八年级数学轴对称知识点总结修订版

第十三章轴对称一、概念1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、让学生知道轴对称图形（一个图形，有一条或多条对称轴）和轴对称（两个图形，只有一条对称轴）的区别与联系4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x,- y）.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.注意：像类似点（x，y）关于X=1对称的题目要学会做法2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等注意：知道角平分线交点（到边相等）和垂直平分线交点（到点相等）的区别四、等腰三角形1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）注意：三线合一不能直接来判定等腰三角形，需要证明全等。

八年级上册数学轴对称知识点总结
八年级上册数学轴对称的知识点总结如下：
1. 轴对称图形：如果一个图形可以折叠成两半，使得两半完全重合在一起，则这个图形是轴对称的。

轴对称图形具有轴对称轴，也称为镜像轴。

2. 轴对称图形的性质：
- 图形的每个点关于轴对称轴对应有另一个点。

- 图形的每一对对称点与轴对称轴的距离相等。

- 图形的任意两点关于轴对称轴的连线垂直于轴对称轴。

3. 轴对称图形的判断方法：
- 观察图形是否可以折叠成两半，使得两半完全重合。

- 观察图形是否和它自己的镜像一样。

4. 轴对称图形的绘制方法：
- 给出轴对称轴，沿着轴对称轴将图形折叠。

- 给定部分图形的对称点，通过连接对称点来绘制完整的轴对称图形。

5. 轴对称图形的性质的应用：
- 可以通过找到轴对称图形的对称点来绘制完整的图形。

- 可以通过轴对称图形的性质来解决有关对称点的问题，如求解距离、面积等。

这些都是八年级上册数学轴对称的知识点的总结，希望对你有所帮助！。

八年级轴对称数学知识点
轴对称是数学中比较基础的概念之一，对数学学习的深入和有效应用有很大帮助。

在初中数学学习中，八年级轴对称是一个非常重要的知识点。

本文将就八年级轴对称这个知识点进行详细的介绍。

一、什么是轴对称
轴对称是指图形对某条直线具有对称性。

具体的表现形式是：图形关于某一直线对称之后，在原图形的基础上能“翻转”到副本的位置，并且重叠相拼即可得到。

二、轴对称的性质
1、轴对称图形的对称轴是唯一的。

2、轴对称图形中的任意一点，关于对称轴的对称点必然满足在对称轴同侧。

3、轴对称图形的内部点对称于对称轴上的点，整体上左右对称。

三、常见八年级轴对称问题类型
1、求轴对称的轴线：当给出轴对称图形时，需要从图形上分
析出轴对称的轴线。

2、用轴对称复制图形：当给出了一个图形和它的对称轴时，
需要求出轴对称的图形。

3、判断轴对称图形：当给出来了几个图形时，需要判断哪些
是轴对称图形。

4、证明轴对称性：当给出一个轴对称图形时，需要证明这个
图形具有轴对称性。

四、轴对称的应用
1、绘画：许多艺术作品都运用了轴对称的特性，如某些建筑物、雕塑等，能够更加精确和美观的呈现在人们面前。

2、工程：在设计一些具有轴对称性质的工程中能够更好地满
足实际需求，如建筑、桥梁等。

3、其他学科：在生物、化学等学科中都涉及到轴对称的概念。

五、本章小结
八年级轴对称是一个相对比较基础且重要的知识点，对于学习几何以及正方形、矩形、圆等问题都有着一定的应用。

掌握了轴对称的性质及应用，能够更好地促进数学的学习效果，提高学生的综合素质。

初中数学轴对称的几何知识点总结轴对称是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到点、线、图形等方面的内容。

