江苏高考数学压轴题

专题10 不等式恒成立与有解问题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若关于x 的不等式ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（2﹣ln 3，2﹣ln 2]B ．（﹣∞，2﹣ln 2）C ．（﹣∞，2﹣ln 3]D ．（﹣∞，2﹣ln 3）【答案】C【分析】设g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a ，画出图象，讨论当a ≤0时，当a ＞0时，数形结合即可得答案．【解答】解：由题意可知，ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4，设g（x）＝2x﹣lnx﹣4，h（x）＝ax﹣2a由g′（x）＝2﹣＝．可知g（x）＝2x﹣lnx﹣4在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，h（x）＝ax﹣2a的图象恒过点（2，0），在同一坐标系中作出g（x），h（x）的图象如图，当a≤0时，原不等式有且只有两个整数解；当a＞0时，若原不等式有且只有两个整数x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则，即，解得0＜a≤2﹣ln3，综上可得a≤2﹣ln3，故选：C．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知函数f（x）＝2﹣|x|，若关于x的不等式f（x）≥x2﹣x﹣m的解集中仅有1个整数，则实数m的取值范围为（）A．[﹣3，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【答案】C【分析】构造函数g（x）＝x2﹣x﹣m﹣f（x），将问题转化为g（x）≤0解集中仅有1个整数，然后结合函数g（x）的单调性，找出限制条件即可求解．【解答】解：令g（x）＝x2﹣x﹣m﹣f（x），则g（x）＝x2﹣x+|x|﹣2﹣m，∴g（x）＝，则g（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，关于x的不等式f（x）≥x2﹣x﹣m的解集中仅有1个整数，即g（x）≤0解集中仅有1个整数，∴只需g（x）满足，，即，∴﹣2≤m＜﹣1，∴实数m的取值范围为：[﹣2，﹣1）．故选：C．【知识点】不等式恒成立的问题3.设a∈R，若不等式|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，12]B．[﹣2，10]C．[﹣4，4]D．[﹣4，12]【答案】D【分析】由题意可得|x2+|+|x2﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，讨论x＞0，x＜0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．【解答】解：|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，即为|x2+|+|x2﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，当x＞0时，可得4﹣a≤|x+|+|x﹣|+的最小值，由|x+|+|x﹣|+≥|x++x﹣|+＝2x+≥2＝8，当且仅当x＝2取得最小值8，即有4﹣a≤8，则a≥﹣4；当x＜0时，可得4﹣a≥﹣[|x+|+|x﹣|﹣]的最大值，由|﹣x+|+|﹣x﹣|﹣≥﹣2x﹣≥2＝8，当且仅当x＝﹣2取得最大值﹣8，即有4﹣a≥﹣8，则a≤12，综上可得﹣4≤a≤12．故选：D．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、单选题（共12小题）1.若关于x的不等式ln（x+1）+e x≥ax+b对任意的x≥0恒成立，则a，b可以是（）A．a＝0，b＝2B．a＝1，b＝2C．a＝3，b＝1D．a＝2，b＝1【答案】D【分析】分别考虑选项A，B，C，D，代入，由特殊值和构造函数法，以及导数判断单调性，可得最值，即可得到结论．【解答】解：ln（x+1）+e x≥ax+b对任意的x≥0恒成立，若a＝0，b＝2可得ln（x+1）+e x≥2，当x＝0时，1≥2不成立；若a＝1，b＝2可得ln（x+1）+e x≥x+2，当x＝0时，1≥2不成立；若a＝3，b＝1可得ln（x+1）+e x≥3x+1，当x＝1时，ln2+e≥4不成立；若a＝2，b＝1可得ln（x+1）+e x≥2x+1，设f（x）＝ln（x+1）+e x﹣2x﹣1，x≥0，可得f′（x）＝+e x﹣2，f″（x）＝e x﹣在x≥0递增，可得f″（x）≥0，即f′（x）递增，可得f′（x）≥0，f（x）递增，即f（x）≥f（0）＝0，则a＝2，b＝1成立．故选：D．【知识点】不等式恒成立的问题2.对于任意实数x，不等式（a﹣1）x2﹣2（a﹣1）x﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣3，1）D．（﹣3，1]【答案】D【分析】按照a＝1和a≠1分两种情况讨论．【解答】解：当a＝1时，﹣4＜0，所以不等式恒成立；当a≠1时，要使不等式恒成立，需a﹣1＜0⇒a＜1，且△＜0⇒4（a﹣1）2+16（a﹣1）＜0⇒﹣3＜a＜1，所以﹣3＜a＜1，综上实数a的取值范围是（﹣3，1]．故选：D．【知识点】不等式恒成立的问题3.已知函数f（x）＝a x+e x﹣（1+lna）x（a＞0，a≠1），对任意（x1，x2）∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤alna+e﹣4恒成立，则a的取值范围为（）A．[]B．[e，2]C．[e，+∞）D．[e x+x）【答案】C【分析】先利用导数得到f（x）在x∈[0，1]是单调递增函数，对对任意（x1，x2）∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤alna+e﹣4恒成立，转化为f（x1）max﹣f（x）min≤alna+e﹣4，再求出f（x）max＝f（1）＝a+e﹣1﹣lna，f（x）min＝f（0）＝1+1＝2，所以a+e﹣1﹣lna﹣2≤alna+e﹣4，解不等式即得解．【解答】解：依题意，alna+e﹣4≥0①因为f'（x）＝a x lna+e x﹣1﹣lna＝（a x﹣1）lna+e x﹣1，当a＞1时，对任意的x∈[0，1]，a x﹣1≥0，lna＞0，e x﹣1≥0，恒有f'（x）＞0；当0＜a＜1时，a x﹣1≤0，lna＜0，e x﹣1≥0，恒有f'（x）＞0，所以f（x）在x∈[0，1]上是单调递增函数，那么对任意（x1，x2）∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤alna+e﹣4恒成立，只需f（x1）max﹣f（x）min≤alna+e﹣4，②因为f（x）max＝f（1）＝a+e﹣1﹣lna，f（x）min＝f（0）＝1+1＝2，所以a+e﹣1﹣lna﹣2≤alna+e﹣4，即a﹣lna+1﹣alna≤0，即（1+a）（1﹣lna）≤0，所以lna≥1，从而有a≥e，而当a≥e时，①显然成立．