高考数学复习 第一章 集合与简易逻辑 1.1 集合的概念.
- 格式：doc
- 大小：232.50 KB
- 文档页数：10
第一章 集合与简易逻辑
§1.1 集合的概念及其基本运算
基础自测
1.（2008· 山东理，1）满足M,且M的集合M的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
2.（2009·成都市第一次诊断性检测）设集合A=，集合B=，则AB等于
（ ）
A. B. C. D.
答案 B
3.设全集U=，集合M=MU，UM=，则a的值为 （ ）
A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8
答案 D
4.(2008·四川理，1设集合U=AB则U（AB）等于 （ ）
A. B. C. D.
答案 B
5.设U为全集，非空集合A、B满足AB，则下列集合为空集的是 （ ）
A.AB B.AUB） C.BUA） D.（UA）（UB）
答案 B
例1 若a,bR,集合求b-a的值.
解 由可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：
①或②
由①得符合题意；②无解.所以b-a=2.
例2 已知集合A=，集合B=
(1若AB，求实数a的取值范围；
(2若BA，求实数a的取值范围；
(3A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.
解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若a=0，则A=R;
②若a＜0，则A=
③若a＞0，则A=
(1当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a＜0时，若AB，如图，
则∴∴a＜-8.
当a＞0时，若AB，如图，
则∴∴a≥2.综上知，此时a的取值范围是a＜-8或a≥2.
(2当a=0时，显然BA；当a＜0时,若BA，如图，
则∴∴-＜a＜0;当a＞0，若BA，如图，
则∴∴0＜a≤2.综上知，当BA时，-
（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
例3（12分）设集合A=B
（1）若AB求实数a的值；
（2）若AB=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围.
解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
（1）∵AB∴2B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3; 1分
当a=-1时，B=满足条件；
当a=-3时，B=满足条件；
综上，a的值为-1或-3. 3分
（2）对于集合B，
=4（a+1）2-4(a2-5=8(a+3.
∵AB=A，∴BA,
①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；
②当=0，即a=-3时，B=，满足条件；
③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件， 5分
则由根与系数的关系得
即矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3. 7分
（3）∵A（UB）=A，∴AUB，∴A 8分
①若B=，则＜0适合；
②若B≠，则a=-3时，B=，AB，不合题意；
a＞-3，此时需1B且2将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1 11分
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.
12分
例4 若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=的不同分拆种数是 （ ）
A.27 B.26 C.9 D.8
答案 A
1.设含有三个实数的集合可表示为也可表示为其中a,d,qR,求常数q.
解 依元素的互异性可知，a≠0,d≠0，q≠0,q≠.
由两集合相等，有（1）或（2）
由（1）得a+2a（q-1）=aq2,∵a≠0, ∴q2-2q+1=0,∴q=1(舍去.
由（2）得a+2a(q2-1=aq,∵a≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-
∵q≠1, ∴q=-综上所述,q=-
2.（1）若集合P= S 且SP,求a的可取值组成的集合；
（2）若集合A=B且B，求由m的可取值组成的集合.
解 （1）P=当a=0时，S=，满足SP；
当a≠0时，方程ax+1=0的解为x=-
为满足SP,可使或即a=或a=-故所求集合为
（2）当m+1＞2m-1，即m＜2时，B=，满足BA；若B≠，且满足BA，如图所示，
则即∴2≤m≤3.
综上所述，m的取值范围为m＜2或2≤m≤3,即所求集合为
3.已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解 方法一 假设存在实数a满足条件AB则有
（1）当A≠时，由ABB，知集合A中的元素为非正数，
设方程x2+(2+ax+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得
（2）当A=时，则有=(2+a2-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件AB的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+ax+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，
因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.
则由根与系数的关系，得解得
又∵集合的补集为∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
4.设集合S=，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i,j=0，1，2，3,则满
足关系式（xx）A2=A0的x(xS的个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
一、选择题
1.(2008·江西理，2定义集合运算：A*B=设A=B则集合A*B
的所有元素之和为 （ ）
A.0 B.2 C.3 D.6
答案 D
2.（2009· 武汉武昌区调研测试）设集合则 （ ）
A. B.
C. D.
答案 A
3.设全集U=R,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P=，且UMP≠，则实数k的取值
范围是 （ ）
A.k＜0或k＞3 B.1＜k＜2 C.0＜k＜3 D.-1＜k＜3
答案 C
4.(2008·安徽理，2集合A=则下列结论中正确的是 （ ）
A.AB B.( RAB-∞,0）
C.AB=(0,+∞） D.（RA）B
答案 D
5. 已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x2+y2≤1}，则 ( ）
A.PQ B.P=Q C.PQ D.P∩Q=Q
答案 A
6.(2008·长沙模拟 已知集合A={x|y=,x∈Z}，B={y|y=x2+1,x∈A},则A∩B为 （ ）
A. B.［0，+∞） C.{1} D.{（0，1）}
答案 C
二、填空题
7.集合A={x||x-3|0}，B={x|x2-3x+2<0}，且BA，则实数a的取值范围是 .
答案 ［2，+∞）
8.(2008·福建理，16 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除
数b≠0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:
①整数集是数域;
②若有理数集QM,则数集M必为数域;
③数域必为无限集;
④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上
答案 ③④
三、解答题
9.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.
解 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.
(1∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.
∴Δ=4-12m<0,即m>.
（2）∵A中只有一个元素，
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;
若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=.
∴m=0或m=.
(3A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，
得m=0或m≥.
10.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.
解（1）由题意知：
a+2=1或(a+12=1或a2+3a+3=1，
∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2, ∴a=0即为所求.
（2）由题意知,或或或
根据元素的互异性得或即为所求.
11.已知集合A=B=
（1）当m=3时，求A（RB）；
（2）若AB，求实数m的值.
解 由得∴-1＜x≤5,∴A=.
（1）当m=3时，B=，则RB=，
∴A（RB）=.
(2∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=,符合题意，故实数m的值为8.
12.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.
解 假设A∩B≠，则方程组