下面是数学轴对称的几个重要知识点的总结：1.轴对称的定义：轴对称是指一个图形相对于一些轴线对称，即图形的一部分可通过轴线翻折到另一部分，使得两部分完全重合。

轴线称为对称轴，对称轴上的任意一点，在翻折过程中仍停留在轴上。

轴对称的图形呈镜像对称。

2.轴对称的性质：a.轴对称图形中对称轴的选择不唯一，同一个图形可以有多个对称轴。

b.轴对称的图形上的点经过对称轴翻折后所得的点和原来的点相等。

c.轴对称的图形是封闭的，对称轴上的点保持不变。

d.轴对称的图形上的点和它们的对称点关于对称轴对称。

3.对称图形的判断：判断一个图形是否轴对称有以下几种方法：a.通过纸张折叠法，将图形的一部分折到另一部分，看是否重合。

b.通过将图形看作由简单的基本图形组成，判断每个基本图形是否对称，进而判断整个图形是否对称。

c.观察图形在对称轴上的点，通过比较对称点之间的距离、角度等属性，判断图形是否对称。

4.常见轴对称图形：初中数学中常见的轴对称图形包括：a.点的轴对称：点是轴对称的，即任意一点相对于自身对称。

b.线的轴对称：直线在自身的中点处对称。

c.图形的轴对称：正方形、矩形、正五边形、圆等都是轴对称的图形。

5.轴对称图形的性质：a.轴对称图形的对称中心可以在图形内部或外部。

b.轴对称图形的对称轴通常是图形的中垂线或对角线等。

6.轴对称与平移的关系：轴对称是平移的一种特殊情况，当平移的向量等于对称轴上的一个向量时，平移的结果就是轴对称图形。

7.轴对称的应用：轴对称在几何题目中的应用非常广泛。

例如：a.用轴对称的方法来求图形的面积、周长等属性。

b.利用对称轴的性质来证明等式的成立。

c.利用轴对称的性质来解决几何问题，如寻找图形的对称中心等。

通过以上的总结，希望能够帮助你对初中数学轴对称的几何知识点有一个更全面和深入的了解。

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。

轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。

轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。

以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。

2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。

3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。

- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。

- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。

二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。

如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。

2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。

3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。

三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。

2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。

3. 三阶图形：五角星、六边形等。

四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。

2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。

有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。

五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。

数学八年级轴对称知识点
在八年级数学中，轴对称是重要的几何概念之一。

以下是轴对称的相关知识点：
1. 定义：轴对称是指一个图形以某条直线为轴，对称图形的每个点都与轴上与原点相
对称。

2. 轴对称图形：轴对称图形是具有轴对称性质的图形，例如正方形、矩形、圆等。

3. 轴对称轴：轴对称图形上的轴称为轴对称轴，轴对称轴通常是垂直于对称轴的直线。

4. 轴对称性质：轴对称图形中，如果图形上的某一点关于轴对称轴对称，则该图形上
有另一点与之对称，且该对称点关于轴对称轴对称的点也在图形上。

5. 轴对称性质的判断：判断一个图形是否具有轴对称性质，可以通过折纸法来判断。

将图形沿着可能的轴对称轴线折叠，如果能够使折叠后的两部分完全重合，则图形具
有轴对称性质。

6. 轴对称图形的性质：轴对称图形具有以下性质：
- 图形上任意一点到轴对称轴的距离，与该点的对称点到轴对称轴的距离相等；
- 图形上任意一点到轴对称轴的距离，与该点的对称点到轴对称轴的距离之积为轴对称轴的平方；
7. 轴对称图形的应用：轴对称图形常出现在几何中，例如在折纸、制作对称性的图案
和图形等方面得到广泛应用。

