x x x p n m m n n m m n ba n m m n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ注意到边界条件中11,αβ不同时为零，2,2αβ不同时为零，所以系数行列式0)()()()(=′′a a a a m m n n ϕϕϕϕ， 0)()()()(=′′b b b b m m n nϕϕϕϕ 因此，得： ()0)()()(=−∫ba m n m n x x x x r d ϕϕλλ，而n m λλ≠，故得本征函数系(){}n x ϕ带权因子()r x 正交，即0)()()(=∫bam nx x x x r d ϕϕ.§2.1.2线性常微分方程的级数解法二阶线性齐次常微分方程的一般形式是0)()()()()(=+′+′′z w z q z w z p z w ,其中自变量是复数.z如果函数()(),p z q z 在0z z =点解析，则称此点为方程的常点.如果是0z 0z ()p z 的至多一阶极点，是()q z 的至多二阶极点，即()()()()()20,z z p z q z z z z z ϕψ==−−其中()(),z z ϕψ在点解析，那么点称为方程的正则点. 0z 0z 我们仅讨论方程在常点邻域、正则点邻域内的级数解，给出幂级数的解法.2.1.2.1常点邻域内幂级数解法不失一般性，只讨论0x =点为常点的幂级数解法，如果， 00≠x 就令，化为在原点内讨论了.0x x t −=例6：在0x =点的邻域内求解艾里方程0)()(=−′′x xy x y 的幂级数解.解：设()0,n n n y x c x c +∞=n = ∑是待定的常数.,()111−+∞=−+∞=∑∑==′n n n n n n x nc xnc x y ()()()222111−+∞=−+∞=∑∑−=−=′′n n n n n n x c n n xc n n x y代入方程，有 ()21210n n n n n n n n c xc x +∞+∞−+==−−=∑∑合并同类项，得 ()()()22121210n n n n c n n c c x +∞+−=1⋅+++−∑=3,比较两边同次幂项的系数得：()()0221:20:210,1,2,n n n x c x n n c c n +− = ++−= =⋅⋅⋅由此得 20c =，还有递推关系式 ()()12,1,2,3,21n n c c n n n −+==⋅⋅⋅++当1n =时 0301323!c c c ==⋅ 当2n =时 1412434!c c c ==⋅ 当3n =时 25054c c ==⋅ 当4n =时 36014656!c c c ⋅==⋅ 当5n =时 47125767!c c c ⋅==⋅ 当6n =时 58087c c ==⋅ 于是，易得()()()()303114322531,3!31!m m m m c c c m m +⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==+1c故得艾里方程的通解：()()()()()330111147322583113!31!m m m m m m y x c x c x x m m +∞+∞+==⎛⎞⎛⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+++⎜⎟⎜⎜⎟⎜+⎝⎠⎝∑∑1⎞⎟⎟⎠其中为任意实常数.艾里方程的两个线性无关解为：01,c c ()()()()()()3113121147321,3!25831,31!nn n n n y x x x n n y x x x x n +∞=+∞+=⋅⋅⋅⋅⋅−=+ <+∞⋅⋅⋅⋅⋅−=+ <+∞+∑∑例7：在0x =点的邻域内，求解方程()()()()012=−′+′′−x y x y x x y x解：0x =点是此方程的常点，设()0n n n y x c x +∞==∑ ,()11−+∞=∑=′n n n xnc x y ()()221−+∞=∑−=′′n n n x c n n x y代入方程，有()()222111n nnnn n n n n n n n c xn n c x nc x c x +∞+∞+∞+∞−====0n n −−−+−∑∑∑∑=0合并同类项，得()()()()220322232211n n n n c c c x n n c n c x +∞+=⎡⎤−+⋅+++−−=⎣⎦∑比较两边对应次幂的系数，得()()()0120322:20,:60:2110,2,3,4nn n x c c x c x n n c n c n + −= = ++−−= =⋅⋅⋅由此有 2031,02c c c = =递推公式 ()()()()22,12,3,4,21n n n c c n n n + −==⋅++⋅⋅当2n =时 2401434!c c c ==⋅ 当3n =时 2532054c c ==⋅ 当4n =时 22264313656!c c ⋅==⋅0c 当5n =时 2754076c c ==⋅ 当6n =时 0222628!8531785c c c ⋅⋅=⋅= 所以一般地有 ()()()2212023!!0,,2,3,4,2!n n n c c c n n +−⎡⎤⎣⎦= = =⋅⋅⋅ 得解为 ()()()222100223!!1,2!2!nn n x y x c x c x c c n +∞=⎛⎞−⎡⎤⎣⎦⎜⎟=+++ ⎜⎟⎝⎠∑1,为任意常数,此方程的两个线性无关的解是()()()()22212223!!,12!2!n n n x y x x y x x n +∞=−⎡⎤⎣⎦= =++∑.2.1.2.2正则点邻域内的幂级数解法不失一般性，只讨论0x =点为方程正则点的方程的幂级数解法. 例8:在0x =点的邻域内求方程()()()()0124=−′−+′′x y x y x x y x的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点.为此设方程的解为()0,n n n y x c x ρ+∞+==∑ 不妨设00c ≠求导有()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 代入方程得()()()()110041220n n nn n n n n n n n n c n n xc n x c n x c x ρρρρρρρρ+∞+∞+−+==+∞+∞++==++−++−+−=∑∑∑∑−消去x ρ，合并同类项，得()()()()01122122212210nn n n c n n c n c x ρρρρρ+∞−=−+++−−+−=⎡⎤⎣⎦∑比较同次幂的系数，得()()()()(01221022212210,1,2,3,n n c n n c n c n ρρρρρ−−=++−−+−= =⋅⋅⋅)由于，得到关于00c ≠ρ的一元二次方程()21ρρ0−=，这个方程称之为指标方程，通常取实部较大的那个根为1ρ，较小的那个根为2ρ，这里有121,02ρρ= =将112ρ=代入第二式得递推关系式：1,1,2,321n n c c n n −,= =⋅⋅⋅+当时，有1n =101,3c c =当2n =时有00211,5535!!c c c c ===⋅⋅⋅⋅，一般地有()21!n c c n =+! 