数学专项复习小升初典型奥数之蝴蝶模型在小升初的奥数学习中，蝴蝶模型是一个非常重要的知识点。
它不仅能够锻炼我们的逻辑思维能力，还能帮助我们在解决几何问题时更加得心应手。
接下来，就让我们一起深入了解一下蝴蝶模型吧。
首先，我们来看看什么是蝴蝶模型。
蝴蝶模型是一种在四边形中出现的几何模型，其形状就像一只蝴蝶。
一般来说，在一个梯形中，如果连接两条对角线，就会形成蝴蝶模型。
蝴蝶模型有几个非常重要的结论。
第一个结论是：在梯形中，两条对角线相交，上底与下底的比等于上下两个三角形面积的比。
比如说，如果梯形的上底为 a，下底为 b，那么上面三角形的面积与下面三角形的面积之比就是 a ： b。
第二个重要结论是：在梯形中，两条对角线相交，左右两个三角形的面积相等。
这是因为这两个三角形的底分别是梯形的上下底，高相同，所以面积相等。
第三个结论是：在一个任意四边形中，连接两条对角线，相对的两个三角形面积之积相等。
为了更好地理解蝴蝶模型，我们来看几个具体的例子。
例 1：有一个梯形，上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，高是 8 厘米。
求对角线把梯形分成的四个三角形的面积。
我们先根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高 ÷ 2，求出梯形的总面积为（6 ＋ 10）× 8 ÷ 2 ＝ 64 平方厘米。
因为上底与下底的比是 6 ： 10 ＝ 3 ： 5，所以上面三角形的面积占总面积的 3 ／（3 ＋ 5) ＝ 3 ／ 8，下面三角形的面积占总面积的 5 ／（3 ＋ 5) ＝ 5 ／ 8。
上面三角形的面积为 64 × 3 ／ 8 ＝ 24 平方厘米，下面三角形的面积为 64 × 5 ／ 8 ＝ 40 平方厘米。
又因为左右两个三角形面积相等，所以它们的面积均为（64 24 40）÷ 2 ＝ 0 平方厘米。
例 2：在一个任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，三角形 AOB 的面积是 12 平方厘米，三角形 COD 的面积是 27 平方厘米。
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
一、知识站点：
1．一半模型的基础知识；
2．蝴蝶模型的基础知识；
3．模型结合等积变形的综合运用。
知识加油站
1. 一半模型的基础知识：
⑴长方形中的一半模型；
⑵平行四边形中的一半模型。
如图，长方形ABCD的面积是50平方厘米，E、F为BD边上的任意两点，那么图中的阴影部分的面积是多少平方厘米？
如图，平行四边形ABCD的面积是30平方厘米，E为BC边上靠近B的三等分点，F点为AD边上的任意一点，那么图中的阴影部分的面积是多少平方厘米？
2．蝴蝶模型的基础知识：
⑴蝴蝶模型中的三角形面积相等；
⑵蝴蝶模型中的面积比。
如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD平行于BC，EF＝13厘米，MN＝4厘米，又已知EF垂直MN余O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米？
几何入门之一半模型与蝴蝶模型
(★)
(★)
(★★)(16届华杯赛)
(★★)
如图，在梯形ABCD中，三角形ABO的面积是6平方厘米，且BC的长是AD的2倍，请问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
3．模型结合等积变形的综合运用：
⑴注意模型的提取；
⑵注意用辅助线构造模型。
(★★)
如图已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？
(★★★)
如图，两个边长分别为8厘米，和6厘米的正方形并放在一起，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【本讲小结】
1．一半模型的基础知识；
2．蝴蝶模型的基础知识；
3．模型结合等积变形的综合运用。
学习感悟：。
