高中数学必修1第一章 集合与简易逻辑

第一章高一数学（上）第一章集合与简易逻辑 本章内容概述【考纲要求】（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相关关系；掌握充要条件的意义. （3）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 【考点剖析】“集合与简易逻辑”是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础.它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具.集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的柱石之一.高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上.本单元的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想都很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.总之，集合与简易逻辑是高考中考查基础、考查能力与考查进一步学习的潜力的很好的命题材料. 【知识结构图】§1.1集合 预备知识 初中数学基础知识实数分类课本知识导学运用课本知识诠解 重要提示１.集合的相关概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.２.元素与集合的关系集合的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合常用大写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合Ａ，记作a ∈Ａ；如果a 不是集合Ａ的元素，就说a 不属于集合Ａ，记作aＡ（或aＡ）.可见，集合中的元素与集合间是从属关系.给出一个集合A 和一个元素a ，a 要么是Ａ的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一.３.集合的分类按集合元素的个数，集合可分为有限集、无限集和空集.有理数 无理数分数 无理数含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用符号表示.４.集合的表示方法集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.重要提示1.集合是现代数学中不加定义的基本概念，它的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．集合中的元素可以是人、物、数点、式子、图形等．2.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.列举法常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.其中表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用删节号.3.｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝有时也可写成｛x∈Ａ：Ｐ（x）｝或｛x∈Ａ；Ｐ（x）｝.4.图示法的使用对象具(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这样的表示方法叫列举法.其特点是：①元素一般是有限个；②元素不重复，不遗漏，不计顺序地列举出来；③元素间用“，”隔开.(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.一般格式为｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝，其中，x是集合的代表元素，Ａ是x的取值范围，Ｐ（x）是确定x应满足的条件.｛x∈A|Ｐ（x）｝即表示使命题Ｐ（x）为真的A中诸元素之集.例如，｛x∈R|x≤5｝，若从前后关系来看，集合Ａ已很明确，则可使用｛x|Ｐ（x）｝来表示，例如｛x|x≤5｝.为了形象地表示集合，常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合，这种方法叫图示法(也称韦恩图法).5.常用的数集及其记法全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+.全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q；全体实数的集合通常简称实数集,记作R.基础例题点拨【例题1】下列各题中,分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集：(1)组成中国国旗图案的颜色；(2)世界上最高的山峰；(3)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)组成的一切自然数；(4)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l＞0)的所有的点P.【解析】(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；有一定的局限性,但在处理有关抽象集合问题时,却有着独特作用.（1）自然数集与非负整数集是相同的,即自然数集包括数0；（2）Q、Z、R中排除0的集分别可表示为Q*、Z*、R*.随笔：一拖二拖1用适当方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负偶数的集合.答案:｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)大于10的所有自然数组成的集合.答案:｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)方程x２-4=0的解集.答案:｛-2,2｝,有限集;(4)方程(x-1)２(x-2)=0的解集.答案:｛1,2｝,有限集.(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213,231，312，321｝，有限集；(4)｛p|PO=l｝（Ｏ是定点,l是定长），无限集.(2)｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集.【思路点拨】对于有限集并且集合中的元素比较少时，一般采用列举法表示，并且不必考虑元素之间的顺序；对于有限集中元素比较多，以及无限集，通常采用描述法表示.【例题2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)｛1，5｝；(2)｛x|x 2+x-1=0｝；(3)｛2，4，6，8｝；(4)｛x ∈N|3＜x ＜7｝. 【解析】(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---251,251；(3)｛x|x 是大于1，且小于9的偶数｝； (4)｛4，5，6｝【思路点拨】描述法表示集合的格式是｛x ∈A|Ｐ（x ）｝.因而(2)、(4)是描述法，(1)、(3)是列举法.列举法和描述法是表示集合的两种不同方式，它们可以互相“转化”.重难点突破重点·难点·易混点·易错点·方法技巧 重难点1.重点：集合的基本概念与表示方法，以及集合元素的三个性质的重要应用.正确表示集合是为了更好地学习后面的知识，解题过程中一定要注意满足集合的互异性.2.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法和描述法，正确表示一些简单的集合.集合的元素类型多是以数、点、图形或集合等形式出现.对于已知的集合，必须知道集合元素的形式.如集合｛y|y=x2+1｝表示函数的所有函数值即｛y|y ≥1｝；集合｛x|y=x2+1｝表示函数 拖2把下列集合用另一种方法表示出来. (1)｛-1,0,1,2｝；答案:｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2) ｛x ∈Z|16-x ∈N ｝； 答案: 由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3)｛x|(x+1)x-32(x2-2)(x2+1)=0,x ∈Q ｝答案: {-1, 32}.