从而得 ()()1021!nn x y x c n +∞==+!. 由于1211022ρρ−=−=不为整数，因此找方程的与()1y x 线性无关的解可设为 ()220n n n n n n y x d xd x ρ+∞+∞+====∑∑.这样 , , ()112−+∞=∑=′n n n x nd x y ()()2121−+∞=∑−=′′n n n x d n n x y 代入方程，得()()()()()11211101141222222121n n nnn n n n n n n nn n n n n d xnd xnd x d x d d n n d n d x +∞+∞+∞+∞−−====+∞+=0n −+−−−+++−+=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑=比较同次幂的系数得()()()()10120,2221210,1,2,3,n n d d n n d n d n +−= ++−+= =⋅⋅⋅由此得到系数的递推关系式：()()11,2,1,2,3,21nn d d d d n n +== =⋅⋅⋅+当时，有 1n =01244!d d d ==! 当时，有 2n =02366!d d d ==!一般地， 有 ()()0,1,2,32!!n d d n n ,==⋅⋅⋅ 这样得 ()()0202!!nn d y x n +∞==∑, 故得方程通解()()()()()1212000021!!2!n nn n !x x y x y x y x c d n n ++∞+∞===+=++∑∑,这里为任意常数.00,c d 例9:在0x =点邻域内求方程 ()()()0=+′−′′x y x y x x y x 的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点，设方程的解为()0n n n y x c x ρ+∞+==∑,这里,n c ρ都是待定的常数，不失一般性，总假定00c ≠，否则把不为零的那项的x 的幂指数并入ρ内.()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 为方便起见，方程两边乘以x ，得()()()022=+′−′′x xy x y x x y x ,代入上式得()()()11010n n n n n n n c n n xc n xc x ρρρρρ+∞+∞+∞++−==0n n ρ++=++−−++=∑∑∑消去x ρ，合并同类项，化简得()()()()011112nn n n c c n n n c ρρρρρ+∞−=0x −+++−−+−⎡⎤⎣⎦∑=注意到，得指标方程00c ≠()10ρρ−=，与递推关系式()()12,1,2,3,1n n n c c n n n ρρρ−+−==⋅⋅⋅⋅++−指标方程有两个根121,0ρρ= =,将11ρ=代入递推关系式得 ()11,1,2,3,1n n n c c n n n −−==⋅⋅⋅⋅+当时，得1n =10c =，于是得0,1,2,3,n c n = =⋅⋅⋅ 因此得 ()10y x c x =.由于这里121ρρ−=为整数，为了求得与()1y x 线性无关的第二个解，这时设()()()221010ln ln n n n nn n y x gy x x d x gy x x d x ρ+∞+=+∞==+ =+∑∑由于为简单起见，记()1,y x c x =00A gc =，于是有()20ln n n n y x Ax x d x +∞==+∑， ,n A d 为待定常数，于是,()∑+∞=−++=′112ln n n n x nd A x A x y ()()∑+∞=−−+=′′2221n n n x d n n x A x y , 代入变形后的方程中，得()22121211ln ln nn n n n n Ax n n d x Ax Ax x nd xAx x d x +∞+∞+∞++==+−−−−++∑∑0n n n ==∑0合并同类项，化简有()()()()20213212nn n n A d x A d xn n d n d x +∞−=+−−+−−−=⎡⎤⎣⎦∑ 比较同次幂系数得()0210,202,3,4,1n n A d A d n d d n n n −5,+= −=−==⋅⋅⋅−这里，（否则0A ≠()2y x 与()1y x 就线性相关）取1,A =得0211,2d d =− =当时， 3n =32113223!d d ==⋅⋅ 当时 4n =43214334!d d ==⋅⋅ 依次类推得，一般式 ()1,2,3,41!n d n n n ,==⋅⋅⋅−⋅于是得 ()()22ln 11!nn x y x x x n n +∞==−+−⋅∑.故方程的通解为 ()()02ln 11!nn x y x c x A x x n n +∞=⎛⎞=+−+⎜⎟⎜⎟−⋅⎝⎠∑, 这里为任意常数.0,c A 例10: 在0x =点邻域内求方程 ()()()02122=−′′+x y x y x x 的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点，设方程的解为()0,n n n y x c x ρ+∞+==∑ 不妨设00c ≠.()()1−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 因满足方程，代入得()()()()211n n nn n n n n n c xn n c xc x ρρρρρρ+∞+∞+∞+++==++−+++−−=∑∑∑020n n ρ+=消去因子x ρ，合并同类项得()()()()()()()220122222223n n n n c c x n n c n n c x ρρρρρρρρ+∞−=−−++−+⎡⎤0+−+−++−+−=⎣⎦∑由于，得指标方程00c ≠220ρρ−−=,与系数的递推关系式：()()()()()2122320,,2,3,4,21n n n n c c c n n n ρρρρρρ−+−+−+−= ==⋅⋅⋅+−++解指标方程得两个根：122,1ρρ= =−. 将12ρ=代入系数的递推关系式中，有1210,,2,3,4,3n n n c c c n n −−= =−=⋅⋅⋅+ 当时，有 2n =2013553c c =−=−0c ⋅ 当时，有 3n =31206c c =−=当时，有 4n =()24233177c c =−=−05c ⋅当时，有 5n =50c = 依次类推得()()()222022131;232321mm m m m c c c c m m m −+10−=−=− =+++ 由此得()()()()2222212001312321n n n n n n y x c xc x x n n +∞+∞++==⎛⎞==+−⎜⎟⎜⎟++⎝⎠∑∑. 