几何五大模型 蝴蝶模型教学内容
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板块一 任意四边形模型
【例题精讲】 例 1 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平 方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
A
D
F
B
E
C
【课堂总结】 我的收获
我的疑惑
【课后作业】 1、 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为_________。
A
D B
C
2、如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积。
E
D A
B C
3、梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2 ，问三角形 AOD 的面积是多少？
A
D
O
B
C
4、如图，梯形 ABCD 中， AOB 、 COD 的面积分别为 1.2 和 2.7，求梯形 ABCD 的面积．
A
B
O
D
C
5、如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是11，三角形 BCH
的面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积．
A
F
G
B H
D
E
C
6、长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为 36，则三角 形 1 的面积为________．
例 3 如图， S2 2 ， S3 4 ，求梯形的面积。
S1
S2
S4
S3
【举一反三】
1、如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知 △AOB 与 △BOC 的面积分
别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是________平方厘米．
年 级：
个性化辅导讲义 _________________
时间
年月日
课题
蝴蝶模型
教学目标 1.熟记蝴蝶模型，
2.学会使用蝴蝶模型解决问题。
3.学着对平面图形进行对比，培养发现特征的能力。
【温故知新】 默写公式：
教学内容
【知识梳理】
模型三 蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
D
A S1
S2 O
专 项 施 工 方 案
编制人： 审核人：
中国建筑第二工程局有限公司 2014 年 9 月A NhomakorabeaB
25
O
35
D
C
例 4 如图，梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等 于三角形 BOC 面积的 ，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比．
A
D
O
B
C
【举一反三】 1、在下图的正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是多少平方厘米？
1
2
3
7、如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
M
D
8、如图面积为12 平方厘米的正方形 ABCD 中， E, F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
A
B
O
D
C
EF
9、如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？
瞰海轩室外配套工程化粪池 深基坑开挖施工
A
D
O
B
C
【举一反三】 1、如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是
2、4、4 和 6。求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积。
A
D
O F
G
B
EC
2、图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三 角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
S4
S3
B
C
① S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4
② AO : OC S1 S2 : S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的 对角线的比例关系。
C
B O
A
D
【举一反三】 1、如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知。 求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵AG:GC=？
A
D
1
23 G
B C
例 2 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O(如图所示)。如果三角形 ABD 的面积等于三 角形 BCD 的面积的 ，且 AO=2，DO=3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍。
D
6C E7
A
B
板块二 梯形模型的应用 【知识梳理】 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
① S1 : S3 a2 : b2
② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab ；
③ S 的对应份数为 a b2 ．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模 型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所 要讲的相似模型进行说明)
【例题精讲】 例 1 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平 方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
A
D
F
B
E
C
【课堂总结】 我的收获
我的疑惑
【课后作业】 1、 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为_________。
A
D B
C
2、如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积。
E
D A
B C
3、梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2 ，问三角形 AOD 的面积是多少？
A
D
O
B
C
4、如图，梯形 ABCD 中， AOB 、 COD 的面积分别为 1.2 和 2.7，求梯形 ABCD 的面积．
A
B
O
D
C
5、如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是11，三角形 BCH
的面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积．
A
F
G
B H
D
E
C
6、长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为 36，则三角 形 1 的面积为________．
例 3 如图， S2 2 ， S3 4 ，求梯形的面积。
S1
S2
S4
S3
【举一反三】
1、如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知 △AOB 与 △BOC 的面积分
别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是________平方厘米．
年 级：
个性化辅导讲义 _________________
时间
年月日
课题
蝴蝶模型
教学目标 1.熟记蝴蝶模型，
2.学会使用蝴蝶模型解决问题。
3.学着对平面图形进行对比，培养发现特征的能力。
【温故知新】 默写公式：
教学内容
【知识梳理】
模型三 蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
D
A S1
S2 O
专 项 施 工 方 案
编制人： 审核人：
中国建筑第二工程局有限公司 2014 年 9 月A NhomakorabeaB
25
O
35
D
C
例 4 如图，梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等 于三角形 BOC 面积的 ，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比．
A
D
O
B
C
【举一反三】 1、在下图的正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是多少平方厘米？
1
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7、如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
M
D
8、如图面积为12 平方厘米的正方形 ABCD 中， E, F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
A
B
O
D
C
EF
9、如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？
瞰海轩室外配套工程化粪池 深基坑开挖施工
A
D
O
B
C
【举一反三】 1、如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是
2、4、4 和 6。求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积。
A
D
O F
G
B
EC
2、图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三 角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
S4
S3
B
C
① S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4
② AO : OC S1 S2 : S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的 对角线的比例关系。
C
B O
A
D
【举一反三】 1、如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知。 求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵AG:GC=？
A
D
1
23 G
B C
例 2 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O(如图所示)。如果三角形 ABD 的面积等于三 角形 BCD 的面积的 ，且 AO=2，DO=3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍。
D
6C E7
A
B
板块二 梯形模型的应用 【知识梳理】 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
① S1 : S3 a2 : b2
② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab ；
③ S 的对应份数为 a b2 ．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模 型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所 要讲的相似模型进行说明)