拖3指出下列集合的异同点． Ａ=｛x|y=x2-1｝ B=｛y|y=x2-1｝ C=｛(x,y)|y=x2-1｝答案: A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合.的所有自变量的取值即｛x|x ∈R ｝，它们都是数集；集合｛(x ，y)|y=x 2+1｝表示抛物线y=x 2+1上的所有点，是点集.易混易错点 1. 易混点(1)数集与点集的区别用描述法表示数的集合时，其一般格式为｛x|Ｐ（x ）｝，即竖线“|”的前面是一个字母；而用描述法表示点集的一般格式为｛(x ，y)|Ｐ(x ，y)｝，即“竖线|”的前面是一对有序实数.(2)元素与集合的区别对于任一个字母a ，没有将其写在大括号内或写在封闭的曲线内，则a 表示元素,而｛a ｝表示含有一个元素a 的集合.(3)｛a ，b ｝与｛(a ，b)｝的区别｛a ，b ｝表示双元素集，即含有两个元素a 和b ，而｛（a ，b ）｝表示单元素集，即点集. (4)0与｛0｝、0与、与｛｝的区别0表示一个元素0，｛｝表示含有一个元素0的单元素集,表示空集(不含任何元素的集合)，{}表示含有一个元素的单元素集.2.易错点(1)忽视集合元素的确定性集合元素有三大特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，元素或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者只能选其一.同时，一个给定的集合，它的元素所表示的意义是明确的，不能模棱两可.如“漂亮的花”就不能构成一个集合，因为“漂亮的花”没有明确的客观标准，也就难以判断某些对象是否属于这个范畴；（2）互异性：一个集合里的任何两个元素是不相同的，相同的元素在集合中只能算一个元素，如｛x|x 2-2x+1=0｝用列举法只能表示为｛1｝，而不能写成｛1，1｝；（3）无序性：用列举法表示集合时，其元素的排列是不讲次序的，如集合｛1，2，3｝与｛2，1，3｝及｛3，1，2｝均表示同一个集合.随笔： 拖4下列集合表示空集的有( )个 (1)｛y|y 2+1=0｝ (2)｛(x,y)|x 2+y 2=1｝ (3)｛x|ax 2+x+1=0｝ (4)｛x ∈Q|(x 2-3)(x4-16)=0｝ A.1B.2C.3D.4答案: A,只有(1)是空集.【例题3】下列所给对象不能构成集合的是( ) A .平面内的所有点B .平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点C .平方小于1的实数D .高一年级个子高的同学【错解】本题容易错选A.因为不知道是指哪个平面.【易错分析】判断所给对象是否构成集合，其理论依据是集合元素所具有的三大特性：确定性、互异性、无序性.本题选项D.中的对象含糊不清，所谓“个子高”没有明确的客观标准. 【正解】根据集合元素的确定性知选D.(2)忽视集合元素的互异性【例题4】若-3∈｛x-3，2x-1，x2-4｝，求实数x 的值.【错解】依题意有-3=x-3，-3=2x-1或-3=x 2-4,解得x=0，x=-1或x=±1，∴x 的取值为0，-1，1. 【易错分析】利用确定性解出所有的可能值，再要进行检验看是否满足互异性.【正解】依题意有-3=x-3或-3=2x-1或-3=x ２-4,解得x=0，-1，1，经检验当x=-1时，2x-1=-3=x 2-4,不符合集合元素的互异性，故舍去，∴x=0或1.(3)不能正确表示集合,两种表示方法混淆使用【例题5】可以表示方程组 的解集的是( )A.｛x=1，y=2｝B.｛1，2｝C.｛(1，2)｝D.｛(x ，y)|x=1，y=2｝E.｛(x ，y)|x=1且y=2｝ 拖5给出下列５种说法： (1)著名科学家组成一个集合; (2)1,32, 46,|21 |,0.5这些数组成的集合有5个元素; 答案: 中集合只有3个元素,((3)｛0｝是空集;答案: 是含有一个元素0的集合.(4)数轴上离原点很近的点可组成一个集合;(5)集合｛x|x=2k-1,k ∈Z ｝与集合｛y|y=2s+1,s ∈Z ｝表示的是同一集合,其中正确的说法的序号是. 拖6求实数集｛１，a,a 2-a ｝中a 的数值．x+y=3x-y=-1答案: 依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a?a 1a -a?1a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.拖7如图1-1-1(1)和(2)分别给出了集合A 、B,试用除图示法以外的方法给出集合A 、B.答案:图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝.图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. F.(x ，y)|⎭⎬⎫⎩⎨⎧==21y x G.｛(x ，y)|(x-1)2+(y-2)2=0｝ 【错解】答案出现A 、B 或D. 【易错分析】方程组的解⎩⎨⎧==21y x 是一个点，因而解集是一个点集，应注意选项的等价性.【正解】应选C 、E 、F 、G.【思路点拨】C 表示的是列举法，F 表示的是描述法，而E 、G 与F 等价.对于D 中的元素有无数个点，表示常函数x=1及常函数y=2两条直线上的所有点.方法技巧1.正确选用集合的表示法集合有三种不同的表示方法，在使用中各有利弊.列举法使人对集合中的元素及其属性一目了然，但有时较繁，对无限集无法使用，有局限性；描述法虽然简捷明了应用范围广，但对其中元素属性的认识还得借助自己的理解，往往容易出错；图示法形象直观，也具有一定的局限性.【例题6】试用适当方法表示下列集合： (1)数轴上与原点的距离小于1的所有点；(2)平面直角坐标系中第二象限角平分线上的所有点； (3)所有非零偶数；(4)所有被3除余数是２的数.【解析】(1)｛x||x|＜1＝；(2)｛(x ，y)|y=-x ，x ＜0＝； (3)｛x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0｝或{x|2x∈Z ，且x ≠0}； (4)｛x|x=3k+2,k ∈Z ｝或｛x|x=3k-1,k ∈Z ｝.【思路点拨】数轴上的点表示的也是数，因而是数集．描述法表示集合有三种语言形式：文字语言、符号语言和图形语言．因而（３）也可表示为｛所有非零偶数｝，这是描述法的文字语言．当用符号不易表示集合元素的公共属性时，可用文字语言描述集合．图1-1-1随笔：拖8已知集合Ａ＝｛小于６的正整数｝，Ｂ＝｛小于１０的质数｝，Ｃ＝｛２４和３６的正公约数｝，用列举法表示集合： （１）Ｍ＝｛x|x ∈A 且x ∈C ｝答案: A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.（２）N=｛x|x ∈B 且x C ｝随笔：２．根据“元素在集合中”解题【例题7】已知集合Ａ＝｛－１，２，３，a 2+2a-3,|a+1|｝,其中a ∈Ｒ，（１）若５是Ａ中的一个元素，求a 的值；（２）是否存在实数a ，使得Ａ中的最大元素是１２？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．【解析】（１）若a 2+2a-3＝５，则a 2+2a-８＝０，∴a=2或a=-4；但此时都有|a+1|=3,与集合中元素的互异性相矛盾，∴a ≠2且a ≠-４； 若|a+1|=5,则a=-6或a=4，此时a 2+2a-3=21,符合题意，故所求a 的值为－６或４．（２）若存在这样的实数a,则a 2+2a-3=１２，且|a+1|＜１２或|a+1|＝１２，且a 2+2a-3＜１２，由于|a+1|＝１２时，a 2+2a-3＝（a+1）2-4=140，∴后一种情况不存在，由第一种情况解得a=3或a=-5，即这样的a 值存在，且a=3或a=-5．【思路点拨】利用“元素在集合中”这一概念来确定某些待定系数时，一要进行相应的分类讨论，二要对所求结果进行必要的检验．这是由集合中元素的“三性”所决定的，若一旦忽视，将出现错误．名题活题创新探究 例题分析解答【例题8】已知集合Ａ＝｛x|ax 2+2x+1=0,x ∈R ｝，其中a ∈R. （１）若１是Ａ中的一个元素，用列举法表示Ａ； （２）若Ａ中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合Ｂ； （３）若Ａ中至多有一个元素，试求a 的取值范围．【分析】集合Ａ表示的是方程ax 2+2x+1=0在实数范围内的解集，问题由此转化为方程的有解，求解讨论问题． 拖9已知集合Ａ＝{x|x2+px+q=x},集合Ｂ＝{x|（x －１）2+p （x-1）+q=x+3}，当Ａ＝｛２｝时，求集合Ｂ．