由于123ρρ−=＝整数，为求一个与()1y x 线性无关的第二个解， 设 ,()()()∑∑+∞=−+∞=++=+=011012ln ln 2n n n n n n x d x x gy xd x x gy x y ρ()()()()∑+∞=−−++′=′021121ln n n n x d n x y x gx x y g x y , ()()()()()()∑+∞=−−−+−′+′′=′′0321112212ln n n n x d n n x x y g x y x gx x y g x y , 代入方程有()()()[]()()()()x y x g x y x x g x x gy x y g x x 12131122122ln 21+−′++−′′+()()()()02212101011=−−−+−−+∑∑∑+∞=−+∞=++∞=−n n n n n n n n n x d xd n n xd n n ,注意到()1y x 是方程的解，故上式中含有ln x 的那一项为零，又 , , ()22021++∞=∑=n n n xc x y ()()1202122++∞=∑+=′n n n x c n x y 于是得到()()()()()22241220001043433120n n n n n n n n n n g n c xn c x n n d x n n d x +∞+∞+∞n n ++−===+∞+=⎡⎤++++−⎢⎥⎣⎦+−−=∑∑∑∑合并同类项，有()()()()()()220222111234341312n n n n n n n n n n g c x n c n c x d n n d x n n d x +∞+−=+∞+∞−+==⎡⎤+++−−⎢⎥⎣⎦+−+−−=∑∑∑2120于是()()()()()()()()()222022211212024343412220334n n n n n n n n g c x n c n c x d d d x x n n d n n d x +∞+−=+∞−−=⎡⎤+++−+−⎢⎥⎣⎦+−++⋅+−+−−=∑∑上式中关于2x 项的系数有030,gc =而c 00,≠得0,g =从而有()011022012:20,0:20,4:,4,5,6,7,n n n x d d x d d d d n x d d n n−− −= = −= =− =−=⋅⋅⋅当时， 4n =40,d =当时， 5n =5313553d d 3d −=−=⋅依次类推()()()()1221330;1,2,3,4,2121m m m d d d m m m ++= =− =⋅⋅⋅+−由此得解()24682031333537597y x d x d x x x x x ⎛⎞⎛⎞=++−+−+⋅⋅⋅⎜⎟⎜⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎟⎠,最后得方程的通解为：()()()()2220013112321n n n y x c x x d x n n x +∞+=⎛⎞⎛⎞=+−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠∑, 这里为任意常数.00,c d 例11：在0x =点的邻域求方程()()()()()041121=+′−+′′−x y x y x x y x x 的幂级数解.解：0x =点是方程的正则点.设方程的解为()0n n n y x c x ρ+∞+==∑这里,n c ρ都是待定的常数，不失一般性设00c ≠()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 代入方程，有()()()()()()110112104n n n nn n n n n n n n n n n n n c xn n c xn c x n c xc x ρρρρρρρρρρρ+∞+∞+∞++−+===+∞+∞+−+==++−−++−++−++=∑∑∑∑∑消去因子x ρ，得()()()22100104n n n n n n n n c x n c x ρρρ+∞+∞−==⎡⎤++++−+=⎢⎥⎣⎦∑∑ 上式两边乘以x ，有()222011102n n n n c n c n c x ρρρ+∞−=⎡⎤⎛⎞−++−−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑=由于，得到指标方程 00c ≠20ρ=, 与系数的递推关系式()()()22112212212,1,2,3,2n n n n n c c c n n n ρρρρ−−⎛⎞+−⎜⎟+−⎝⎠== =⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦由此得指标方程的两个根：120ρρ==，将10ρ=代入上式有()()21221,1,2,32n n n c c n n −−= =⋅⋅⋅从而得到，()()2021!!,1,2,32!!n n c c n n ⎛⎞−= =⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠于是有()()()221!!1nn y x c x +∞⎛⎞⎡⎤−⎜⎟=+⎢⎥∑1012!!n n =⎜⎟⎣⎦⎝⎠,这里由于120ρρ==；要求一个与()1y x 线性无关的解()2y x ，可设()()()∑∑+∞=+∞=++=+=01012ln ln 2n n n n n n x d x x gy xd x x gy x y ρ,其中，为待定的常数.,n g d ()()()∑+∞=−++′=′11112ln n n n x nd x y x gx x y g x y , ()()()()()∑+∞=−−+−′+′′=′′222111212ln n n n x d n n x x y g x y x gx x y g x y , 代入方程，有()()()()()()()()[]x y x y x g x x y x y x x y x x g 1111112ln 1121+′−+⎥⎤⎢⎡+′−+′′−4⎦⎣ ()()0412110111212=+−+−−−+∑∑∑∑∑+∞=+∞=−+∞=+∞=−+∞=n n n n n n n nn n n n n nn x d xnd x nd xd n n x d n n 注意到()1y x 是方程的解，所以上式中含有ln x 的那一项实际上是零，而含有的那一项，由于g ()()()210121!!12!!nn n y x c x n +∞=⎛⎞⎡⎤−⎜⎟=+⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑,()()()12101!!2!!12−∞+=∑⎦⎤⎢⎣⎡−=′n n nx n n c x