这些是八年级数学中关于轴对称的重要知识点，希望对你有帮助！。

八年级轴对称知识点总结在初中数学中，轴对称是一个十分重要的知识点，它不仅在数学中有很重要的应用，也在其他学科中有着广泛的应用。

在八年级阶段，轴对称的学习已经比较深入了，下面我们来总结一下八年级轴对称的知识点。

一、轴对称的定义轴对称是指图形中存在一条直线，使得图形关于这条直线对称。

我们把这条直线称为轴对称线。

轴对称图形可以分为两类：对称中心在轴对称线上的固定图形和对称中心不在轴对称线上的任意图形。

二、轴对称的性质轴对称有一些很特殊的性质：1.轴对称图形中，对于任意一点P，它的对称点P'在轴对称线上。

2.轴对称图形中，对于任意两点P、Q，它们的中点M在轴对称线上。

3.轴对称图形中，对于任意两线段AB、A'B'，它们的交点M 在轴对称线上。

三、构造轴对称图形构造轴对称图形有以下几种方法：1.已知轴对称线和对称中心，先作出对称中心到轴对称线的垂线，然后将这条垂线翻折到轴对称线下方，就得到了对称图形。

2.已知轴对称线和对称中心，可以通过将每个点关于对称中心旋转180°后，再平移一定距离得到对称图形。

3.对于规则图形如正方形、正三角形等，可以通过旋转、平移等方式得到轴对称图形。

四、轴对称图形的性质应用轴对称图形的性质可以应用到很多场景中：1.在制作对称的艺术品、标志等方面，轴对称是常用的设计方法。

2.在建筑、船舶、汽车等领域，轴对称可以帮助工程师设计更加稳定、均衡的结构。

3.在生物学中，我们也可以看到很多轴对称的生物，例如海星、蟹、蝎子等。

以上就是八年级轴对称知识点的总结了。

但是轴对称的应用远不止于此，我们需要在实践中不断探索和应用它。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。

5、垂直平分线(中垂线)定义垂直并且平分⼀条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．书写格式：判定：∵AO＝A′O，∠1＝90°，∴l 是AA′的垂直平分线．性质：∵l是AA′的垂直平分线，∴AO＝A′O，∠1＝∠2＝90° ．6、轴对称性质成轴对称的两个图形全等，且(1)对应点的连线被对称轴垂直平分．(2)对应点的连线互相平⾏(或在同⼀条直线上)．(3)对应线段相等，对应⾓相等．(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平⾏)．如图：(1)AA′，BB′，CC′，DD′，被l垂直平分．(2)AA′∥BB′∥CC′，CC′、DD′在同⼀直线上．(3)AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D′，AD＝A′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠CDA＝∠C′D′A′．(4)BA、B′A′，BC、B′C′，CD、C′D′的延长线交点在l上．DA、D′A′的延长线平⾏．7、对称轴的作法法1：作⼀条对应点的连线，并作其中垂线．法2：作两条对应点的连线，并分别作其中点，两点确定⼀条直线．法3：分别延长两对对应线段，确定两个交点，两点确定⼀条直线．8、给出⼀个图形及对称轴，作其对称图形的作法过原图形各点画对称轴的垂线，以各点到垂⾜的距离为半径，截取相等，将所作对应点分别相连．⼆、实战演练例1：请在下列三个2×2的⽅格中，各画出⼀个三⾓形，要求所画三⾓形与图中三⾓形成轴对称，且所画的三⾓形顶点与⽅格中的⼩正⽅形顶点重合，并将所画三⾓形涂上阴影．分析：我们应该利⽤轴对称图形的性质，先选择不同的直线当对称轴，再作对称图形．显然⼤⽅格作为正⽅形，有4条对称轴，⽽还有⼀条⽐较难想，对称轴可以经过斜边和直⾓边的中点．解答：例2：如图，桌⾯上有A、B两球，若要将B球射向桌⾯任意⼀边，使⼀次反弹后击中A球，则可以瞄准的点有哪些？分析：本题中，对于桌⾯反弹的问题，其实属于物理中的光路问题，⼊射⾓等于反射⾓，⽽将⼊射⾓作对称后，恰好与反射⾓是对顶⾓，光线在同⼀直线上，因此我们考虑作对称．解答：变式：如图是⼀个台球桌⾯的⽰意图，图中四个⾓上的阴影部分分别表⽰四个⼊球孔.若⼀个球按图中所⽰的⽅向被击出(球可以经过多次反弹)，则该球最后落⼊的球袋是______袋.分析：本题与例2类似，但如果每次都作对称，未免太过⿇烦，我们不难发现⼊射线与桌边的夹⾓为45°，则反射后的夹⾓也为45°，问题得解．解答：例3：如图，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB内⼀点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点M．(1)连接OP1，OP2，求∠P1OP2的度数．(2)若P1P2＝8，求△PMN周长．分析：(1)要求∠P1OP2的度数，直接求显然很困难，我们不妨从对应线段考虑，则想到连接OP．(2)同样的，将组成三⾓形的三条线段中，能找到对应相等的线段找出，进⾏转化．解答：变式：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直线EF对称．(1)画出直线EF；(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐⾓α的数量关系．分析：(1)问不难，只需⽤3种⽅法中的任意⼀种即可．(2)问与例3类似，准确依据题意，画出图形后，根据对称性，连接对应线段就能有所突破．解答：(1)如图，连接B′B′′，C′C′′，各取中点，连接后，直线EF即为所求．(2)连接OB′，∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM＝∠B′OM，同理可得∠B′OE＝∠B′′OE，∴∠BOB′′＝∠BOB′＋∠B′OB′′＝2∠B′OM＋2∠B′OE＝2∠MOE＝2α．。

轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。

轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。

把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义。

经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：（1）定义。

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒ 可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

②等边对等角。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一。

（3）判定。

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 。

第十三章轴对称、知识框架:二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形•⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称 •铀对称图形AA\L区別只对f —冲-)ft-fKmr150对裤轴CF 一佥只冇一舉>(“轴对称旳睛(WK 予秤瓚的俭M 工菲.矗麹»JSt :t 鹽个、曲擢： 心)只有1一頭〉对務柄联系却晁把射对材囲宼泊对禅轴 曲卿撷甘"么卿牛曲癣 轶夭于迭条 W 鑽處抽对耕-如杲把.阿十庇抽对秤的国招 拼& — 妊呑虑一* 益林.外 也亡赣足一亍轴对STSJ 搭-(4) 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直 平分线• (5) 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 •相等的两条边叫做腰， 另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角(6) 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2.基本性质：⑴对称的性质：① 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称， 对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.② 对称的图形都全等•③ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

④ 两个图形关于某条直线成轴对称， 如果它们的对应线段或延长线相交， 那么交点在对称轴上。

⑵线段垂直平分线的性质：① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ② 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点(x, y )关于x 轴对称的点的坐标为(x, -y ).②点（x, y ）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y ）.③点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y ）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等•②等腰三角形两底角相等（等边对等角）③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合•④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等•②等边三角形三个内角都相等，都等于60 °③等边三角形每条边上都存在三线合一④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.（6）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形•②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）•⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形•②三个角都相等的三角形是等边三角形•③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短•常考例题精选1. （2015 •三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是（）2. （2015 •日照中考）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）ABC3. （2015 •杭州中考）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）4. （2015 •凉山州中考）如图，/ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/ 1的度数为（）A.30 °B.45 °C.60 °D.755. （2015 •德州中考）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）771 ~1 ~2 ~~ ~~6 ~7 d F A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4）D.（8，3）6. （2015 •南充中考）如图，△ ABC中, AB=AC Z B=70，则/A的度数是（）A.70 ° B.55C.50 °D.407. （2015 •玉溪中考）若等腰三角形的两边长分别为4和8,贝尼的周长为（）A.12B.16C.20D.16 或208. （2014 •海门模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ ABC向右平移两个单位长度得到△ A B' C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是（）A.（0，-1） B.（1，1） C.（2，-1）D.（1，-1）9. （2015 •绵阳中考）如图，AC BD相交于O, AB// DC AB=BC / D=40，/ ACB= 35°，则/ AOD= ______ .10. （2015 •丽水中考）如图，在等腰厶ABC中，AB=AC Z BAC=50，/ BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则/ CEF的度数1. （2015遵义）观察下列图形，是轴对称图形的是（）2. 