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洛伦兹曲线的半参数估计

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的居 民所 占的比例［ １ ］ 。在统计上估计收入分布函数 的方法主要有两种： 参 数方法和非参数方法。参数
方 法假 定收 入分 布 函数 类 型 已知 ， 利 用 样 本数 据 对 分 布 中的 未 知参 数 给 出估 计 从 而 拟合 分 布 函数 曲
线 。１ ９ 世 纪末 ， 意大 利经 济学 家 帕累 托提 出了 拟合
ｌ ９
统计与信息论坛
用Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ分 布估计 Ｌ ６ ］ ， 并将该 方法 应用 于英 国 １ ９ ８ １ 年的 ７ ４ ７ ０个 家庭 的可 支配收入数 据 中 。 通过 比较 发现 ， 参 数方 法 和非 参数 方 法 估计 收 入分 布 函数各有 优 缺 点 ： 参 数 方法 估 计 的 模 型形 式 单一 ， 统 计上较 为容 易处理 ， 但 社会 收入 分配是 一个 复 杂 的过 程 ， 一般 而言 不 可能 完 全用 一 条 较 为理 想
为 １ ， ２ ， …， Ｙ （ ≤ ２ ≤…≤ ） ， 从 中选 择收 入 的
两 个 门限值 Ｘ ｌ 和ｚ ｚ （ ＜ｚ ｚ ） ， 对 。 和 中问部 分
的曲线来描述 ， 因此拟合效果往往不够理想； 非参数
方 法 由于本 质上是 利 用频 率 来估 计 概率 ， 因而理 论 上 比较理 想 ， 但 是该方 法在统计 上 处理较 为复 杂 ， 特 别 是 当数 据受 到污 染时 （ 如记 录 错误 或 受 访 者不 愿
（ 北京大学 数学科学学院， 北京 １ ０ ０ ８ ７ １ ） 摘要 ： 洛伦兹曲线与基尼系数是研究社会收 入分配差异的重要工具 社会收入分配是—个复杂的过程， 用尽可
能精确的曲线给出洛伦兹曲线的估计进而给出基尼系数的估计 ， 历来是统计学者和经济学者 的工作 目标。基于将 参数方法与非参数方法相结合的思想给出洛伦兹曲线的半参数估计 ， 进而导出基尼系数的估计 ， 并据此进行了实证
布函数有 Ｂ ｅ ｔ ａ分 布 、 Ｄ ａ ｇ ｕ ｍ 分 布、 Ｇａ ｍｍａ分 布 、 Ｌ ｏ ｇ ｎ ｏ ｒ ｍａ １ 分 布、 Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ分 布 、 Ｓ ｉ ｎ ｇ ｈ － Ｍａ ｄ ｄ ａ ｌ ａ分 布、 Ｗｅ ｉ ｂ ｕ ｌ １ 分 布等 。 对得 到的 个 收入 数 据 由低 到 高排 列 ， 依 次 记
分析 。
关键词 ： ￣ Ｌ ＆ｆ ｆ布函数； 洛伦兹 曲线 ； 基尼系数 ￣ Ｉ ３ ｅ ｔ ａ 分布； Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ 分布； 半参数估计
中 图分类 号 ： Ｆ ２ ＇ ２ ４ ． ０ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ｏ ｏ ７ —３ １ １ ６ （ ２ Ｏ １ ３ ） Ｏ ５ 一ｏ Ｏ ｌ ９ 一Ｏ ６
第２ ８ 卷第 ５ 期
２ ８ Ａ６ ５
统 计 与 信 息 论 坛
Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ＆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｏ ｒ ｕ ｍ
２ ０ １ ３ 年５ 月
Ｍａ ｙ ， ２ ０ １ ３
【 统计理论与方法】
洛伦 兹曲线的半参数估计
俞翰 君
（ 国家、 地区） 内以“ 最贫穷的人 口计算起一直到最富有 人 口” 的人 口百 分 比对应其 收入百 分 比的点组成 的曲
线， 如图 １中的曲线 ０ Ｌ ｌ 。通 过洛伦 兹 曲线 ， 可 以直观
地看 到一个 国家或 地 区收入 分 配平 等或 不平 等 ｒ ｅ ｔ ｏ分布 。该分 布得 到 了广 泛 应用 。此 外 ， 对数 正态分 布、 Ｇａ ｍｍａ分 布 、 Ｂ ｅ ｔ ａ 分布 和 Ｗｅ ｉ ｂ ｕ ｌ １ 分 布 等 也 曾用 来 刻 画 收 入 分 布 函 数， 这些 收 人 分 布 函数各 有 千 秋 ： Ｊ ａ ｍｅ ｓ Ｂ ．Ｍｃ Ｄ ｏ — ｎ ａ ｌ ｄ等人 在研 究 中发 现 Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ分 布估 计 高 收 入 阶
Ｍ Ｔ
层较精确 ； Ｂ ｅ ｔ ａ 分布 、 对数正态分布和 Ｇ ａ ｍ ｍ ａ 分布 对 中 等 收入 阶层 估 计 较 为精 确 ［ ２ － 。 ； 另一 种 方 法是
非参 数方 法 ， 非 参数方 法 主要 是利 用经 验分 布 函数 、 核密 度 函数 以及 样条 等方法 直接对 收人 分 布函数进
一
、
引 言
为 了获 得 基尼 系 数需 要 用 到洛 伦兹 曲线 ， 而 为 了获得洛 伦兹 曲线需 知道 收入分 布 函数 。收入分 布 函数是某 地 区的全 体 居 民 中 ， 个 人 收 入 不超 过 某 值
奥地利统计 学 家洛伦兹 １ ９ ０ ７年在 研究 社会 财富 分配 状况时提 出了著名 的洛伦兹 曲线 ， 即在一个 总体
的可能性 较大 ， 对 收人 选 取 一 个 适 当 的 门 限值 ，
图 １ 洛伦兹 曲线 图
Ｘ ０ 以下的收入用经验分布函数估计 ， 函 以上的收入
收稿日期： ２ Ｏ １ ２ ～１ １ —１ ６
作者简介： 俞翰君 ， 女， 山东济南人 ， 博士生， 研究方向： 生物医学统计 ， 可靠性分析。
行估计。胡祖光等利用核密度函数给出了中国城乡 居 民收入 分布 的 动态 演 进［ ４ ］ ９ 卜儿 ； 黄 恒 君等 给 出 了
基 于 Ｂ样条 的收入 分布 函数形 式［ 。
２ ０ ０ ７ 年Ｃ ｏ ｗ ｅ ｌ ｌ 等给出了洛伦兹 曲线的半参数
人 口 比例
估计 ， 其主要思想是考虑到收入分布 的上尾受污染
意大利经济学 家基尼 １ ９ １ ２年根据 洛伦兹 曲线提 出了定量测 定 收入分 配差 异程 度 的指 标—— 基 尼 系
数 。基尼系数是比例数值 ， 取值在 ０ 和１ 之间， 即图 １
中 Ａ的面积与 Ａ＋Ｂ面积之 比， 是 国际上用来综 合考 察居 民收入 分配差异状 况的一个重要分析 指标 。

