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归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。
由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。
”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。
这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表： 多面体面数（F ）棱数（E ）顶点数（V ）三棱锥 4 6 4 四棱锥 5 8 5 五棱锥 6 10 6 三棱柱 5 9 6 五棱柱 7 15 10 立方体 6 12 8 八面体 8 12 6 十二面体 123020从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
数学选修2-2教案【篇一：北师大版数学选修2-2全套教案】第一章推理与证明课题：合情推理（一）——归纳推理课时安排：一课时课型：新授课教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?由此我们猜想：凸边形的内角和是(n?2)?180?3、22?122?222?1?,?,?,33?133?233?3，由此我们猜想：aa?m?（a,b,m均为正实数） bb?m这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。
三、例题讲解：例1已知数列?an?的通项公式an?1(n?n?)，f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，试通过计算2(n?1)f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值。
【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）f(1)?1?a1?1?13? 4413824f(2)?(1?a1)(1?a2)?f(1)?(1?)????)9493612155f(3)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)?f(2)?(1?)???1631681由此猜想，f(n)?n?2 2(n?1)学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。
1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。
那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。
（学生观看flash动画）。
师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。
师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。
师：非常好！（引出推理的概念）。
师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。
那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。
（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。
大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。
师：对。
我们看来这些式子都是简单的加法运算。
但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。
大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。
师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。
师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。
师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。
师：这个结论我们在小学就知道了。
大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。
）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。
生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。
师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。
（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。
高中数学第一章推理与证明1.1 归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2-２编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第一章推理与证明1.1 归纳与类比演绎推理教案北师大版选修２-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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演绎推理一、教学目标1、知识与技能:（1)了解演绎推理 的含义;(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；（3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2、方法与过程:认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式，包括三步(１）大前提，（2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。
３、情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生认识到演绎推理在数学中的重要性，我们既需要用合情推理来发现结论，也要用演绎推理来证明结论的对否.二、教学重点：了解演绎推理的含义,能利用“三段论"进行简单的推理。
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程（一）、复习准备:1. 练习: ① 对于任意正整数n ，猜想(２n —1)与(ｎ+１)2的大小关系?②在平面内，若,a c b c ⊥⊥,则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论:在空间中,若,a c b c ⊥⊥,则//a b ;或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则)２. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢?3. 导入:（二）、新课探析1.概念:① 概念:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。
数学归纳法(第一课时)【教学目标】知识与技能：（1）初步理解数学归纳法的原理；（2）掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤；（3）会用数学证明一些与正整数相关的简单恒等式。
过程与方法亲历知识的构建过程----发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；体会类比的数学思想；感受无限的问题用有限的步骤来解决的思想方法。
情感目标体会数学源于实际，高于实际的科学价值与文化价值；培养学生大胆猜想，小心求证的思维素质和科学精神；通过发现问题、提出问题、解决问题、合作交流等环节培养数学交流能力和合作精神。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用。
【教学难点】（1）理解数学归纳法整体的严密性和有效性。
（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
【教学过程设计】教学环节教学内容设计意图提出问题，激发兴趣情境1如何证明盒中的球都是黄色的？（逐一验证）情境 2 数列{an},已知)(21,111++∈-==Nnaaann，猜想其通项公式.从提出问题，到分析问题、解决问题，感受数学自然发生、发展的过程。