y 有 ()()()[]()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++=+′−∑∞+=n n x n n n n gc x y x y x g 12011!!2!!1222122112 ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=∑∞+=n n x n n n n x gc 2220!!2!!1222124321 这样，得到()()()2002222121221!!1321124222!!4914142nn n n n n n n gc x x d d n n d d x n d n d x +∞=+∞+=⎛⎞⎛⎞−+⎛⎞⎜⎟+++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞+−++−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑∑10合并同类项，有()()()()00120122222201211024********21!!212110,2,3,4222!!2n n gc d d gc d d n n n gc d n d n n n ++−=⋅+−=⎛⎞−++,+−+==⋅⋅⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⋅于是，得()()()()()10022222201102222222222102211221343313432442243242121!!121,2,3,4,222!!221n n d gc d d gc d d gc n n n d d gc n n n n n +=+=⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅⎛⎞+−+=+⋅ =⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠⋅⋅⋅当时2n =222232010225153!!5!!5!!2246364!!6!!6!!2335d d gc d gc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=+⋅=⋅++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎞⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠当时3n =222243010227175!!7!!7!!22248486!!8!!8!!23354d d gc d gc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=+⋅=⋅+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜7⎞⎟⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠()()依次类推，得()()()221021!!21!!1111422!!2!!23354721n n n d d gc n n n n ⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−=⋅++++⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⋅−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有()()()()()()()22101120221!!ln 42!!21!!11112233547212!!nn n n n y x gy x x d d x n n gc x n n n +∞=+∞=⎛⎞−=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞− ++++⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅−⎝⎠∑∑⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠所以方程的通解为 ()()()12y x y x y x =+.§2.1.3勒让德方程与勒让德多项式2.1.3.1勒让德（Legendre ）方程形如 ()()()()0212=+′−′′−x y x y x x y x μ的方程称为勒让德方程，这里μ是一个参数.0x =点是勒让德方程的常点.设方程0x =点领域内的解为()0n n n y x c x +∞==∑求导数()∑+∞=−=′11n n n nxc x y ，()()∑+∞=−−=′′221n n n x n n c x y 代入方程中，有()()2221112n nnn n n n n n n c n n xc n n x c nx c x μ+∞+∞+∞+∞−====0n n −−−−+∑∑∑∑=()()[]()()()()[]0112122312221302=−+−++−⋅−⋅++⋅∑∞+=+n n n n x c n n c n n xc c c c μμμ比较两边同次幂的系数得()()()()20312210322102110,2,3,n n c c c c n n c n n c n μμμ+⋅+=⋅−⋅−=++−+−= =⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦由此得到()()()20321021,21321,2,3,21n n c c c n n c c n n n 1c μμμ+⋅−⋅= =⋅⋅+⋅−−= =⋅⋅⋅+⋅+当时，有2n =m ()()()()()2021223210,0,1,2,2!m m m c c m μμμ−⋅−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦= =⋅⋅⋅m 1 当时，有2n m =+()()()()2112214321,21!m m m c c m μμ+⋅−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=+μ因此，勒让德方程的通解可写为()()()()()()()()()()2002110212232102!221432121!m m m m m m y x c m m m c x m μμμμμμ+∞=+∞+=−−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦ ++∑∑不难证明，勒让德方程的两个线性无关的特解()()12,y x y x()()()()()()()()()()()2102120212232102!221432121!mm m m m m y x m m m y x x m μμμμμμ+∞=+∞+=−−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=+∑∑当 时，级数都是发散的，即1x →±1x =±这两点一般是勒让德方程 的解的奇点.2.1.3.2勒让德方程的本征值与本征函数显然，由()()12,y x y x 的表达式可知，勒让德方程的本征值问题的提法是，求在闭区间[]1,1−+上有有界解，只有当其中的参数时，()1,0,1,2,l l l μ=+ =⋅⋅⋅()()12,y x y x 中将有一个退化为多项式，成为[]1,1−+上的有界解.