答案: ∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4.∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝.随笔：拖10已知集合Ａ＝｛x|ax+b=1｝,B=｛x|ax-b ＞４｝，其中a ≠0,若Ａ中的元素必为Ｂ中的元素，求实数b 的取值范围．答案: ∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 随笔：【解析】（１）∵１是Ａ的元素，∴1是方程ax 2+2x+1=0的一个根，∴a ·12+2·1+1=0，即a=-3，故方程为－３x 2+2x+1=0，∴x １=1，x ２=-31，此时集合Ａ＝｛-31，１｝； （２）若a=0，方程化为2x+1=0，此时有且仅有一个根x=-21; 若a ≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝４－４a=0，即a=1时，方程有两个相等的实根x １=x ２=-1，此时集合Ａ有且仅有一个元素，由可知Ｂ＝｛０，１｝.（３）集合Ａ中至多有一个元素包括两种情况： Ａ中有且只有一个元素，由(2)知a=0或a=1； Ａ中一个元素也没有，即Ａ＝，此时a ≠0且Δ＝４－４a ＜0,∴a ＞1,由此可知a 的取值范围是：｛a|a ≥1或a=0｝.知识链接集合论起源于康托尔，是从最简单的概念出发，利用纯粹的推理而建立起来的重要数学分支.具有某种属性的事物的全体称为“集合”，组成集合的每个事物称为该集合的元素，研究集合的运算及其性质的数学分支称为“集合论”.康托尔：(1845～1918)德国数学家，集合论创始人，函数三角级数表示惟一性的研究引发他对无穷点集的探索，于1872年提出以柯西序列定义无理数的实数理论，1874年提出集合概念，证明有理数集可列而实数集不可列；1878年建立势(基数)概念，提出连续统假设，指明无穷集自身与真子集间有一一对应.能力达标检测1.下列条件所指的对象能构成集合的是( )Ａ.与2接近的数Ｂ.著名的足球运动员C.大于２而小于３的有理数Ｄ.旦夕祸福与不测风云答案: C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.２.对于关系①３2｛x|x ≤17｝,②3∈Ｑ，③0∈Ｎ，④0∈，⑤｛π｝与｛3.1415926｝表示同一集合,其中正确的个数是( )个.随笔： A.4B.3C.2D.1答案: C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.集合A=｛x ∈R|x 2+x+1=0｝,B=｛x ∈N|x(x 2+6x+10)=0｝,C=｛绝对值小于2的质数｝,D=｛(x,y)|y 2=-x ２,x ∈R,y ∈R ｝其中是空集的有( )个.A.1B.2C.3D.4答案: B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.下列表示同一个集合的是( ).A.M=｛(1，2)｝，N=｛(2，1)｝B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝C.M=｛y|y=x-1,x ∈R ｝,N=｛y|y=x-1,x ∈N ｝D.M=(x ，y)21--x y =1，N=｛(x ，y)|y-1=x-2｝ 答案: B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.设三角形三边长分别为a ，b ，c ，若它们能构成集合A=｛a ，b ，c ｝，则此三角形一定不是( ). A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案: D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合中，最多含有( )个元素.A.2B.3C.4D.5答案: A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x 当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.集合A=｛一条边为1,一个角为40°的等腰三角形｝中的元素个数为( ). A.2B.3C.4D.无数个答案: C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C.8.已知集合Ｍ＝｛(x,y)|x+y=2｝,N=｛(x,y)|x-y=4｝,那么，集合｛x|x ∈M 且x ∈N ｝为( ). A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.｛3,-1｝D.｛(3,-1)｝答案: D 提示：方程组的解集是点集.９.设a,b,c 为非零实数,则A=||||||||abc abc c c b b a a +++的所有值组成的集合为( ). A.｛4｝B.｛-4｝C.｛0｝D.｛0,-4,4｝答案: D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论.10.集合｛3,49,37,25 ,…｝可表示为( ). A.｛x|x=nn 212+,n ∈N*｝B.｛x|x=n n 32+,n ∈N*｝C.｛x|x=n n 12-,n ∈N*｝D.｛x|x=nn 12+,n ∈N*｝答案: D 提示：取n=1,2,3进行排除.11.集合A=｛(x,y)|y=-1+x-2x2,x ∈R,x ≠0｝，若点P 的坐标(x,y)∈A,则( ). A.P 在第一象限或第二象限B.P 在第三象限或第四象限 C.P 在第一象限或第四象限D.P 在第二象限或第三象限答案: B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.集合Ａ＝｛x|x=2k,k ∈Z ｝，Ｂ＝｛x|x=2k+1,k ∈Z ｝,C=｛x|x=4k+1,k ∈Z ｝,又a ∈A,b ∈B,则有( ). Ａ.a+b ∈AB.a+b ∈B C.a+b ∈CD.a+bA 、B 、C 中任何一个答案: B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数.13.集合｛2x,-x+x 2｝中x 的取值范围为.答案: x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x2.14.设M=｛x ∈Z|x-512∈N ｝,用列举法表示集合M=. 答案: ｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12.15.定义A-B=｛x|x ∈A 且xB ｝,若M=｛1,2,3,4,5｝,N=｛2,3,6｝,则N-M=.答案: ｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.n 是正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n 称为“怪异数”,则“怪异数”的集合是.答案: ｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13. １７.已知｛x|x2+ax+b=0｝=｛3｝,求a ２+b ２+ab 的值.答案: ∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63.１８.设A=｛(x,y)|21x y - =1｝,B=｛(x,y)|y=1-x ２｝,若集合C=｛(x,y)|(x,y)∈B 且（x,y ）A ｝，用列举法表示C.答案: 依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝.19.已知集合A=｛x|mx ２-3x+2=0,m ∈R ｝,(1)若A=,求m 的取值范围;(2)若A 中至多有一个元素,求m 的范围.答案: (1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.已知A=｛a-3,2a-1,a ２+1｝,其中a ∈R,(1)若-3∈A,求实数a 的值;(2)当a 为何值时,集合A 的表示不正确?答案: (1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.设集合A=｛x|x=m 2+n 2,m,n ∈Z ｝,若a,b ∈A,证明:①ab ∈A ②ba＝p 2+q 2,其中b ≠0,p 、q ∈Q. 