从实例中感受数学归纳法产生的必要性，我们需要将无限步骤情境2中的猜想无法逐一验证，则提出问题：如何证明这类有关正整数的命题呢？的问题转化为有限步骤来解决。
创设情境，启动思维1.多媒体演示一排自行车的图片和多米诺骨牌游戏的视频。
引导学生探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须被第一块砸倒;强调条件（2）的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。
播放视频活跃课堂氛围，激发学生的兴趣。
通过对生活实例的分析，使抽象的原理寓于简单的事例当中，通俗易懂，为深刻理解数学归纳法原理打好基础。
通过探讨骨牌全部倒下的条件，为类比得出数学归纳法做铺垫。
第一章 推理与证明一、教学目标1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。
3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。
4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：数学归纳法 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)知识结构本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生推理与证明AFBCME活中的作用。
（二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。
例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC 中，如果AB =AC ，BE ，CF 分别是三角形的高线，BE 与CF 相交于点M ，那么，MB =MC 。
证明：（分析法）要证明MB =MC ，只需证明△BFM ≌△CEM 。
因为△BFM ，△CEM 均为直角三角形，且∠BMF =∠CME ， 只需证明BF =CE 即可。
在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， ∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，有△BFC ≌△CEB ，BF =CE 以上各布可逆，故MB =MC 。
（综合法）在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， 有∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，可知△BFC ≌△CEB ，所以BF =CE 在Rt △BFM 与Rt △CEM 中，∠BMF=∠CME ，∠FBM =∠ECM ， 所以△BFM ≌△CEM ，MB =MC ，得证。
第一章推理与证明课题：合情推理（一）--归纳推理课时安排：一课时课型：新授课教学目标：1、通过对已学知识的回顾进一步体会合情推理这种基本的分析问题法认识归纳推理的基本方法与步骤并把它们用于对问题的发现与解决中去2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法通常归纳的个体数目越多越具有代表性那么推广的一般性命题也会越可靠它是一种发现一般性规律的重要方法教学重点：了解合情推理的含义能利用归纳进行简单的推理教学难点：用归纳进行推理做出猜想教学过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理见书上的三个推理案例回答几个推理各有什么特点？都是由"前提"和"结论"两部分组成但是推理的结构形式上表现出不同的特点据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的蛇鳄鱼海龟蜥蜴都是爬行动物所有的爬行动物都是用肺呼吸的2、三角形的内角和是凸四边形的内角和是凸五边形的内角和是由此我们猜想：凸边形的内角和是3、由此我们猜想：（均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概栝出一般结论的推理称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论即猜想；⑶检验猜想三、例题讲解：例1已知数列的通项公式试通过计算的值推测出的值【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）由此猜想学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和 2）三根针上有若干个金属片的问题四、巩固练习：1、已知经计算:推测当时有__________________________.2、已知：观察上述两等式的规律请你写出一般性的命题并证明之3、观察（1）（2）由以上两式成立推广到一般结论写出你的推论注：归纳推理的几个特点：1.归纳是依据特殊现象推断一般现象因而由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.五、教学小结：1.归纳推理是由部分到整体从特殊到一般的推理通常归纳的个体数目越多越具有代表性那么推广的一般性命题也会越可靠它是一种发现一般性规律的重要方法2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）课题：类比推理●教学目标：（一）知识与能力：通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法并把它用于对问题的发现中去（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理是寻找事物之间的共同或相似性质类比的性质相似性越多相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关从而类比得出的结论就越可靠（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质善于发现问题探求新知识2．认识数学在日常生产生活中的重要作用培养学生学数学用数学完善数学的正确数学意识●教学重点：了解合情推理的含义能利用类比进行简单的推理●教学难点：用类比进行推理做出猜想●教具准备：与教材内容相关的资料●课时安排：1课时●教学过程：一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b==>a+c=b+c; (1) a＞b==>a+c＞b+c;(2) a=b==> ac=bc; (2) a＞b==> ac＞bc;(3) a=b==>a2=b2;等等(3) a＞b==>a2＞b2;等等问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征从而得出一个猜想；⑶检验猜想即例3.在平面上设hahbhc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点P到相应三边的距离分别为papbpc我们可以得到结论:试通过类比写出在空间中的类似结论.巩固提高1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广即要求得到一个更一般的命题而已知命题应成为所推广命题的一个特例推广的命题为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．类比平面内直角三角形的勾股定理试给出空间中四面体性质的猜想．直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度abc2条直角边ab和1条斜边c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1S2S3和S3个"直角面" S1S2S3和1个"斜面" S3．（2004北京）定义"等和数列"：在一个数列中如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数那么这个数列叫做等和数列这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列且公和为5那么的值为______________这个数列的前n项和的计算公式为________________ 1．类比推理是从特殊到特殊的推理是寻找事物之间的共同或相似性质类比的性质相似性越多相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关从而类比得出的结论就越可靠2．类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个明确的命题（猜想）不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法比较法分为：作差法和作商法一、作差法：若ab∈R则： a－b＞0a＞b；a－b＝0a＝b；a－b＜0a＜b它的三个步骤：作差--变形--判断符号（与零的大小）--结论.