因此，()1,0,1,2,3,l l l μ=+ =⋅⋅⋅是勒让德方程在有界条件下的本征值，相应的多项式解是本征函数.对于每一个确定的值就有唯一的一个多项式，通常把这种多项式的最高次方l l x 的系数规定为()()22!2!l l l c l =⋅称为勒让德多项式，记作.的明显表达式为)(x P l )(x P l nl l n lnl x n l n l n n l x P 220)!2()!(!2)!22()1()(−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑−−⋅−−=其中2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于2l 的最大整数.勒让德多项式还可以作为称之的生成函数())(x P l 12212xt t −−+关于展开式的系数，即l t ∑+∞=−=+−0212)()21(l l l t x P t xt .利用牛顿二项式展开式可以将勒让德多项式表示为微分形式－罗巨格(Rodrigues )公式lll l l x xl x P )1(!21)(2−⋅=d d 事实上，()()()()()()()()()222222220!!111!1!!!1!!1!!!!lrl l rll l r r l l g x x x x x l r l l l x l l r r l r −−−==−=−+⋅⋅⋅+−−−− +−=−−∑l rr因此)()!2()!(!)!22()1(21])12(2[)122)(22()!(!!)1(!21)1(!212202202x P x r l r l r r l x l r l r l r l r l r l l x xl l r l l r rlr l l r r l ll l =−−−−=−−−−−−−−⋅=−⋅−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑L d d 由勒让德多项式的表达式，显然有)()1()(x P x P l n l −=−, 0)0(12=+n P222)!(2)!2()1()0(n n P n nn ⋅−=0)()()12()()1(11=++−+−+x lP x xP l x P l l l l ,)3,2,1(L =l )()1()()(1x P l x P x x P l l l ++′=′+)()12()()(11x P l x P x P l l l +=′−′−+, )3,2,1(L =l给出勒让德多项式的前八个的表达式： 1)(0=x P , ,x x P =)(1)13(21)(22−=x x P , )35(21)(33x x x P −=,)33035(81)(244+−=x x x P ,)157063(81)(355x x x x P +−=,)5105315231(161)(2466−+−=x x x x P ,)35315693429(161)(3577x x x x x P −+−=2.1.3.3勒让德多项式的完全性、正交性、以及它的范数不难证明，勒让德多项式, )(x P l ),2,1,0(L =l 构成[]21,1L −+空间 内的一个完全的正交的函数系.函数系的完全性证明从略.现在证明它的正交性.设()f x 是一个次多项式，如果m m l <时，则()f x 与正交：)(x P l 0)()(11=∫+−x x p x f ld事实上，记()()21lg x x =−，显然1x =±是()g x 的阶零点，即，而l 0)1()1()1()1(=±==±′=±−l g g g L )(!21)()(x g l x P l ll ⋅=.利用分部积分法，有[])()1()()()()(!21)()(!21)()(11)1()2()1()(1111=−++′−⋅=⋅=+−−−−−+−+−∫∫x g x g x f x g x f l x x g x f l x x P x f k l k l l l l l L d d 由此得...2,1,0,,,0)()(11=≠=∫+−l m l m x x P x P lmd现在计算的范数)(x P l []()])()()1()()()1()()()()([)!2(1)()(!21)()(11)2(11)12(1)2()1()1()(211)()(22112x x g x g x g x g x g x g x g x g l x x g x g l x x P x P l ll l l l l l l l l l l l d d d ∫∫∫+−+−−−−+−+−+−−+−+−⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==L 2112211221122)1()1()2)(1()1(11)1()!(2)!2()1()1()1()!(2)!2()1()()!2()1()!(21+−++−+−+−++−⎜⎜⎝⎛⎢⎣⎡++⋅−−=+−−=−=∫∫l l l l l ll l l l l l x x l l l x l x l l x x x l l x x g l l d d12212)1()!2()!()!(2)!2()1()2()2)(1(!)1()1()2()2)(1(1)1(2)1(11122221121121+=++⋅⋅=⎟⎟⎠⎞+++−+⎥⎦⎤+++−−+++−++−+−−∫l l x l l l l x x l l l l x l l l x l l l l ll l d L L L L 得 122)(+=l x P l , ),2,1,0(L =l 展开定理：设()[]21,1f x L ∈−+，则有傅里叶级数)()(0x P f x f l l l ∑+∞==这里傅里叶系数xx P x f l l x x P x f x p f ll l d d ∫∫+−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+===1121121)()(2122,1,0,)()()(1L§2.1.4连带的勒让德方程和连带的勒让德函数 连带的勒让德方程()011222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−y x m x y x x μd d d d , 显然时它就是勒让德方程.0m =连带的勒让德方程的本征值问题，就是求出它在[]1,1−+上的有界解那些μ的值.