点P（5，—4）关于y轴的对称点是（）A. （5，4）B. （5，—4）C. （4，—5）D. （—5，—4）3. 如图，△ ABC与厶ADC关于AC所在的直线对称，/ BCD= 70° ，/ BA B C D=80°，则/ DAC的度数为（）D. 854. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° ，/ B = 15° ，DE 垂直平分AB 交BC于点E，BE = 4，则AC长为（），第4题图）A. 2B. 3C. 4 D .以上都不对6. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图 所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是8. 如图，D ABC 内一点，CD 平分Z ACB ，BE 丄CD ，垂足为D ，交AC 于点 E ，Z A ABE ，AC = 5，BC = 3，贝U BD 的长为（）9.如图，已知S A ABC = 12, AD 平分Z BAC ，且AD 丄BD 于点D ，则S ^ADC的值是（ ）5. 如图，AB = AC = AD ,若/ BAD = 80则/ BCD =(C. 140 D . 1607. （2015玉林）如图，在厶ABC正确的是（ ）EC C . 中，AB = AC ，DE // BC ，则下列结论中不 Z ADE = Z C D . DE = *BC，第5题图）(A . 10 B. 8 C . 610. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A , E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE, AD 与BE交于点O, AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论：①AD = BE;②PQ// AE ;③AP= BQ; ④DE= DP;⑤/ AOB = 60° .其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，D, E ABC两边AB , AC的中点,将厶ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若/ B = 55° ,则/BDF等于____________ .A「，第12题图）13. ____________________________________________________________ 如图，在3X 3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________________________ 种.14. 如图，在厶ABC中，AB = AC , AB的垂直平分线交BC于点D ,垂足15. _______ 在厶ABC中，AC = BC,过点A作厶ABC的高AD ,若/ ACD = 30 贝B = __________ .16. ____ 如图，△ ABC中，D, E分别是AC , AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①/ EBO = /DCO;②/ BEO = /CDO:③BE = CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：.，第16题图）17. _________________________ 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2,则六边形的周长是 .' ，第17题图）18. __ 如图，已知/AOB = 30° ，OC平分/ AOB，在OA上有一点M，OM =10 cm,现要在OC, OA上分别找点Q，N，使QM + QN最小，则其最小值为.，第18题图）19. 如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P.不写作法，保留作图痕迹）23.如图，△ ABC，△ ADE是等边三角形，B，求证：(1)CE=AC + DC; (2)Z ECD = 60° . C，D在同一直线上.20. 如图，在平面直角坐标系中，A( —2, 2), B( —3, —2).(1) 若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为__________ ;(2) 将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为________ ;(3) 求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积.■I r厂m ! I I_ ■i == = Ji1 l:-一十一4二* t： 1 ER I r21. 如图，在厶ABC 中，AB = AC, D 为BC 为上一点，/ B = 30° ，/ DAB45(1) 求/ DAC的度数；(2)求证：DC = AB.22. (2015潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB = CB，AD = CD，角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.请你写出与筝形ABCD的24. 如图,在等腰Rt A ABC中,/ ACB = 90° , D为BC的中点,DE丄AB , 垂足为E,过点B作BF // AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1) 求证：AD丄CF;(2) 连接AF ,试判断△ ACF的形状，并说明理由.25. 如图，已知AE丄FE,垂足为E,且E是DC的中点.(1) 如图①，如果FC丄DC, AD丄DC,垂足分别为C, D,且AD = DC,判断AE是/ FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2) 如图②，如果(1)中的条件“ AD = DC”去掉，其余条件不变，⑴中的结论仍成立吗？请说明理由；(3) 如图③，如果⑴的条件改为“ AD // FC” , (1)中的结论仍成立吗？请说明理由.。

轴对称课本知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指一个图形围绕某条中心轴线旋转180度，旋转后的图形和原图形完全重合。