作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号从而降低了问题的难度作差是化归变形是手段变形的过程是因式分解（和差化积）或配方把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和进而判定其符号得出结论.例1、求证：x2 + 3 > 3x证：∵(x2 + 3) ? 3x =∴x2 + 3 > 3x例2：已知abm都是正数并且a < b求证：证：∵abm都是正数并且a<b∴b + m > 0b ? a > 0∴即：变式：若a > b结果会怎样？若没有"a < b"这个条件应如何判断？例3：已知ab都是正数并且a ? b求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3)= (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)∵ab都是正数∴a + ba2 + ab + b2 > 0又∵a ? b∴(a ? b)2 > 0∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2例4：甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m行走另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走另一半路程以速度n行走如果m ? n问：甲乙谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S甲乙两人走完全程所需时间分别是t1t2则：可得：∴∵Smn都是正数且m ? n∴t1 ? t2 < 0 即：t1 < t2从而：甲先到到达指定地点例5：是一道利用不等式解决实际问题的例题.我们先用类比列方程解应用题的步骤然后参考列方程解应用题的步骤分析题意设未知数找出数量关系(函数关系、相等关系或不等关系)列出函数关系、等式或不等式求解作答等.整个解答过程体现了比较法解决不等关系等实际问题中发挥着重要的作用. 变式：若m = n结果会怎样？二、作商法：若a>0b>0则：＞1a＞b；＝1a＝b；＜1a＜b它的三个步骤：作商--变形--判断与1的大小--结论.作商法是当不等式两边为正的乘积形式时通过作商把其转化为证明左/右与1的大小例5、设ab ? R+求证：证：先证不等式左≥中：由于要比较的两式呈幂的结构故结合函数的单调性故可采用作商比较法证明.作商：由指数函数的性质当a = b时当a > b > 0时当b > a > 0时即（中≥右请自己证明题可改为ab ? R+求证：）作业补充题：1.已知求证：2求证：3.已知求证：4.已知c＞a＞b＞0求证.5.已知a、b、c、d都是正数且bc＞ad求证.不等式证明二（综合法）一、综合法：从已知条件出发利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式这个证明方法叫综合法（也叫顺推证法或由因导果法）例1、已知abc是不全相等的正数求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc分析：不等式左边含有"a2+b2"的形式我们可以运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b b2cc2aab2bc2ca2的"和"右边有三正数abc的"积"我们可以运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.证：∵b2 + c2 ≥ 2bca > 0∴a(b2 + c2) ≥ 2abc同理：b(c2 + a2) ≥ 2abcc(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc 当且仅当b=cc=aa=b时取等号而abc是不全相等的正数∴三式不同时取等号三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc本例证法可称为三合一法当要证的不等式关于字母具有对称形式时我们常可把其看成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得我们只要先把减了元的较简单的不等式证出即可完成原不等式的证明例2、abc?R求证：1?2?3?证：1?、法一：两式相乘即得法二：左边≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 92?、∵两式相乘即得3?、由上题：∴即：例3、已知abc都是正数且abc成等比数列求证：证明：左－右=2（ab+bc－ac）∵abc成等比数列∴又∵abc都是正数所以≤∴∴∴说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质体现了综合法证明不等式的特点例4、制造一个容积为V（定值）的圆柱形容器试分别就容器有盖及无盖两种情况求：怎样选取底半径与高的比使用料最省？分析：根据1题中不等式左右的结构特征考虑运用"基本不等式"来证明.对于2题抓住容积为定值建立面积目标函数求解最值是本题的思路.解：设容器底半径为r高为h则V=πr2hh=.(1)当容器有盖时所需用料的面积：S=2πr2+2πrh=2πr2+=2πr2++≥3当且仅当2πr2=即r=h==2r取"="号.故时用料最省.（2）当容器无盖时所需用料面积：S=πr2+2πrh=πr2+=πr2++≥3当且仅当πr2=r=h==r.即r=h时用料最省.作业补充题：1、设abc ? R1?求证：2?求证：3?若a + b = 1求证：2、设a>0b>0c>0且a+b+c=1求证：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).3、设abc为一个不等边三角形的三边求证：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).4、已知ab?R+求证：5、设a>0b>0且a + b = 1求证：不等式证明三（分析法）当用综合法不易发现解题途径时我们可以从求证的不等式出发逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实从而得出要证的不等式成立这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法使用分析法证明时要注意表述的规范性当问题比较复杂时通常把分析法和综合法结合使用以分析法寻求证明的思路而用综合法进行表述完成证明过程例1、求证：证：分析法：综合表述：∵∵21 < 25只需证明：∴展开得：∴即：∴∴∴即： 21 < 25（显然成立）∴∴例2、设x > 0y > 0证明不等式：证一：（分析法）所证不等式即：即：即：只需证：∵成立∴证二：（综合法）∵∵x > 0y > 0∴例3、已知：a + b + c = 0求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0展开得：∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2即证：即：（显然）∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b)2 = ?a2 ?b2 ?ab = 例4、已知求证：并求等号成立的条件分析：不等式右边是常数能否用平均值定理？应当可以（找条件一正、二定、三相等）如何把左边变形为和的形式？多项式的除法或配凑！左==（看到了希望！）= （已知）当时由解出当时等号成立例5、a>0b>0且a +b =1求证:≤2.证明: ≤2 (a +)+(b +)+2²≤4≤1 ab +≤1 ab +≤1ab≤∵a>0b>0且a +b =1∴ab≤()2=成立故≤2.作业补充题1.求证:.2、若ab>02c>a+b求证: (1)c2>ab ；（2）c -<a <c +3、求证:abc∈R+求证:4、设abc是的△ABC三边S是三角形的面积求证：5、已知0 < ? < ?