答案: ①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=b n ,∴p,q ∈Q,∴ba=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q.22.集合A=｛x|x=3n+1,n ∈Z ｝,B=｛x|x=3n+2,n ∈Z ｝,C=｛x|x=6n+3,n ∈Z ｝,(1)若c ∈C,求证：必有a ∈A,b ∈B 使c=a+b;(2)对任意的a ∈A,b ∈B,是否一定有a+b ∈C ？证明你的结论.答案: (1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.参考答案【一拖二】1.(1)｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集. 2.(1)｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2)由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3){-1, 32}. 3.A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合. 4.A,只有(1)是空集.5.(5).其中(1)中“著名”和(4)中“很近”均是模糊概念,没有明确标准,(2)中集合只有3个元素,(3)是含有一个元素0的集合.6.依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a a 1a -a 1a 2解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.7.图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝. 图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. 8.A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝ ∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.9.∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4. ∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝. 10.∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 【能力达标检测】1.C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.2.C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x ,当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C. 8.D 提示：方程组的解集是点集. 9.D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论. 10.D 提示：取n=1,2,3进行排除. 11.B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数. 13.x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x 2. 14.｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12. 15.｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13.17.∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63. 18.依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝. 19.(1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.(1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=bn,∴p,q ∈Q,∴a 〖〗b=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q. 22.(1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.【课本习题】 练习P5 (略)1∈N ，0∈N ，-3N ，0.5N ，2N ； 1∈Z ，0∈Z ；-3∈Z ；0.5Q ，2Z ； 1∈Q ，0∈Q ，-3∈Q ，0.5∈Q ，2Q ；1∈R ，0∈R ，-3∈R ；0.5∈R ，2∈R.练习P6页(1)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(2)｛1，2，3，6｝，有限集； (3)｛-2，2｝，有限集；(4)｛2，3，5，7｝，有限集.(1)｛x|x 是4与6的公倍数｝，无限集；(2)｛x|x=2n ，n ∈N*｝，无限集； (3)｛x|x2-2=0｝，有限集；(4)x|x ＜11〖〗4，无限集. 习题1.1 1.(1)；(2)；(3)∈；(4).2.(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，有限集； (4)｛P|PO=l ｝(O 是定点，l 是定长)，无限集. 3.(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)-1-5〖〗2，-1+5〖〗2； (3)｛x|x 是大于1且小于9的偶数｝；(4)｛4，5，6｝.§1.2子集、全集、补集预备知识1.集合的概念：某些指定的对象集在一起组成一个集合.2.集合的表示法：列举法和描述法.课本知识导学运用 课本知识诠解 重要提示１.子集的概念一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A B（或B A）.当集合Ａ不包含于集合Ｂ，或集合Ｂ不包含集合Ａ时，记作A B(或B A).２.集合相等一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.３.真子集对于两个集合Ａ与Ｂ，如果A B，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.用图形语言可表示为:图1-2-11.子集的概念用数学符号表示为“ＡB若a∈A,则a∈B”.也可用,也可以用；也可用,也可用.2.用数学符号表示集合相等的概念为“A=B若a∈A，则a∈B；且若a∈B，则a∈A”A B且B A.Ａ是Ｂ的真子集用符号语言表示为“ＡＢk若a∈A，则a∈B，且至少存在一个元素b∈B，但b A”．4.当Ａ＝时，Ａ的表示是错误的．5.A在Ｓ中的补集ＣＳＡ可用图表示为：４.子集与真子集的相关结论(1)任何集合是它本身的子集.故有，A，A A成立;(2)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.(3)集合与集合间的包含关系与相等关系满足传递性,即:若A B,B C,则A C;若A B,B C,则A C;若A＝B,B＝C,则A＝C.5.全集与补集的概念(1)全集:如果一个集合中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.全集通常用U来表示.(2)补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即CSA=｛x|x∈S,且x A｝.(3)补集的特殊性质：CSS=，CS=S，CS（CSA）=A.基础例题点拨【例题1】写出集合｛a,b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.【解析】集合｛a,b｝的所有子集是，｛a｝,｛b｝,｛a,b｝,其中，｛a｝,｛b｝是｛a,b｝的真子集.【思路点拨】若集合A有n个元素,则它的子集有2n个,真子集个数有2n-1个(即去掉与集合A本身相等的那一个).写出子集时,可通过含有0个元素(即空集),1个元素,2个元素,…n个元素的子集依次写出.【例题2】填空:(1)如果全集U=Z,那么N的补集C U N=;图1-2-2随笔：随笔：拖1写出符合条件{1}A{1，2，3，4}的所有集合A。