同样，()L 2,1,0,1=+=l l l μ是它的本征值，它的相应的本征函数系可以通过变换()()()221m y x xv x =−得()v x 的方程0)]1([)1(2)1(2=+−+′+−′′−v m m v x m v x μ上式两边对x 求导数，得0))](2)(1([)()2(2))(1(2=′++−+′′+−′′′−v m m v x m v x μ与前一式比较，只是将m 变成1m +，变成v v ′.注意到时，就是勒让德方程，由此可知，前一式可以从勒让德方程通过求导次推得，也就是它的解就是勒让德方程的解的阶导数.由于0m =m m ()1l l μ=+，因此它的一个解是),()(x P xx v l m md d =0(≤≤m )l 于是得到连带勒让德方程在[]1,1−+上有界的解：l m x P x x x P l mmm ml L ,2,1,0),()1()(22=−=d d通常称为阶次（第一类）连带勒让德函数.)(x P m l m l 容易知道，有连带勒让德函数的正交性：L 2,1,0,,0)()(11=≠=∫+−n l n l x x P x P m n m ld并且[]12)!(1−l m l 2)!()()(122+⋅−+==∫+m l x x Px P mlml d .§2.1.5贝塞耳（Bessel ）方程和贝塞耳函数2.1.5.1贝塞耳方程所谓贝塞耳方程是 011222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++y x x y x x y νd d d d 2, 它是应用中常见的常微分方程，这里是参数.显然，v 0x =是方程的 正则点，为了便于求它的幂级数解，把方程化为0)()()()(222=−+′+′′x y x x y x x y x ν设方程的解 ()00,0n n n y x c x c ρ+∞+== ≠∑求导有∑+∞=−++=′01)()(n n n xc n x y ρρ,∑+∞=−+−++=′′02)1)(()(n n n x c n n x y ρρρ代入方程，得()()()22010n n n n n n n n n n c n n xn c xc xc x ρρρρρρν+∞+∞+∞+∞+++===++−++−+=∑∑∑∑0n n ρ++=消去因子x ρ得：()222000n n n n n n n c x c x ρν+∞+∞+==⎡⎤+−+⎣⎦∑∑= 合并同类项，有()()()()22222201210n n n n cc x n c c ρνρνρν+∞−=⎡⎤⎡⎤−++−++−+=⎣⎦⎣⎦∑2x 由此得到0)(022=−c νρ, ()0)1(122=−+c νρ,[]0)(222=−−+−n n c c n νρ,),4,3,2(L =n由于，得指标方程00c ≠220ρν−=它的两个根是ρν=±，设νRe ≥0，取12,ρνρν= =−(1)设122ρρν−=≠整数，将νρ=1代入上面的系数的递推关系式，有()1210c ν,+=得, 10c =并且 ()()2,2,3,4,2n n c c n n n ν−−==⋅⋅⋅+因，便得10c =020202)2(2)1()1()1(2)1()22(21c ΓΓc ΓΓc c ++−=+++−=+=νννννν04202224)12(2!2)1()1()2(22)2(4)1()1()42(41c ΓΓc ΓΓc c νννννν++⋅+−=+⋅+⋅+−=+−=02m 222)1(!2)1()1()22(21c m Γm Γc m m c m m m ννν++⋅+−=+−=−,),5,4,3(L =m 这里用了公式)()1(z Γz z Γ=+，其中∫+∞−−>=010Re ,)(z t t e z z t d Γ便得到nn nx n ΓΓn c x x y 20012)1()1(!1)1()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=∑+∞=ννν.同样，在122ρρν−=≠整数时，与()1y x 线性无关的解()2y x 可设为()20nn n y x xd xν+∞−==∑类似得到nn n x n ΓΓn d x x y 20022)1()1(!1)1()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−−=∑+∞=−ννν,通常取νν⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21)1(10Γc ,νν−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=21)1(10Γd 得到的称为ν±阶贝塞耳函数：ννν++∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=∑n n n x n Γn x J 202)1(1!1)1()(,ννν−∞+=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=∑n n nx n Γn x J 202)1(1!1)1()(.因νν−≠，故与线性无关.显然，在方程的正则点处，)(x J ν)(x J ν−0x =()00J ν,=而()0J ν−=∞.(2)对于==−νρρ221整数时，除了第一个解()1y x （或者）相同外，第二个解则一般应为()J x ν()()210ln nn n y x gy x x xd xν+∞−==+∑同样也可以求得，这里从略.2.1.5.2贝塞耳方程的本征值问题和本征函数对于贝塞耳方程在第一、二、三类边界条件下的本征值问题提法是求⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛==0)(0)(10222a r r R rR r R r R r m k r R r r r βαd d d d d d 有界其中k 是待定参数，是固定的非负整数，m βα,不同时为零的非负实数.令x kr =，求贝塞耳方程在0r =（即0x =）的有界解应是m 阶贝塞耳函数，即()()m R r J kr =,由满足边界条件得k 满足的超越方程r a =()()0=+′ka J ka J k m mβα, 所以这个本征值问题的本征值应是这个超越方程的根的平方.可以证明它有可列无穷多个单根，用()1,2,i k i =⋅⋅⋅表示正数根，有120i k k k <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅相应的本征函数为)()(r k J r R i m i =，),3,2,1(L =i2.1.5.3本征函数()i R r 在区间[]0,a 上带权因子r 正交的完全系 现在来证明带权因子r 的正交性,即。

