2014-2015年陕西省西安市庆安中学高一(上)数学期末试卷与答案

2013-2014学年陕西省安康市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4.00分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．（4.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2） D．[1，+∞）3．（4.00分）下列幂函数中，过点（0，0），（1，1）的偶函数的是（）A．B．y=x4 C．y=x﹣2D．4．（4.00分）函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或25．（4.00分）已知指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），且过点（2，4），f（x）的反函数记为y=g（x），则g（x）的解析式是（）A．g（x）=log4x B．g（x）=log2x C．g（x）=2x D．g（x）=4x6．（4.00分）观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（）A．①②B．②④C．①③D．①④7．（4.00分）下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形8．（4.00分）如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（）A．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3D．k3＜k2＜k19．（4.00分）已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C． D．10．（4.00分）已知A（1﹣t，1，t），B（2，t，t）（t∈R），则A，B两点间距离的最小值是（）A．B．2 C．D．111．（4.00分）已知三条直线m，m，l，三个平面α，β，γ，下列四个命题中，正确的是（）A．α∥β B．l⊥βC．m∥n D．m∥n 12．（4.00分）与圆x2+y2﹣4y+2=0相切，并在x轴、y轴上的截距相等的直线共有（）A．6条 B．5条 C．4条 D．3条二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）已知指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为．14．（4.00分）若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是．15．（4.00分）圆C1：x2+y2=4和C2：x2+y2﹣6x+8y﹣24=0的位置关系是．16．（4.00分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为3cm，对角线A1C的长为cm，则此四棱柱的侧面积为cm2．三、解答题：（共6个题.17、18、19、20、21题各9分，22题11分，合计56分）17．（9.00分）求过两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程（1）直线l与直线3x﹣4y+1=0平行；（2）直线l与直线5x+3y﹣6=0垂直．18．（9.00分）设f（x）=，（1）在如图直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值；（3）用单调性定义证明函数f（x）在[2，+∞）时单调递增．19．（9.00分）已知直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体．（1）当∠A=30°时，求此旋转体的体积；（2）当∠A=45°时，求旋转体表面积．20．（9.00分）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．21．（9.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面AA1B1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．22．（11.00分）已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=﹣my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B（1）证明：l1⊥l2；（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；（3）设S=f（m），求U=S+的单调区间．2013-2014学年陕西省安康市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4.00分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选：D．2．（4.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2） D．[1，+∞）【解答】解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选：A．3．（4.00分）下列幂函数中，过点（0，0），（1，1）的偶函数的是（）A．B．y=x4 C．y=x﹣2D．【解答】解：A、定义域是[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性．B通过验证过这两个点，又定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）4=x4=f（x）．C不过（0，0）．Df（﹣x）===﹣f（x）∴f（x）是奇函数，不满足偶函数的条件．故选：B．4．（4.00分）函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【解答】解：若函数在x=1处有意义，在函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是1，若函数在x=1处无意义，在两者没有交点，∴有可能没有交点，如果有交点，那么仅有一个．故选：C．5．（4.00分）已知指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），且过点（2，4），f（x）的反函数记为y=g（x），则g（x）的解析式是（）A．g（x）=log4x B．g（x）=log2x C．g（x）=2x D．g（x）=4x【解答】解：设指数函数的解析为：y=a x∵函数的图象经过（2，4）点，∴4=a2∴a=2∴指数函数的解析式为y=2x其反函数为：g（x）=log2x故选：B．6．（4.00分）观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（）A．①②B．②④C．①③D．①④【解答】解：对于①，正方体的三视图形状都相同，均为正方形，故错误．对于②，圆锥的点评：点评：点评：主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图圆形，故正确．点评：对于③，如图所示的正三棱柱的三视图各不相同，故错误．对于④，正四棱锥的点评：点评：点评：主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图正方形，故正确．综上所述，有且仅有两个视图完全相同的是②④．故选：B．7．