⊂⊂⊂高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义第一讲集合【辅导内容】 1、集合2、子集、全集、补集3、交集、并集 【学习内容】 一、集合的概念1、常用数集及其记法。

φ空集 N 非负整数集，自然数集 N +或N +正整数集 Z 整数集Q 有理数集 R 实数集 C 复数集 2、集合中元素的特征确定性；互异性；无序性， 会判断一组对象是否组成集合 3、集合的表示方法 ①列举法②描述法{x| p(x)} 4、集合的分类空集，有限集，无限集 二、子集，全集，补集1、掌握子集，真子集，全集，补集的概念及表示方法2、掌握子集，补集的性质①A ⊆B B ⊆C 则A ⊆C A ≠B B ≠C 则A ≠C②A ⊆BB ⊆A则A=B③Cu(CuA)=A ；CuU=φ，Cu φ=U ，CuA ⊆U ④φ⊆A ，A ⊆A三、交集、并集1、掌握交集、并集的概念及表示方法2、结合文氏图，掌握交集并集的性质①A ∩A=A ，A ∩φ=φA ∪A=A ，A ∪φ=A ②(A ∩B)⊆A ，(A ∩B)⊆B(A ∪B)⊇A ，(A ∪B)⊇B③A ∩B=B ∩A A ∪B=B ∪A ④若A ⊆B 则A ∩B=A 反之也其 若A ⊆B 则A ∪B=B 反之也其 ⑤(A ∩B) ⊆(A ∪B)当且仅当A=B 时，A ∩B= A ∪B⊂⊂3、结合文氏图及数轴会求两集合的交集，并集，补集四、1、理解奇数、偶数的定义，会用集合语言表示奇数集，偶数集、整数集之间的关系2、注意a 与{a}的区别，以及φ，0，{0}的区别。

【例题选讲】例1、已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 取值范围 分析：（1）集合只有一个元素时有两种情形： ①a=0，方程为2x+1=0，只有一个根为21-=x ②当a ≠0时，△=0，即4-4a=0，∴a=1，这时方程有两个相同的实数根x 1=x 2=-1 由①②可知，当a=0或a=1时，A 中只有一个元素，分别为21-或-1 （2）若A 为空集，则必须有⎩⎨⎧<-=∆≠0440a a ，解得a>1。

高中数学核心知识点及基本思想方法总结第一章 集合与简易逻辑¤第一部分·集合与集合运算¤◆内容概述◆集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。

“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。

目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。

集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。

要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。

了解空集和全集的意义。

了解属于、包含、相等关系的意义。

掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

◆知识点拨◆※< 1 >※ 集合与元素。

一般地，某些指定的对象．．．．．集在一起就成为一个集合（确定性）。

集合中每个对象叫做这个集合的元素。

【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么） ②元素与集合的关系。

（属于∈、不属于∉）【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==，若B b A a ∈∈,，试判断a+b 与A 、B 的关系。

〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量，即解作：Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,，此法失去任意性。

〖解答〗.,,.1)(2,,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈ ③集合中元素的三个特征。

（确定性、互异性、无序性） 【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ，其中R a ∈。

（1）若A ∈-3，求实数a 的值；（2）当a 为何值时，集合A 的表示不正确？〖解答〗.2,,,11213123:,,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。

高中数学知识点总结目录第一章一一集合与简易逻辑 (1)第二章一一函数 (4)第四章三角函数 (19)第六章不等式 (33)第七章直线和圆的方程 (38)第八章圆锥曲线 (48)第九章(B)直线、平面、简单几何体 (53)第十章排列、组台、二项式定理 (69)第三章导数 (78)第一章一一集合与简易逻辑集合一识点归纳：定义：一组对象的全体形成一个集合.特征：确定性、互异性、无序性.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图分类：有限集、无限集.数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集如关系：属于E、不属于£、包含于J(或U)、真包含于5、集合相等=・运算：交运算ACB={x|xEA且XEB}；并运算AUB={x|xGA或xEB};补运算C u A={x\x^A且xCU},U为全集性质：ACA：<1)CA：若ACB.BJC,则AJC：AAA=AUA=A；AA4> =4>：AU4)=A：AAB=A<=>AUB=B<=>ACB；Anc t/A=4)；AUC"A=I：C[7(C L rA)=A：C L-(AoB)=(C Lr A)n(C L.B).方法：韦恩示意图，数轴分析.注意:①区别6与W、乒与己、a与{a}、4>与{4)}.{(1,2)}与{1,2}；②ACB时，A有两种情况：A=4>与AN4>・③若集合A中有n(WGAT)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2”，所有真子集的个数是2”-1,所有非空真子集的个数是2”-2.④区分集合中元素的形式:如A={x\y=x2+2x+l}^B={y\y=x2+2x+l}^ C={(x,y)|y=X：+2x+1}：D={x\x=x2+2x+]}i E=((x,y)|y=x2+2x+l,x e Z,y e Z}:F={(x,V)|y=尸+2x+1}；G={z|y=[2+2x+l,z=与.X空集是指不含任何元素的集合.{0}、。

