[k12精品]高中数学第一章坐标系三简单曲线的极坐标方程优化练习新人教A版

和前面的直角坐标系里直线方程的
表示形式比较起来，极坐标系里的直线
表示起来很不方便，要用两条射线组合
而成。原因在哪？
0 为了弥补这个不足，可以考虑允许
极径可以取全体实数。
(R )或 5(R )
4
4
探究2.求过点A(a, 0)(a>0), 且垂 直于极轴的直线l的极坐标方程.
探究3.求过点A(a, )(a>0),
射线___ ___2__所在直线对称． (3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于
_极__点___对称．
例1.求直线的极坐标方程
1.过,倾 点斜角 的 是直线；
3
2.求过A(2，4 )且垂直于极轴的直线的方程．
3.设 点 A的 极 坐(2标 ,)为 ,直 线 l过 点 A且 与 极
6
轴 所 成 的 ,角 求为 直l的 线极 坐 标 . 方 程
(2)当直线l过极点，即ρ0＝0时，l的方程为 __θ_＝__α____.
(3)当直线l过点M(a,0)( a>0)且垂直于极轴 时，l的方程为___ρ_c_o_s_θ_＝__a_____.
(4)当 直l过 线M 点(a,)(a0)且 平 行 于
2 轴 ,时 l的 方 程 _ρ_sin_为 θ_＝_a ____.____
例2.直线的极坐标方程的应用
在 极 坐 ,直 标 l的 线 系 方中 s程 in是 ()1,
6
求P点 (2,)到 直 l的线 距 . 离
6
例2.直线的极坐标方程的应用
在 极 坐 ,直 标 l的 线 系 方中 s程 in是 ()1,
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求P点 (2,)到 直 l的线 距 . 离
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对于研究极坐标方程下的距离及位置关

二 第二课时 极坐标和直角坐标的互化[课时作业] [A 组 基础巩固]1．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)解析：由题意可知，x ＝2cos 3π2＝0，y ＝2sin 3π2＝－2.答案：B2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( ) A ．ρ＝3，θ＝4 B ．ρ＝5，θ＝4 C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－43解析：由公式得ρ＝ x 2＋y 2＝ 32＋－2＝5，tan θ＝y x ＝－43，θ∈[0,2π)．答案：D3．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：方法一 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标分别为(3，1)与(3，－1)， 于是|AB |＝3－32＋＋12＝2.方法二 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6知， |OA |＝|OB |＝2，∠AOB ＝π3，于是△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝2. 答案：B4．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，则线段AB 的中点的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫4，π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2＝x 2＋y 2，得ρ＝2 2.因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：A5．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12B.⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12C.⎝⎛⎭⎪⎫22，5π12 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，π3 解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12，所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案：A6．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________． 解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限， tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π3(k ∈Z)．答案：2k π－π3(k ∈Z)7．极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3的直角坐标为________．解析：∵x ＝ρcos θ＝6cos 7π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin7π3＝33， ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3化为直角坐标为(3,33)．答案：(3,33)8．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.答案：39．已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标．解析：根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(－1,1)；(2)(4，－43)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；(4)(－6，－2)．解析：(1)∵ρ＝－2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝3π4，∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. (2)∵ρ＝42＋－432＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(4，－43)在第四象限． 所以θ＝5π3，∴直角坐标(4，－43)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.(3)∵ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2， tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0,2π)，由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，∴直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.(4)∵ρ＝－62＋－22＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0,2π)，由于点(－6，－2)在第三象限， 所以θ＝7π6，∴直角坐标(－6，－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6. [B 组 能力提升]1．在极坐标系中，若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π6，求△ABO 的面积(O 为极点)为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×12＝3.答案：B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322D.36－322解析：A ，B 两点在极坐标系中的位置，如图．则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以由余弦定理得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝18＋93＝92(1＋3)2.所以|AB |＝36＋322.答案：C3．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ＞0,0≤θ＜2π时，则点P 的极坐标为________．解析：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∵点P 的直角坐标为(3，－3)， ∴ρ＝ 32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ＜2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π64．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O为极点)的面积为________．解析：如图所示，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×12＝3.答案：35．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解析：将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)．所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．6．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解析：以极点O ′为坐标原点，极轴方向为x ′轴正方向，建立新直角坐标系x ′O ′y ′，设点M 的新直角坐标为(x ′，y ′)，于是x ′＝4cos π6＝23，y ′＝4sin π6＝2，由O ′(x ′，y ′)＝O ′(0,0)，O ′(x ，y )＝O ′(2,3)，易得O ′(x ′，y ′)与O ′(x ，y )的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3，于是点M (x ，y )为⎩⎨⎧x ＝23＋2，y ＝2＋3＝5，所以点M 的直角坐标为(23＋2,5)．。