（4.00分）下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形【解答】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、因为三角形的3个顶点不共线，所以由公理2知一定确定一个平面，故B正确；C、当A，B，C，D四点在两个平面的交线时，满足时两个平面的交点，但是这两个平面相交，故C不对；D、比如空间四边形则不是平面图形，故D不对．故选：B．8．（4.00分）如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（）A．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3D．k3＜k2＜k1【解答】解：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1，α2，α3．由已知为α1为钝角，α2＞α3，且均为锐角．由于正切函数y=tanx在（0，）上单调递增，且函数值为正，所以tanα2＞tanα3＞0，即k2＞k3＞0．当α为钝角时，tanα为负，所以k1=tanα1＜0．综上k1＜k3＜k2，故选：A．9．（4.00分）已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：正方体的对角线长就是外接球的直径，所以正方体的对角线长为：；球的半径为：；正方体的外接球的体积：=故选：A．10．（4.00分）已知A（1﹣t，1，t），B（2，t，t）（t∈R），则A，B两点间距离的最小值是（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵A（1﹣t，1，t），B（2，t，t），∴|AB|==，∴当t=0时，A、B两点间距离取最小值为：．故选：A．11．（4.00分）已知三条直线m，m，l，三个平面α，β，γ，下列四个命题中，正确的是（）A．α∥β B．l⊥βC．m∥n D．m∥n 【解答】解：α⊥γ，且β⊥γ时，α与β可能平行与可能相交，故A不正确；要判断线面垂直，直线要与平面内两条相交的直线均垂直，故B错误；当m∥γ，n∥γ，则m与n可能平行也可能相交，也可能异面，故C错误；由线面垂直的性质，当m⊥γ，n⊥γ时，m∥n一定成立，故D正确．故选：D．12．（4.00分）与圆x2+y2﹣4y+2=0相切，并在x轴、y轴上的截距相等的直线共有（）A．6条 B．5条 C．4条 D．3条【解答】解：由圆的方程得圆心为（0，2），半径为；而该直线在x轴、y轴上的截距相等可得斜率k=±1，所以设直线方程为y=±x+b；由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径即d==，解得b=0或b=4；当b=0时，y=x或y=﹣x；当b=4时，y=x+4（舍去）或y=﹣x+4，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）已知指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为2．【解答】解：若a＞1，则指数函数y=a x在[0，1]上单调递增；则指数函数y=a x在[0，1]上的最小值与最大值分别为1和a，又∵指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a+1=3，解得a=2若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，1]上单调递减；则指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1和a，又∵指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a+1=3，解得a=2（舍去）故答案为：214．（4.00分）若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））．【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，∴a﹣1=0∴f（x）=﹣x2+3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线故f（x）的增区间（﹣∞，0]故答案为：（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））15．（4.00分）圆C1：x2+y2=4和C2：x2+y2﹣6x+8y﹣24=0的位置关系是内切．【解答】解：∵圆C1：x2+y2=4的圆心C1（0，0），半径为2，C2：x2+y2﹣6x+8y ﹣24=0 即（x﹣3）2+（y+4）2=49，圆心C2（3，4），半径为7，两圆的圆心距等于=5，正好等于两圆的半径之差，故两圆相内切，故答案为：内切．16．（4.00分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为3cm，对角线A1C的长为cm，则此四棱柱的侧面积为24cm2．【解答】解：由题意得17=9+2AB2，∴正四棱柱的底面边长AB=2，则此正四棱柱的侧面积为4×2×3=24，故答案为24．三、解答题：（共6个题.17、18、19、20、21题各9分，22题11分，合计56分）17．（9.00分）求过两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程（1）直线l与直线3x﹣4y+1=0平行；（2）直线l与直线5x+3y﹣6=0垂直．【解答】解：由可得交点坐标为（0，2）（1）∵直线l与3x﹣4y+1=0平行，∴l的斜率k=，l的方程y=x+2，即为3x﹣4y+8=0（2）∵直线l与5x+3y﹣6=0垂直，∴l的斜率k=，l的方程y=x+2，即为3x﹣5y+10=018．（9.00分）设f（x）=，（1）在如图直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值；（3）用单调性定义证明函数f（x）在[2，+∞）时单调递增．【解答】解：（1）如图（4分）（2）由函数的图象可得：f（t）=3即t2=3且﹣1＜t＜2．∴t=..（8分）（3）设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣2x2=2（x1﹣x2）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，f（x1）＜f（x2），f（x）在[2，+∞）时单调递增．（12分）19．（9.00分）已知直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体．（1）当∠A=30°时，求此旋转体的体积；（2）当∠A=45°时，求旋转体表面积．【解答】解：（1）∵，过C作AB垂线交AB于O，则，∴此旋转体的体积V==，（2）当∠A=45°，AC=BC=，其表面积．20．（9.00分）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d==r=2，解得m=±2；（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=＜r=2，解得：﹣2＜m＜2．所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2时，直线与圆相切；当﹣2＜m ＜2时，直线与圆有两个公共点．21．（9.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面AA1B1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°．又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为正方形，此时点F为B1B的中点．22．