(名师选题)部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案必考知识点归纳单选题1、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}2、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)3、设命题p:∃x0∈R，x02+1=0，则命题p的否定为（）A．∀x∉R，x2+1=0B．∀x∈R，x2+1≠0C．∃x0∉R，x02+1=0D．∃x0∈R，x02+1≠04、已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=（）A．{x|1<x≤2}B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4}D．{x|1<x<4}5、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．36、若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7、设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=（）A．−1B．−2C．2D．08、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4多选题9、集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为（）A．{x|x是不大于9的非负奇数}B．{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}C．{x|x≤9,x∈N∗}D．{x|0≤x≤9,x∈Z}10、已知P={x|x2−8x−20≤0}，集合S={x|1−m≤x≤1+m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值可以是（）A．−1B．1C．3D．511、已知关于x的方程x2+(m−3)x+m=0，则下列说法正确的是（）A．当m=3时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是m>1C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0填空题12、已知集合A={y|y=x2−32x+1,x∈[34,2]}，B={x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为________．13、能够说明“∀x∈N∗，2x≥x2”是假命题的一个x值为__________．部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案(二十五)参考答案1、答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，故选：D．2、答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|>3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D3、答案：B分析：根据存在命题的否定为全称命题可得结果.∵存在命题的否定为全称命题，∴命题p的否定为“∀x∈R，x2+1≠0”，故选：B4、答案：B分析：根据集合交集定义求解.P∩Q=(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.5、答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x ∈R ，x 2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x ∈R ,x 2+2x +1≤0，则¬p:∀x ∈R ,x 2+2x +1>0，故③错误；对于④：ac 2>bc 2可以推出a >b ，所以a >b 是ac 2>bc 2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C6、答案：D分析：根据集合元素的互异性即可判断.由题可知，集合M ={a,b,c }中的元素是△ABC 的三边长，则a ≠b ≠c ，所以△ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．7、答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1， ∴a −b =0.故选：D.8、答案：B分析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a 的值.由A ∪B ={−2,−1,0,4,16}知，{a 2=4a 4=16，解得a =±2 故选：B9、答案：AB分析：利用描述法的定义逐一判断即可.对A ，{x |x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A 正确；对B ，{x |x =2k +1,k ∈N ,且k ≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B 正确；对C ，{x |x ≤9,x ∈N ∗ }表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C 错误；对D ，{x |0≤x ≤9,x ∈Z }表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D 错误.故选：AB.10、答案：ABC分析：解不等式得集合P ，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于m 的不等式组，解得m 范围即可得结果. 由x 2−8x −20≤0，解得−2≤x ≤10，∴P =[−2,10]，非空集合S ={x |1−m ≤x ≤1+m }，又x ∈P 是x ∈S 的必要条件，所以S ⊆P ，当S =∅，即m <0时，满足题意；当S ≠∅，即m ≥0时，∴{−2≤1−m 1+m ≤10，解得0≤m ≤3， ∴m 的取值范围是(−∞,3]，实数m 的取值可以是−1,1,3，故选：ABC.11、答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0 ,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.12、答案：(−∞,−34]∪[34,+∞) 分析：求函数的值域求得集合A ，根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围. 函数y =x 2−32x +1的对称轴为x =34，开口向上，所以函数y =x 2−32x +1在[34,2]上递增，当x =34时，y min =716；当x =2时，y max =2.所以A =[716,2].B ={x|x +m 2≥1}={x|x ≥1−m 2}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以1−m 2≤716，m 2≥916，解得m ≤−34或m ≥34，所以m 的取值范围是(−∞,−34]∪[34,+∞).所以答案是：(−∞,−34]∪[34,+∞)13、答案：3分析：取x =3代入验证即可得到答案.因为x =3∈N ∗，而23<32，∴说明“∀x ∈N ∗，2x ≥x 2”是假命题．所以答案是：3小提示：本题考查命题与简易逻辑，属于基础题．。

高一上册数学课本内容 Prepared on 22 November 2020高一数学课本内容第一章集合与简易逻辑本章概述1.教学要求[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法;熟练掌握一元二次不等式的解法.[3]理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件.2.重点难点重点：有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应用;逻辑联结词"或"、"且"、"非" 与充要条件.难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系;"四个二次"之间的关系;对一些代数命题真假的判断.3. 教学设想利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分析法;渗透两种数学思想--数形结合思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--文字语言、符号语言、图形语言的转译.集合(2课时)目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。

教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法--列举法与描述法，正确表示一些简单的集合教学过程：第一课时一、引言：(实例)用到过的"正数的集合"、"负数的集合"、"不等式2x-1>3的解集"如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

集合与元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出："集合"如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：用大括号表示集合 { ... }如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}常用数集及其记法：1.非负整数集(即自然数集) 记作：N2.正整数集 N*或 N+3.整数集 Z4.有理数集 Q5.实数集 R集合的三要素： 1。