在二维几何中，轴对称是一种重要的对称形式，常见于各种图形和实物之中。

二、轴对称的性质1. 轴对称图形的两个部分互相对称，互为镜像。

2. 轴对称图形的对称中心为图形的轴心。

3. 轴对称图形每一点的对应点与对称中心的距离相等。

三、轴对称的图形1. 对称图形：直线对称图形是最简单的轴对称图形，常见的有点、线段、正多边形等。

2. 音符：音符是一个常见的轴对称图形，它围绕中心轴线旋转180度后，可以和原音符完全重合。

3. 字母、数字：如字母A、M、H等和数字0、8等都是轴对称图形。

四、轴对称的判断方法1. 观察法：观察图形围绕某一条中心轴线旋转180度后是否和原图形重合。

2. 设坐标法：设定坐标轴，通过图形的对称特点来判断是否轴对称。

3. 折叠法：将图形折叠在对称轴上，判断折叠后两部分是否完全重合。

五、轴对称的应用1. 轴对称图形的设计：在各种设计中，轴对称图形的运用可以使设计更加美观。

2. 轴对称图形的制作：通过手工制作，可以制作各种轴对称图形的手工作品。

3. 轴对称图形的应用：在建筑、工程、美术、工艺等领域都有轴对称图形的应用。

六、轴对称的作用1. 保持图形的对称美：轴对称可以使图形保持一定的对称美。

2. 方便图形的绘制：对称图形通过轴对称可以方便地进行绘制和复制。

七、轴对称的练习1. 描绘轴对称图形：通过规定的对称轴来描绘对称图形。

2. 判断轴对称图形：判断给定图形是否对称，并找出对称轴。

3. 补全轴对称图形：在已知半图形的基础上补全对称图形。

八、轴对称的拓展知识1. 轴对称的组合：两个或多个轴对称图形组合成一个新的轴对称图形。

2. 轴对称的面积计算：轴对称图形的面积计算可以通过对称轴进行分割和计算。

九、轴对称的应用案例1. 建筑设计中的轴对称图形应用：在建筑设计中，轴对称图形的应用可以使建筑更加美观大方。

轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。

轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。

把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义。

经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：（1）定义。

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒ 可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

②等边对等角。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一。

（3）判定。

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 。

八年级上册数学轴对称知识点总结一、引言数学作为一门基础学科，其所包含的内容广泛而深刻。

在八年级上册中，轴对称作为其中的一个重要知识点，对学生来说具有一定的挑战性。

在本文中，我们将以八年级上册数学轴对称知识点为主题，进行全面的评估和总结，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、基本概念1. 关于轴对称轴对称是指平面上存在一条直线，使得图形关于这条直线对称。

一个图形如果可以分成两部分，且其中一部分经过旋转、翻转或平移后可以和另一部分完全重合，那么这个图形就是关于这条直线对称的。

2. 轴对称的性质- 轴对称的图形关于对称轴是对称的。

- 轴对称的图形的对称中心在对称轴上。

- 轴对称的图形的每一点经过对称轴的对称变换后都能恰好在图形上。

三、基本题型在八年级上册数学中，关于轴对称的题型主要包括：1. 判断图形是否轴对称2. 找出图形的对称中心和对称轴3. 根据轴对称的性质，解决相关的计算题目四、实例分析以具体的实例来分析轴对称的知识点：题目：如图，判断图形是否关于虚线对称。

