三角函数与解三角形中的范围问题含答案

初中数学．锐角三角函数B级．第02讲.教师版 Page 1 of 13 解直角三角形

中考要求

内容 基本要求 略高要求 较高要求

解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

知识要点

模块一 解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

（1）三边之间的关系：222abc (勾股定理)

（2）锐角之间的关系：90AB

（3）边角之间的关系：sincos,cossin,tanabaABABAccb

三、解直角三角形的四种基本类型

（1）已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由sinaAc求出A，则90BA， 22bca；

（2）已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出90BA，sinacA，cosbcA；

（3）已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出90BA，tanbaB，sinacA；

（4）已知两直角边(如a和b)，求出22cab，由tanaAb，得90BA．

具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinaAc可写成sinacA，sinacA等．

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．

五、解直角三角形的技巧及注意点

解三角形的范围与最值问题

解三角形的范围与最值问题

三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。本文将从范围和最值两个方面进行探讨。

一、解三角形的范围问题

解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。

1. 正弦函数

正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

2. 余弦函数

余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

3. 正切函数

正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

4. 余切函数

余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。

二、解三角形的最值问题

解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。

1. 正弦函数和余弦函数的最值

正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。

2. 正切函数和余切函数的最值

正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。

正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例

解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

题型一 测量距离、高度问题

例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝1213，cosC＝35.

①求索道AB的长；

②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

题型二 测量角度问题

例2 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

题型三 利用三角函数模型求最值

例3 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.

(1)将十字形的面积表示为θ的函数；

(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.

已知向量(sincos,2cos)xxxm，sinco,s)sin(xxxn，()1fxmn．

（1）求()fx的解析式，并求函数()fx的单调增区间；

（2）求()fx在[0,]2上的值域．

【肢解1】在已知条件下求出，函数()fx的解析式.

【肢解2】在“肢解1”的基础上，完成问题：函数()fx的单调增区间.

【肢解3】在已知条件下，求()fx在[0,]2上的值域.

【解析】（1）22()sincos2sincos1sin2cos212sin(2)14fxxxxxxxx．（3分）

令222242kxk，kZ，得88kxk，kZ．

故函数()fx的单调增区间为[,]88kk，kZ．（6分）

（2）因为02x，所以2444x，从而2sin(2)124x，（8分） 专题01 三角函数与解三角形

大题肢解一

三角函数的图象及其性质 所以02sin(2)1214x，所以()fx在[0,]2上的值域为[0,21]．（12分）

此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si(n)yAxB的形式，再结合正弦函数sinyx的性质研究其相关性质．

（1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如sin()yAx或cos()yAx（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）函数图象的平移变换解题策略：

①对函数sinyx，sin()yAx或cos()yAx的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为x.