第一章“集合与简易逻辑”教材分析本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．本章共编排了8小节，教学时间约需22课时：1．1 集合约2课时1．2 子集、全集、补集约2课时1．3 交集、并集约2课时1．4 绝对值不等式的解法约2课时1．5 一元二次不等式的解法约4课时1．6 逻辑联结词约2课时1．7 四种命题约2课时1．8 充分条件与必要条件约2课时小结与复习约4课时说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素．一内容与要求大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节．第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料．这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念．这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍．第二大节是“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》的规定，本章的教学要求是：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．二本章的特点⒈注意初中与高中的衔接近年来，在与本章有关的内容上，按照教学大纲，初中的教学要求有哪些变化呢？先看有关集合的部分．初中适当渗透一些集合思想，这一点基本没有变化．此外，初中去掉了一元二次不等式与绝对值不等式的内容．再看有关逻辑的部分．1996年以前的初中毕业生，应该达到以下要求：⑴了解命题的概念；⑵初步掌握逆命题和逆定理的概念，能正确叙述题设与结论都是简单命题的命题的逆命题，了解正确命题的逆命题的逆命题不一定正确；⑶了解四种命题及其相互关系；⑷理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简单的几何题．从1996年起，对于高一新生，初中的要求又有进一步调整．上述⑵改为：了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题．⑶删去．⑷改为：了解反证法．基于以上情况，考虑到学习高中数学的需要，新教材一方面补充了一些必要的知识点，例如关于一元二次不等式与绝对值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以加强，例如关于反证法等．例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的认识，然后给出定义，再用实例加以说明，并且，引出概念的图形也只是采用了一种简明的形式，而没有画出全部可能出现的情况．又如，本章是对比初中学过的一元一次不等式，并且借助二次函数的图象，讲述一元二次不等式解法的．⒉重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用本章是高中数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题．像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描述，对推理方法的掌握，等等．本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到知识的系统性，又照顾到学生的可接受性，并且始终围绕着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本出发点．在集合这部分，有关集合运算的内容，就注意在解方程和不等式方面的应用，在数学概念的分类方面的应用．在逻辑这部分，有关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的认识，而不过多地涉及对一个语句是不是命题的判断．此外，像关于复合命题的否定，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及．为了帮助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”，这是两个应用的实例．实际上，计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础进行设计的．三教学中应注意的问题⒈教学要求的把握要适时、适度本章是高中数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题．集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言、基本方法的准备，相应地，对知识系统性、严谨性的要求一定要适度．学习有关集合的初步知识，其目的主要在于应用．具体说，就是在学习其他知识时，能读懂其中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能根据需要，运用集合语言进行表述．在安排训练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题．集合有关性质的证明，一般不要求学生掌握．有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必故意编排在一起，让学生去一一进行辨析．本章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中数学的内容为基础的．从引出有关知识的实例，到具体应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响．随着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了．因此，本章的教学要求，应该避免一步到位．关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在开始时，教学重点还是借助三个真值表，加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解，而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．⒉提高集合与逻辑的教学效益目前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高．具体表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，像与美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创造性能力和应用能力有一定欠缺，个性发展也存在着不足之处．为了后续章节的学习，在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备知识与接受能力，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提高教学效益．因此，在实际教学时，一定要抓住重点．怎样把握本章的教学重点呢？一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为高中数学的学习扫除障碍．换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的知识解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力．像逻辑中有不少问题，在学术界内部都有争论，在高一数学课上，就完全没有必要去涉及了．⒊使用数学符号要规范本章教材有不少集合与逻辑的数学符号，这些符号的采用，依据的是新的国家标准，其中有些符号与原教科书不同，在教学时应该注意．。