证明：6、求证：通过水管放水当流速相等时如果水管截面（指横截面）的周长相等那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大不等式证明四（反证法与放缩法）一、反证法：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明我们可以间接的方法――反证法去证明即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的例1、若xy > 0且x + y >2则和中至少有一个小于2反设≥2≥2 ∵xy > 0可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾∴原式成立例2、已知a + b + c > 0ab + bc + ca > 0abc > 0求证：abc > 0证：（1）设a < 0∵abc > 0∴bc < 0又由a + b + c > 0则b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾（2）若a = 0则与abc > 0矛盾∴必有a > 0 同理可证：b > 0c > 0例3、设0 < abc < 1求证：(1 ? a)b(1 ? b)c(1 ? c)a不可能同时大于证：设(1 ? a)b >(1 ? b)c >(1 ? c)a >则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > ①又∵0 < abc < 1 ∴同理：以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤与①矛盾.∴(1 ? a)b(1 ? b)c(1 ? c)a不可能同时大于二、放缩法：在证明不等式的时候在直接证明遇到困难的时候可以利用不等式的传递性把要证明的不等式加强为一个易证的不等式即欲证A>B我们可以适当的找一个中间量C作为媒介证明A>C且C>B从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握技巧性较强这关系到证明的成败往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证例4、若abcd?R+求证：证：记m =∵abcd?R+ ∴∴1 < m < 2 即原式成立例5、当 n > 2 时求证：证：∵n > 2 ∴∴ n > 2时例6、求证：证：∵∴思考：若把不等式的右边改成或你可以证明吗？例7、求证：证：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0作业补充题1、设0 < abc < 2求证：(2 ? a)c(2 ? b)a(2 ? c)b不可能同时大于12、设试证明:3、设求证：中至少有一个不小于4、设x > 0y > 0求证：a < b5、证明：6、证明：lg9?lg11 < 17、证明：若a > b > c则w课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】1．使学生了解归纳法理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用"数学归纳法"证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察分析论证的能力进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力让学生经历知识的构建过程体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境使学生处于积极思考、大胆质疑氛围提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明)激发学生的学习热情使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段--创造学习情境提供学习内容1．创设问题情境启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出"四就是四横、五就是五横......"的结论用的就是"归纳法"不过这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的几个干瘪的几个熟好的几个没熟的几个三仁的几个一仁、两仁的总共不过一把花生．显然二徒弟先给出答案他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测水文预报用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2．回顾数学旧知追溯归纳意识（从生活走向数学与学生一起回顾以前学过的数学知识进一步体会归纳意识同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例：给出等差数列前四项写出该数列的通项公式．(2) 完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3．借助数学史料促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上再引导学生看数学史料能够让学生多方位多角度体会归纳法感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论不管是我们还是数学大家都可能如此．那么有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知＝（n∈N）(1)分别求；；；．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为"迁移就是概括"这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家他曾认为当n∈N时一定都是质数这是他对n＝01234作了验证后得到的．后来18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了＝4 294 967 297＝6 700 417³641 从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．问题3当n∈N时是否都为质数？验证： f（0）＝41f（1）＝43f（2）＝47f（3）＝53f（4）＝61f（5）＝71f（6）＝83f（7）＝97f（8）＝113f（9）＝131f（10）＝151...f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝是合数．第二阶段：新旧知识相互作用阶段--新旧知识作用搭建新知结构4．搜索生活实例激发学习兴趣（在第一阶段的基础上由生活实例出发与学生一起解析归纳原理揭示递推过程．孔子说："知之者不如好之者好之者不如乐之者．"兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下则它的后一张牌必定倒下．于是我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车早操排队对齐等．5．类比数学问题激起思维浪花类比多米诺骨牌过程证明等差数列通项公式：(1) 当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立即则=即n＝k＋1时等式也成立．于是我们可以下结论：等差数列的通项公式对任何n∈都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为"有指导的发现学习"强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程让学生发现数学归纳法的雏形是一种再创造的发现性学习．）6．引导学生概括形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n取第一个值时结论正确；(2) 假设当n＝k (k∈k≥) 时结论正确证明当n＝k＋1时结论也正确．完成这两个步骤后就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段--巩固认知结构充实认知过程7．蕴含猜想证明培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明既能巩固归纳法和数学归纳法也能教给学生做数学的方法培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例题在数列{}中＝1(n∈)先计算的值再推测通项的公式最后证明你的结论．8．基础反馈练习巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多套用数学归纳法的证明步骤不难解答因此我把它作为练习这样既考虑到学生的能力水平也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋...＋（2n－1）＝．(2)首项是公比是q的等比数列的通项公式是．9．师生共同小结完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种完全归纳法只局限于有限个元素而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法其基本思想是递推(递归)思想使用要点可概括为：两个步骤一结论递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．10．布置课后作业巩固延伸铺垫在数学归纳法证明的第二步中证明n＝k＋1时命题成立必须要用到n＝k时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： (n∈)时其中第二步采用下面的证法：设n＝k时等式成立即则当n＝k＋1时．你认为上面的证明正确吗？为什么？教后反思：1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输技能的操练．为此我设想强化数学归纳法产生过程的教学把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景从一开始就注意它的功能为使用它打下良好的基础而且可以强化归纳思想的教学这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度。
