几何五大模型 蝴蝶模型

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝）等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。

模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：等积变化原理之四边形应用S 4S 3s 2s 1O DC BA141423213S S =S S S S DO OB S S +==+模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b2（2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ；（4）141423213S S =S S S S DO OB S S +==+ :模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2︰A 2hh H cb a CB Aac b HC B模型五：燕尾定理F ED CBAS △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4，S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型（等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理）（一）等积变换模型性质与应用简介平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

1.等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；(3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形，S△ACD=S△BCD反之，S△ACD=S△BCD，则可知直线AB∥直线CD等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。

【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。

【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。

事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁'，请同学们体会一下。

（二）鸟头定理（共角定理）模型平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

_________________ 共性化指点课本【2 】1.如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,个中三个三角形的面积已知.求：⑴三角形BGC 的面积;⑵AG:GC=？AB C DG 321例2 如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示).假如三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的,且AO=2,DO=3,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍.ABC D O【触类旁通】 1.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △.OEF △.ODF △.BOE △的面积依次是2.4.4和6.求：⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积.OGF E D C B A2.图中的四边形地盘的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,个中2个小三角形的面积分离是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是若干公顷？76E DC B A板块二 梯形模子的运用【常识梳理】梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDOb a S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =;③S 的对应份数为()2a b +． 梯形蝴蝶定理给我们供给懂得决梯形面积与上.下底之间关系互相转换的渠道,经由过程结构模子,直策运用结论,往往在标题中有事半功倍的后果．(具体的推理进程我们可以用将在第九讲所要讲的类似模子进行解释) 例3 如图,22S =,34S =,求梯形的面积. S 4S 3S 2S 1【触类旁通】 1.如下图,梯形ABCD 的AB 平行于CD,对角线AC,BD 交于O,已知AOB △与BOC △的面积分离为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OAB C D例4 如图,梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的,求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B C D【触类旁通】1.鄙人图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 订交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD 面积是若干平方厘米？。

第2讲 蝴蝶模型我们的目标掌握任意四边形蝴蝶模型与梯形蝴蝶模型的基本知识点学会构造蝴蝶模型解决问题任意四边形模型任意四边形中的比例关系——蝴蝶模型S 4S 3S 2S 1O DC B A① 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯② ()()1243::AO OC S S S S =++速记：上×下=左×右【例1】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．AB C D O【例2】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF E D C BA【例3】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．ABC DE FG【例4】如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．A B C DE FG梯形蝴蝶定理AB CDOb a S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +【例5】如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB△与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OAB C D【例6】梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B C D【例7】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．H GF ED CB A【例8】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．1682ABC D E【例9】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．?852OA BC D EF【例10】如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？作业题1、 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．A B CDEFG2、 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？A BC DO3、 (人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．3214、 (98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？E ODC B A5、 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？KG F E DC BA答 案【例1】因为::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，所以236OC =⨯=，所以:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． 因为13ABD BCD S S ∆∆=，所以13AH CG =， 所以13AOD DOC S S ∆∆=， 13AO CO =， 236OC =⨯=， :6:32:1OC OD ==． H G ABC D O【例2】⑴BCD △的面积为244616+++=，BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=； ⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例3】AB C DE F G连接EF ． 因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCD S SS ∆=⨯⨯=． 因为12AED ABCDS S ∆=，由蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==， 所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=． 所以1322 21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S SS S ∆∆∆=-=-==，【例4】 OA B C DE FG设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理::BED BCD EO OC SS =， 而14BED ABCD S S =，12BCD ABCD SS =， 所以::1:2BED BCD EO OC S S ==，故13EO EC =． F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理::1:2BFD BED SS FO EO ==， 所以1128BFD BED ABCD SS S ==， 1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=梯形蝴蝶定理A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③ S 的对应份数为()2a b +【例5】 由梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCS Sa ab ==，可得:5:7a b =， 再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOBDOCS Sa b ===，所以49DOCS=梯形ABCD 的面积为25353549144+++=【例6】 由蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCS Sab b ==得:2:3a b =，2222::2:34:9AODBOCSSa b ===【例7】HG FEDCB A如图，连结EF ，显然ADEF 和BCEF 都是梯形， 于是EFG 的面积等于三角形ADG 的面积 三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积 所以四边形EGFH 的面积是112334+=．【例8】O 1682ABCDE连接AE ．由于AD 与BC 平行， 所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=． 据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯= 故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S ∆==⨯+= 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=【例9】?852O A BCD EF连接DE 、CF ． EDCF 为梯形，所以EOD FOCS S ∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅ 2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=，4812ECD S ∆=+=ABCD 面积为12224⨯=四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例10】22412241连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半 根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为18份 阴影部分占了其中8份，所以阴影部分的面积886183⨯=．作业题答案1.ABCD EF G连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGDGDFS S==平方厘米，所以12AFDS=平方厘米．因为16AFDABCD SS =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．2.A BCDO根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b ==，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ∆∆===， 所以()24cm AOD S ∆=．3.321做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645⨯=+，3的面积就是5362045⨯=+．4.EO DC BA因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54，又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积为5491696÷⨯=，根据四边形的对角线性质知道：BEO △的面积为：54549630.375⨯÷=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.625+-=(平方厘米).5.M KGF EDCBA由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48． 那么BDK ∆的面积为148124⨯=．。