（11.00分）已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=﹣my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B（1）证明：l1⊥l2；（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；（3）设S=f（m），求U=S +的单调区间．【解答】解：（1）由题意知，m≠0，l1与l2的斜率分别为m ，，斜率之积等于﹣1，故l1⊥l2．（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P （，），AB 的方程为x+y﹣1=0，点P到AB 的距离为=，由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，∴S=×1×1+××=+=，故m=0 时，S有最大值为1．（3）U=S +=+（1+m2），|m|＜1，U的导数U′=+2m=2m（1﹣），在（﹣1，0）上，U′＜0，∴U 在（﹣1，0）内是单减增函数；赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．在（0，1）上，U′＞0，∴U 在（﹣1，0）内是单调增函数．。

本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共120分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、 选择题：（每小题4分，共40分） 1. 集合}01)-x |{A ==（x x ，那么（ ）A. A ∉0B. A ∉1C. A ∈1-D. A ∈0 2. 函数)2lg(1++-=x x y 的定义域为（ ）A.()1,2-B.(]1,2-C.[)1,2-D.[]1,2- 3. 下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）A ．31y x =-+ B.223y x x =-+ C.y D.4y x=4. 函数2(13)y x x x =+-≤≤的值域是 （ ） A. []0,12 B. 1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 1,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 3,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦5. 如果log 5log 50a b >>，那么a 、b 间的关系是 （ ） A 01a b <<< B 1a b << C 01b a <<< D 1b a <<6. 设2()2x f x x =-，则在下列区间中使函数()f x 有零点的区间是 （ ） A. []0,1 B. [)1,2 C. []2,1-- D. []1,0-7. ,a b 为实数，集合Ｍ＝｛,1b a｝，Ｎ＝｛,a 0｝，:f x x →表示把集合Ｍ中的元素x 映射到集合Ｎ中仍为x ，则a b +＝（ ）． Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－１ Ｄ．1± 8. 已知2()f x x bx c =++，且(1)(3)f f -=，则（ ） A. (1)(1)f c f -<< B. (1)(1)f c f <<- C. (1)(1)f f c <-< D. (1)(1)c f f <-<9. 已知函数()31log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数x 是方程()0f x =的解，且10x x <<，则()1f x 的值为（ ）A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于010. 若函数2()2f x x ax =-+与函数()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则实数的取值范围为 （ ） A. ()()0,10,1 B. ()(]0,10,1 C. ()0,1 D. (]0,1二、填空题：（每小题4分，共20分）11. 计算：453log 27log 8log 25⨯⨯ =12. )()27,3)(4x f x f ，则的图象过点（幂函数的解析式是.13. 二次函数2y ax bx c =++的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为221y x x =-+，则=b , =c ,14. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=232212x x x x x x f ,,)(，则6=)(x f 时x 的值为15. 下列判断正确的是①.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数 ②.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数③.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数④.有些函数既是奇函数又是偶函数第Ⅱ卷三、计算题：（每小题12分，共60分）16. （12分）已知}3,1,{2-+=a a A ，}1,13,3{2+--=a a a B ，若A ∩B={-3}， 求a 的值17. （12分）已知函数2211)(x x x f -+=（1）写出此函数的定义域； （2）判断它的奇偶性； （3）求证：)()1(x f xf -=18. （12分）已知函数.1()31x f x a =-+ （Ⅰ）若(1)1f -=，求a 的值；（Ⅱ）求证：无论a 为何实数，()f x 总为增函数.19．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的图像。

2014-2015学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=2．（3分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（ax2﹣bx+c）′=a（x2）′+b（﹣x）′B．（cosx•sinx）′=（sinx）′•cosx+（cosx）′•cosxC．（sinx﹣2x2）′=（sinx）′﹣（2）′（x2）′D．[（3+x2）（2﹣x3）]′=2x（2﹣x3）+3x2（3+x2）4．（3分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件5．（3分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0）B．=1（x≠0）C．=1（x≠0）D．=1（y≠0）6．（3分）直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P（1，4），则b的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣37．（3分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜08．（3分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等9．（3分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2x﹣1B．y=x C．y=3x﹣2D．y=﹣2x+3 10．（3分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（3分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）12．