高中数学选修2-2合情推理 类比推理教案

§2.1.1 合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

二、教学重点：归纳推理及方法的总结。

三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

四、教学过程：（一）问题情境：1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

③思考：整个过程对你有什么启发？④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2、数学皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

这是世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是一位著名的数学家。

据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。

思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。

（二）推进新课1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

2、归纳推理的特点：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
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例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 实数的加法
实数的乘法
运算结果 若a,b∈R,则a+b∈R
若a,b∈R,则ab∈R
运算律 (交换律和 结合律)
逆运算
Hale Waihona Puke a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
(2)从已知的相似性质中推出一种明确体现的 普通性命题(猜想).
3
从一种传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩晦 气事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
它也能够是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
学数学、用数学，完善数学的对的数学意识。
二、教学重点：理解类比推理的含义，能运用类比进行简朴
的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学办法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
2
复习
1.什么是归纳推理?
部分
整体
特殊
一般
2.归纳推理的普通环节:
(1)通过观察个别状况发现某些相似性质;
C
结
论 pa pb pc 1
ha hb hc
空间中
A
P
B
D
C
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
18
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性．教学过程我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年〞“邋遢冬至干净年〞，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验．这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比方说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的问题．当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字．一．问题情境数学教育家G．波利亚在其名著?数学与猜测?中对哥德巴赫猜测的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质．这一段表达说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段．接着，波利亚说：假设你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟．同样，假设你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…．这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究．波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西．比方说你可能会碰到这样几个关系：3＋7＝103＋17＝20213＋17＝30并注意到它们之间的类似之处．它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20210都是偶数…．这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的根底．波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6＝3＋3．看看超过6的数，我们发现8＝3＋510＝3＋7＝5＋512＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋11．这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证．只有在较多的归纳检验证实的根底上得到的结论才能使我们更有信心．最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和．至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论〔猜测〕．当然，波利亚还进一步说明了证明的必要性．从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑．2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真〞；归纳推理是一种创造性的推理．3、归纳推理的思维规程大致为：【活动一】1．观察以下等式，从中可以得出怎样的一般规律？猜测：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和．2．在数列中，，通过计算，试猜测这个数列的通项公式．猜测3．前个正整数的和为，前个正整数的平方和从表中发现，于是猜测．归纳推理要具备下述几个要素：1．多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜测．归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已局部取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送．但我们还有另外一种常用的推理方法．在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等．〔G波利亚的类比〕类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加〔＋〕乘〔×〕加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有以下类似的性质：试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆 球 弦截面圆 直径 大圆 周长 外表积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1．选两个相关知识进行类比2．圆的方程是，那么过圆上一点的切线方程为．猜测新命题：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性．〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．【活动三】1．设,为实数，满足，，求的最大值．解：设，那么，即，，将，两式相加得．根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设,为实数，满足，，求的最大值．〔2021年江苏高考第13题〕设，由此可以求出，，而2021江苏高考数学卷中的题目就表达出多种形式的类比思想。

教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用． 2．掌握归纳推理的一般步骤． 3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理． 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学过程：一、创设情境从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：案例1 前提 当0n ＝时， 21111n n －＋＝； 当1n ＝时，21111n n －＋＝； 当2n ＝时，21113n n －＋＝； 当3n ＝时，21117n n －＋＝； 当4n ＝时，21123n n －＋＝； 当5n ＝时，21131n n －＋＝．11，11，13，17，23， 31都是质数．结论 对于所有的自然数n ，211n n －＋的值都是质数．案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．结论 铜能导电．三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、构建新知在案例1中，由“对自然数n的几个特殊值，211n n－＋都是质数”，推出“对所有自然数n，211n n－＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．归纳推理的思维过程：三、数学运用例1已知数列{a n}的每一项均为正数，221111(12)n na a a n＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列{a n}的一个通项公式．分析学生通过具体的：当1n＝时，11a＝，当2n＝时，22112a a＝＋＝，当3n＝时，22213a a＝＋＝由此我们猜想{a n}的一个通项公式为na n＝．实验，观察概括，推广猜测一般性结论例2 已知数列{a n }的通项公式21()(1)n a n n +N ＝∈＋， 12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值． 分析 学生讨论结果预测如下：113(1)1144f a ＝－＝－＝1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936f a a f ⋅⋅＝－－＝－＝＝＝12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f ⋅⋅＝－－－＝－＝＝由此猜想，2()2(1)n f n n ＋＝＋四、学生探究1．已知111()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f ＝，(4)2f ＞，5(8)2f ＞，(16)3f ＞，7(32)2f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________．2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝，2223sin 5sin 65sin 1252＋＋＝．观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101＋＋＝． （2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51＋＋＝． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论． 五、课堂总结 1．归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上． 提出带有规律性的结论．（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2．归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。