故选：C．【知识点】不等式恒成立的问题4.已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，且对y＝f（x），x∈R，当x1，x2∈（﹣∞，0]时，成立，若f（2ax）＜f（2x2+1）对任意的x∈R恒成立，则a的范围（）A．B．a＜1C．D．【答案】A【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性，结合函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，∴y＝f（x）的图象关于x＝0对称，即f（x）是偶函数，∵当x1，x2∈（﹣∞，0]时，成立，∴此时f（x）为减函数，则在[0，+∞）上f（x）为增函数，若f（2ax）＜f（2x2+1）对任意的x∈R恒成立，等价为若f（|2ax|）＜f（2x2+1）对任意的x∈R恒成立，即|2ax|＜2x2+1，当x＝0时，不等式成立，当x≠0时，不等式等价为2|a|＜＝2|x|+，当x≠0时，2|x|+≥2＝2，当且仅当2|x|＝时取等号，则2|a|＜2，即|a|＜，得﹣＜a＜，故选：A．【知识点】不等式恒成立的问题5.若对任意的实数x，不等式xa≤e x﹣1+x2+1恒成立，则实数a的最大值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】讨论当x≤0时，∀a＞0，当x＞0时，运用参数分离和构造函数，求导数和单调性、最值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x≤0时，∀a＞0，xa≤e x﹣1+x2+1恒成立；当x＞0，a≤+x+，令f（x）＝+x+，f′（x）＝，则0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的最小值为f（1）＝3，即有a≤3，可得a的最大值为3．故选：B．【知识点】不等式恒成立的问题6.若∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，则a的取值范围是（）A．[，e]B．[]C．[1，e]D．[e，+∞）【答案】A【分析】由题意可得＜a＜，x＞0，分别构造函数设f（x）＝，g（x）＝，x＞0，利用导数求出函数的最值即可求出a的范围．【解答】解：∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，∴（﹣a）（﹣a）≤0，∵e x﹣lnx＞0，∴＜∴＜a＜，x＞0，设f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＝＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减，∴f（x）max＝f（e）＝，再令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减，∴f（x）min＝f（1）＝e，∴≤a≤e故选：A．【知识点】不等式恒成立的问题7.函数y＝f（x）在R上为偶函数且在[0，+∞）单调递减，若x∈[1，3]时，不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（lnx+3﹣2mx）恒成立，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法，结合函数的最值，利用导数求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∵函数f（x）为偶函数，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，等价为f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（2mx﹣lnx﹣3）即2f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）对x∈[1，3]恒成立．即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∵f（x）在[0，+∞）单调递减，∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，在[1，e]上递增，在[e，3]上递减，则g（x）的最大值为g（e）＝，h（x）＝，则h′（x）＝＜0，则函数h（x）在[1，3]上递减，则h（x）的最小值为h（3）＝，则，得，即≤m≤，故选：B．【知识点】不等式恒成立的问题8.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥||在R上恒成立，则a的最大值是（）A．2B．C．D．【答案】D【分析】讨论x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得关于a的不等式，再由二次函数的最值求出a的范围；当x＞1时，同样可得关于a的不等式，再由基本不等式求得a的范围，取交集可得所求a的范围．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|x+a|，利用导数求得函数f（x）切线的斜率与切点，结合题意求得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤x+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤x+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤x+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣；由y＝x+≥2＝（当且仅当x＝＞1）取得最小值．则﹣≤a≤②；由①②可得，﹣≤a≤，∴a的最大值为．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|x+a|，如图所示；当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1＝﹣，可得x＝，切点为（，）代入y＝﹣x﹣a，解得a＝﹣；当x＞1时，y＝x+的导数为y′＝1﹣，由1﹣＝，可得x＝（﹣舍去），切点为（，），代入y＝x+a，解得a＝；由图象平移可得，﹣≤a≤，∴a的最大值是．