高一数学第一章集合与简易逻辑【学习指导】问哪些数能组成集合？哪些数不能组成集合？答若数是确定的，能组成集合；若数是不确定的，不能组成集合．解析由集合定义，数集中的数应是确定的．确定，就是任何一个数对于给定的数集有且只有两种可能，或属于给定的数集，或不属于给定的数集．例有下列4组数：①小于1的自然数；②小于1的整数；③小于1的实数；④接近1的数．那么哪一组数能组成集合？③组成集合{x|x＜1，x∈R＝；④中的数不确定．问如一个集合是一个集合的子集，是另一集合的包集时，这样的集合的个数是多少？m，n(m，n∈Z且m≥0，n≥0，m≤n)那么n－m个元素的集合所有子集的个数就是C的个数．解析集合C中的元素分两部分，其中一部分是M中的所有元素，另一部分是属于N不属于M的元素，这样的元素个数是N中元素个数与M中元素个数的差．别减1或减2．时，那么集合M的个数是多少？分别是什么？∴M是非空集合．∴M是{－1，－2}的非空子集，共3个．即M＝{－1}，M＝{－2}或M＝{－1，－2}问如何讨论直线型集合间的关系？答全集I坐标平面，直线型集合间的关系可通过图像的函数表示式研究．解析应明确各直线型集合的定义．由集合间的关系得到新的集合．例已知全集I={(x，y)|x∈R，y∈R}，3x－2}．问如何通过方程解集的条件讨论方程？答由解集条件确定解集，由解集确定方程．解析由解集条件确定解集时，需应用集合的性质．由解集确定方程时，需应用方程的性质．例已知M={x|x2＋px＋q=0}，A={1，3，5，7，9}，B={1，4，7，10}，当p，q为何值时？M∩A=φ，且M∩B=M．又∵M∩B=M，1，4，7，10可能是M的元素．问如何通过两个不等式解集的关系讨论不等式？答不等式和它的解集是等价的，解集的关系也就是不等式的关系．解析两个集合有多种关系，两个不等式解集间也有多种关系．给出解集关系后，利用数轴分析研究不等式解集，由解集可分别讨论不等式．例已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B={x|x－a＞0}，当a为解：A={x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}B={x|x－a＞0}={x|x＞a}集合A在数轴上(如图)，设实数a对应点M．①当点M在点－2左侧，②当点M在点3左侧，即a＜3时，A∩B≠φ．③当点M在点3及右侧时，即a≥3时，A∩B=φ．问给出两个集合的交集，如何确定它们的并集？答已知A∩B，解得A，B，再由A，B得出A∪B．解析通过A∩B这个已知条件，解出A或B的未知因素，求出A，B．由并集定义求A∪B．例已知集合A={－3，x2，x＋1}，B={x－3，2x－1，x2＋1}，A∩B={－3}，求A∪B．解：∵A∩B={－3}，∴－3∈B．又∵x2＋1≠－3，∴x－3=－3或2x－1=－3．若x－3=－3，则x=0．∴A={－3，0，1}，B={－3，－1，1}，A∩B={－3，1}≠{－3}．x＝0舍去．若2x－1=－3，则x=－1，A={－3，1，0}，B＝{－4，－3，2}，满足A∩B＝{－3}，∴A∪B＝{－4，－3，0，1，2}．问两个集合的并集和交集与这两个集合有什么关系？解析由交集、并集、子集定义可证明上面四条性质．例已知集合A，B，且A∩B=M，A∪B=N，求证：若M≠φ，设M中的任意一个元素a，问如何判断两个集合是否是同一集合？答由集合定义判定，两个集合中的元素完全相同的两个集合是同一集合．解析判断两个集合是否是同一集合主要解决两个问题：①集合中的元素是否相同，若不同，那么两个集合不同；②集合中的元素及元素个数是否相同，若相同，那么两个集合相同．例 1．已知集合A={y=x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y=x2＋1}，那么A，B是否是同一集合？解：集合A的表示方法是列举法，A中的元素只有一个，是有限集合；集合B的表示方法是描述法，B中的元素是无限多个点，是无限集合．∴A，B不是同一集合．2．已知集合A={{1}，{2}}，B={1，2}，C={x|x2－3x＋2=0，x∈R}时，则A，B，C中哪两个是同一集合？哪两个不是同一集合？解：集合B中2个元素分别是1和2．集合C是方程x2－3x＋2=0的解集，方程x2－3x＋2=0的解是1和2．∴B，C是同一集合．A中元素分别是{1}，{2}，且1≠{1}，2≠{2}．∴A，B不是同一集合．同理，A，C也不是同一集合．答：不是同一集合．集合B中有1个元素a＋b．∴A，B不是同一集合．问当给出集合中的一个元素和其他元素与这个元素的关系时，如何讨论元素的个数？答给出的元素是确定的，由关系确定其他所有可能的元素，再由集合定义决定取舍．解析由已知元素和其他元素与已知元素的关系，可确定与已知元素有关的其他所有元素的个数．又因为已知元素在一定条件下可任意设定，所以可得出集合中元素个数的关系．(3)A中元素个数m=3k(k∈N)(3)∵A是非空数集，∴必有1个元素a∈A．若m＞3，∴A中元素个数至少是3＋3=2×3．以此推得A中元素可分k(k∈N)组，每组3个元素，各组元素组成集合，交集为φ．∴A中元素个数m=3k(k∈N)．问如何用描述法表示点集？答在集合符号的竖线左侧写出点的形式，竖线右侧写出点的属性．解析点的表示形式可用大写字母，坐标系内的点用坐标(x，y)表示．以点O为圆心，r为半径的圆集合是{M||MO|=r}；抛物线y=x2－1集合是{(x，y)|y=x2－1，x∈R}．例 (如图)给出折线ABC，用数学描述法，写出折线ABC上所有点的集合．解：射线BC所在直线是y=x－1的图像，则射线BC是函数y=x－1(x≥1)的图像．同理射线BA是函数y=－x＋1(x≤1)的图像．y＝x－1(x≥1)且y=－x＋1(x≤1)等价于y=|x－1|．∴折线ABC所有点的集合是{(x，y)|y=|x－1|，x∈R}．问一元二次方程的解集中元素的个数是多少？答当方程无实根时，解集中没有元素；当方程有等根时，解集中有1个元素；当方程两根不等时，解集中有2个元素．解析一元二次方程根的判别式为Δ，Δ＜0，解集为φ，解集中元素个数为0；Δ=0，解集中元素个数为1；Δ＞0，解集中元素个数为2．例1．已知集合A={x|x2＋2x＋1=0}，求集合A中各元素的和．解：集合A={x|x2＋2x＋1=0}是方程x2＋2x＋1=0的解集，x1=x2=－1．∵集合中的元素不能重复，∴A={－1}．∴A中元素的和是－1．2．已知集合A={x|ax2＋2x＋1=0，a∈R，x∈R}．①若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；②若A中至多只有一个元素，求实数a的范围．解：①A中只有一个元素，则a=1或Δ=0(a≠0)．②A中至多有一个元素，也就是A中有一个元素，或A是空集．若A中有一个元素，由①得a＝0，或a=1，若A是空集，则Δ＜0，∴a＞1．∴a≥1或a=0时，集合A中至多有一个元素问当两个数集相等时，如何讨论对应元素相等答对应元素相等是必要的，但不能遗漏，另外，集合中的元素不能重复．解析应先找出两个集合中必然对应相等的元素，然后令其余元素对应相等，最后用集合定义检验．例1．已知集合M＝{a，a＋d，a＋2d}，N={a，aq，aq2}，且M＝N时，那么实数q为何数？解：∵M=N，由①得a(q－1)2=0，a=0或q＝1．若a=0，q=1，集合N中元素相同．∴a≠0，q≠1．由②得a(q－1)(2q＋1)=0．2．已知集合A={1，a，b}，B={a，a2，ab}，且A=B，求实数a，b的值．方法一∴a＝－1，b＝0．方法二∵a≠1，a≠0，由①得b=0代入②，a=－1，∴a=－1，b=0问如何讨论一个有限集合子集的个数？答应对该集合的子集进行分类，各类集合的和，就是子集的个数．解析分三类：①空集1个；②非空真子集；③该集合本身1个．所以一个有限集合所有子集个数是非空真子集个数加2．的个数．若M中有3个元素，则M={a，b，c}或M={a，b，d}；若M中有4个元素，M={a，b，c，d}．∴满足上述条件的集合M有3个问当集合M={x|f(x)=0}，N={x|g(x)=0}，Q={x|f(x)·g(x)=0}时，那么M，N与Q有什么关系？解析方程f(x)=0的解，也是方程f(x)·g(x)=0的解，但是，方程f(x)·g(x)=0的解，不一定是方程f(x)=0的解．又方程f(x)·g(x)=0的解，是方程f(x)=0的解，或是方程g(x)=0的解．则 M∪N=Q．Q的关系．解：设x0是集合Q中的任意一个元素，∴x0∈M={x|f(x)=0}，且x0∈N={x|g(x)=0}．设x′是(M∩N)中的任何一个元素，即x′∈M，且x′∈N，也就是f(x′)=0，且g(x′)=0．由①，②得M∩N=Q。

1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

第一章“集合与简易逻辑”教材分析本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．本章共编排了8小节，教学时间约需22课时：1 1 集合约2课时1 2 子集、全集、补集约2课时1 3 交集、并集约2课时1 4 绝对值不等式的解法约2课时1 5 一元二次不等式的解法约4课时1 6 逻辑联结词约2课时1 7 四种命题约2课时1 8 充分条件与必要条件约2课时小结与复习约4课时说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素．一内容与要求大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节．第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料．这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念．这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍．。