解读归纳推理一、归纳推理的定义及理解归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，它是从特殊到一般的过程。
简而言之，归纳推理是有部分到整体，由个别到一般的推理，例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”归纳出“一切金属都能导电”。
由“直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°”，归纳出“所有三角形的内角和都是180°”等等，这些都是归纳推理。
在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出判断，这也是归纳推理。
应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论。
二、归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
三、典例剖析例1 如图1所示，在一张方格纸上画折线（用粗线表示的部分），图中每个小方格的边长为1，从A点出发依次给每条直线段编号。
⑴编号为2010的直线长度是多少？⑵长度为2010的直线段的编号是多少？分析：仔细观察表中的编号与长度列出表格，根据表格中的编号与长度的关系归纳出一般规律。
解：通过观察列出编号与长度的关系表：编号1、2 3、4 5、6 7、8 9、10 …长度 1 2 3 4 5 …从表中看出：长度为n的线段编号为2n-1和2n。
⑴编号为2010的线段长为2010÷2=1005。
⑵长度为2010的线段有两条，编号分别为：2010×2-1=4019，2010×2=4020。
点评：本题主要考查识图能力，利用表格将题目中的编号与长度都对应表示出来，从而使题目中的各种关系明朗化，便于解题。
- 1 - / 2四、拓展提高⑴归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的。
⑵归纳具有发现新知识和探索真理的功能，在数学中有预测答案，探索解题思路的作用，对于较为复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的办法，预测结论，从而找到解决问题的途径。
[对应学生用书P2]问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n }的前四项为2,4,6,8，试写出a n . 提示：a n ＝2n (n ∈N ＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理问题1：试写出三角形的两个性质． 提示：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．1．合情推理的含义合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． 2．演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的特点：(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．类比推理的特点：(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．[对应学生用书P3][例1] 已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．[思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为2n －1，不等式右边为n2，由此可得一般性结论．[精解详析] 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为：12，22，32，42，…，n2.归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．[一点通] 根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等； (2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论．1．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( ) A.⎝⎛⎭⎫1367 B.⎝⎛⎭⎫1368C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.答案：D2．(陕西高考)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x)的表达式为________．解析：由f1(x)＝x1＋x⇒f2(x)＝f⎝⎛⎭⎫x1＋x＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f2 014(x)＝x1＋2 014x.答案：x1＋2 014x3．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n1＋2a n(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{a n}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝1，由a n＋1＝a n1＋2a n(n∈N＋)，得a2＝13，a3＝a21＋2a2＝15，a4＝a31＋2a3＝17.(2)由a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17，可归纳猜想a n＝12n－1(n∈N＋).[例2]个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．[思路点拨]先求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值，并归纳出n与f(n)的关系，然后即可解决问题(2)、(3)．[精解详析](1)f(5)＝41.(2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫11－12＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. [一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．4．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )解析：由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A 中所示的图形．答案：A5．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为( )A ．(1 006,1 005)B ．(1 007,1 006)C ．(1 008,1 007)D ．(1 009,1 008)解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 007，1 006)处标2 0132.答案：B6．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝____________；当n >4时，f (n )＝______________.(用含n 的数学表达式表示)解析：画图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1，由 f (n )－f (n －1)＝n －1， f (n －1)－f (n －2)＝n －2， …f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)．