故选：D．【知识点】不等式恒成立的问题、分段函数的应用9.不等式x﹣3e x﹣alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1﹣e]B．（﹣∞，2﹣e2]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣3]【答案】D【分析】不等式可化为a≤对∀x∈（1，+∞）恒成立，设f（x）＝，其中x∈（1，+∞），求出f（x）min即可得出a的取值范围．【解答】解：不等式x﹣3e x﹣alnx≥x+1，∴alnx≤x﹣3e x﹣x﹣1；又x∈（1，+∞），lnx＞0，∴a≤对∀x∈（1，+∞）恒成立；设f（x）＝，其中x∈（1，+∞），则x﹣3•e x＝•e x＝e x﹣3lnx≥x﹣3lnx+1，∴x﹣3e x﹣x﹣1≥x﹣3lnx+1﹣x﹣1＝﹣3lnx，∴f（x）＝≥＝﹣3，当x﹣3lnx＝0时等号成立；又方程x﹣3lnx＝0在（1，+∞）内有解，∴f（x）min＝﹣3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故选：D．【知识点】不等式恒成立的问题10.若关于x的不等式﹣x＞1在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上恒成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2e）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【答案】A【分析】讨论x＞0时，不等式化为k＞，设f（x）＝，x∈（0，+∞），求出f（x）的最大值；x＜0时，不等式化为k＜，设f（x）＝，x∈（﹣∞，0），求出f（x）的最小值，从而求得k的取值范围．【解答】解：x＞0时，不等式﹣x＞1化为k＞，设f（x）＝，x∈（0，+∞）；则f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝2，∴x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；∴f（x）在x＝2时取得极大值，也是最大值，即f（x）≤f（2）＝；∴k＞；x＜0时，不等式﹣x＞1化为k＜，设f（x）＝，x∈（﹣∞，0）；则f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝﹣1，∴x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；∴f（x）在x＝﹣1时取得极小值，也是最小值，即f（x）≥f（﹣1）＝﹣e；∴k＜﹣e；综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，﹣e）∪（，+∞）．故选：A．【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立的问题11.已知函数f（x）＝kx+2x，g（x）＝x2，h（x）＝（x+1）（lnx+1），若当x∈[1，e]时，不等式组恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[e﹣2，1]C．[e﹣2，2]D．[﹣1，e﹣2]【答案】C【分析】由题意知x∈[1，e]时不等式组可化为恒成立，分别求出k≥x﹣2和k≤在区间[1，e]上恒成立的取值范围即可．【解答】解：x∈[1，e]时，恒成立，即恒成立，即恒成立，若k≥x﹣2在区间[1，e]上恒成立，则k≥e﹣2；令s（x）＝，若k≤在区间[1，e]上恒成立，则k≤s（x）min，s′（x）＝，令t（x）＝x﹣lnx，则t′（x）＝1﹣，当x∈[1，e]时，t′（x）≥0恒成立，则t（x）＝x﹣lnx在[1，e]上为增函数，∴t（x）≥t（1）＝1恒成立，即s′（x）＝≥0恒成立，∴s（x）＝在[1，e]上为增函数，即s（x）≥s（1）＝2恒成立，∴k≤2，综上可得：k∈[e﹣2，2]，故选：C．【知识点】不等式恒成立的问题12.已知实数x，y满足ln（4x+3y﹣6）﹣e x+y﹣2≥3x+2y﹣6，则x+y的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】A【分析】根据题意把不等式化为ln（4x+3y﹣6）﹣（4x+3y﹣6）≥e x+y﹣2﹣（x+y﹣2）﹣2；设f（x）＝lnx ﹣x，g（x）＝e x﹣x﹣2；利用导数求出f（x）有最大值为﹣1，g（x）有最小值为﹣1，此时满足f（x）≥g（x），即原不等式成立，由此求得x+y的值．【解答】解：不等式ln（4x+3y﹣6）﹣e x+y﹣2≥3x+2y﹣6，化为ln（4x+3y﹣6）≥e x+y﹣2+3x+2y﹣6，即ln（4x+3y﹣6）﹣（4x+3y﹣6）≥e x+y﹣2﹣x﹣y，所以ln（4x+3y﹣6）﹣（4x+3y﹣6）≥e x+y﹣2﹣（x+y﹣2）﹣2；设f（x）＝lnx﹣x，x＞0，g（x）＝e x﹣x﹣2；则f′（x）＝﹣1＝，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，f′（x）单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）＝0﹣1＝﹣1；又g′（x）＝e x﹣1，所以x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，g′（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（0）＝1﹣0﹣2＝﹣1；此时满足f（x）≥g（x），即ln（4x+3y﹣6）﹣e x+y﹣2≥3x+2y﹣6；令，解得x+y＝2．故选：A．【知识点】不等式恒成立的问题二、多选题（共2小题）13.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．12B．13C．14D．15【答案】BCD【分析】逐个选项代入计算验证正误即可．【解答】解：当a＝12时，原不等式为x2﹣8x+12≤0，易得其解集为[2，6]，不满足题意，故选项A错误；当a＝13时，原不等式为x2﹣8x+13≤0，易得其解集为[4﹣，4+]，满足题意，故选项B正确；当a＝14时，原不等式为x2﹣8x+14≤0，易得其解集为[4﹣，4+]，满足题意，故选项C正确；当a＝15时，原不等式为x2﹣8x+15≤0，易得其解集为[3，5]，满足题意，故选项D正确，故选：BCD．【知识点】一元二次不等式及其应用14.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（）A．∅B．（﹣1，a）C．（a，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）（a，+∞）【答案】ABCD【分析】根据函数y＝a（x﹣a）（x+1）的图象和性质，对a进行讨论，解不等式即可．【解答】解：对于a（x﹣a）（x+1）＞0，当a＞0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向上，与x轴的交点为a，﹣1，故不等式的解集为x∈（﹣∞，﹣1，）∪（a，+∞）；当a＜0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向下，若a＝﹣1，不等式解集为∅；若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a），若a＜﹣1，不等式的解集为（a，﹣1），综上，ABCD都成立，故选：ABCD．【知识点】一元二次不等式及其应用。