[图片]解析：根据图形可以看出，通过对折可以发现，图形A和图形B可以重合，因此该图形是关于虚线对称的。

又如，若已知一个三角形的对称轴为边AC，对称中心为边BC的中点O，求证△ABC是个等腰三角形。

解析：根据轴对称的性质，可以证明线段BO和OA相等，从而得到△ABC为等腰三角形。

五、拓展应用除了基本的题型和实例分析，八年级上册数学中的轴对称知识点还涉及到一些拓展应用，在真实生活中也是有一定的应用场景的。

在建筑设计中，轴对称的思想可以帮助设计师更好地进行建筑设计和规划，保证建筑物的整体美观和稳定性。

在工程制图和艺术设计中，轴对称也扮演着重要的角色。

六、总结与展望通过对八年级上册数学轴对称知识点的全面评估和总结，我们更深入地理解了轴对称的基本概念、基本题型和实例分析，以及在拓展应用中的意义。

在今后的学习中，我们应该更加注重轴对称知识点的理解和应用，结合实际情况进行综合训练，提高解决问题的能力和思维方式，为未来的学习和生活打下坚实的基础。

八年级数学上册第十三章轴对称知识点总结归纳单选题1、如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B,B′,C′在同一条直线上，∠BAC=∠α，则∠CB′B=（）A．2αB．αC．90°−αD．90°−2α答案：A分析：由翻折的性质可得∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=∠α，∠AB′C′=∠AB′C，再根据角的和差解答即可．解：由翻折的性质可知：∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=∠α，∠AB′C′=∠AB′C，∴∠AB′B=90°−∠B′AC=90°−∠α，∴∠AB′C′=180°−∠AB′B=180°−(90°−∠α)=90°+∠α，∴∠AB′C=90°+∠α，∴∠CB′B=∠AB′C−∠AB′B=90°+∠α−(90°−∠α)=2∠α，∴∠CB′B=2∠α．故选：A．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的两个锐角互余，解决本题的关键是掌握翻折的性质．2、如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）答案：D分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，点A第二次关于x轴对称后在第四象限，点A第三次关于y轴对称后在第三象限，点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2020÷4＝505，∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）．故选：D．小提示：本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．3、下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．小提示：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4、过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )A．B．C．D．答案：C分析：根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．5、在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A2的坐标是（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−1,2)D．(−1,−2)答案：D分析：直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A2点坐标，即可得出答案．解：∵点A1的坐标为（1，2），点A与点A1关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A2关于y轴对称，∴点A2的坐标是（-1，﹣2）．故选：D．小提示：此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．6、一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里答案：C分析：根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB 即可．解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.小提示：本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．7、如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条答案：B分析：根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．小提示：本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8、山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．小提示：本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．9、下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形答案：B分析：分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．小提示：此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．10、如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．2B．3C．4D．5答案：A分析：连接OP1，OP2，P1P2，点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，即得OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，根据OP1＋OP2＞P1P2，可知0＜P1P2＜2.6，即可得答案．连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故选：A．小提示：本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．填空题11、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为______cm．答案：12分析：根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴NP=NP2，MP=MP1，∴△PMN的周长=PN+MN+MP=P2N+NM+MP1=P1P2=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．12、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是____．答案：④×180°=90°，分析：根据全等三角形的性质可得∠AOB=∠AOD，根据平角的定义可得∠AOB=∠AOD=12即可判断①，根据全等三角形的性质得出AB=AD，BO=DO，结合①可得AC是BD的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，不能得出结论④．解：∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD，AB=AD，BO=DO∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠AOB=∠AOD=1×180°=90°，2∴①AC⊥BD正确；∵AB=AD，BO=DO∴AC是BD的垂直平分线，∴②CB=CD正确；∵AB=AD,BC=DC,AC=AC，∴③△ABC≌△ADC正确；由已知条件不能判断④DA=DC．所以答案是：④．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．13、在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）答案：180°﹣α．分析：根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，{AE=EM∠AEC=∠DEMCE=DE，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，{AB=DMBF=DF AF=FM，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，所以答案是：180°﹣α．