对希尔伯特空间的理解希尔伯特空间是一种数学概念,描述了一组公理和定义,使得可以通过定义线性变换和模运算来描述空间中元素之间的关系。

希尔伯特空间的概念可以追溯到19世纪,当时数学家们开始研究空间的性质,特别是在微积分和线性代数中。

希尔伯特空间是这些领域的一个重要分支,因为它提供了一种有效的方法来定义和描述各种数学对象之间的关系。

在希尔伯特空间中,一个元素称为点,一个线性变换称为矩阵,模运算称为标量乘法。

这些概念在物理学、工程学、计算机科学和数学其他领域都有广泛的应用。

以下是一些关于希尔伯特空间的基本概念和定理:1. 希尔伯特空间的基:一个希尔伯特空间的基是指满足以下条件的元素:a. 它们都是希尔伯特空间的点;b. 对于任意的点x和y,它们的线性变换对应的矩阵的行列式都不为0;c. 对于任意的向量v和w,它们的标量乘法结果为0,即v·w=0。

一个希尔伯特空间的基是称为线性无关的,因为对于任意的向量x和y,它们都可以唯一地表示为基向量v和w的线性组合。

2. 希尔伯特空间的标量乘法:标量乘法是指将两个向量相加得到它们的和。

对于希尔伯特空间中的向量,标量乘法的定义如下:a. 两个向量v和w的标量乘法是指它们对应矩阵的行列式的乘积;b. 对于任意的向量x,它的标量乘法结果为v·x,即x·v=v·x。

希尔伯特空间的标量乘法是基本的数学运算之一,可以用于求解线性方程组和进行向量空间的推广。

3. 希尔伯特空间的线性变换:线性变换是指将一个希尔伯特空间映射为另一个希尔伯特空间的空间的变换。

线性变换的定义为:a. 一个线性变换是一个矩阵,它满足矩阵的行列式不为0;b. 对于任意的基向量,线性变换可以唯一地表示为一个由这些向量构成的矩阵的乘积;c. 对于任意的点x和y,线性变换可以将希尔伯特空间中的向量v映射为y-x,即v(y-x)。

希尔伯特空间的线性变换是空间变换的基础,它在物理、工程学、计算机科学和数学其他领域都有广泛的应用。

希尔伯特空间与量子力学
希尔伯特空间（Hilbert space）是数学上的一个概念，用来描述具有内积和范数的完备向量空间。

它是由德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）在20世纪初提出的。

量子力学是物理学的一个分支，用来描述微观尺度下的物理现象，如原子、分子和基本粒子的行为。

量子力学引入了一种全新的数学形式，即希尔伯特空间，用以描述量子系统的态和演化。

在量子力学中，物理系统的态被表示为希尔伯特空间中的态矢量。

态矢量是一个复数的向量，且满足空间中的归一化条件。

态矢量可以通过内积和范数来描述其性质。

量子力学中的物理量也可以用希尔伯特空间中的算符来表示，这些算符通过操作态矢量来描述测量和演化的过程。

希尔伯特空间在量子力学中起到了至关重要的作用，它提供了一种数学框架，使我们能够精确地描述量子系统的行为。

通过希尔伯特空间的形式化描述，我们能够计算量子力学中的物理量、求解薛定谔方程以及预测实验结果等。

因此，希尔伯特空间与量子力学是密切相关的，量子力学的基本原理和公式都是建立在希尔伯特空间的基础上的。

希尔伯特空间为量子力学提供了一种确切的数学语言，并使我们能够更好地理解和解释微观世界的现象。

量子力学中的Hilbert空间罗XX（XX大学物理科学学院XX级光X班）摘要解偏微分时，需要解本征值方程，常用的方法是级数法。

这时需要有一个函数空间，其轴是一组正交完备系。

由一组正交完备的基底通过线性叠加组成方程的解。

本征解既是在一个具体表象（固定坐标轴）中只有一个轴表示。

这个空间叫做希尔伯特空间。

关键词Hilbert空间、态、态矢量、表象引言在量子力学的研究中用到了Hilbert空间来描述微观系统的态空间，为研究带来了理论基础及方便。

一、对Hilbert空间的描述在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。

与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。

此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。

希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

[1]二、量子力学中对Hilbert空间的描述同一个态可以在不同的表象中用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但他们描写同一个态。