[例3] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨]先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体．[精解详析]圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.[一点通]解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：7．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D8．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr 2D.不可类比解析：扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高．所以S 扇形＝l ×r2. 答案：C9．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[例4] [精解详析] (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．10．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.答案：①a >b ⇒a ＋c >b ＋c ②a >b ⇒ac >bc (c >0) ③a >b >0⇒a 2>b 2.(说明：“>”也可改为“<”)11．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m ，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m q n －m ，∴q ＝⎝⎛⎭⎫a n a m答案：⎝⎛⎭⎫a n a m1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应课时跟踪训练(一)]1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n 项可能是( ) A ．2×10n B ．2×10n －1C ．2×10n ＋1D.2×10n －2答案：B2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D.8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.答案：C3．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113解析：由题意知275L 2h ＝13πr 2h ⇒275L 2＝13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π＝258.答案：B4．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )解析：每一行图中的黑点从右上角依次递减一个． 答案：A5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。
1.1 归纳推理 - 北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解归纳推理的概念和特点。
2.掌握常见的归纳推理模式。
3.学会运用归纳推理解决实际问题。
二、教学重点1.归纳推理的概念和特点。
2.常见的归纳推理模式。
三、教学难点1.拓宽学生的思维方式，使其能够运用归纳推理解决实际问题。
2.发掘学生的逻辑分析能力。
四、教学方法1.讲授法。
2.问答法。
3.组织学生讨论实际问题，引导他们运用归纳推理解决问题。
五、教学步骤1. 导入通过引入问题，激发学生的思考。
例如：“假设你被困在一个没有地图的密林里，你该如何找到出口？”引导学生尝试推理，展开思考，提高他们的思维敏捷性。
2. 归纳推理的概念和特点1.归纳推理的定义：从部分到整体，由特殊到一般，通过一定形式的推理，得出普遍性结论的思维方法。
2.归纳法的特点：明确事实依据，由此得出一般性结论。
3. 常见的归纳推理模式1.从实例到结论：通过对多个具有相同特点的实例进行比较归纳，得出一般性结论。
2.从对立面到结论：通过对立面间的比较得出结论，常见于对问题进行反证、对照分析、割裂对待等情况。
3.从一般到特殊：已知一般性结论，倒推到特殊的具体实例。
4.从反面到结论：通过分析否定段落和例句，得出一个结论5.从头到尾：按照整体的逻辑序列逐步清晰地推理下去，从而得出结论。
6.从结果到因素：分析问题的成因，推理出可能的结果和解决方案。
4. 教学实践1.提供实际问题：通过组织学生分组讨论解决实际问题的方式，引导他们运用归纳推理模式分析问题和解决问题。
2.分析学生的成果：评估学生的综合能力，思维方式和归纳推理的应用能力。
3.教师点评：巩固学生的成果，教师发表自己对于这个问题所得出的结论，加强学生对归纳推理模型的理解。
5. 结束总结授课内容，强调归纳推理的重要性并提出任务：练习归纳推理并运用于实际问题中。
六、教学评价1.教学效果：检查学生对课堂内容的掌握情况。
2.教学方法：评估教学方式对学生学习的促进作用。
§4 数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1．了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤．(重点)2．体会数学归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的问题．(重点、难点)1．通过对数学归纳法步骤的理解，提升逻辑推理的核心素养.2．通过应用数学归纳法证明数学问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1．数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (n ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n 0开始的正整数n 都成立． 2．应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立”为条件．1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N ＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D [当n ＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.]2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) A ．一切正整数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对B [本题证的是对n ＝1,3,5,7…时命题成立，即命题对一切正奇数成立．] 3．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ∈N ＋，n ≥2)”的过程中，由n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)推导到n ＝k ＋1时，不等式左边增加的式子是________．12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k －1)＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.]用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 思路探究：验证n ＝1时等式成立→假设n ＝k 时等式成立→证明n ＝k ＋1时等式成立→结论[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．∴n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知等式对任意正整数n 都成立．数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． 2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k4(k ＋1)成立， 当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4) ＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]， 所以n ＝k ＋1时，等式成立，综上可得，等式对于任意n ∈N ＋都成立.