2017_2018学年高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式学案新人教B版必修5(含答案)

高中数学课程

均值不等式

(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？

(2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？

(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？

[新知初探]

1．均值定理

如果a，b∈R＋，那么a＋b2≥ab.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．

对任意两个正实数a，b，数a＋b2称为a，b的算术平均值(平均数)，数ab称为a，b的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．

[点睛] (1)“a＝b”是a＋b2≥ab的等号成立的条件．若a≠b，则a＋b2≠ab，即a＋b2＞ab.

(2)均值不等式a＋b2≥ab与a2＋b2≥2ab成立的条件不同，前者a＞0，b＞0，后者a∈R，b∈R.

2．利用均值不等式求最值

(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 预习课本P69～71，思考并完成以下问题 高中数学课程

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立( )

(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4( )

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22( )

解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．

(2)错误．只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立．

(3)正确．因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.

答案：(1)× (2)× (3)√

2．已知f(x)＝x＋1x－2(x＞0)，则f(x)有( )

A．最大值为0 B．最小值为0

C．最小值为－2 D．最小值为2

答案：B

3．对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是( )

数学必修5第三章《不等式》内容分析

同文中学高二数学备课组：陈劲

一． 教学内容分析：

“不等式”是高中数学的传统内容，与高中数学中很多内容有密切关系。同大纲教材相比，新课标（北师大版）教材在内容安排、编写思路、教材目标与要求上都有较大变化。

新课标教材中不等式主要包括：1.必修5第三章《不等式》中：不等关系、一元二次不等式、基本不等式及二元一次不等式组与简单的线性规划问题。其结构是：第一节不等关系，讲不等关系、不等式的性质和用不等式来比较大小；第二节讲一元二次不等式；第三节讲基本不等式和用基本不等式求最大值、最小值；最后一节讲简单的线性规划。线性规划也分几个层次，第一个层次是用二元一次不等式组来刻画平面区域，然后讲简单线性规划的问题，最后讨论简单线性规划的应用。2.选修4—5《不等式选讲》中：不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、不等式的证明、不等式的应用及柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容。

大纲教材中“不等式”只有一章内容共五部分：不等式的基本性质及其证明、两个正数的算术平均数与几何平均数定理的证明与应用、不等式的证明、简单不等式的解法、含绝对值的不等式。

新课程教材的主要变化体现在：在必修5中删除了大纲教材中的“不等式的基本性质及其证明”，“不等式的证明”，“含绝对值的不等式”放在选修4—5中学习。增加了“不等关系”，将“一元二次不等式”与“线性规划问题”从原来分散在其他章节整合到了本章中，增强了知识体系的整体性、逻辑性和严谨性。同时还强调信息技术与课程内容的整合，还在“一元二次不等式”中融入了算法思想等。

二． 教学目标与要求的分析：

1.不等关系：通过具体情境，感受现实世界与生活中存在着大量的不等关系，包括：常量与常量之间的不等关系，常量与变量之间的不等关系，函数与函数之间的不等关系，一组变量之间的不等关系等。通过了解不等式（组）的实际背景，经历由实际问题建立数学模型的过程，体会基本方法。

3.1 不等关系与不等式（一）

一、教学目标

1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。

2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．

3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

二、教学重、难点

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。差值比较法：作差→变形→判断差

三、教学过程

（一）[创设问题情境]

下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？

1. 限速40km/h的路标，表示汽车的速度v不超过40km/h。

2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。

3. a与b的和是非负数。

4. 大圆1O的半径为R，小圆2O的半径为r，两圆的圆心距为d，若两圆相交，则d需要满足什么条件？

5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

6. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

7. 某厂使用两种零件A、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A，2个B；乙需要6个A，8个B。某个月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。

第三章 不等式

3.1 不等关系与不等式

第2课时不等式的性质与应用

A级 基础巩固

一、选择题

1．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜1x＜a等价于( )

A．－1b＜x＜0或0＜x＜1a

B．－1a＜x＜1b

C．x＜－1a或x＞1b

D．x＜－1b或x＞1a

解析：由题意知a＞0，b＞0，x≠0，

(1)当x＞0时，－b＜1x＜a⇔x＞1a；

(2)当x＜0时，－b＜1x＜a⇔x＜－1b.

综上所述，不等式－b＜1x＜a⇔x＜－1b或x＞1a.

答案：D

2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )

A．ab＜b2＜1 B．log12b＜log12a＜0

C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1 答案：C

3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是( )

A．[－7，26] B．[－1，20]

C．[4，15] D．[1，15]

答案：B

4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )

A．a3＜b3 B．a2＜b2

C．(－a)3＜(－b)3 D．(－a)2＜(－b)2

解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.

答案：A

5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利(

)

A．x＞a B．x＜a

C．x≥a D．0≤x≤a

解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a时，f(x)＞g(x)，故选A.

答案：A

二、填空题

6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是 ________．

答案：②④

7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．