（3分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A．6B．4C．3D．2二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是．14．（4分）过点（1，0）作曲线y=e x的切线，则切线方程为．15．（4分）如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e为．16．（4分）已知f1（x）=sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2014（x）=．17．（4分）设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径．下列几个命题①平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆②平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切其中正确命题的序号是．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．19．（10分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．20．（10分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，设两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）求证：（1）y1y2=﹣p2（2）x1x2=．21．（14分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．2014-2015学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．2．（3分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．【解答】解：∵在抛物线y=﹣2x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故选：D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（ax2﹣bx+c）′=a（x2）′+b（﹣x）′B．（cosx•sinx）′=（sinx）′•cosx+（cosx）′•cosxC．（sinx﹣2x2）′=（sinx）′﹣（2）′（x2）′D．[（3+x2）（2﹣x3）]′=2x（2﹣x3）+3x2（3+x2）【解答】解：（ax2﹣bx+c）′=a（x2）′+b（﹣x）′，故正确；（cosx•sinx）′=（sinx）′•cosx+（cosx）′•sinx，故错误；（sinx﹣2x2）′=（sinx）′﹣2（x2）′，故错误；[（3+x2）（2﹣x3）]′=2x（2﹣x3）﹣3x2（3+x2），故错误；故选：A．4．（3分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．5．（3分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0）B．=1（x≠0）C．=1（x≠0）D．=1（y≠0）【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D．6．（3分）直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P（1，4），则b的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：∵点P（1，4）在曲线y=ax2+2+lnx上，∴a+2=4，解得a=2，由题意得，=，∴在点P（1，4）处的切线斜率k=5，把P（1，4）代入y=kx+b，得b=﹣1，故选：C．7．（3分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．8．（3分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选：D．9．（3分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2x﹣1B．y=x C．y=3x﹣2D．y=﹣2x+3【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（1）=2f（1）﹣1∴f（1）=1∵f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8∴f′（1）=﹣2f′（1）+6∴f′（1）=2根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2∴过（1，1）的切线方程为：y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1故选：A．10．（3分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C．11．（3分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）【解答】解：因为y=上的导数为y′=﹣=﹣，∵e x+e﹣x≥2=2，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴π≤α＜π．即α的取值范围是[π，π）．故选：D．12．（3分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1，∵++=，∴点F是△ABC重心，则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6，故选：A．二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是（0，1）．【解答】解：命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0的否定为命题p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0∵命题p为假命题∴命题￢p为真命题即x2+2ax+a＞0恒成立∴△=4a2﹣4a＜0解得0＜a＜1故答案为：（0，1）14．（4分）过点（1，0）作曲线y=e x的切线，则切线方程为e2x﹣y﹣e2=0．【解答】解：由线y=e x，得y′=e x，设切点为（），则，∴切线方程为，∵切线过点（1，0），∴，解得：x0=2．∴切线方程为y﹣e2=e2（x﹣2），整理得：e2x﹣y﹣e2=0．故答案为：e2x﹣y﹣e2=0．15．（4分）如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e为．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac，又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=，又在双曲线中e＞1∴e=．故答案为：．16．（4分）已知f1（x）=sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2014（x）=cosx﹣sinx．【解答】解：∵f1（x）=sin x+cos x，∴f2（x）=（sin x+cos x）′=cosx﹣sinx，∴f3（x）=﹣sin x﹣cos x，∴f4（x）=sin x﹣cos x，∴f5（x）=sin x+cos x；故f2014（x）=f2012（x）+2=f2（x）=cosx﹣sinx，故答案为：cosx﹣sinx．