线性代数考研辅导ppt

• 定义8 设有两个n
• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
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• 定理6 设有两个n维向量组
•证
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• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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线性代数 课件
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线性代数
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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n 元齐次线性方程组 Ax 0 解的结构：
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；

1
1
1
1
0
i列
0
1 1 1
j列
1
ci c j
1
1 0 1
1
1
1
0
1
1
E(i, j)
初等矩阵的概念
③ kri
1
1
1
1
i行
1
k
1
1
kri
1
1
1
0
1
1
1
1
E (i(k ))
初等矩阵的概念
④ kci
1
1
1
1
1
k
1
1
kci
1
1
1
0
1
E, E(i,
j),
l 是偶数, l 是奇数.
E(i(k))l E(i(kl )), E(i, j(k))l E(i, j(kl));
② E(i, j) 1, E(i(k)) k, E(i, j(k)) 1;
③ E(i, j)1 E(i, j), E(i(k))1 E(i(k 1)), E(i, j(k))1 E(i, j(k));
ri rj kri ,(k 0)
ri krj
初等列变换
ci c j kci ,(k 0)
ci kc j
02 初等矩阵的概念
初等矩阵的概念 ① ri rj
1
i
行
j
行
1 1 1
0
0
1 1 1
1
ri rj
1
1 0 1
1
1
1
0
1
1
E(i, j)
初等矩阵的概念 ② ci c j
初等矩阵的性质

求逆矩阵的初等变换法
定理1表明，如果 A ~rB， 即 A 经一系列
初等行变换变为 B，则有可逆矩阵 P，使 PA = B .
那么，如何去求出这个可逆矩阵 P 呢?
由于 PA = B
PA = B PE = P
P(A, E) = (B, P)
( A, E ) ~r ( B, P )，
因此，如果对矩阵 (A, E) 作初等行变换，那么，当
(1)
1 2 3 2
2 x1 2 x1
x2 3x2
x3 x3
x4 2, x4 2,
2 3
(B1 )
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1 2 x2 2 x3 2 x4 0, 2
5 x2 5 x3 3 x4 6, 3
定理1的证明:
(i) 由 A ~r B 的定义和初等行变换的性质，有
A ~r B
A 经有限次初等行变换变成 B
存在有限个 m 阶初等矩阵 P1, P2 , ···, Pl，使P1P2 ···Pl A = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B .
类似可证明(ii)和(iii).
推论1 : 方阵 A 可逆的充要条件 A ~r E.
x3 x3
4 3
（行最简形矩阵）
（解线性方程组 只需把增广矩阵化 为行最简形矩阵）
x4 3
取x3为自由未知数,并令x3 c,即得
x1 c 4 1 4
x
x2 x3 x4
c3 c 3
c
1 1 0
3 0 3
,
其中c为任意常数.
行阶梯形矩阵的特点：