江苏省高考压轴卷数学数学I（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={3，4}，B={1，4，5}，则A∪（∁U B）= ．2．已知x＞0，若（x﹣i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x= ．3．某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则n= ．4．双曲线=1的右焦点与左准线之间的距离是．5．函数f（x）=的定义域为．6．执行如图所示的程序框图，若输入a=27，则输出的值b= ．7．满足等式cos2x﹣1=3cosx（x∈10，π]）的x值为．8．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=4，S9﹣S6=27，则S10= ．9．男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为．10．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为 ． 11．在△ABC 中，∠C=45°，O 是△ABC 的外心，若，则m+n 的取值范围为 ．12．已知抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点F 是椭圆的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，则C= ．14．若函数在区间11，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=n m ，其中),(20πα∈，且n m ⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．16．（本小题满分14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，121AA EC BC AB ===． （1）求证：//1AC 平面BDE ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AC BC AB ,,大道上嬉戏，所在位 置分别记为点F E D ,,．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端 时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离y 表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．18．（本小题满分16分）已知椭圆)(:012222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且点),(213-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且1=OH ， 求POQ ∆面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-．（1）若数列{}n b 是公比为的等比数列，求n S 2；（2）若对任意*∈N n ，22na S n n +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数x x x f ln )(=，)()(12-=x x g λ（λ为常数）．（1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若21=λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤；（3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .1选修4-1：几何证明选讲]如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连接OP 与圆O 交于点C ，过点C 作圆O 作AP 的垂线，垂足为D ，若PA=25，PC ：PO=1：3，求CD 的长．B.1选修4-2：矩阵与变换]（共1小题，满分10分） 已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．C.1选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆4sin()6πρθ=+被射线θ=θ0（ρ≥0，θ0为常数，且0(0,)2πθ∈）所截得的弦长为23，求θ0的值．D.1选修4-5：不等式选讲]已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=6，求4x 2+y 2的最小值．【必做题】第22题．第23题．每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，以正四棱锥V ﹣ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，其中Ox∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有15cos ,49BE DE <>=-u u u r u u u r ．（1）求ha的值； （2）求二面角B ﹣VC ﹣D 的余弦值．23.（本小题满分10分）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如：考察恒等式（1+x ）2n=（1+x ）n（1+x ）n（n ∈N *），左边x n的系数为C 2n n，而右边（1+x ）n（1+x ）n=（C n 0+C n 1x+…+C n n x n）（C n 0+C n 1x+…+C n n x n），x n的系数为C n 0C n n+C n 1C nn ﹣1+…+C n nC n 0=（C n 0）2+（C n 1）2+…+（C n n）2，因此可得到组合恒等式C 2n n=（C n 0）2+（C n 1）2+…+（C n n）2．