17．（4分）设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径．下列几个命题①平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆②平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切其中正确命题的序号是④⑤⑥．【解答】解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和对于零点的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；④设椭圆的方程为（a＞b＞0），F、F'分别是椭圆的左右焦点，作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2，如图所示．设PF中点为M，连结PF′，∴OM是△PFF′的中位线，可得|OM|=|PF′|，即两圆的圆心距为|PF′|根据椭圆定义，可得|PF|+|PF′|=2a，∴圆心距|OM|=|PF′|=（2a﹣|PF|）=a﹣|PF|，即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2相内切．即④正确；⑤抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），设点P点坐标为（x1，y1），则以PF为直径的圆的圆心是（，），根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=﹣是等距离的，所以PF为直径的圆的半径为，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，即⑤正确；⑥设以实轴|F1F2|为直径的圆的圆心为O1，其半径r1=a，线段PF2为直径的圆的圆心为O2，其半径为r2=，当P在双曲线左支上时，|O1O2|=，∵|O1O2|﹣r2=﹣=a=r1，∴两圆内切．当P在双曲线右支上时，|O1O2|=，∵|O1O2|﹣r2=﹣=a=r1，∴r1+r2=|O1O2|∴两圆外切．故⑥正确故答案为：④⑤⑥．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．（5分）又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[（10分）]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．（12分）19．（10分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．∴f′（x）=，g′（x）=（x＞0），由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，故有=alnx且=，解得a=，x=e2，∵两条曲线交点的坐标为（e2，e）切线的斜率为k=f′（e2）=，∴切线的方程为y﹣e=（x﹣e2）．20．（10分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，设两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）求证：（1）y1y2=﹣p2（2）x1x2=．【解答】证明：（1）设直线方程为x=my+，代入y2=2px，可得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1y2=﹣p2（2）x1•x2=•=．21．（14分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．【解答】解：（1）∵，2c=2，∴a=，b=，∴椭圆的方程为．…（2分）联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==•=．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）∵，，∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴，整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．…（9分）∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得2a2=1+，∴，…（10分）∵，∴，∴，∴，∴，∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

西安市第一中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学（文）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.1. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) . A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2. 若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) . A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知命题：任意x ∈R ，sin x ≤1，则它的否定是 ( ) .A ．存在,sin 1x R x ∈>B ．任意,sin 1x R x ∈>C ．存在,sin 1x R x ∈≥D ．任意,sin 1x R x ∈≥ 4． 在下列命题中，假命题是 （ ）．A. 存在 0lg ,=∈x R x B . 存在 1tan ,=∈x R x C ．任意02,>∈X R x D.任意0,3>∈x R x 5. 已知某物体的运动方程是391t t s +=，则当3=t s 时的瞬时速度是（ ）.A ．s m /10B ． s m /9C. s m /4D. s m /36. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）.A.x y 2±= B .x y 2±= C . x y 22±= D.x y 21±=7. 设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( ) .A ．2B ． 2-C ． 12-D.128. 设x x x f ln )(=，若2)('= x f ，则 x ＝( )．A ．2eB ． 2lnC ．22ln D ．e 9. 已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线 l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线10. 过双曲线1222=-y x 的一个焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( ) ．A. 1条B.2条C.3条D.4条11. 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) .A.172 B ．3 C. 5 D.9212. 直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) . A.32B. 3－1C.3－12D ．4－2 3二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.13. 若焦点在x 轴上的椭圆19822=++y k x 的离心率为21，则k 的值等于 ________．14. 已知()cos x f x e x =+错误！未找到引用源。