第三节 简单曲线的极系坐标方程一、选择题1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )．A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析 如图所示，设M 为直线上任一点，设M (ρ，θ)． 在△OPM 中，OP ＝OM ·cos ∠POM ， ∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－1cos θ. 答案 C2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )．A ．ρ＝22cos θB ．ρ＝－22cos θC ．ρ＝22sin θD ．ρ＝－22sin θ解析 如图所示，P (2，π)，在圆上任找一点 M (ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°， 在Rt △OMQ 中，OM ＝OQ ·cos ∠QOM ∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cos θ. 答案 B3．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )．解析 ∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin θ·cos π4＋2cos θ·sin π4＝2(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，∴圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22.结合四个图形，可知选C. 答案 C4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为( )．A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析 由已知得ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 答案 B 二、填空题5．两曲线ρsin θ＝2和ρ＝4sin θ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，34π6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________．解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的直角坐标方程为x －y －2＝0，极点的直 角坐标为(0，0)， ∴极点到直线的距离为d ＝|－2|12＋（－1）2＝ 2.答案 27．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．解析 过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x ＝3，曲线ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，把x ＝3代入上式，得9＋y 2－12＝0， 解得，y 1＝3，y 2＝－3，所以|AB |＝|y 1－y 2|＝2 3. 答案 2 38．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．解析 原方程化为直角坐标系下的方程为x 24－y 26＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝10，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(10，0)，(－10， 0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，π)． 答案 (10，0)，(10，π) 三、解答题9．(求直线的极坐标方程)求过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．解 在直线l 上任取一点M ，如图： 因为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，所以|OH |＝2cos π6＝ 3.在Rt △OMH 中，|OH |＝ρcos θ＝3， 所以所求直线的方程为ρcos θ＝ 3. 10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化． (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)ρcos 2 θ2＝1； (4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin 2 θ＝4cos θ. (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2 θ2＝1，∴ρcos θ＋12＝1，即ρcos θ＋ρ＝2， ∴x ＋x 2＋y 2＝2， 整理有y 2＝4－4x . (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2(cos 2 θ－sin 2 θ)＝4. 化简得x 2－y 2＝4. (5)∵ρ＝12－cos θ，∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x 2＋y 2－x ， 整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.11．(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，半径为5的圆的极坐标方程．解 在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么，在△AOP 中， |OA |＝8，|AP |＝5，∠AOP ＝π3－θ或⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.由余弦定理得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝82＋ρ2－522×8·ρ，即ρ2－16ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋39＝0为所求圆的极坐标方程．。

人教版选修4-4第一讲坐标系第三节简单曲线的极坐标方程§圆的极坐标方程学习目标：1.掌握几种特殊的圆的极坐标方程及其求解方法；2.理解直线的极坐标方程推导方法的推广；3.使学生在学习中体会数学思想和从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思想。

学习重难点：重点：掌握几种特殊的圆的极坐标方程及其求解方法；难点：对“建、设、限、代、化〞求解圆的极坐标方程的正确应用。

学习方法：启发式、合作交流式教学设计：〔一〕温故知新：如何求直线的极坐标方程？（1）方法一：用“建、设、限、代、化〞来求解；（2）方法二：将未知转化为知识来解决；即在直角坐标系中写出直线的方程，然后用直角坐标与极坐标的转化公式，代入化简即可。

练习：〔二〕新课探究：如何求圆的极坐标方程呢？探究一：圆O的半径为a，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？探究二：另解：在直角坐标系中，圆的方程是：探究三：探究四：探究五：归纳：求圆的极坐标方程的步骤：1、建；根据题意建立恰当的坐标系；2、设；点是圆上任意一点；3、限；连接MO写出相应的限制条件；4、代；根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、化；检验并确认所得的方程即为所求。

〔三〕课堂练习：求以下圆的极坐标方程：１圆心在极点，半径为2；２圆心在Ｃ3,0，半径为3；３圆心在4,π/2，半径为4４圆心在Ｃρ0,θ０，半径为r。

〔四〕课堂小结：这节课我们学习了什么内容？用到了什么数学思想和方法？你的收获是什么〔五〕课堂作业：课本15页，习题题〔六〕本节课反思与提高：心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动〞思维永远是从问题开始。

因此，本节课采用了回忆、提问，引导，解疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于探索的状态之中。

观察、归纳、类比是比拟旧知识、获得新知识的根本思维形式。

圆的极坐标方程是选修4-4坐标系的一个重要知识，在教学过程中，通过问题设疑、创设问题情境，处处探索，类比归纳，用两种不同的方法，引导学生得出五类特殊的圆的极坐标方程。