（1）根据恒等式（1+x ）m+n =（1+x ）m （1+x ）n （m ，n ∈N *）两边x k（其中k ∈N ，k ≤m ，k ≤n ）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：222202n k n k k n n k n k C C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=∑⋅⋅=，其中2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是指不超过2n的最大整数．江苏高考押题卷 数学答案解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C U B={2，3}，再利用并集定义能求出A ∪（∁U B ）．【答案】{2，3，4}【解答】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={3，4}，B={1，4，5}，∴C U B={2，3}， A ∪（∁U B ）={2，3，4}． 故答案为：{2，3，4}．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】x ＞0，（x ﹣i ）2=x 2﹣1﹣2xi 纯虚数（其中i 为虚数单位），可得x 2﹣1=0，﹣2x ≠0，x ＞0，解出即可得出．【答案】1【解答】x ＞0，（x ﹣i ）2=x 2﹣1﹣2xi 纯虚数（其中i 为虚数单位）， ∴x 2﹣1=0，﹣2x ≠0，x ＞0，解得x=1．故答案为：1．3．【考点】分层抽样方法．【分析】先求三层的比例，然后求得青年人中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．【答案】24【解答】由题意，因为20：120：100=1：6：5，所以青年人中抽取总人数的=，故n=10÷=24．故答案为：24．4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，可得右焦点坐标和左准线方程，由点到直线的距离公式可得所求值．【答案】5【解答】双曲线=1的a=2，b=2，c==4，可得右焦点（4，0）与左准线方程x=﹣即x=﹣1，即右焦点与左准线之间的距离是4﹣（﹣1）=5．故答案为：5．5．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．【答案】（﹣2，1]【解答】因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]6．【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【答案】13【解答】当a=27时，执行循环体b=9，不满足退出循环的条件，故a=9；当a=9时，执行循环体b=3，不满足退出循环的条件，故a=3；当a=3时，执行循环体b=1，不满足退出循环的条件，故a=1；当a=1时，执行循环体b=，满足退出循环的条件，故输出的b值为，故答案为：7．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式解方程求得cosx的值，从而结合x∈10，π]，求得x的值．【答案】【解答】∵等式cos2x﹣1=3cosx（x∈10，π]），即2cos2x﹣2=3cosx，即2cos2x﹣3cosx﹣2=0，求得cosx=2（舍去），或cosx=﹣，∴x=，故答案为：．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式及通项公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出前10项和．【答案】65【解答】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3=4，S9﹣S6=27，∴，解得a1=2，d=1，∴S10=10×2+=65．故答案为：65．9．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，由此利用对立事件概率计算公式能求出出场的两名运动员号码不同的概率．【答案】【解答】男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，基本事件总数n=3×4=12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，∴出场的两名运动员号码不同的概率p=1﹣=．故答案为：．10．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意设出圆锥的底面半径，求出圆锥的侧面积，求出圆柱的侧面积即可得到圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比．【答案】【解答】设圆锥的底面半径为r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：πr•r=πr2．圆柱的侧面积为：2πr•r=2πr2．所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为：πr2：2πr2=．故答案为：．11．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用已知条件，得∠AOB=90°，两边平方，则m2+n2=1结合基本不等式，即可求得结论．【答案】1﹣，1]【解答】设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，∴m+n≤1…①∵∠C=45°，O是△ABC的外心，∴∠AOB=90°两边平方即可得出1=m2+n2+2mncos∠AOB⇒m2+n2=1…②，∵，…③，由①②③得﹣．故答案为：1﹣，1]12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得=1，由此即可求出椭圆的离心率．【答案】【解答】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入椭圆方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为．13．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a，b，c的关系．即可求解C的值．