用数学归纳法证明不等式【例2】 (1)用数学归纳法证明不等式n ＋1＋n ＋2＋…＋n ＋n >24(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． 思路探究：(1)写出当n ＝k 时左边的式子，和当n ＝k ＋1时左边的式子，比较即可． (2)在由n ＝k 到n ＝k ＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度． 1(2k ＋1)(2k ＋2) [(1)当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2).] (2)[证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立．本例(2)中把“<2n ”改为“>n (n >1且n ∈N ＋)”，能给予证明吗？ [证明] ①当n ＝2时，左边＝1＋12＝2＋22，右边＝2， ∴左边>右边，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k>k . 那么n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1>k 2＋1k ＋1＝k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋且n >1都成立．数学归纳法证明第二步时的注意点用数学归纳法证明不等式，推导n ＝k ＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均可灵活运用．在证明过程中，常常要在“凑”出归纳假设的前提下，根据剩余部分的结构特点及n ＝k ＋1时命题的需要进行放缩．2．若n ∈N ＋，且n >1，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324. [证明] (1)当n ＝2时， 左边＝12＋1＋12＋2＝712＝1424>1324，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥2)时不等式成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k >2324， 那么当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋1(2k ＋1)(2k ＋2)>1324. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)、(2)可知，对任意大于1的正整数不等式都成立.归纳——猜想证明【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝n n (2n －1)且a 1＝3.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明． 思路探究：(1)令n ＝2,3可分别求a 2，a 3.(2)根据a 1，a 2，a 3的值，找出规律，猜想a n ，再用数学归纳法证明． [解] (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S k k (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k ＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1. 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立． 由①②可知命题对任何n ∈N ＋都成立．证明“归纳—猜想—证明”的一般环节和主要题型1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．3．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．[解] 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1； 由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k －12k －1＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立.用数学归纳法证明整除性问题1．数学归纳法的第一步n 的初始值是否一定为1?[提示] 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值为n 0＝3. 2．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？[提示] 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n 取n 0以后的数命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．【例4】 用数学归纳法证明：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除(n ∈N ＋)． 思路探究：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．[证明] (1)当n ＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋[(k ＋3)3－k 3] ＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9k 2＋27k ＋27 ＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9(k 2＋3k ＋3)．因为k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，9(k 2＋3k ＋3)也能被9整除， 所以(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3也能被9整除，即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n ∈N ＋都成立．证明整除性问题的关键与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n ＝k ＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6 [由n ＝k 成立推证n ＝k ＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.]1．数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n 项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．2．第一个值n 0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n 0都是1． 3．步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． ( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1． ( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3B [当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2．]3．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为________．1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2[当n ＝k ＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2中的k 更换为k ＋1．]4．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4.那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k ) ＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)]＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4.所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．。
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