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14、如图，∠A=∠C=90°，且AB=AC=4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD=CE，当BD+ BE有最小值时，则ΔBDE的面积为________．答案：6分析：延长AC，以点C为圆心，AC为半径，作圆弧交延长线于点G，得AC=CG．连接AE、GE、BG，ΔADB≅ΔCEA≅ΔCEG，得BD=AE=GE，当点B，E，G三点在一条直线，BD+BE=GE+BE距离最短．过点E′作E′H∥AC交BA于点H，得ΔBHE′≅ΔE′CG，得BH=E′C=AH，BE′=E′G，D′，E′为中点时BD+BE值最小．又根据S△BD′E′=S△BAG−S△BAD′−S△D′E′G，即可求出ΔBDE的面积．延长AC，以点C为圆心，AC为半径，作圆弧交延长线于点G，连接AE、GE、BG∴AC=CG，AD=CE又∵AD=CE，BA=AC=CG∴RtΔADB≅RtΔCEA≅RtΔCEG∴BD=AE=GE∴BD+BE=GE+BE由图可知，当点B，E，G在一条直线上，距离最短过点E′作E′H∥AC交BA于点H∴E′H∥AC∴∠BE′H=∠E′GC又∵AC=HE′=CG，∠BHE′=∠E′CG=90°∴ΔBHE′≅ΔE′CG∴CE′=BH=AH=12AB=2∴S△BD′E′=S△BAG−S△BAD′−S△D′E′G∴S△BD′E′=12×8×4−12×4×2−12×6×2=6所以答案是：6．小提示：本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，三角形全等是解题的关键．15、如图，CD垂直平分线段AB，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．答案：3分析：由CD垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离相等，可得AC=BC，AM=BM，AD=BD，从而求得答案．∵CD垂直平分线段AB，∴AC=BC,AM=BM,AD=BD．∴图中一定相等的线段有3对．所以答案是：3．小提示：此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键．解答题16、△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB= PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．答案：(1)证明见解析(2)图②结论：PB=PA+PC，证明见解析(3)图③结论：PA+PB=PC分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△CAP≌△BAF（SAS），得∠CAP=∠BAF，AF=AP，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论；（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△BAP≌△CAF（SAS），得出∠CAF=∠BAP，AP=AF，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；（2）解：图②结论：PB=PA+PC证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AC=AB，CP=BF，∴△CAP≌△BAF（SAS），∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PC=PF+BF=PB；（3）解：图③结论：PA+PB=PC，理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BP=CF，∴△BAP≌△CAF（SAS），∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC．小提示：本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．17、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．(1)如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG＋DC＝AD；(2)如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．答案：(1)①见解析；②见解析(2)FG＝DC+AD分析：（1）①可以证明△ABD为等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小问中三角形全等可知DF＝DC，再去证明FA＝FG，则FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，再证明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，则得到FG＝DC+AD．（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．小提示：本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．18、已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM；(2)如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等．答案：(1)见解析(2)见解析分析：(1)作BC的垂直平分线交AC于M点，根据线段垂直平分线的性质可判断M点满足条件；(2)延长BA、CD，它们相交于点P，再作∠BPC的平分线交AC于N，利用角平分线的性质得到N点到AB和CD的距离相等，则根据三角形面积公式得到△ABN和△CDN的面积相等．（1）解：点M即为所求；（2）如图，点N即为所求．小提示：此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．。

轴对称知识点总结轴对称是初中数学中的重要概念，在几何图形的研究和实际生活中都有广泛的应用。

下面我们来详细总结一下轴对称的相关知识点。

一、轴对称的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

例如，等腰三角形是轴对称图形，底边的高所在的直线就是它的对称轴；矩形是轴对称图形，对边中点的连线所在的直线是它的对称轴。

二、轴对称图形的性质1、对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2、对应线段相等，对应角相等。

3、成轴对称的两个图形全等。

三、轴对称与轴对称图形的区别与联系1、区别轴对称是指两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合，是两个图形的位置关系。

轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，是一个图形自身的特性。

2、联系都有对称轴。

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

四、作轴对称图形1、作轴对称图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形，那么连接一对对应点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。

对于两个成轴对称的图形，对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线。

2、作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

五、用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y）。

2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，y）。

例如，点（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（2，－3）；点（－1，4）关于 y 轴对称的点的坐标为（1，4）。

六、轴对称的实际应用轴对称在实际生活中有很多应用，比如：1、建筑设计中，许多建筑都采用了轴对称的设计，使得建筑更加美观、稳定。

2、飞机、汽车等交通工具的外形设计也常常运用轴对称，以减少空气阻力，提高性能。