测量学第6章

第五章测量误差基本知识

第六章测量误差基本知识

学习要点◆建立测量误差的基本概念

◆观测值的中误差◆观测值函数的中误差——误差传播定律◆加权平均值及其中误差§6-1 测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响二、测量误差的分类与对策（一）分类

系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”

粗差——特别大的误差（错误）（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正

偶然误差——多余观测，制定限差如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次

观测值为l1,l2,l3,….ln

如何取值？

如何评价数据的精度？例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为

i=

i+i+ i-180

其结果如表5-1，图5-1,分析三角形内角和的误差I的规律。

误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ " K K/n K K/n K K/n 0~3450.126460.128 91 0.254

3~6400.11241 0.115 81 0.2266~9 330.09233 0.092 66 0.1849~12 230.064 21 0.059440.12312~15170.04716 0.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.017 5 0.014 110.03121~24 40.011 20.00660.01724以上00 0 0 0 0Σ 181 0.505 177 0.495 358 1.000

偶然误差的统计-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=

k/d偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。

渐降性：误差小的出现的概率大

对称性：绝对值相等的正负误差概率相等

抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。6-2评定精度的标准方差和标准差（中误差）

的偶然误差是观测值式中：叫标准差方差：iiniiln,12

2n

n

ii12

2

iilX

标准差常用m表示，在测绘界称为中误差。按观测值的真误差计算中误差第一组观测第二组观测次序

观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"002180°00ˊ02"-24159°59ˊ59"+113179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-7494179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-245180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-116180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+117180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+8648179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"009179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+3910180°00ˊ03"-39180°00ˊ01"-11Σ||247224130

中误差 7.221nm 6.322nm三、相对误差某些观测值的误差与其本身大小有关

用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称“相对中误差”）

mll

mT1例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的

前者的相对中误差为0．02／200 ＝1／10000

而后者则为0．02／40＝l／2000

前者的量距精度高于后者。正态分布

2)(2)(22221)(1,0021)(xxexfxexf

则若正态分布的特征

正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。

当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。

用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。

对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率

x

xx

x9973.0)33()(9545.0)22()(6826.0)()(1)(,),(~332222XPxfXPxfXPxfxf

XNX的正态分布为服从参数随机变量时当极限误差

2222

1)(0xexf则

若

9973.0)(9545.0)(6826.0)()(3322xfxfXPxfm2

允

三、容许误差

m3允或：但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：

=？m=？寻找最接近真值的值x

6-3观测值的算术平均值及改正值集中趋势的测度（最优值）

中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。

众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。

切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。

调和平均数：

xnlniil1

平均数的倒数il

1

算术平均数：

满足最小二乘原则的最优解nnlXlXlX

2211

证明（x是最或然值）

将上列等式相加，并除以n,得到

XnlnnnnlXn

][lim0][lim

4][][）特性更据偶然误差第（

xnl][观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x

iiilxllv

l

改正值的特性0ivv

定义改正值6-4观测值的精度评定标准差可按下式计算

112nvm

n

ii

1122nvnii

中误差证明将上列左右两式方便相减，得nnlXlXlX

2211

111111

lxvlxvlxv





)()()(2211xXvxXvxXvnn取和

1][][][)(2][)()(][][)(][][][)()()(][][22131212222212222nvvnnnnnxXxXnvvnxXnvvnxXxXnxXnvnnn 计算标准差例子次序观测值l改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11S123.452040

毫米16.3232.61540452.123ml小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则

iilX

nm][ilxivnlx

][

1][nvvm

二、中误差二、中误差