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金融计量经济第九讲无参数与半参数模型

金融计量经济第九讲无参数与半参数模型


一、无参数回归模型
• 设随机变量Y是被解释变量，p维向量X是解释 变量，它既可以是确定性的也可以是随机性的。 在无参数模型中，Y相对于X的回归函数可写成：
m( x ) = E (Y | X = x ) (6.1)
• （6.1）可以看成是条件回归函数，也就是X=x 时，用m(x)来表示Y的均值。如果x取不同的样 m 本（n组）， (x) 实际上就是一个n维向量。 n {( X i , Yi )}下， • 无参数回归模型就是要在给定样本 i =1 m(x) 得到条件回归函数 （向量）的一个估计向 ˆ m( x ) 量 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无参数回归模型的一般形式
• 一般的无参数模型可写成
Yi = m( X i ) + ε i
i = 1, L , n (6.2)
{ε i }in=1是相互独立、均值为0、方差为 • 其中
的序列 （白噪声）。 • 无参数回归模型的估计方法有三大类，一 是权函数方法，二是最小二乘估计，三是 稳健估计 ，权函数方法是最常用的一种。
n ~ g ( Z) = ∑ Wni (Z)Yi = ∑ Wni (Z)( y i − X i β * ) * i =1 i =1 n
由前面方法我们已知，W的求法与X、Y无关。
g * ( Z ) ，代入最初的模型，有： • 根据得到的
yi = X i β + g * ( Z i ) + u * i
金融计量经济第六讲
无参数与半参数模型
传统的参数函数模型与无参数模型的区别
• 传统的参数函数模型首先根据经济理论和样本数 据设定模型具体的函数关系 (如线性\对数线性等)， 再利用样本数据估计关系参数并检验所设定的关 系 ，这是我们前面几块内容。实际上，参数函数 模型最关键的技术是如何求参数估计值（方法、 效果检验）； • 无参数模型对变量之间具体的函数关系 没有要求， 解释变量和被解释变量的分布也很少限制，回归 的终极目的也不是为了求一个“好的”参数估计 值，而是直接求被解释变量的样本函数值。 • 简单地说，无参数估计实际上是一种特殊的加权 平均。
半参数模型中有偏估计的进一步研究