这和几何中一个矢量可以在不同的坐标系中描写类似。

矢量A可以在直角笛卡尔坐标中用三个分量（Ax,Ay,Az）来描写，也可以在球极坐标中用三个分量（Ar,Aθ,Aφ）来描写等等。

在量子力学中，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。

选取一个特定的Q表象，就相当选取一个特定的坐标系。

Q的本征函数u1(x)u2(x)u3(x)···un(x)···是这个表象的基矢。

这相当于直角坐标系中单位矢量i,j,k。

波函数（（a1(t)a2(t)···）是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向的“分量”。

希尔伯特空间柯西施瓦布不等式
希尔伯特空间（Hilbert Space）是数学中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。

在这个空间中，向量之间的内积被定义为一个满足特定性质的函数，这个函数可以度量向量之间的“夹角”以及向量的“长度”。

希尔伯特空间为许多数学和物理领域提供了强大的工具，包括量子力学、调和分析、数值分析等。

柯西施瓦布不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是希尔伯特空间中的一个基本不等式，它表述为：对于任意两个向量x和y，在希尔伯特空间中，它们的内积的绝对值不超过它们各自模的乘积，即 |<x, y>| ≤ ||x|| ||y||，其中||x||和||y||分别表示向量x和y 的模。

柯西施瓦布不等式的应用非常广泛。

在数值分析中，它常用于估计误差界限；在优化理论中，它是很多优化算法的基础；在信号处理中，它被用来描述信号之间的相关性。

此外，这个不等式也是量子力学中许多重要结论的基础，如不确定性原理。

柯西施瓦布不等式不仅在数学中占据重要地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。

它提供了一种度量向量之间关系的方式，同时也是许多数学定理和物理原理的基础。

在希尔伯特空间中，柯西施瓦布不等式是一个强有力的工具，它帮助我们理解和处理向量空间中的各种问题。

希尔伯特空间量子希尔伯特空间量子究竟是什么？这是一个让人迷惑而又令人兴奋的概念。

它不只是一种理论，而是一种提供了宇宙结构和运作模式的理论体系。

它的运作原理基于量子力学，可以帮助人们理解宇宙中的现象。

希尔伯特空间量子（Hilbert Space Quantum）理论是由德国数学家大卫希尔伯特于西元1898年提出的，他的理论指出，物理空间的基本的组成部分是量子。

这种理论表明，量子与普通物理空间中的物体有着极端微妙的联系，从而构成了宇宙最基本的构造。

量子是由大量基本粒子构成的，它们在空间中存在，并且是质量的基本组成单位。

量子可以在空间中相互撞击，形成新物质，而一旦量子被施加外力，它们就可以发信号、传输质量和能量等，这就是宇宙中生成现象的原因。

希尔伯特空间量子理论也提出了宇宙的基本力量，比如引力、弱相互作用力和强相互作用力。

它也指出，量子被用来交换质量和能量，使宇宙能够运作。

因此，希尔伯特空间量子理论成为一种宇宙学的核心理论，它为我们提供了一种模型来理解宇宙的运行原理。

另外，希尔伯特空间量子理论还揭示了量子力学和相对论之间的关系。

量子力学可以用来解释宇宙中的现象，而相对论则可以解释宇宙的形式。

希尔伯特空间量子理论扩展了这两者之间的关系，从而使人们能够更加深入的理解宇宙的结构、运行机制及其运行的规律。

希尔伯特空间量子理论至今仍然在广泛的研究之中，它是研究宇宙结构和运作机制的一个关键部分。

它几乎涵盖了所有科学研究中涉及到的量子力学以及未来可能出现的其他科学研究，比如量子电子学、量子计算机科学及量子重力等。

它也有助于人们更深入地理解宇宙，这是宇宙学家们一直在努力而梦寐以求的。

总之，希尔伯特空间量子理论是一个令人激动的理论，它可以帮助人们更清晰的理解宇宙的结构和运行机制，从而更好地发现宇宙中所存在的现象和运行规律。

希尔伯特空间量子理论不仅对现有的科学研究有重要作用，而且还有助于未来的科学进步。

因此，这一理论的研究也是值得重视的。

希尔伯特空间（HilbertSpace）是什么？
希尔伯特空间是⽼希在解决⽆穷维线性⽅程组时提出的概念, 原来的线性代数理论都是基于有限维欧⼏⾥得空间的, ⽆法适⽤, 这迫使⽼希去思考⽆穷维欧⼏⾥得空间, 也就是⽆穷序列空间的性质。

⼤家知道, 在⼀个欧⼏⾥得空间R^n上,所有的点可以写成为:X=(x1,x2, x3,....xn). 那么类似的, 在⼀个⽆穷维欧⼏⾥得空间上点就是:X=(x1, x2, x3,....xn,.....), ⼀个点的序列.
欧⽒空间上有两个重要的性质,⼀是每个点都有⼀个范数(绝对值,或者说是⼀个点到原点的距离),||X||^2=∑xn^2, 可是这⼀重要性质在⽆穷维时被破坏了: 对于⽆穷多个xn,
∑xn^2可以不存在(为⽆穷⼤). 于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成⼀个⼦空间,并赋以 X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积. 这个空间我们现在叫做 l^2, 平⽅可和数列空间,这是最早的希尔伯特空间了.。