2024九年级春季数学下册听课笔记：第二十七章 相似 - 相似三角形：相似三角形应用举例
1. 教师行为
1.1 导入
• 复习回顾：教师首先带领学生快速回顾相似三角形的定义、判定定理及基本性质，确保学生已掌握这些基础知识。
• 情境导入：通过展示或描述几个利用相似三角形解决实际问题的实例，如测量河宽、建筑高度估算、地图制作等，激发学生对于相似三角形应用的兴趣和好奇心。
• 目标设定：明确本节课的学习目标，即通过学习相似三角形的应用举例，掌握利用相似三角形解决实际问题的方法和步骤。
1.2 教学过程
• 应用实例讲解：
• 实例一：测量河宽：详细讲解如何利用相似三角形原理，在河岸两侧各立一根标杆，通过测量标杆间距离、标杆到河对岸的仰角以及标杆高度，计算河宽。
• 实例二：建筑高度估算：介绍如何通过测量建筑物影子长度、同时测量同一时刻标杆高度及其影子长度，利用相似三角形性质估算建筑物高度。
• 实例三：地图制作：简述地图制作中如何利用相似三角形原理进行比例缩放，保持地理特征的相对位置和形状不变。
• 解题步骤分析：
• 识别问题中的相似三角形关系。
• 根据已知条件列出比例式或等式。
• 解方程或比例式得出未知量。
• 验证解的正确性并给出答案。
• 互动探究：
• 组织学生分组讨论，每组分配一个或几个相似三角形应用实例的题目，要求学生独立或合作完成解题过程。
• 鼓励学生分享解题思路和方法，教师适时给予指导和点评，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
板书设计（提纲式）
1. 导入
• 复习相似三角形基础知识
• 情境导入：相似三角形应用实例
• 学习目标设定 2. 应用实例讲解
• 实例一：测量河宽
• 实例二：建筑高度估算
• 实例三：地图制作
3. 解题步骤分析
• 识别相似关系
• 列比例式/等式
• 解方程/比例式
• 验证与答案
4. 互动探究
• 分组讨论与题目解答
• 解题思路分享与交流
相似三角形的应用举例
相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用
地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用
在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用
相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
相似三角形应用举例
在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度
假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。这时候，相似三角形就派上用场了。我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。假设杆子的高度为
h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。根据相似三角形的性质，我们可以得到：
h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2
通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为 2 米，影子长度为 15 米，大树影子长度为 9 米。那么：
2 ／ 15 ＝ h2 ／ 9
15h2 ＝ 2 × 9 15h2 ＝ 18
h2 ＝ 12 米
所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度
当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点 A，然后在河的对岸选择一个点 B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB
＝ ∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为 AB ＝ x，AC ＝ a，CD ＝ b。根据相似三角形的性质，我们有：
AC ／ AB ＝ CD ／ AC
- 1 - 相似三角形应用举例1
新颖题
如右图，在等边△ABC的边BC上取点D，使BDDC=12，作CH⊥AD，H为垂足，连结BH，
求证：∠DBH=∠DAB．
证明：过A作AM⊥BC于M，在Rt△ADM和Rt△CDH中，
∠ADM=•∠CDH，•∠AMD=•∠CHD=990°，
所以△CDH∽△ADM，
所以ADDMCDDH，CD=2BD，DM=12BD，
所以ADDBBDDH．
因为∠ADB=•∠BDH，•
所以△ADB∽△BDH，
所以∠DBH=∠DAB．
一、基础练习
1．在同一时刻，小R量得小D的身高是1.5m，其影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆高度是________m．
2．如图1，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB长为5mm，AC被分为50等分，如果小管口DE正好对着量具上29份处（DE∥AB），那么小管口径就是________mm．
（1） （2）
3．如图2，测得QS=40m，ST=100m，QR=60m，则河宽PQ约为_______m．
4．如图3，测得BD=10m，DC=40m，EC=30m，则河宽AB约为______m．
（3） （4） （5）
5．如图4，测得BO=6m，OD=3.4m，CD=1.7m，则旗杆AB高约为______m．
6．如图5，测得CD=1.7m，DE=3.4m，BD=6m，则旗杆AB高约为______m．
7．将两块完全相同的等腰直角三角形的三角板摆放如图6，•假设图形中的所有的点，线都在同一平面内，则图形中相似但又不全等的三角形是________． - 2 -
（6） （7）