半参数模型中有偏估计的进一步研究

乘估计是在1806年和1809年分别被Gauss和Lengedre[1,2]提出来的，自从被提出来以后，在统计学领域就成为了研究的焦点，特别是在1900年，Markov-Gauss定理[1,2]被Markov证明了以后，就得出了最小二乘估计具有很好的统计性质，最小二乘估计就一直都被认为是最好的估计方法，而被得到广泛的应用。

再到1971年，Rao[1,2]对最小二乘估计进行深入的研究得出了统一的最小二乘估计理论，就进一步牢固了最小二乘理论地位。

然而，随着研究的深入，新的评价准则的引入，特别变量个数的增加，在1955年，Stein[1]发现了在变量个数大于2时，最小二乘估计拟合效果不够理想，存在许多比最小二乘估计好的估计，这就是非常著名的Stein现象。

后来研究者发现造成这个现象的原因，是因为随着参数变量个数的增加，参数之间就很可能会存在多重共线性的情况（又叫复共线性），这个时候，变量之间存在近似的线性关系，就是设计矩阵的最大特征值和最小特征值之间的比值非常大或者设计矩阵的某个特征值趋近于0。

对于如何去克服改进这个现象造成的不良影响，就成为了统计学一个热门的话题，许多学者对其做了研究[14]，提出了许多估计方法，其中最重要的估计方法就是对最小二乘估计进行改进提出新的估计方法，但是这些估计方法都有一个共同的特点，它们都是让估计方法以偏离真实值为代价，来得到的新的估计。

因此这些估计就叫做有偏估计。

其中比较重要的有：Stein[15]提出的Stein估计（SLSE），Massy[16]提出了主成分估计（PCE），Hoerl和kenard[17,18]提出了岭估计（RE），杨虎[10]提出了泛岭估计（即是统一有偏估计），Liu[19]对岭估计进行改进提出了Liu估计（LR）。

在这些估计基础上，又有很多的学者对他们进行了改进提出了新的估计方法，例如：王松桂[1]提出了广义主成分估计，黎雅莲，杨虎[6]考虑在线性模型受到约束条件下提出了统一有偏估计并研究了它们的性质，Liu[20]对Liu估计进行进一步改进得得到了Liu型估计。

参数估计方法与实例例题和知识点总结

参数估计方法与实例例题和知识点总结

参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。

这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。

接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。

一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。

总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。

而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。

二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。

常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。

矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。

例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。

极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。

（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。

常用的区间估计有置信区间。

置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。

例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。

三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。

抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。

（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。

（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。

标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。

则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。

参数估计的类型和优缺点

参数估计的类型和优缺点

参数估计的类型和优缺点
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。

根据所使用的数据类型和模型假设，参数估计可以分为不同的类型，每种类型都有其优缺点。

以下是一些常见的参数估计类型及其优缺点：
1.点估计：点估计是最简单的参数估计形式，它使用单一的观测值或样本统计量来估计未
知参数的值。

优点是简单直观，计算方便；缺点是精度较低，且无法给出估计的不确定性或误差范围。

2.区间估计：区间估计使用样本统计量和某些统计方法来估计未知参数的可能取值范围。

优点是能够给出估计的不确定性或误差范围，从而更好地了解参数的精度；缺点是计算较为复杂，需要更多的数据和计算资源。

3.贝叶斯估计：贝叶斯估计基于贝叶斯定理，使用先验信息、样本信息和似然函数来估计
未知参数的后验分布。

优点是能够结合先验信息和样本信息，更好地了解参数的不确定性；缺点是需要主观设定先验分布，可能会受到主观因素的影响。

4.极大似然估计：极大似然估计通过最大化似然函数来估计未知参数的值。

优点是方法简
单、计算方便，且在某些情况下具有一致性和渐近正态性等优良性质；缺点是对某些复杂的模型或数据分布可能不适用。

5.最小二乘估计：最小二乘估计通过最小化误差的平方和来估计未知参数的值。

优点是计
算简便，适用于多种线性回归模型；缺点是对模型的假设要求较高，且容易受到异常值的影响。