八年级数学-如何作实际问题的一次函数的图象

教学设计

4.3 一次函数的图象（第1课时）

教材的地位和作用

《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版八年级（上）第四章《一次函数》的第三节．在学习本节课之前，学生已学习了平面直角坐标系、变量与函数、以及一次函数与正比例函数的概念等相关的知识。学生能在平面直角坐标系中熟练的表示一个点，为画图像做好的充分铺垫作用。本节课也是后续学习反比例函数、二次函数图像和性质的重要基础。数形结合的思想是本节课的主要数学思想。

教学目标

知识与技能：了解正比例函数的图象是一条直线， 能熟练画出正比例函数的图像。理解正比例函数表达式与图象之间的一一对应关系。

过程与方法：经历正比例函数图像画法的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用图像及数形结合的思想解决相关函数问题。

情感态度与价值观：在动手画图过程中，培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探索的学习意志。体验“数”与“形”的转化过程，让学生感受函数图像的美妙，激发学生学数学的兴趣。

教学重、难点：

重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．会画出正比例函数的图像，正比例函数的图像是一条直线。 难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系，正比例函数的性质以及|k|的大小对正比例函数的影响。

教学过程：

一、温故知新

1、一次函数和正比例函数的定义是什么？

2、表示函数的方法有哪几种？

二、探究新知

1、函数的图像

（1）用图象表示的函数关系举例：

摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间函数关系的图像。

（2）函数的图像定义

把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 。

（3）举例正比例函数y=2x

当自变量x=1时，相应的函数值y=2,我们把1作为点的横坐标，相应y的值2作为纵坐标，从而得到一个点（1，2）

初中数学一次函数的图象、性质、解析式及应用

1、一次函数的定义：

一般地，如果变量y与变量x有关系式y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）那么y叫x的一次函数。

一次函数y＝kx＋b中，若b＝0，此时变成y＝kx（k≠0）称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图象

（1）一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，这条直线与y轴相交于（0，b），这里b叫作直线y＝kx＋b的截距。

（2）y＝kx（k≠0）的图象经过原点，y＝kx＋b（k≠0，b≠0）的图象不经过原点，与两坐标轴交点分别为（0，b），（，0）。

（3）对于直线，如果，且，那么这两条直线平行，反之也成立。如果，那么这两条直线相交，反之也成立。

（4）直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx平移而来。

（5）（k≠0）的图象的不同情形，即当k值、b值不同时图象所处的位置。

3、一次函数的性质

一般地，一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）有下列性质

当k>0时，y随x的增大而增大，图象是自左到右上升的直线

当k<0时，y随x的增大而减小，图象是自左到右下降的直线

4、用待定系数法求一次函数的解析式

待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知常数，系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。

用待定系数法求一次函数解析式的步骤：

第一步：设关系式

第二步：列方程（组）

第三步：求出结果，写出关系式 5、运用一次函数解决实际问题

建立数学模型运用一次函数解决实际问题的一般步骤

（1）通过实验，测量获得数量足够多的两个变量的对应值。

（2）建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并画出函数图象。

（3）观察图象特征，判定函数类型。

（4）运用得到的经验公式，进一步求得所需要的结果。

例1、已知函数是一次函数，求m的值及函数关系式。

分析：一次函数满足：自变量的次数为1；自变量的系数不为0。

一次函数（3）

知识技能目标

1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标；

2.会作出实际问题中的一次函数的图象.

过程性目标

1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活；

2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题．

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？

（一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）.

2.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线？

（正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）.

3.平面直角坐标系中，x轴、y轴上的点的坐标有什么特征？

4.在平面直角坐标系中,画出函数的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?

二、探究归纳

1.在画函数的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y轴上，点(2,0)在x轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y轴与x轴的交点.

2.求直线y＝-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线.

分析 x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0．由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值．

解 因为x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0，所以当y＝0时，x＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝-3，点(0，-3)就是直线与y轴的交点.

过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y＝-2x-3.

所以一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，.所以直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是. 121xy121xykbx0,kb三、实践应用

1 2. 一次函数的图象

第1课时 一次函数图象的画法及其平移

1．会用两点法画出一次函数的图象；(重点)

2．掌握一次函数图象平移的相关问题．(重点)

一、情境导入

做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

(1)y＝12x； (2)y＝12x＋2；

(3)y＝3x; (4)y＝3x＋2.

观察函数图象有什么特点？

二、合作探究

探究点一：一次函数的图象的画法

在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象．

(1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；

(3)y＝－2x; (4)y＝5x.

解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y＝2x－1的图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y＝x＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y＝－2x的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y＝5x的图象过(0，0)，(1，5)．

解：如图所示．

方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可．

探究点二：一次函数图象的平移

【类型一】 判断一次函数图象的位置关系

（1）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x+1；②y＝x﹣1；③y＝x﹣2．并判断出这三个函数图象之间的位置关系．

（2）已知直线y1＝k1x+b1和直线y2＝k2x+b2，猜想：当k1，k2，b1，b2满足怎样的关系时，直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2相互平行（不用说理）．

解析：（1）根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可；（2）观察（1）的结果，归纳总结即可.

解：（1）函数y＝x+1经过点（0，1），（﹣1，0），函数y＝x﹣1经过点（0，﹣1），（1，0），函数y＝x﹣2经过点（0，﹣2），（2，0），它们的图象如图所示：

观察发现，三个函数图象相互平行；

（2）由（1）的图象知，当k1＝k2，b1≠b2时，直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2相互平行；