【答案】【解答】根据a2=3b2+3c2﹣2bcsinA…①余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA…②由①﹣②可得：2b2+c2=2bcsinA﹣2bccosA化简：b2+c2=bcsinA﹣bccosA⇔b 2+c 2=2bcsin （A ）∵b 2+c 2≥2bc ， ∴sin （A ）=1 ∴A=，此时b 2+c 2=2bc ， 故得b=c ，即B=C ， ∴C==．故答案为：．14．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】去掉绝对值，根据f ′（x ）≥0，得到a 的范围即可． 【答案】1﹣，]【解答】f （x ）=；∵x ∈11，2]； ∴a ≤时，f （x ）=，f ′（x ）=；由f ′（x ）≥0；解得：a ≥﹣≥﹣，即﹣≤a ≤时，f ′（x ）≥0，f （x ）在11，2]上单调递增；即a 的取值范围是：1﹣，]．故答案为：1﹣，]．15. 【考点】向量数量积, 同角三角函数平方关系, 二倍角公式【解析】法一（1）由m ⊥n 得，2cos sin 0αα-=，sin 2cos αα=， ……2分代入22cos sin 1αα+=，25cos 1α=且π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则cos α=sin α， ……4分则223cos22cos 1215αα=-=⨯-=-. ……6分 （2）由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=， ……2分 故22222222cos sin 1tan 143cos2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++.……4分 （2）由（1）知，2cos sin 0αα-=，且22cos sin 1αα+=，π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则sin α=，cos α= ……6分 由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---==……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。

专题11 不等式恒成立与有解问题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.已知函数f （x ）＝x ﹣2（e x ﹣e ﹣x ），则不等式f （x 2﹣2x ）＞0的解集为 ．2.已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式lnx ≤a （x ﹣2）+b 对一切正实数x 恒成立，则当a +b 取最小值时，b 的值为 ﹣ ．3.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣专项突破一、填空题（共12小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．2.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．3.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．4.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．5.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．7.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．8.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．9.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．10.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣11.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．12.已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是﹣．。

(2021年江苏新高考数学第22题))ln 1()(x x x f -=，设a 、b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e ba <+<112 关于“出题背景”的一点思考我们知道x x h ln )(=是),0(+∞的上凸函数。

不妨设0>>b a ，n 等分区间]1,1[b a ，设bx x x x x a n n 1...101210=<<<<<=<-记na b h 11-=，则h k a x k ⋅+=1。

由琴生不等式，得：)...ln(ln ...ln ln 1010nx x x n x x x nn +++<+++ 又因为1ln -≤x x 则1...)...ln(ln ...ln ln 101010-+++≤+++<+++nx x x n x x x n x x x nn n 即：)11(11)ln()11(ln 11000a b x n a b n xa b x nab nk knk knk k ---≤-<-∑∑∑=== 由定积分的定义∑⎰=∞→-=nk kn b ax f na b dx x f 011)(11lim )(，可得：)11(ln 1111ab dx x dx x b ab a--<⎰⎰---------------③又因为x x x x x x ln )ln (])1(ln [='-='-，所以③式可化为：1)11(2)1()1(11)11ln 1()11ln 1(22---<----a b a b a b a a a b b b 化简得：12111ln ln -+<---a b b a b a a b ---------------④ 这里取1ln ln =--ba ba ab ，即：b a b a a b -=-ln ln ， ④式即为：2111a b +<，可得：a b 112+<于是生成如下试题：设a 、b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：ba 112+<命题推广（命题推广）已知0>>b a ，对于连续函数0)(>x f ，有1)11()()11()(ln)11()(ln 111111--≤-<-⎰⎰⎰ab dxx f a b dxx f ab dxx f b ab ab a由于)(x f 在]1,1[ba 上连续，所以，∑⎰=∞→-=nk kn b ax f na b dx x f 011)(11lim )(我们知道x x h ln )(=是),0(+∞的上凸函数。